高斯小学奥数四年级上册含答案第03讲_基本直线形面积公式

第三讲基本直线形面积公式在几何中，所谓直线形就是指由线段构成的图形．在日常生活中，我们最常见的直线形有以下几种：正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形．在有关直线形的计算中，计算周长和计算面积是最常见的两类．我们已经学过了如何计算直线形的周长，接下来我们将学习如何计算直线形的面积．№1.正方形和长方形的面积正方形的面积和长方形的面积公式是我们所熟悉的，如下图：边长宽长正方形的面积边长边长长方形的面积长宽试一试1.正方形的边长是6厘米，面积是_______平方厘米．2.长方形的长为8厘米，宽为4厘米，面积是_______平方厘米．3.正方形的面积是121平方厘米，它的边长是_______厘米．4.长方形的面积是48平方厘米，宽为4厘米，长为_______厘米．例题1如下图，有一块长方形田地被分成了五小块，分别栽1632种了茄子、黄瓜、豆角、莴笋和苦瓜．其中栽种茄子正方形的面积是16平方米，栽种黄瓜的面积是28平方米，2872栽种豆角的面积是32平方米，栽种莴笋的面积是72平方米，而且左上角栽种茄子的田地恰好是一个正方形．请问：剩下的栽种苦瓜的田地面积是多少？「」左上角是面积为16的正方形，那么它的边长是多少？你还能求出哪些线段的长度呢？练习1如图，有一块长方形田地被分成了四小块，分别栽种了冬瓜、西瓜、南瓜、黄瓜，其中冬瓜地的面积是24平方米，西瓜地的面积是36平方米，南瓜地的面积是18平方米，而且左下角西瓜地恰好是一个正方形．请问：剩下的黄瓜地的面积是多少？243618№2.平行四边形的面积如下图，平行四边形的两组对边平行且相等，我们把两组对边用不同颜色标出来．为了计算平行四边形的面积，我们可以把平行四边形切成两块，然后拼成一个长方形，如下图．这个平行四边形的面积和拼成的长方形的面积相同，都等于长方形的长乘以宽．长方形的长和宽在平行四边形中都可以找到对应线段．在平行四边形中，这两条线段分别叫做底和高．于是我们有：平行四边形面积底高如图所示，同学们可以画出这条底对应的若干条高，并且这些高是相等的，都等于上下两条平行线间的距离．高高高底当然我们可以用另一种方式把上面的平行四边形剪拼成一个长方形，如下面左图所示．同样得到相对于这条底的若干条高，如下面右图所示，这些高也是相等的，都等于左右两条平行线间的距离．高高底高要计算平行四边形的面积，需要知道一条底，以及它所对应的高．大家看看下面的几个图形，试着画出与底边相对应的高．画一画下面有四个平行四边形，每个平行四边形都指定了一条边作为底，请画出与每条底相对应的高．底底底底例题2EHF下图是由两个边长分别为4和7的正方形拼成的，D请求出阴影平行四边形的面积．A「分析」阴影部分是平行四边形，应该选哪条边作为底呢？4相应的高是多少呢？BC7G练习2如图，大正方形里有一个小正方形还有一个阴影平行四边形．如果大正方形的边长是20厘米，小正方形的边长是8厘米．那么阴影平行四边形的面积是多少？№3.三角形的面积三角形中也有相对应的底和高．过三角形的一个顶点向所对的边做一条垂线，所得的垂线段叫做三角形的高，所对的边叫做三角形的底．每个三角形有三组对应的底和高．要计算三角形的面积，同样要利用底和高的长度．观察下图，我们把一个三角形倒过来和原图形拼在一起，可以得到一个平行四边形．平行四边形的底与三角形的底相等，高也与三角形的高相等．而平行四边形的面积等于“底高”，正好是三角形面积的2倍，所以我们有三角形面积公式：三角形面积底高2从形状上讲，三角形有三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．由于三角形的形状多变，在初学阶段要找准三角形相对应的底和高很不容易．因此要想算出三角形的面积，最关键的还在于准确地找到底与相应的高．．．．．．．．．．．．下面是一个简单的作图练习，大家不妨画一画．画一画以下三个三角形都指定了一条边为底，请分别作出每条底所对应的高．底底底例题3如下图所示，两个正方形并排放在一起，大正方形的边长是8厘米，小正方形的边长是86厘米．请问：阴影三角形的面积是多少？6「分析」阴影部分是三角形，应该选哪条边作为底呢？相应的高是多少呢？练习3右图是由两个边长分别为4和6的正方形拼成的，请求出阴影三角形的面积．№4.梯形的面积三角形和平行四边形都有“底”和“高”的概念，梯形中也有．在梯形中，平行的一组对边分别叫做上底和下底，不平行的一组对边叫做腰，上底和下底之间的距离叫做梯形的高．上底腰高腰下底如下图所示，把两个相同的梯形拼在一起，可以得到一个平行四边形．从图中可以看出，这个平行四边形的面积是梯形面积的2倍．同时平行四边形的底由梯形的上底和下底拼接而成，高与梯形的高相等．所以：梯形的面积上底下底高2例题48一个正方形和一个长方形按下图的方式排放，已知正方形的面积是49平方厘米，长11方形的长为11厘米，宽为8厘米，那么阴影部分的面积是多少？「分析」阴影部分是梯形，要求面积，关键是找清楚它的上底、下底、高分别是多少．练习4如下图，大正方形的边长是8厘米，小正方形的边长是6厘米．请问：图中的阴影图形的面积是多少平方厘米？例题5如下图所示，两个边长厘米的正方形10310相互错开3厘米，那么图中阴影平行四10边形的面积是多少？「分析」阴影部分是平行四边形，应该选哪条边作为底呢？相应的高是多少呢？例题6如图，把两个正方形拼在一起，小正方形的边长是5厘米，大正方形的边长是7厘米．请问：阴影部分的面积是多少？「分析」阴影部分由两个三角形组成，你能分别求出这两个三角形的面积吗？以哪条边作为底最容易计算呢？课堂内外小欧拉与大羊圈欧拉是著名的家，他在数论、几何学、天文数学、微积分等好几个数学的分支领域中都取得了出色的成就．不过，这个大数学家在孩提时代却一点也不讨老师的喜欢，他是一个被学校除了名的小学生．小欧拉因为问老师天上星星有多少颗，老师也答不上来，只知道天上的星星是上帝镶上去的．小欧拉感觉上帝真是太粗心了，竟然忘记了星星的数目！在欧拉的年代，对上帝是绝对不能怀疑的，人们只能做思想的奴隶，绝对不允许自由思考．小欧拉没有与上帝“保持一致”，老师就让他离开学校回家．回家后无事，他就帮助爸爸放羊，成了一个牧童．他一面放羊，一面读书．他读的书中，有不少数学书．爸爸的羊渐渐增多了，达到了100只．原来的羊圈有点小了，爸爸决定建造一个新的羊圈．他用尺量出了一块长方形的土地，长40米，宽15米，他一算，面积正好是600平方米，平均每一头羊占地6平方米．正打算动工的时候，他发现他的只够围100米的篱笆，不够用．若要围成长40米，宽15米的羊圈，其周长将是110米．父亲感到很为难，若要按原计划建造，就要再添10米长的材料；要是缩小面积，每头羊的面积就会小于6平方米．小欧拉却向父亲说，不用缩小羊圈，也不用担心每头羊的领地会小于原来的计划．他有办法．父亲不相信小欧拉会有办法，听了没有理他．小欧拉急了，大声说，只要稍稍移动一下羊圈的桩子就行了．父亲听了直摇头，心想：“世界上哪有这样简单的事情？”但是，小欧拉却坚持说，他一定能两全齐美．父亲终于同意让儿子试试看．小欧拉见父亲同意了，站起身来，跑到准备动工的羊圈旁．他以一个木桩为中心，将原来的40米边长截短，缩短到25米．父亲着急了，说：“那怎么成呢？那怎么成呢？这个羊圈太小了，太小了．”小欧拉也不回答，跑到另一条边上，将原来15米的边长延长，又增加了10米，变成了25米．经这样一改，原来计划中的羊圈变成了一个25米边长的正方形．然后，小欧拉很自信地对爸爸说：“现在，篱笆也够了，面积也够了．”父亲照着小欧拉设计的羊圈扎上了篱笆，100米长的篱笆真的够了，不多不少，全部用光．面积也足够了，而且还稍稍大了一些．父亲心里感到非常高兴．孩子比自己聪明，真会动脑筋，将来一定大有出息．父亲感到让这么聪明的孩子放羊实在是太可惜了．后来，他想办法让小欧拉认识了一个大数学家伯努利．通过这位数学家的推荐，1720年，小欧拉成了巴塞尔大学的大学生．这一年，小欧拉13岁，是这所大学最年轻的大学生．作业1.在下面的每个平行四边形与三角形中，作出以AB为底的高．AABDCBCADABCCB2.如图，大正方形被分成三块区域．左上角的正方形面积为4，右上角的长方形面积为6，请问：大正方形的面积是多少？463.下图中，大正方形的面积是64，小正方形的面积是36．求平行四边形的面积．4.下面两幅图都是边长为8和6的两个正方形拼成的，根据图中所示的线段长度，求两个阴影三角形的面积．86865.如图，两个正方形并排放在一起，小正方形的边长是9厘米，大正方形的边长是13厘米．请问阴影梯形的面积是多少平方厘米？第三讲基本直线形面积公式1.例题1：8平方米详解：方法一：正方形的面积是16平方米，所以正方形的边长是4米，黄瓜的面积是28平方米，黄瓜的宽是4米，长就是2847米．豆角的面积是32平方米，豆角的宽是4米，所以长是3248米，莴笋的宽是8米，面积是72平方米，所以长是7289米．所以苦瓜的宽是972米，长是4米，所以苦瓜的面积是248平方米；方法二：豆角是茄子面积的2倍，所以莴笋是黄瓜和苦瓜面积和的2倍，黄瓜和苦瓜的面积是72236平方米，所以苦瓜的面积是36288平方米．2.例题2答案：28详解：阴影平行四边形的底BC是4，高FG是7，所以平行四边形的面积是4728．3.例题3答案：42平方厘米详解：阴影三角形的底是6厘米，高是6814厘米，所以阴影三角形的面积是614242平方厘米．4.例题4答案：30平方厘米详解：阴影部分是一个梯形，这个梯形的上底是正方形上面的边，正方形的面积是49平方厘米，所以正方形的边长是7厘米，梯形的下底是长方形的宽即8厘米，梯形的高即长方形长与正方形边长之差，为1174厘米，所以梯形的面积是784230平方厘米．5.例题5答案：91平方厘米详解：由于两个大小一样的正方形错开了3厘米，可以知道图中两个小的直角三角形的直角边都是3厘米，所以阴影平行四边形的底就是1037厘米，高就是10313厘米，所以其面积是71391平方厘米．6.例题6答案：12平方厘米详解：小正方形的边长是5厘米，大正方形的边长是7厘米．阴影部分是由两个三角形组成的，这两个三角形的底都是752厘米，左面三角形的高是5厘米，右面三角形的高是7厘米，所以面积分别是2525平方厘米，2727平方厘米，所以阴影部分的面积是5712平方厘米．7.练习1答案：12平方米详解：西瓜地是正方形，面积为36平方米，所以边长为6米；冬瓜地面积为24平方米，长为6米，所以宽为2464米；南瓜地面积为18平方米，长为6米，所以宽为1863米；黄瓜地长为4米，宽为3米，所以面积为4312平方米．8.练习2答案：96平方厘米详解：阴影平行四边形的底是小正方形边长即8厘米，高是两正方形边长之差，即20812厘米，所以平行四边形的面积是81296平方厘米．9.练习3答案：30简答：阴影三角形的底是6，高是6410，所以阴影三角形的面积是610230．10.练习4答案：14平方厘米简答：阴影部分是一个梯形，这个梯形的上底是小正方形的边长，即6厘米；梯形的下底是大正方形的边长即8厘米，梯形的高即两正方形边长之差，为862厘米，所以梯形的面积是682214平方厘米．11.作业1答案：如图所示简答：AABDC高B高高高高高CADACCBB12.作业2答案：25简答：小正方形的边长为2，小长方形的长为3，那么大正方形的边长为5，面积为5525．13.作业3答案：48简答：小正方形的边长为6，大正方形的边长为8，平行四边形的面积是6848．14.作业4答案：24；18简答：左图阴影三角形的底选为6，高为8，面积是68224．右图阴影三角形的底选为6，高为6，面积是66218．15.作业5答案：242平方厘米简答：梯形的上底为小正方形的边长，即9厘米．梯形的下底为大正方形的边长，即13厘米．梯形的高为大、小正方形边长和为22厘米．梯形的面积为(913)222242平方厘米．6.