椅子放平稳问题-数学建模

椅子放平稳问题所谓数学模型是指对于一个实际问题，为了特定目的，作出必要的简化假设，根据问题的内在规律，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构•建立及求解数学模型的过程就是数学建模•下面例子是一个简单的数学建模问题•问题：四条腿一样长的椅子一定能在不平的地面上放平稳吗？1•模型假设(文字转化为数学语言)椅子四条腿一样长，椅子脚与地面的接触处视为一个点，四脚连线呈正方形；地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断(没有台阶那样的情况)，即视地面为数学上的连续曲面；地面起伏不是很大，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地2.模型建立(运用数学语言把条件和结论表现出来)设椅脚的连线为正方形ABCD，对角线AC与X轴重合，坐标原点0在椅子中心，当椅子绕0点旋转后，对角线AC变为AC，A'C'与X轴的夹角为X由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A、C两脚与地面距离之和为f(R，B、D两脚与地面距离之和为g(“.显然f(r)_O、g(旳-0。因此椅子和地面的距离之和可令h(T)=f(T)+g(日)。由假设(2),f(x)、g(x)为连续函数，因此h但)也是连续函数；由假设(3)，得：f(日)g(e)=0。则该问题归结为：已知连续函数f("_0、g("_0且f(“g(r)=0，至少存在一个入，使得：f(®)弋厲)=03•模型求解(找出厲)证明：不妨设f(0)0,则g(0)=01o11令(即旋转90，对角线AC和BD互换)。则有f(—)=0,g(—)・0222定义：HG)二fG)_g(d)，所以TTH(O)H(=)=4f(0)g(：)]：：：022根据连续函数解的存在性定理，得：存在如(0,丄)2使得：H®)=f(“)-g®)=0;又fG0)gG0)=。所以f(如二gG°)=0即当时，四点均在同一SW-/S■-；G5.4OCjS/7Jr平面上。