(完整word版)悬臂梁固有频率的计算

5PAGE\*MERGEFORMAT#PAGE\*MERGEFORMAT#悬臂梁固有频率的计算试求在X0处固定、xI处自由的等截面悬臂梁振动的固有频率(求解前五阶)解：法一：欧拉-伯努利梁理论悬臂梁的运动微分方程为:悬臂梁的边界条件为:w(xdw0)0⑴怎(x0)0⑵0(3),(EIxlx2w"2~x该偏微分方程的自由振动解为w(x,t)W(x)T(t)，将此解带入悬臂梁的运动微分方程可得到W(x)GeosxC2sin4xC3coshxC4sinhx,T(t)AcoswtBsinwt；其中A2EI将边界条件(1)、(2)带入上式可得C1C30,C2C40；进一步整理可得W(x)C|(eosxeoshx)C2(sinxsinhx)；再将边界条件(3)、(4)带入可得C1(coslcoshl)C2(sinlsinhl)0；C1(sinlsinhl)C2(coslcoshI)0要求Ci和C2有非零解，贝尼们的系数行列式必为零，即=0(coslcoshl)(sinIsinhl)(sinlsinhl)(coslcoshl)所以得到频率方程为:cos(nl)cosh(nl)1.该方程的根nl示振动系统的固有频率:72El1wn(nl)(肓)，n1,2,...满足上式中的各nl(n1,2,...)的值在书P443表8.4中给出,现罗列如下：1l1.875104,2l4.694091,3l7.854757,4l10.995541,5l14.1372;若相对于n的C2值表示为C2n，根据式中的6,C2n可以表示为C2n。仆严」如')；sinnlsinhnlcoslcoshi因此Wi(x)C1n(cosnxcoshnx)n-(sinnxsinhnx),n1,2,...由此可得sinnlsinhnl到悬臂梁的前五阶固有频率，分别将n=1,2,3,4,5带入可得:2EI亍2EI石2EIo1谕510…〒)2，24.694091(育)2，37.854757(审)2，410.9955412(号)2，514・13722(号尸；法二、铁摩辛柯梁梁理论1.悬臂梁的自由振动微分方程:边界条件:A2w(x,t)t2i(1自4w2-2xt214wkGTw(x0)(x0)0(1)0(2)；设方程的通解为:w(x,t)Csin—lxCOSwnt;易知边界条件1)满足此通解，将通解带入上面的微分方程可得到频率方程为:2“Wn(1kG)244A0；其中r2动惯量与剪切变形的影响均忽略,上式的频率方程简化为EIn2Al2，当n=1,2,3,4,5时可分别求得固有频率为:2I92l2，o多自由度系统频率的计算方法等效质量：连续系统悬臂梁简化为5个相等的集中质量mi|m2m3m4ms1.邓克莱法邓克莱公式为:TOC\o"1-5"\h\z.3333.31,甘由l8l9l64Il—2aiima22L355呛，其中ail,a22,a33,a44,a55,i375EI375EI125EI375EI3EImei1mm2m3m4m5m；将其代入上式可求得系统的基频为：w.(;2.887()25Al，此基频比用伯努利-欧拉梁求得的一阶固有频率1.8751042(-^严Al偏小，误差为17.42%，与邓克莱法的推导预期相符。2.瑞利法系统的质量矩阵、刚度矩阵和柔度矩阵分别为m00001M0m00000m005000m00000ml3l34l311l37l3375EI150EI375EI750EI375EIl38l314l34l326l3150EI375EI375EI75EI375EI4lI314l39l327l318|3K375EI375EI125EI250EI125EI11l34l327l364l388l3750EI75EI250EI375EI375EI7lI326l318l388l3l3375EI375EI125EI375EI3EI517798627932221270004500225854181181862791117211244719450015750586193181181EI32221124471562212616314221549332224427000945002616338279825001811812231181450015750142218250060291811814418130取静变形曲线为假设阵型，设A(40141279436600)T有AMA649418mATKA^000E|aTml3MA28401503m275EI所以R(A)AKA8.64EIatma=l4,R(A)ATMA8.57EIATMMAl4，此基频比用伯努利-欧拉梁求得的一阶固有频21.8751042(偏大，误差为15.23%，与瑞利法的推导预期相符。3.里茨法系统的质量矩阵和刚度矩阵由上面给岀，设阵型为1(12345)T，2(13579)T;PAGE\*MERGEFORMAT#PAGE\*MERGEFORMAT#则可求岀M,K分别为M=tM55m95m95m165mKtK78375EI181l357375EI181l357375EI181l378375EI181l3****2**将M，K代入(KwM)A0得k*w*2m0；可以求得:w-i59.08；以及A*⑴0.578'A*(2)0.29'所以系统前两阶主阵型的近似为1.00001.00000.63031.5915A(1)=A*⑴=0.4220.2607,A(2)=A*⑵=0.712.1831-0.10902.7746-0.47873.3662,W24雅克比法l3ml3m4l3m11l3m7l3m375EI150EI375EI750EI375EIl3m8l3m14l3m4l3m26lm，由雅可比法求解其特征值和特征向量为：其固有频率150EI375EI375EI75EI375EI4l3m14l3m9l3m27l3m18l3m375EI375EI125EI250EI125EI11l3m4l3m27l3m64l3m88l3m750EI75EI250EI375EI375EI7l3m26l3m18l3m88l3ml3m375EI375EI125EI375EI3EI动力矩阵为DM2.930000018.7000育00052.70*J三0阵型为vm00010000000158.110.04590.16690.33870.53930.75130.22900.55890.58020.1677-0.5201-0.4879-0.54460.25480.5306-0.3448-0.64810.13320.4650-0.553909190.5361-0.58780.5172-0.30460.0833