高中数学三余弦定理妙用

高中数学三余弦定理妙用高中数学三余弦定理妙用PAGE/NUMPAGES高中数学三余弦定理妙用三余弦（正弦）定理的妙用三余弦定理（又叫最小角定理或爪子定理）（1）定理：设点A为平面上一点，过A点的斜线在平面上的射影为BO，BC为平面上的任意直线，那么ABC，OBC，OBA三角的余弦关系为：cosABCcosOBCcosOBA即斜线与平面一条直线夹角的余弦值等于斜线与平面所成角的余弦值乘以射影与平面内直线夹角的余弦值。coscoscos（为了便于记忆，我们商定：为斜线角，为线面角，为射影角）（2）定理：如上图，OAB、OBC、ABC均为直角三角形，cosBC，ABBOBCcoscoscos，得证。，cos，易知cosABBO（3）定理说明：这三个角中，角是最大的，其他弦值最小，等于别的两个角的余弦值之积。斜线与平面所成角是斜线与平面内全部直线所成的角中最小的角。三正弦定理（最大角定理）：（1）定理：设二面角MABN的度数为，在平面M上有一条射线AC，它和棱AB所成的角为，和平面N所成的角为，则sinsinsin（为了便于记忆，我们商定：为线棱角，为线面角，为二面角）（2）定理证明：如图，CO平面N，OBAB，BCAB，OBC、OAC、ABC均为直角三角形，sinOCBC，sin，OCBCACsin，易得：sinsinsin。AC（3）定理说明：由sinsinsin且sin1知：sinsin，，因此二面角的半平面M内的任意一条直线与另一个半平面N所成的线面角不大于二面角，即二面角是线面角中最大的角。1知识应用：例1.（2016年4月浙江省数学学考试题第16题）如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1中，P是棱BC上的动点。记直线A1P与平面ABC所成的角为1，与直线BC所成的角为2，则1，2的大小关系是（）A.12B.12C.12D.不可以确立【分析】：因为1是线面角，2是线线角，由最小角定理知：12，又BC不是A1P在底面的射影，故12，选C。例2（.2018年全国数学大联考试题第9题）已知二面角l是直二面角，A，B，设直线AB与，所成的角分别为1，2，则（）A.1290B.1290C.1290D.1290【分析】：如图，过点A，B分别作l的垂线，分别交于点C，D，则AC，BD，ABC1，BAD2，由最小角定理知：1BAC，又BAC290，因此1290。例3.（2018年浙江省数学高考试题第8题）已知四棱锥SABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为，与平面1SEABCD所成的角为2，二面角SABC的平面角为3，则（）A.123B.321C.132D.231【分析】：如图，作SO平面ABCD，在平面SAB内作SFAB于点F，则SFO3（二面角），SEO2（线面角），由最小角定理知：21，又由最大角定理知：23，2故2最小，选D。再证：31过点E作EG//OF，交CD于G点，取EG的中点H，易知SHEG，EHOF，SEH1，SHSHSOSOtan1，tan3，由SHEGOFOF得：tan1tan3，故31。例4.（2017年浙江省数学高考调研试题第9题）如图，易知三棱锥DABC，记二面角CABD的平面角是，直线DA与平面ABC所成的角是1，直线DA与BC所成的角是2，则（）A.1B.1C.2D.2【分析】：由最大角定理知：1，应选A。例5.（2014年浙江省高考理科试题第15题）如图，某人在垂直于水平川面ABC的墙眼前的点A处进行射击训练。易知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM挪动，这人为了正确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小。若AB15cm，AC25cm，BCM30，则tan的最大值是（仰角为直线AP与平面ABC所成角）。【分析】：记二面角MACB为1，由最大角定理知：531，易求tan1。9例6.（2018年全国要点中学数学联考试题第8题）从点P出发的3条射线PA，PB，PC，每两条射线的夹角是60，则直线PC与平面PAB所成角的余弦是。【分析】：3如图，在PC上取点D作DO平面PAB，垂足为O，PO为PC的射影，则CPO是PC与平面PAB所成角，由题意知：PO为BPA的交均分线，依据三余弦定理得：cosCPAcosCPOcosOPA，即cos60cosCPOcos30，故cosCPO3。3例7.（2018年全国数学高考卷I理科试题第18题）如图，四边形ABCD为正方形，点E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的地址，且PFBF。（1）证明：平面PEF平面ABFD；2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值。【分析】：（1）略（2）作PHEF，垂足为H，由（1）知：PH平面ABFDDEPE。不如设DP2，，则DE1，从而PE3，又PF1，EF2，故PEPF。于是PH33，，EH22故斜线角60，射影角HDE，且cosED213EH。设DP与平面ABFD所13成角为，则由三余弦定理知：coscoscoscos60，从而cos13，即4sin3。4例8.（2018年全国数学高考卷II理科试题第20题）如图，在三棱锥PABC中，ABBC22，PAPBPC4，O为AC的中点。（1）证明：PO平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角MPAC为，求PC与平面PAM所成角的正弦值。【分析】：41）证明：略2）由题意知：线棱角CPA60，二面角MPAC为30，由三正弦定理得：sinsin60sin303。4例9.（2004年浙江省数学高考理科试题第12题）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB1，D在棱BB1上，且BD1，若AD与平面AA1C1C所成的角为，则=（）A.B.C.arcsin10D.arcsin63444【分析】：由题易知：二面角DAA1C的大小为BAC60，线棱角DAA145，由三正弦定理得：sinsin606，从而6。sin45arcsin44例10.（1994年全国数学高考理科试题第23题）如图，已知ABCA1B1C1是正三棱柱，D是AC的中点，若AB1BC1，求以BC1为棱、DBC1与CBC1为面的二面角的度数。【分析】：取AC的中点E，连接AE，B1E，B1EBC1H，则B1E为AB1在平面BB1C1C上的射影，从而B1EBC1。设AB2，则BB12，从而BD与平面BCC1所成角DBC30，线棱角DBC1，射影角C1BC，因为cos6coscos36245。，由三余弦定理知：cos3，故322再由三正弦定理知：sin245。sin，因此sin25例11.（2017年全国数学高考卷II理科试题第19题）如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBC1AD，2BADABC90，E是PD的中点。1）证明：直线CE//平面PAB；2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为45，求二面角MABD的余弦值。【分析】：（1）略；（2）如图，作PHAD于点H，则PH平面ABCD，即HC是PC在平面ABCD内的射影。记点M在平面ABCD内的射影为N，二面角MABD的大小为，设AB1，CNt，因为直线BM与底面ABCD所成锐角为45，则MNBN，从而：CNMNCH，PH即t31t22ABN33，解得t，故cos。由三余弦定理知：23cosMBAcos45cosABN6MBA30，从而sin，再依据三正弦定理得：66sin45sinsinMBA，解得sin1510，故cos5。5例12.（2019年6月浙江高考数学第8题）设三棱锥VABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点）。记直线PB与直线AC所成角为，直线PB与平面ABC所成角为，二面角PACB的平面角为，则（）A.，B.，C.，D.，【分析】：由最小角定理（又叫三余弦定理）知：，记VACB的平面角为，明显，由最大角定理知：，应选B。67