小学奥林匹克数学竞赛辅导——统筹问题

统筹问题（一）人们在日常生活、工作中经常碰到一些事情，怎样才能把它们安排得更合理，事半功倍地办好事，这就是统筹学研究的问题。统筹学是利用数学来研究人力、物力的运用和筹划，使它们能发挥最大效率的科学。它包含的非常广泛。本讲主要学习在合理安排、排队和最短路线问题中的一些解题方法和技巧。【例1】星期天妈妈要做好多事情。擦玻璃要20分钟，收拾厨房要15分钟，洗脏衣服的领子、袖口要10分钟，打开全自动洗衣机洗衣服要40分钟，晾衣服要10分钟。妈妈干完所有这些事情最少用多长时间？［分析］如果按照题目告诉的几件事，一件一件去做，要95分钟。要想节约时间，就要想想在哪段时间里闲着，能否利用闲着的时间做其它事。最合理的安排是：先洗脏衣服的领子和袖口，接着打开全自动洗衣机洗衣服，在洗衣服的40分钟内擦玻璃和收拾厨房，最后晾衣服，共需60分钟（见下图）。［解］10＋40＋10＝60（分）答：妈妈干完所有这些事情最少用60分钟。［评析］当遇到多个事情需完成时，在做之前常要比较、组合，然后再做，从而达到节省整个时间的目的。这就是统筹安排的基本思想。【例2】理发室里有一位理发师，同时来了甲、乙、丙三位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要24、12和20分钟。怎样安排他们的理发顺序，才能使三人理发和等候所用时间的总和最少？三人所用的时间总和是多少？［分析］一人理发时，其他人需等待，为使总的等待时间尽量短，应让理发所需时间少的人先理。可安排依次给需12、20、24分钟的人理发。当先给需12分钟的人理发时，有2人等待，占用三人的时间和为（12×3）分；然后，给需20分钟的人理发，有1人等待，占用两人的时间和为（20×2）分；最后，给需24分钟的人理发，无人等待。所以，理发和等候共用（12×3＋20×2＋24）分。［解］12×3＋20×2＋24＝100（分）答：安排依次给需12、20、24分钟的人理发所用时间总和最少。所用的时间总和是100分钟。［评析］当需完成的事只能一件一件地做时，为使其它人等待的时间短：思考时应遵循“用时短优先的原则”。【例3-1】网吧里有五台电脑同时出现故障，己知第一台到第五台修复时间依次为18、30、17、25、20分钟。现有两名工作效率相同的维修人员，怎样安排才能使得修复的时间最短？［分析］因为（18＋30＋17＋25＋20）÷2＝55（分），从开始到结束，如果每人都连续维修55分钟，可使修复时间最短。这样安排，若一人修需18、17和20分钟的三台，另一人修需30和25分钟的两台，所用的修复时间最短，都为55分钟。［解］（18＋30＋17＋25＋20）÷2＝55（分）答：可让一人修需18、17、20分钟的，另一人修需30、25分钟的，修复的时间最短。【例3-2】网吧里有五台电脑同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18、30、17、25、20分钟，每台电脑停机一分钟造成经济损失5角。现有两名工作效率相同的维修人员，怎样安排才能使得修复的时间最短且经济损失最少？最少是多少？［分析］从例3－1中已知，让一人修需18、17、20分钟的，另一人修需30、25分钟的，可使修复的时间最短。要使经济损失少，就要使总停机时间尽量短，在排序上应遵循“用时短优先”的原则，即先修理修复时间短的。所以，第一人应按需17、18、20分钟的顺序修理，第二人应按需25、30分钟的顺序修理。经济损失最少为5×［（17×3＋18×2＋20）＋（25×2＋30）］＝935（角）［解］5×［（17×3＋18×2＋20）＋（25×2＋30）］＝935（角）答：第一人按需17、18、20分钟的顺序修理，第二人按需25、30分钟的顺序修理。经济损失最少是935角。［评析］对于较复杂的安排，我们既要用到比较、组合的方法思考，还要用到“用时短优先的原则”思考。【例4】右图是一张道路示意图，每段路上的数字表示小明走这段路所需要的时间（单位：分）。小明从A到B最快要几分钟？［分析］我们采用分析排除法，将道路图逐步简化，从而找出最佳路线。先观察从A到O有两条路，A－C－O用6分钟，A－F－O用7分钟，排除后者，可将FO抹去，因为从A到B还有其它路线经过AF。接着观察从A到E还剩两条路，A—C—G—E用12分钟，A—C—O—E用10分钟，排除前者，可将0G、GE抹去。再观察从A到D还剩两条路，A—C—O—D用12分钟，A—F—H—D用13分钟，排除后者，可将AH、HD抹去。最后，从A到B还剩两条路，A—C—O—E—B用17分钟，AC—O—D—B用16分钟，排除前者，可将OE、EB抹去。从而简化为走A—C—O—D—B，共用16分钟。［解］1＋5＋6＋4＝16（分）答：小明从A到B最快要16分钟。小结：当我们有许多事要做时，事先要进行比较、组合、调整，科学地安排好先后顺序，就能用较少的时间完成较多的事情。“用时短优先”是应遵循的一个重要原则。在寻求最短路线时，常用分析排除法进行思考。［练习］（1）妈妈要干好多的事：烧开水要15分钟，擦桌椅要8分钟，准备暖瓶要1分钟，灌开水要2分钟，买油条要10分钟，煮牛奶要7分钟。如果灶具上只有一个火，那么全部做完这些工作最少需要多少时间？怎样安排？（2）露露蒸鸡蛋，打蛋用1分钟，切葱花用2分钟，搅蛋用2分钟，洗锅用2分钟，烧水用6分钟，蒸蛋用10分钟，一共用了23分钟。若合理安排做事流程几分钟即可完成？（3）理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10、12、15、20和24分钟。怎样安排他们的顺序，才能使从第一人开始理发到五人全部理完的时间最短？最短时间是多少？（4）甲、乙、丙、丁四人去某公司经理办公室洽谈业务。甲谈完要20分，乙谈完要12分，丙谈完要25分，丁谈完要3分。要使四人所花时间总和最少，应当怎样安排他们的谈话顺序？最少需要多少时间？（5）下图是一张道路图，每条路上的数是小王走这段路所需的时间（单位：分）。小王从A到B，最快需要几分钟？（6）车间里有5台车床同时出现故障。已知第一台至第五台修复的时间依次为15、8、29、7、10分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元。问：（1）如果只有一名修理工，那么怎样安排修理顺序才能使经济损失最少？（2）如果有两名修理工，那么修复时间最少需多少分钟？（7）甲、乙、丙三名车工准备在同样效率的3台车床上加工七个零件，各零件加工所需时间分别为4、5、6、6、8、9、9分钟，三人同时开始工作。问：加工完七个零件最少需要多长时间？