江苏省南京市第一中学2023届高三上学期第一次模拟考试数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页江苏省南京市第一中学2023届高三上学期第一次模拟考试数学试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，，则（       ）A．B．C．D．2．已知，，若向量在向量上的投影向量为，则（       ）A．B．C．D．3．已知的解集为，则的值为（       ）A．1B．2C．-1D．-24．设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则5．已知圆C经过点，且与直线相切，则其圆心到直线距离的最小值为（       ）A．3B．2C．D．6．现将除颜色外其他完全相同的6个红球和6个白球平均放入A、B两个封闭的盒子中，甲从盒子A中，乙从盒子B中各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，且将取出的2个球全部放入盒子A中；若2个球异色，则乙胜，且将取出的2个球全部放入盒子B中．按上述规则重复两次后，盒子A中恰有8个球的概率是（       ）A．B．C．D．7．的展开式中的常数项为（       ）A．40B．60C．80D．1208．已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则（       ）A．1B．-1C．2D．-3二、多选题9．若复数z满足：，则（       ）A．z的实部为3B．z的虚部为1C．D．z在复平面上对应的点位于第一象限10．已知函数，若，则下列结论正确的是（       ）A．B．C．D．当时，11．已知a，b为正实数，且，则的取值可以为（       ）A．1B．4C．9D．3212．下列不等式正确的是（       ）A．B．C．D．三、填空题13．从，，，这个数中随机取出个不同的数，，则的概率为__________．14．已知角满足，，则的取值范围是__________．15．已知点D为△ABC的边BC的中点，，，，，的夹角为，则______．16．已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线l对称，若P，Q分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为______．四、解答题17．已知等差数列的前n项和为，，．正项等比数列中，，．(1)求与的通项；(2)求数列的前n项和．18．在中，已知角，，的对边分别为，，，且(1)求角的大小(2)若为锐角三角形，且，，求的面积．19．若，从X的取值中随机抽取个数据，记这k个数据的平均值为Y，则随机变量以下问题的求解中可以利用这一结论．根据以往的考试数据，某学校高三年级数学模考成绩，设从X的取值中随机抽取25个数据的平均值为随机变量Y．现在从X的取值中随机抽取25个数据从小到大排列为，，，其余5个数分别为97，97，98，98，98．(1)求的中位数及平均值；(2)求．附：随机变量服从正态分布，则，，．20．在三棱锥ABCD中，已知平面ABD⊥平面BCD，且，，，BC⊥AC．(1)求证：BC⊥平面ACD；(2)若E为△ABC的重心，，求平面CDE与平面ABD所成锐二面角的正弦值．21．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆E截抛物线的准线得到的弦长为3．(1)求椭圆E的方程；(2)设两条不同的直线m与直线l交于E的右焦点F，且互相垂直，直线l交椭圆E于点A，B，直线m交椭圆E于点C，D，探究：A、B、C、D四个点是否可以在同一个圆上？若可以，请求出所有这样的直线m与直线l；否则请说明理由．22．设，，．(1)求的单调区间；(2)证明：当时，．答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．C【】集合中的元素均为整数，根据交运算即可求解.【详解】由题意可知，，故选：C．2．C【分析】根据投影向量的公式计算即可【详解】设向量与向量的夹角为，则.故选：C3．B【分析】由题知为方程的一个根，由韦达即可得出答案.【详解】因为的解集为，所以为方程的一个根，所以．故选:B．4．B【分析】利用可能平行判断，利用线面平行的性质判断，利用或与异面判断，与可能平行、相交、异面，判断.【详解】，，则可能平行，错；，，由线面平行的性质可得，正确；，，则，与异面；错，，，与可能平行、相交、异面，错，.故选B.【点睛】本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.5．D【分析】利用已知可推出圆心C的轨迹为抛物线，利用抛物线的几何性质求解即可.【详解】解：依题意，设圆C的圆心，动点C到点P的距离等于到直线的距离，根据抛物线的定义可得圆心C的轨迹方程为，设圆心C到直线距离为d，，当时，，故选：D．6．A【分析】若两次取球后，盒子A中恰有8个球，则两次取球均为甲胜，即两次取球均为同色．考虑第一次取球甲、乙都取到红球，第二次取同色球分为取到红球或取到白球或第一次取球甲、乙都取到白球，第二次取同色球分为取到红球或取到白球，分别求出其概率，即可求出答案.【详解】若两次取球后，盒子A中恰有8个球，则两次取球均为甲胜，即两次取球均为同色．若第一次取球甲、乙都取到红球，概率为，则第一次取球后盒子A中有4个红球和3个白球，盒子B中有2个红球和3个白球，第二次取同色球分为取到红球或取到白球，概率为，故第一次取球甲、乙都取到红球且两次取球后，盒子A有8个球的概率为，同理，第一次取球甲、乙都取到白球且两次取球后，盒子A中有8个球的概率为，所以两次取球后，盒子A中恰有8个球的概率是．故选:A．7．A【分析】先确定的展开式的通项公式，再由求解.【详解】解：的展开式的通项公式为，而，令，得，令，得，所以的展开式中的常数项为．故选：A．8．B【分析】根据对称性可得函数具有周期性，根据周期可将.【详解】因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，所以，又由，得，所以，所以，所以，故的周期为4，所以．故选:B．9．ABD【分析】根据待定系数法，将代入条件即可求解，，进而即可根据选项逐一求解.【详解】设，因为，所以，所以，所以，，所以，，所以，所以z的实部为3，虚部为1，故A，B正确；，故C不正确；z在复平面上对应的点位于第一象限，故D正确．故选:ABD．10．AD【分析】设，函数单调递增，可判断A；设，则不是恒大于零，可判断B；，不是恒小于零，可判断C；当时，，故，函数单调递增，故，即，由此可判断D.得选项.【详解】解：对于A选项，因为令，在上是增函数，所以当时，，所以，即．故A选项正确；对于B选项，因为令，所以，所以时，单调递增，时，单调递减．所以与无法比较大小．故B选项错误；对于C选项，令，所以时，在单调递减，时，在单调递增，所以当时，，故成立，当时，，．故C选项错误；对于D选项，由C选项知，当时，单调递增，又因为A正确，成立，所以,故D选项正确.故选：AD．【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.11．BD【分析】根据基本不等式可得，进而求得或，再结合选项判断即可【详解】因为a，b为正实数，，所以，当且仅当时等号成立，即，所以，所以或，因为a，b为正实数，，所以，所以或．所以或．故选：BD．12．CD【分析】由换底公式变形判断A，构造函数，利用导数确定单调性后判断BCD．【详解】选项A：，故不正确；设，因为，所以，所以在上单调递减，所以选项B：，故不正确；选项C：，故正确；选项D：，故正确，故选:CD．13．##【分析】利用列举法求解即可.【详解】取出个不同的数，的所有情况为1和3，1和5，1和7，3和5，3和7，5和7，6种情况，其中满足的有：1和3，1和5，1和7，3种情况，所以的概率为．故答案为：14．【详解】结合题意可知：，且：，利用不等式的性质可知：的取值范围是.点睛：利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围．解决此类问题一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得待求整体的范围，是避免错误的有效途径．15．【分析】根据向量加法的平行四边形法则可得，两边同时平方即可代入求模长.【详解】因为，所以，所以，所以．故答案为：.16．【分析】整体代换求解直线的解析式，利用导数的几何意义求解函数的图象上到直线距离最短的点，即为点，即可求解两点间的最短距离.【详解】解：令，则，，．因为与关于直线对称，所以函数与函数关于直线对称，所以P，Q两点之间距离的最小值等于P到直线距离最小值的2倍，函数在点处的切线斜率为，令得，，，所以点P到直线距离的最小值为，所以这两点之间距离的最小值为．故答案为：.17．(1)，(2)【分析】（1）由等差数列的通项公式与求和公式，等比数列的通项公式求解即可；（2）由错位相减法求解即可（1）设等差数列的公差为d，由已知得，，解得，       所以，即的通项公式为；       设正项等比数列的公比为，因为，，所以，所以，解得或（负值舍去），所以．（2），             所以，       所以，相减得，，所以．18．(1)或(2)【分析】（1）利用正弦定理将已知式子统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简可求出角，（2）利用余弦定理结合已知条件求出，然后利用面积公式可求出三角形的面积.（1）因为，所以由正弦定理得因为，所以所以，所以，因为，所以或．（2）因为三角形为锐角三角形，所以，由余弦定理得，，因为，，所以，所以，，所以三角形的面积为．19．(1)中位数为98，平均值为(2)【分析】（1）根据题意，10个数不超过97，，10个数不低于98，则中位数即为中间的5个数的中位数；根据平均值的计算公式计算平均值即可；（2）利用正态分布的原则计算即可.（1）解：由已知得，有10个数不超过97，有10个数不低于98，中间的5个数为97，97，98，98，98，所以的中位数为98，进一步由已知得，的平均值为．故中位数为98，平均值为.（2）解：由题意知，即，因为，，所以．20．(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用勾股定理证明AD⊥BD，再由面面垂直的性质得AD⊥平面BCD，从而得AD⊥BC，最后再结合线面垂直判定定理证明即可；（2）根据线面关系，建立空间直角坐标系，结合面面夹角公式求解即可.（1）证明：因为，，，所以，所以AD⊥BD，             又因为平面ABD⊥平面BCD，平面平面BCD=BD，因为平面ABD，所以AD⊥平面BCD，因为平面BCD，       所以AD⊥BC，又因为BC⊥AC，，所以BC⊥平面ACD．（2）解：因为BC⊥平面ACD，平面ACD，所以BC⊥CD，因为，，所以，，       以D为坐标原点，直线DB，DA分别为x，z轴，在平面BCD内过点D与BD垂直的直线为y轴建立空间直角坐标系，所以，，，，所以，所以，，       平面ABD的一个法向量为，       设平面CDE的一个法向量为，所以，取，，则，所以，       设平面CDE与平面ABD所成的锐二面角为θ，所以，所以，即平面CDE与平面ABD所成锐二面角的正弦值为．21．(1)(2)可以在同一个圆上，和【分析】（1）由抛物线焦点坐标得，抛物线准线方程代入椭圆方程求得弦长，从而可求得，得椭圆方程；（2）由题意可知当斜率均存在且不为0时，可设直线l为，直线m为，其中，，，，，直线方程代入椭圆方程，应用韦达定理得，若A、B、C、D四个点可以在同一个圆上，则，用直线上的弦长公式表示后，代入（同理得的相减表达式），从而求得值，得直线方程．（1）抛物线的焦点坐标为，准线方程为，       设，由已知得，，，，所以，即，，解得，，则椭圆E的标准方程为．（2）因为两条不同的直线m与l直线均过椭圆的右焦点，且互相垂直，由题意可知当斜率均存在且不为0时，可设直线l为，直线m为，其中，       ，，，，将直线l的方程代入椭圆方程得，，所以，，       若A、B、C、D四个点可以在同一个圆上，则，       所以，所以，所以，，同理，所以，       则，所以，此时存在这样的直线m与直线l，其方程为和．当直线l的斜率为0或斜率不存在时，A，B，C，D显然不在同一个圆上．综上，存在这样的直线m与直线l，其方程为和．22．(1)单调递增区间为，单调递减区间为(2)证明见解析【分析】（1）先求解函数的导数，利用导数求解函数的单调区间即可；（2）构造函数，分类讨论实数的取值范围，利用导数求解函数在区间上的单调性，进而得到函数在区间上的最值，只需证明即可.（1）解：，∵，令，得；令，得；所以的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）解：设，若证成立，即证．，，当时，，所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以恒成立．当时，，令，则对称轴为直线，所以当时，函数单调递增，当时，取最小值，所以，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以恒成立，综上：当时，恒成立．即．