2020年7月电大《高等代数专题研究》期末考试试题及参考答案

试卷代号：1079座位号[IJ国家开放大学2020年春季学期期末统一考试高等代数专研究试题/2020年7月巨四三得分1评卷人一、单项选择题（本题共20分，每小题4分）1.下列法则是整数集Z上的代数运算的是（).abA.a。b=a+bB.a。b=—21C.a。b=亭D.a。b=—32.若向量组如，…，a,与/3'…,/3,均线性无关，则向量组a1+凡，…，a,十/3,().A.一定线性无关B.一定线性相关C.可能线性相关，也可能线性无关D.以上说法都不对3.设n阶方阵A可对角化，则下列结论正确的是（).A.A有n个不同的特征值B.A是可逆矩阵C.A有n个线性无关的特征向量D.A是实对称矩阵4.设6是n维欧氏空间V上的线性变换m在基如，a2,…,a,,下的矩阵为对称矩阵A,则（A.a为可逆变换B.当们心，…，an为正交基时m为对称变换C.(J为正交变换D.a为对称变换5.线性空间V上的双线性函数J(a,/3)在不同基下的度量矩阵（).A.相似B.相等C.正交相似D.相合217得分1评卷人二、填空题（本题共20分，每小题4分）6.有理数域上的不可约多项式的次数是次的．7.在有限维线性空间中，任意两个基所含向量的个数是的．8.设A,B都是n阶方阵，如果存在n阶可逆矩阵T,使T一1AT=B,则称A与B9.若欧几里得空间V上的线性变换A保持向量长度不变，则A是变换．10.设A是n阶实矩阵，当A是矩阵时，ATA是正定矩阵．得分I评卷人三、计算题（本题共45分，每小题15分）11.已知如，az,a3是3维线性空间V的一组基，向量组/31,/32,/33满足/31+{33=a1+az十幻，/31+(3z=az+a3,/32+{33=a1+a3求由基/31,/32,/33到基如，Clz,Cl3的过渡矩阵．12.设氏的线性变换6定义如下：a(x口立，X3)=(2x1一立，xz-x3,xz+x3汃求6在基E1=(1,0,0),Ez=(0,1,0),E3=(0,0,1)下的矩阵．13.用正交线性替换化实二次型式+2式+3式—4x心z-4xzX3为标准形．得分1评卷人四、题（本题15分）14.设J(x),g(x)是数域P上的一元多项式，且(f(x),g(x))=l.证明：(f(x),J(x)+g(x))=1.218试卷代号：1079国家开放大学2020年春季学期期末统一考试高等代数专题研究试题答案及评分标准（供参考）2020年7月一、单项选择题（本题共20分，每小题4分）LA2.C3.C4.B5.D二、填空题（本题共20分，每小题4分）6.任意7.相等8.相似9.正交10.可逆三、计算题（本题共45分，每小题15分）00100110010011.解：偶中心）＝（如，幻，a3)),IT)=l#-0,1-21-2l-21-21_21_2所以/31,/32,队是一组基......................................................................(5分）001100因为C/31,/32,/33)=(a1,a2,a3)II,·············································00分）1-2112-_2故(a.,妇，a,)~