高中数学管理类联考——-数学

高中数学管理类联考——-数学绪论及预备知识一、数学形式结构及内容大纲1、试卷满分及考试时问试卷满分为200分,考试时间为180分钟。2、答题方式答题方式为闭卷、笔试。不允许使用计算器。3、试卷内容与题型结构数学基础75分,有以下两种题型：问题求解15小题,每小题3分,共45分条件充分性判断10小题,每小题3分,共30分4、考查内容综合能力考试中的数学基础部分主要考查考生的运算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和数据处理能力,通过问题求解和条件充分性判断两种形式来测试。试题涉及的数学知识范围有：（一）算术1、整数（1）整数及其运算（2）整除、公倍数、公约数（3）奇数、偶数（4）质数、合数2、分数、小数、百分数3、比与比例4、数轴与绝对值（二）代数1、整式（1）整式及其运算（2）整式的因式与因式分解2、分式及其运算13、函数（1）集合（2）一元二次函数及其图像（3）指数函数、对数函数4、代数方程（1）一元一次方程（2）一元二次方程（3）二元一次方程组5、不等式（1）不等式的性质（2）均值不等式（3）不等式求解：一元一次不等式(组),一元二次不等式,简单绝对值不等式,简单分式不等式。6、数列、等差数列、等比数列（三）几何1、平面图形（1）三角形（2）四边形(矩形、平行四边形、梯形)（3）圆与扇形2、空间几何体（1）长方体（2）圆柱体（3）球体3、平面解析几何（1）平面直角坐标系（2）直线方程与圆的方程（3）两点间距离公式与点到直线的距离公式（四）数据分析l、计数原理（1）加法原理、乘法原理（2）排列与排列数（3）组合与组合数22、数据描述（1）平均值（2）方差与差（3）数据的图表示直方图,饼图,数表。3、概率（1）事件及其简单运算（2）加法公式（3）乘法公式（4）古典概型（5）伯努利里概型二、数学命题特点数学考试大纲内容涵盖初中和高中六年的知识,面大,量多,范围广,考生复习时很难抓住重点,同时初数的解题技巧性极强,加大技巧的训练越来越重要。三、预备知识1、基本公式（1）（ab)2a22abb2（2）（ab)3a33a2b3ab2b3（3）(ab)(ab)a2b2（4）a3b3(ab)(a2减加abb2)（5）（abc)2a2b2c22ab2ac2bc（6）a2b2c2abacbc2(a2b2c2abacbc)1[(ab)2(ac)2(bc)2]22、指数相关知识（1）平方根（2）算术平方根3、条件充分性判断从大纲要求上看,条件充分性判断题主要考查考生对数学的基本概念、基本方法的熟练掌握程度,3并能够迅速准确地判断题干中陈述的结论可否由条件（1）或（2）推出。因而考生在备考时应对于充分条件的有关概念、联考题型的结构及其逻辑关系以及解题策略和应试技巧等有一个全面的理解和把握。（1）、充分性命题定义由条件A成立,就可以推出结论B成立（即AB）,则称A是B的充分条件。若由条件A,不能推出结论B成立（即AB）,则称A不是B的充分条件。【注意】A是B的充分条件可巧妙地理解为：有A必有B,无A时B不定。2、解题说明本大题要求判断所给的条件能否充分支持题干中陈述的结论,即只要分析条件是否充分即可,不必考虑条件是否必要。阅读条件（1）和（2）后选择：A条件（1）充分,但条件（2）不充分B条件（2）充分,但条件（1）不充分C条件（1）和条件（2）单独都不充分,但条件（1）和条件（2）联合起来充分D条件（1）充分,条件（2）也充分E条件（1）和条件（2）单独都不充分,条件（1）和条件（2）联合起来也不充分▲以上规定全讲义适用,以后不再重复说明。3、常用求解方法实际上,这类判断题的求解即判断下面三个命题的真假：①条件（1）成立,则题干结论成立；②条件（2）成立,则题干结论成立；③条件（1）和（2）都成立,则题干结论成立；（1）解法一直接定义分析法（即由A推导B）若由A可推导出B,则A是B的充分条件；若由A推导出与B矛盾的结论,则A不是B的充分条件。该解法是解“条件充分性判断”型题的最基本的解法,应熟练掌握。【例1】方程x23x40成立。（1）x1（2）(x4)20,xR（2）解法二题干等价推导法（寻找题干结论的充分必要条件）要判断A是否是B的充分条件,可找出B的充要条件C,再判断A是否是C的充分条件。即：若BC,而AC,则AB。特殊地,当条件给定的参数范围落入题干成立范围时,即判断该条件是充分。4【例2】x2是多项式f(x)x32x2axb的因式。（1）a1,b2（2）a2,b3【例3】不等式|x2||4x|s无解。（1）s2（2）s2x1x1【例4】等式成立。x2x2（1）x3（2）x3（3）解法三特殊反例法由条件中的特殊值或条件的特殊情况入手,推导出与题干矛盾的结论,从而得到条件不充分的选择。【注】此方法不能用在条件具有充分性的肯定性的判断上。【例5】整数n是140的倍数。（1）n是10的倍数（2）n是14的倍数【例6】abc0成立。（1）实数a,b,c在数轴上的位置如图1-1所示（2）实数a,b,c满足条件a2bc0,且abc11【例7】要使a成立。（1）a1（2）a1第一章算术【大纲考点】1、整数5（1）整数及其运算（2）整除、公倍数、公约数（3）奇数、偶数（4）质数、合数2、分数、小数、百分数3、比与比例4、数轴与绝对值一、数的概念与性质1、自然数（非负整数）：0,1,2,…整数：…,-2,-1,0,1,2,…分数：将单位1平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫做分数。百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。2、数的整除设a,b是任意两个整数,其中b0,如果存在一个整数q,使得等式abq成立,则称b整除a或a能被b整除,记作b|a,此时我们把b叫做a的因数,把a叫做b的倍数。如果这样的q不存在,则称b不整除a,记做b|a。3、整除的性质（1）如果c|b,b|a,则c|a；（2）如果c|b,c|a,则对任意的整数m,n有c|(manb)；4、常见整除的特点能被2整除的数：个位为0,2,4,6,8。能被3整除的数：各数位数字之和必能被3整除。能被4整除的数：末两位（个位和十位）数字必能被4整除。能被5整除的数：个位为0或5。能被6整除的数：同时满足能被2和3整除的条件。能被8整除的数：末三位（个位、十位和百位）数字必能被8整除。能被9整除的数：各数位数字之和必能被9整除。能被10整除的数：个位必为0。能被11整除的数：从右向左,奇数位数字之和减去偶数位数字之和能被11整除（包括0）。能被12整除的数：同时满足能被3和4整除的条件。连续k个正整数的乘积能被k!整除。5、带余除法设a,b是任意两个整数,其中b0,则存在整数q,r使得abqr,0rb成立,而且q,r都是唯一的。q叫做a被b除所得的不完全商,r叫做a被b除所得到的余数。66、奇数与偶数不能被2整除的数称为奇数；能被2整除的数称为偶数。【注】0属于偶数。7、质数与合数一个大于1的整数,如果它的正因数只有1和它本身,则称这个整数是质数（或素数）；一个大于1的整数,如果除了1和它本身,还有其他的正因数,则称这个整数是合数（或复合数）。1正整数质数合数【质数、合数的判断方法】对于一个不大的自然数n（n1,n非完全平方数）,可用下面的方法判断它是质数还是合数,先找出一个大于n的最小完全平方数k2,再写出k内的所有质数,若这些质数都不能整除n,则n是质数；若这些质数中有一个质数能整除n,则n为合数。8、质数与合数的重要性质（1）质数和合数都在正整数范围,且有无数多个。（2）2是唯一的既是质数又是偶数的整数,即是唯一的偶质数。大于2的质数必为奇数。质数中只有一个偶数是2,最小的质数也是2。（3）若p是一质数,a是任一整数,则a能被p整除或p与a互质（p与a的最大公因数是1）。（4）设p是一质数,a,b是整数,若p|ab,则必有p|a或p|b。（5）推广：设p是一质数,a,a,a是n个整数,若p|aaa,则p一定能整除其12n12n中一个a。k（6）若正整数a,b的积是质数p,则必有ap或bp。（7）1既不是质数也不是合数。（8）如果两个质数的和或差是奇数,那么其中必有一个是2；如果两个质数的积是偶数,那么其中也必有一个是2。（9）最小的合数是4。任何合数都可以分解为几个质数的积,能写成几个质数的积的正整数是合数。9、最大公约（因）数与最小公倍数设a,b是两个整数,若整数c满足ca,cb,则c称为a和b的公约数。a和b的所有公约数中的最大者称为a和b的最大公约数,记为(a,b)。分子与分母互质的分数称为最简分数或既约分数。7设a,b是两个整数,若整数c满足ac,bc,则c称为a和b的公倍数。a和b的所有公倍数中的最小者称为a和b的最小公倍数记为[a,b]。10、互质数公约数只有1的两个数称为互质数。即若(a,b)1,则称a,b互质。11、公倍数与公因数的性质设a,b是任意两个正整数,则有：（1）a,b的所有公倍数就是[a,b]的所有倍数,即若a|d且b|d,则[a,b]|d；ab（2）[a,b]。特别地,当(a,b)1时,有[a,b]ab。(a,b)【典型例题】【例1】从1到120的自然数中,能被3整除或能被5整除的数的个数是（）个。（A）64（B）48（C）56（D）46（E）72【例2】若n是一个大于100的正整数,则n3n一定有约数（）(A)5(B)6(C)7(D)8(E)以上结论均不正确【例3】一班同学围成一圈,每位同学的一侧是一位同性同学,而另一侧是两位异性同学,则这班的同学人数（）(A)一定是4的倍数(B)不一定是4的倍数(C)一定不是4的倍数(D)一定是2的倍数,不一定是4的倍数(E)以上结论均不正确【例4】某人左右两手分别握了若干颗石子,左手中石子数乘3加上右手中石子数乘4之和为29,则右手中石子数为（）(A)奇数(B)偶数(C)质数(D)合数(E)以上结论均不正确【例5】正整数N的8倍与5倍之和,除以10的余数为9,则N的最末一位数字为（）(A)2(B)3(C)5(D)9(E)以上结论均不正确【例6】9121除以某质数,余数得13,这个质数是（）8(A)7(B)11(C)17(D)23(E)以上结论均不正确1661【例7】已知3个质数的倒数和为,则这三个质数的和为（）1986（A）334（B）335（C）336（D）338（E）不存在满足条件的三个质数111【例8】有5个最简正分数的和为1,其中的三个是,,,其余两个分数的分母为两位整数,379且这两个分母的最大公约数是21,则这两个分数的积的所有不同值的个数为（）（A）2个（B）3个（C）4个（D）5个（E）无数多个【例9】两个正整数的最大公约数是6,最小公倍数是90,满足条件的两个正整数组成的大数在前的数对共有（）（A）1对（B）2对（C）3对（D）4对（E）5对【例10】三名小孩中有一名学龄前儿童(年龄不足6岁),他们的年龄都是质数（素数）,且依次相差6岁,他们的年龄之和为（）（A）21（B）27（C）33（D）39（E）51【例11】三个质数之积恰好等于它们和的5倍,则这三个质数之和为（）（A）11（B）12（C）13（D）14（15）15【例12】条件充分性判断1991、x成立1001198()0（1）x23.456(20022000199842)(20011999199731)111(2)x11223991002、自然数n的各位数字之积为6（1）n是除以5余3,且除以7余2的最小自然数（2）n是形如24m（m是正整数）的最小自然数93、x101y101可取两个不同的值（1）实数x,y满足条件（xy)99=-1（2）实数x,y满足条件（xy)100=14、(a,b)30,[a,b]18900（1）a2100,b270（2）a140,b8105、m为偶数（1）设n为整数,mn(n1)（2）在1,2,3,,1998这1998个自然数中的相邻两个数之间任意添加一个加号或减号,设这样组成的运算式的结果是m。6、有偶数位来宾（）（1）聚会时所有来宾都在一张圆桌周围,且每位来宾与邻座性别不同。（2）聚会时,男宾是女宾的2倍。二、数的分类1、实数包括有理数和无理数2、数轴数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线。-101x10实数与数轴上的点一一对应。数轴上的点从左到右的顺序,就是对应的实数从小到大的顺序。对于任意实数x,用[x]表示不超过x的最大整数；令{x}x[x],称[x]是x的整数部分,{x}是x的小数部分。3、实数的基本性质（1）若a,bR,则在ab,ab,ab中有且只有一个成立；（2）a,则a20。4、实数的运算任意两个实数的和、差、积、商（除数不等于零）仍然是实数。（1）四则运算加法交换律abba加法结合律(ab)ca(bc)乘法交换律abba乘法结合律(ab)ca(bc)分配率a(bc)abaca与a互为相反数1a(a0)与互为倒数a（2）乘方与开方运算若xna,则a称为x的n次方（或n次幂）,x称为a的n次方根。a的正的n次方根记作na。【性质】正数的任何次方都是正数；0的正数次方都是0；负数的奇次方是负数；负数的偶次方是正数；正数的奇次方根是正数；正数有两个偶次方根,它们互为相反数；0的n次方根为0；负数的奇次方根是负数；负数没有偶次方根；【运算规律】111m①a01(a0)②an③annam④amanamnanamaan⑤amn⑥(am)namn⑦(ab)nanbn⑧()nanbbn5、集合（1）集合的概念集合：将能够确切指定的一些对象看成一个整体,这个整体就叫做集合,简称集。元素：集合中各个对象叫做这个集合的元素。（2）常用数集及记法非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合,记作。正整数集：非负整数集内除0的集合,记作*或。整数集：全体整数的集合,记作。有理数集：全体有理数的集合,记作Q。实数集：全体实数的集合,记作R。【注】①自然数集与非负整数集是相同的,也就是说,自然数集包括数0。②非负整数集内排除0的集,记作*,Q,,R等其它数集内排除0的集,也是这样的表示,例如,整数集内排除0的集,表示成*。（3）集合的分类有限集：含有有限个元素的集合。无限集：含有无限个元素的集合。规定：空集是不含任何元素的集合。（4）元素与集合的关系属于：如果a是集合A的元素,就说a属于A,记作aA；不属于：如果a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作aA；（5）集合中元素的特性确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里或者不在,不能模棱两可；互异性：集合中的元素没有重复；无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）；【注】①集合通常用大写的拉丁字母表示,如A,B,C,P,Q等,元素通常用小写的拉丁字母表示,12如a,b,c,p,q等；②""的开口方向,不能把aA颠倒过来写。【典型例题】【例13】一辆出租车有段时间的营运全在东西走向的一条大道上,若规定向东为正、向西为负,且知该车的行驶公里数依次为－10,＋6,＋5,－8,＋9,－15,＋12,则将最后一名乘客送到目的地时,该车的位置（）(A)在首次出发地的东面1公里处(B)在首次出发地的西面1公里处(C)在首次出发地的东面2公里处(D)在首次出发地的西面2公里处(E)仍在首次出发地【例14】下列各式正确的是（）（A）两个无理数的和是无理数（B）两个无理数的乘积是无理数（C）两个无理数的乘积是有理数（D）一个有理数和一个无理数的乘积是无理数（E）一个有理数和一个无理数相加减,其结果是无理数1111(1)(1)(1)(1)2349【例15】的值是（）0.10.20.30.92298113（A）（B）（C）（D）（E）819229111111【例16】(1)(1)(1)(1)(1)(1)（）223399995052474750（A）（B）（C）（D）（E）9797989999【例17】已知a0,1b0,那么（）(A)ab2aba(B)aabab2(C)ab2aab(D)aab2ab(E)以上结论均不正确【例18】有一个正的既约分数,如果其分子加上24,分母加上54后,其分数值不变,那么此既约分数的分子与分母的乘积等于（）（A）24（B）30（C）32（D）36（E）38131【例19】把无理数5记作a,它的小数部分记作b,则a等于（）b（A）1（B）-1（C）2（D）-2（E）以上答案均不正确【例20】等式a2(a)2成立的条件是（）（A）a是任意实数（B）a0（C）a0（D）a0（E）a0【例21】已知a322,b322,则a2bab2的值为（）（A）42（B）32（C）42（D）32（E）-1【例22】a,b,c为有理数,且等式ab2c3526成立,则abc的值等于（）（A）0（B）1（C）2（D）3（E）以上结论均不正确【例23】条件充分性判断1、x31（1）x8215（2）x4122、ab01（1）ab0,()ab1（2）a,b是有理数,是无理数,且ab023、[x],[y],[z]分别表示不超过x,y,z的最大整数,则[xyz]可以取值的个数是3个（1）[x]5[y]3[z]1（2）[x]5[y]3[z]1三、绝对值1、绝对值的定义a（a0）实数a的绝对值定义为：aa(a＜0).即：正数的绝对值是它本身、负数的绝对值是它的相反数、零的绝对值还是零2、绝对值的几何意义14实数a的绝对值的几何意义：数轴上实数a所对应的点到原点的距离（如图1-2所示）。3、绝对值的性质a,a0①a0,a0a,a0②a0，a20，a0③aa④a2a2，a2axaxa⑤xaaxaxaxa或xaaa⑥1(a0)aaaa⑦abab，(b0)bb⑧|a|a|a|4、绝对值不等式（三角不等式）（1）ababab：当且仅当ab0且ab时,左边等号成立；当且仅当ab0时,右边等号成立。（2）ababab：当且仅当ab0且ab时,左边等号成立；当且仅当ab0时,右边等号成立。（3）ababab：当且仅当ab0时,左边等号成立；当且仅当ab0时,右边等号成立,15【典型例题】【例24】已知x,y是实数,3x4y26y90,若axy3xy,则a等于（）1177(A)(B)(C)(D)(E)04444【例25】已知|xy1|(2xy)20,求logx。y【例26】求适合下列条件的所有x的值（1）|x3|8（2）|x3|8（3）|x3|8【例27】已知|xa|1,|yx|1,则有（）（A）|ya|2（B）|ya|1（C）|ya|2（D）|ya|1（E）A、B、C、D都不正确2x112x【例28】已知,则x的取值范围是（）33111111（A）（，](B)[，)(C)(,)(D)（，](E)（，）222222【例29】若|ac||b|abc0,则下列不等式成立的是（）AacbBabcC|a||b||c|D|a||b||c|E|a||b||c|1【例30】x,y,z满足条件|x24xy5y2|z2y1,则4x10yz等于（）22(A)1(B)2(C)(D)2(E)以上均不正确6abcabc2013bcacab【例31】已知1,则的值为（）abcabcabbcca1（A）1（B）-1（C）1（D）（E）不能确定316【例32】设yx2x2,则下列结论正确的是（）(A)y没有最小值(B)只有一个x使y取到最小值(C)有无穷多个x使y取到最大值(D)有无穷多个x使y取到最小值(E)以上结论均不正确【例33】条件充分性判断1、ya2成立。（1）2xa1（2）2xy1|a||b|2、2成立ab（1）a0（2）b013、函数f(x)的最小值为21x25116（1）f(x)xx（2）f(x)12121x44、方程f(x)=1有且仅有一个实根（1）f(x)|x1|（2）f(x)|x1|15、a2bab（1）a0,b0（2）a0,b06、方程x1x2无根（1）x(,1)（2）x(1,0)四、比、比例、均值1、比17a两个数相除,又称为这两个数的比。即a:b.其中a叫做比的前项,b叫做比的后项。相除b所得商叫做比值。记作a:ba/bk,在实际应用中,常将比值表示成百分数,称为百分比,如3：4=75%。2、几个重要关系原值a增长了p%现值a(1p%)；原值a下降了p%现值a(1p%)；甲-乙甲比乙大p%p%甲乙(1p%)；甲是乙的p%甲乙p%；乙【注】甲比乙大p%不等于乙比甲小p%,不要混淆。先减小p%,再增加p%并不能等于原数值。3、比例ac相等的比称为比例,记作a:bc:d或。其中a和d称为比例外项,b和c称为比例内bd项。当a:bb:c时,称b为a和c的比例中项,显然当a,b,c均为正数时,b是a和c的几何平均值。4、正比若ykx(k不为零),则称y与x成正比,k称为比例系数。【注】并不是x和y同时增大或减小才称为正比。比如当k0时,x增大时,y反而减小。5、反比若yk/x(k不为零),则称y与x成反比,k称为比例系数。【注】同正比也不是反向增大或减小才称为反比,如k0。6、比例的基本性质（1）a:bc:dadbc（2）a:bc:db:ad:cb:da:cd:bc:aacbd（3）（反比性质）bdacacab（4）（更比性质）bdcdacabcd（5）（合比性质）bdbdacabcd（6）（分比性质）bdbd18acamcacac（7）（合分比性质）,特别地,当m1时,有；或者可写成bdbmdbdbdacabcdbdabcdacemacema（8）（等比性质）,其中bdfn0bdfnbdfnb7、增减性变化关系（a,b,m0）aama若1,则。注意,反之不一定成立。bbmbaama若01,则。注意,反之不一定成立。bbmb8、平均值（1）算术平均值nxxxxi设n个数x,x,,x,称x12n为这n个数的算术平均值,简记为xi1。12nnn（2）几何平均值设n个正数x,x,,x,称xnxxx为这n个数的几何平均值,简记为12ng12nnxnxgii1【注意】几何平均值是对于正数而言。（3）基本不等式①当x,x,，x为n个正数时,它们的算术平均值不小于它们的几何平均值,即12nx＋x＋＋x12nnx·xx(x>0，i＝1,，n)n12ni当且仅当xx＝x时，等号成立。12nxx特别地,当n＝2时,有12xx（x,x）,此时x,x的几何平均值xx称212121212为x,x的比例中项。121②a＋2(　a0),即对于正数而言,互为倒数的两个数之和不小于2,且当a1时取得最a小值时2。19111【例34】设::4:5:6,则使xyz74成立的y值是（）xyz(A)24(B)36(C)74/3(D)37/2（E）以上结论均不正确13【例35】已知yyy且y与成反比例,y与成正比例。当x0时,y3,又1212x22x2当x1时,y1,那么y的x表达式是（）3x2366（A）y（B）y3x2（C）y3x22x2x2x23x233（D）y（E）y3x22x2x2【例36】求3、8、9这三个数的算术平均值和几何平均值。【例37】将一条长为a的线段截成长为x和ax的两条线段,使x恰是a与ax的几何平均值。我们称对任意一个量a的这种分割为黄金分割,试求x。【例38】三个实数1,x-2和x的几何平均值等于4,5和-3的算术平均值,则x的值为（）（A）－2（B）4（C）2（D）－2或4（E）2或411【例39】x,y的算术平均值是2,几何平均值也是2,则,的几何平均值是（）xy22(A)2(B)2(C)(D)(E)以上结论均不正确32【例40】如果x,x,x三个数的算术平均值为5,则x2,x3,x6与8的算术平均值为（）123123111(A)3(B)6(C)7(D)9(E)以上结论均不正确423【例41】直角边之和为12的直角三角形的面积的最大值为（）(A)16(B)18(C)20(D)22(E)不能确定【例42】条件充分性判断1、用ab表示十位是a,个位是b的一个两位数,有ab:ba(a1):(b1)成立20（1）ab是3的倍数（2）ab是9的倍数2、某公司得到一笔贷款共68万元,用于下属三个工厂的设备改造。结果甲、乙、丙三个工厂按比例分别得到36万元、24万元和8万元。111（1）甲、乙、丙三个工厂按::的比例分配贷款239（2）乙厂所得款额恰是甲厂所得款额与丙厂所得款额的2倍的比例中项aba2b23、成立cdc2d2ac(1),且b,d均为正数bdac(2),且b,d均为负数bd4、两数a,b的几何平均值的3倍大于它的算术平均值（1）a,b满足a2b234ab（2）a,b均为正数5、某班学生的平均身高是1.66米（1）该班有30名男生,他们的平均身高为1.70米（2）该班有20名女生,她们的平均身高为1.60米6、a,b的算术平均值为8111（1）a,b为不等的正整数,且,的算术平均值为ab6111（2）a,b为正整数,且,的算术平均值为ab6xy117、已知alog,b(logxlogy),clog(xy),则cba。m22mm2m（1）x2,y2（2）0m1218、a,b,c的算术平均值是14/3,而几何平均值是4（1）a,b,c是满足abc1的三个整数,b4（2）a,b,c是满足abc1的三个整数,b2第二章应用题【备注】初数中最容易出错的地方就是应用题,因为应用题的解题技巧很强,稍不留神就会掉入命题者的陷阱里。关于初等数学的应用题有许多内容,比如：百分比问题,溶液问题,工程问题等等,要总结有很多,在这里只是选择了几个有代表性的应用题内容进行讲解。常用的应用题的解法有：▲转化法：改变思考的方式和角度,使复杂问题,转化为熟悉的、简单的基本问题,或将题中条件,加以转化,或重新组合,以便得到明确的解题思路,另外把复杂的数量关系中不同的单位制,转化为统一单位制下的简单数量关系；▲穷举法：这是朴素且实用的方法,对讨论对象加以分类,使问题简单化▲图解法：以图形表达命题,帮助我们理解题意,发现隐含条件,找到解题途径；▲代数法：设未知量找等量关系分别方程。除了这几种常用的解法外,还有逆推法、综合法、归纳法等等,可依据题目的类型和特点选择使用。一、比和比例、百分比MBA联考数学试题,每年都会出有关百分比的应用题,并且相对较难,同时,还存在着百分比的标准量不明确,或同一题中不同百分比各自有不同标准量,使应试者难于判断,失误率高于其他应用题的实际情况,也说明百分比问题是应用类题型的一个难点。：1.比例性质（略）变化量2.变化率100%变前量1、打折问题基本公式：售价=成本+利润甲比乙多p%≠乙比甲少p%甲=乙(1+p%)甲=乙错误!未找到引用源。1-p%22【解题提示】要选对基准量,注意折扣的变化与利润的关系。解题之关键是要分清成本价,原销售价、“优惠价”和利润这几个概念,有些题目还会给出利润所占的百分比,此时要注意,通常情况下毛利率这一百分比的标准量是销售价而不是成本价,这是在工商管理学的教材上明确定义的,但具体题目还是会有指明以成本价计算利润率的情况,只能具体问题具体分析了,此题是已知最终售价即“优惠价”,由此逆推,依所给条件去求原价,即可知盈亏。【例1】某商品单价上调20%后,再降为原价的90%,则降价率为（）A、30%B、28%C、25%D、22%E、20%【例2】某商品由于进货价格降低了15%,使得利润率提高了21%。则现在的利润率为（）%A.40B.35C.38D.45E.50【例3】某商店商品按原价提高50%,7折优惠,每售一套盈利625元,其成本2000元,问按优惠价售出与按原价售出是多赚钱还是少赚钱？.【例4】一款手表,连续两次降价10%后,现在售价是40.5元,求这款手表的原价。【例5】条件充分性判断<2004-10-13>A公司2003年6月份的产值是1月份产值的a倍(1)在2003年上半年,A公司月产值的平均增长率为5a(2)在2003年上半年,A公司月产值的平均增长率为6a1【例6】某电子产品一月份按原定价的80%出售,能获利20%；二月份由于进价降低,按同样原定价的75%出售,能获利25%。那么2月份进价是一月份进价的百分之（）A、80%B、90%C、95%D、75%E、以上均不对【例7】某工厂二月份产值比一月份的增加10%,三月份比二月份减少10%,那么（）1A.三月份与一月份产值相等B.一月份比三月份产值多9911C.一月份比三月份产值少D.一月份比三月份产值多99100【例8】某企业2007年末的统计资料为：全年的生产总值增加了10%,而企业员工的总人数减少了2310%。则该企业在2007年全年的人均年值增加的百分率约为（）A、10%B、15%C、20%D、22%E、25%2、平均成绩问题；（十字交叉）【解题提示】当一个整体按照某个标准分为两类时,根据杠杆原理得到一种巧妙的方法,即是交叉法。该方法现上下分列出每部分的数值,然后与整体数值相减,减得的两个数值的最简整数比就代表每部分的数量比。【例9】某乡中学现有学生500人,一年后女生在校生增加4%,男生在校生人数增加3%,这样,在校生将增加3.6%,那么,该校现有女生和男生各多少人？（）A、200和300B、300和200C、320和180D、180和320E、250和250【例10】<2002-1-2>公司职工有50人,理论知识考核平均成绩为81分,按成绩将公司职工分为优秀与非优秀两类,优秀职工的平均成绩为90分,非优秀职工的平均成绩是75分,则非优秀职工的人数为（）A.30人B.25人C.20人D.无法确定【例11】<2001-1-4>乙组平均成绩为75分,其中男同学人数比女同学多80%,而女同学平均成绩比男同学高20%,则女同学的平均成绩为【例12】<2003-1-20>车间共有40人,某技术操作考核的平均成绩为80分,其中男工平均成绩为83分,女工平均成绩为78分,该车间女工有()人A.16B.18C.20D.24E.28【例13】<2008>用30%和20%两种盐溶液,配成24%溶液500克,求各需多少克？【例14】<2002-10-4>甲乙两组射手打靶,乙组平均成绩为171.6环,比甲组平均成绩高出30%,而甲组人数比乙组多20%,则甲、乙两组射手的总平均成绩是()3、比例问题（几个变量之比）；【解题提示】根据题目所给数值先求出最简单整数比,再根据份额求出对应数值。24【例15】<2010-1>电影开演时观众中女士与男士人数之比为5:4,开演后无观众入场,放映一小时后,女士的20%,男士的15%离场,则此时在场的女士与男士人数之比为（）。A、4:5B、1:1C、5:4D、20:17E、85:64111【例16】<2001-1-3>一公司向银行借款34万元,欲按的::比例分配给下属甲、乙、丙三车间进239行技术改造,则甲车应得（）A.4万元B.8万元C.12万元D.18万元【例17】条件充分性判断<2003-1-1>某公司得到一笔贷款共68元用于下属三个工厂的设备改造,结果甲,乙,丙三个工厂按比例分别得到36万元,24万元和8万元（）111(1)甲,乙,丙三个工厂按::的比例分配贷款239(2)甲,乙,丙三个工厂按9:6:2的比例分配贷款【例18】<2002-1-1>奖金发给甲、乙、丙、丁四人,其中1/5发给甲,1/3发给乙,发给丙的奖金数正好是甲、乙奖金之差的3倍,已知发给丁的奖金为200元,则这批奖金当为：（）A.1500元B.2000元C.2500元D.3000元【例19】<2002-1-4>某厂生产的一批产品经产品检验,优等品与二等品的比是5：2,二等品与次品的比是5：1,则该批产品的合格率（合格品包括优等品与二等品）为：()A.92%B.92.3%C.94%D.94.6%E.96%115【例20】甲、乙、丙三人合开公司,投资比例分别为::,他们商定在一周年店庆后按投资比3212例分红,若丙分得红例3万元,则红利的总额为多少？【例21】一大队和二大队人数之比为8:7,现从一大队抽调8名同志到二大队执行任务,此时一大队与二大队的人数之比为4:5,问两个大队原有多少人？【例22】家中父亲与儿子的体重之比恰等于母亲与女儿的体重之比,已知父亲体重与儿子体重之和为125公斤,母亲与女儿体重之和为100公斤,儿子比女儿重10公斤,则儿子的体重为（）公斤？25A、40B、50C、55D、60E、65二、速度问题解题提示：根据题意画图,找等量关系（一般是时间和路程）,列方程求解。这种题的类型有：1.追及相遇ss基本公式：svtvttv类型一：直线型等量关系:sss甲乙svAC甲甲svBC乙乙类型二：同向圆圈vv甲乙设跑道周长为S,甲、乙每相遇一次,甲比乙多跑一圈,若给定时间内,相遇n次,则ssns甲乙svnssns甲甲乙1（同向加一反向减一）svss,乙乙乙乙类型三：反向圆圈甲、乙每相遇一次,路程之和为一圆若给定时间内相遇次则ssns,n,甲乙26vsnssns甲甲乙1vsss乙乙乙乙【解题技巧】在做圆圈型追及相遇题时,在求第k次相遇情况时,可以将k-1次相遇看成起点进行分析考虑。【例23】条件充分性判断甲乙两人分别从A、B两地同时出发相向匀速行走,t小时后相遇于途中C点,此后甲又走了6小时到达B,乙又走了h小时到达A地,则t,h的值均可求。()(1)从出发经4小时,甲乙相遇(2)乙从C到A地又走了2小时40分钟1【例24】两地相距351公里,汽车已行驶了全程的,试问再行驶多少公里,剩下的路程是已行9驶的路程的5倍？()A.19.5公里B.21公里C.21.5公里D.22公里【例25】某人下午三点钟出门赴约,若他每分钟走60米,会迟到5分钟,若他每分钟走75米,会提前4分钟到达。所定的约会时间是下午（）A.三点五十分B.三点四十分C.三点三十五分D.三点半【例26】A、B两地相距15公里,甲中午12时从A地出发,步行前往B地,20分钟后乙从B地出发骑车前往A地,到达A地后停留40分钟后骑车从原路返回,结果甲、乙同时到达B地,若乙骑车比甲步行每小时快10公里,则两人同时到达B地的时间为（）A.下午2时B.下午2时半C.下午3时D.下午3时半【例27】<2004-10-1>甲、乙两人同时从同一地点出发,相背而行,1小时后他们分别到达各自的终点A和B。若从原地出发,互换彼此的目的地,则甲在乙到达A之后35分钟到达B。问：甲的速度和乙的速度之比是（）A.3:5B.4:3C.4:5D.3:4E.以上结论均不正确【例28】甲、乙两地相距468千米,A、B两辆卡车分别从甲、乙两地同时出发,相向而行,经27过4.5小时相遇。已知A卡车每小时行48千米,问B卡车每小时行多少千米？【例29】某部队以每分钟100米的速度夜行军,在队尾的首长让通信员以3倍于行军的速度将一命令传到部队的排头,并立即返回队尾。已知通信员出发到返回队尾,共用9分钟,求队伍的长度？【例30】条件充分性判断甲、乙两同时从椭圆形跑道上同一点出发沿着顺时针方向跑步,甲比乙快,可以确定甲的速度是乙的速度的1.5倍。（）（1）当甲第一次从背后追上乙时,乙跑了2圈（2）当甲第一次从背后追上乙时,甲立即转身沿着逆时针跑去,当两人再次相遇时,乙又跑了0.4圈【例31】运动场的跑道周长400米,甲、乙两名运动员从起跑点同时同向出发。甲每分钟390米,乙每分钟310米。求多少分钟后甲超过乙一圈？2.顺流、逆流船在静水中速度为v,水速v,则(则相对于河岸)：01顺水船速：v+v01逆水船速：v–v01【例32】两码头相距144千米,一艘汽艇顺水行完全程需要6小时。已知这条河的水流速为每小时3千米,求这艘汽艇逆水行完全程需要的时间【例33】两个码头相距352千米,一艘客轮顺流而下行完全程需要11小时,逆流而上行完全程需要16小时,求这条河的水流速度。3.火车、桥、隧道、电线杆【例34】一列火车全长270米,每秒行驶18米,全车通过一条隧道需要50秒,求这条隧道的长度。【例35】一卡车从甲地驶向往乙地,每小时行60千米,另一卡车从乙驶向甲地,每小时行55千28米,两车同时出发,在离中点10千米处相遇,求甲乙两地之间的距离。【例36】快慢两列车长度分别为160和120米,它们相向驶在平行轨道上,若坐在慢车上的人见整列快车驶过时间是4秒,那么坐在快车上的人见整列慢车驶过的时间是（）A.3秒B.4秒C.5秒D.6秒E.以上者不对【例37】快慢两列火车相向行驶在平等的轨道上,快车速度100km/h,车长为300m,慢车车长为200m,从车头相遇到车尾离开用了10秒种,求慢车的速度。三、浓度问题【解题提示】根据溶质守恒,来分析浓度的变化。1、“稀释”问题：特点是加“溶剂”,解题关键是找到始终不变的量（溶质）。2、“浓缩”问题：特点是减少溶剂,解题关键是找到始终不变的量（溶质）。3、“加浓”问题：特点是增加溶质,解题关键是找到始终不变的量（溶剂）。4、配制问题：是指两种或两种以上的不同浓度的溶液混合配制成新溶液（成品）,解题关键是分析所取原溶液的溶质与成品溶质不变及溶液前后质量不变,找到两个等量关系。溶质基本公式：溶液=溶质+溶剂浓度=溶液【例38】在浓度为60%的食盐水容器中,第一次倒出20升,加入等量的水后,再倒出30升,再加入等量的水后浓度变为20%,则原食盐水溶液有多少升？【例39】一个容器盛满20升纯酒精,倒出一部分后注满水,第二次倒出同量的混合液,再注满水,此时容器内的水是纯酒精的3倍,则每次倒出的量为（）升A、15B、12C、18D、10E、8【例40】一个容积为10升的量杯盛满酒精,第一次倒出2升酒精后,用水将量杯注满,第二次仍倒出a升溶液后再用水将量杯注满,此时量杯中的酒精与水的比为2：3,则第二次倒出的量为多少升？A、2B、3C、4D、5E、以上结论均不正确【例41】在盛满50L浓度为75%的盐水容器中,第一次倒出10L后,再加入10L水,又倒出一定量的盐水后,再加满水,这时盐水浓度为30%,问：第二次倒出的溶液多少升？29A、25B、35C、30D、20E、10【例42】浓度为70%和60%的两桶酒精分别有15公斤和10公斤,现在从这两个桶各取出等量的酒精倒入对方桶中,结果两桶中酒精浓度相同,则交换量为（）A、3公斤B、4公斤C、5公斤D、6公斤E、7公斤四、工程问题【解题提示】遇到此类问题,通常将整个工程量（放水量）看成单位1,然后根据题干条件按比例求解。通常假设总量(工程量,放水量)=1进行分析。【重要公式】总效率=各效率代数和工作量部分量工作效率,总量工作时间其对应的比例1.进度问题【例43】空水槽设有甲、乙、丙三个水管,甲管5分钟可注满水槽,乙管30分钟可注满水槽,丙管15分钟可把满水槽水放完。若三管齐开,2分钟后关上乙管,问水槽放满时,甲管共开放了多久（）A.4分钟B.5分钟C.6分钟D.7分钟E.8分钟【例44】<1999-1-2>一项工程由甲、乙两队合作30天可完成。甲队单独作24天后,乙队加入,两队合作10天后,甲队调走,乙队继续做了17天才完成。若这项工程由甲单独做,则需要（）A.60B.70C.80D.90E.100【例45】<2000-1-4>一艘轮船发生漏水事故。当漏进水600桶时,两部抽水机开始排水,甲机每分钟能排水20桶,乙机每分钟能排60桶,经50分钟刚才将水全部排完。每分钟漏进的水有（）【例46】一件工程,甲单独做12天可以完成,乙单独做18天可以完成,若两人合作3天后,余下部分由乙单独完成,则乙还需要做多少天？【例47】一条公路,甲队单独施工需40天完成,乙队单独施工需24天完成,现两队同时从两端开工,在距离中点7.5km处完工,则这条公路的长度是多少km？301【例48】甲、乙、丙三人合作修一条公路,甲、乙两人合作5天可完成工程的,乙、丙两人合作31两天能完成余下的,然后甲、丙合作五天后可完工,整个工程的报酬为1800元,则乙可得4多少报酬？【例49】完成某项任务,甲单独做需4天,乙单独做需6天,丙单独做需8天,现甲、乙、丙三人依次轮换工作,则完成该任务共需多少天？【例50】一个机械加工企业用4台A机床5天可完成一项工作,用4台A和两台B3天可完成,若用3台B和9台C机床2天可完成该工作。现在这3种机床工作5天后,剩下A、C型机床继续工作,还需要多少天才能完成该项工作？2.求单位量与求总量的问题工作量工作时间工作效率【例51】修整一条水渠,原计划由16人修,每天工作7.5小时,6天可以完成任务。由于特殊原因,现要求4天完成,为此又增加了2人,求每天要工作几小时？【例52】<2003-1-19>所得税是工资加奖金总和的30%,如果一个人的所得税为6810元,奖金为3200元,则它的工资为（）A.12000元B.15900元C.19500元D.25900元E.62000元【例53】<2003-10-20>某工厂人员由技术人员、行政人员和工人组成,共有男职工420人,是女工11的1倍,其中行政人员占全体职工的20%,技术人员比工人少,那么该工厂有工人()325A.200人B.250人C.300人D.350人E.400人45【例54】某乡共有4个自然村,甲村人口数是全人口的,乙村人口是甲村人口的,丙村人1364口是甲、乙两村人口总数的,丁村比丙村多4000人,求全乡总人数。11【例55】蓄水池装了甲、乙、丙三个进水管,单独开放甲管45小时可注满水池,单独开放乙管6031小时可注满水池,单独开放丙管90小时可注满水池,如三管一起开放,则注满水池需多少小时？五、其它问题1、年龄问题【解题提示】年龄问题的关键是选取参照年份。关键：(1)同步增长(2)差值恒定【例56】母女俩今年的年龄共35岁,再过5年,母亲的年龄为女儿的4倍,母亲今年多少岁？()（A）29（B）30（C）31（D）32（E）33【例57】父亲今年43岁,儿子今年13岁。问几年以前,父亲的年龄是儿子的4倍。【例58】小明今年一家四口人,全家年龄之和为69岁,父亲比母亲大一岁,姐姐比小明大两岁,四年前全家年龄之和为54岁,则父亲今年多少岁？()【例59】今年父亲年龄是儿子年龄的10倍,6年后父亲年龄是儿子年龄的4倍,则2年前父亲年龄比儿子大（）岁。A、25B、26C、27D、28E、29【例60】父亲今年38岁,儿子今年10岁,问几年后父亲年龄是儿子年龄的3倍？2、集合问题【解题提示】集合问题的关键是理解两个集合,三个集合的交、并、补关系,并能准确的画出文氏图。【例61】某班现有46名同学,在调查家中是否有IPAD和笔记本电脑时发现,有IPAD的同学有22人,两种电子产品都没有的有14人,只有笔记本电脑与两种都有的人之比为5:3,则只有IPAD的同学有多少人？【例62】（2010）某公司员工中,有本科毕业证、计算机等级证、汽车证人数分别是130、110、90,其中,共有一证的人为140人,三证齐全的人有30人,则有两证的人数为（）32A、45B、50C、52D、65E、1003、不定方程问题【例63】某次数学竞赛准备了22本笔记本作为奖品发给学生,原计划一等奖每人发6本笔记本,二等奖每人发3本笔记本,三等奖每人发2本笔记本,后改为一等奖每人发9本笔记本,二等奖每人发4本笔记本,三等奖每人发1本笔记本,每次都正好能把奖品发完,则获奖学生有（）人。A、10B、9C、8D、7E、6【例64】在一次国际会议上,代表中有10人来自东欧地区,6人来自亚太地区,欧美地区的代表2占总人数的以上,则代表的人数可能是（）人。3A、16B、17C、18D、19E、以上都不正确4、植树问题（等间隔问题——公约数和公倍数）直线：n段对应(n+1)个点圆周：n段对应n个点【例65】全兴大街全长1380米,计划在大街两旁每隔12米栽一棵梧桐树,两端都栽。求共栽梧桐多少棵？【例66】1000米大道两侧从起点到终点每隔50米安装一盏路灯,相邻路灯间安装一面广告牌,这样共需要（）。A.路灯40盏,广告40牌B.路灯42盏,广告牌40面C.路灯42盏,广告42牌D.路灯40盏,广告牌42面【例67】在一条长为3600m的公路一边从一端开始等间距立电线杆,每隔40m已挖好坑,现改为每隔60m立电线杆,求需重挖和填多少坑？5、分段计费问题【解题提示】本类题目的特点是对于不同的范围,取值是不同的。对于这类题目的关键先估算一下超越边界范围的取值,然后与所给的数值进行比对,根据比对的结果确定所对应的范围。本类题目在2007年1月联考中有涉及。33(1)个税(2)出租车(3)邮寄(4)话费(5)水费(6)购物关键：分段点【例68】某自来水公司的水费计算方法如下：每户每月用水不超过5吨的,每吨收费4元,超过5吨的,每吨收取较高标准的费用。已知9月份张家的用水量比李家的用水量多50％,张家和李家的水费分别是90元和55元,则用水量超过5吨的收费标准是（）(A)5元/吨(B)5.5元/吨(C)6元/吨(D)6.5元/吨(E)7元/吨第三章整式和分式【大纲考点】1、整式（1）整式及其运算（2）整式的因式与因式分解2、分式及其运算一、整式1、单项式像数与字母的积这样的代数式叫做单项式,如,3x2；单独一个数或一个字母也是单项式。其中单项式中的字母因数叫做单项式的系数；所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数；例单项式表示成axnymzp,那么a称为单项式axn的系数,nmp叫做这个单项式的次数。【注意】数与字母之间是乘积关系。2、多项式几个单项式的和叫做多项式。在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式有几项就叫做几项式。多项式中的符号,看作各项的性质符号；多项式中,次数最高项的次数,就是这个多项式的nmnnn次数。例如,ax1y1bx2y2cz3,a,b,c为常数,此为3项式,若nmnmn,22123则此多项式为nm次式。多项式一般用f(x),g(x)等表示。22（1）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列。（2）把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母升幂排列。有两个或两个以上字母的多项式,排列时,要注意：34（1）先确认按照哪个字母的指数来排列。（2）确定按这个字母按升幂排列,还是降幂排列。3、整式单项式和多项式统称为整式。4、整式的运算（1）整式的加减运算几个整式相加减,有括号的先去括号（括号前是负号的去括号时注意变号）,然后合并同类项。整式加法满足交换律、结合律和（与乘法混合运算时的）分配律。例如：(3x26x5)(4x27x6)(x211)13x（2）整式的乘法运算单项式乘以单项式时,系数与系数相乘,同底数幂相乘；单项式与多项式相乘