《概率论与数理统计》习题及问题详解--填空题

TOC\o"1-5"\h\z设事件AB都不发生的概率为0.3,且P(4)+P(3)=0.8,则4,B中至少有一个不发生的概率为.设P(4)=0.4,P(4UB)=0.7,那么若4,〃互不相容，则P(B)=;若4,〃相互独立，则P(B)=.设人〃是任意两个事件，则P{AuB(AuB)(AuB)(A\JB)}=・从0,1,2,-.9中任取4个数，则所取的4个数能排成一个四位偶数的概率为.有5条线段，其长度分别为1,3,5,7,9,从这5条线段中任取3条，所取的3条线段能拼成三角形的概率为■袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，甲、乙两人依次各取一球，取后不放回，甲先取，则乙取得黄球的概率为•设事件4,5C两两独立，且ABC=0,P(A)=P(B)=P(C)<->P(AU^UQ=9/16,贝ij2P(A)=在区间(0,1)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于6/5”的概率为.假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%,今从中随机取一件产品，结果不是三等品，则它是二等品的概率为•设事件4,〃满足：P{B\A)=P(l)=5/9,则P(Y>1)=,设X〜P(N),且P(X=1)=P(X=2),则P(X>1)=.P(0—・设连续型随机变量X的分布函数为0,F(x)=/Asinx,h2则心,|%|<£1=19•设随机变量X的概率密度为AWx>0TOC\o"1-5"\h\z0,x<0,则4=,X的分布函数F(x)=.20•设随机变量X的概率密度为/«=00.若P(X>l)=l/3,则。=:若P(X<1/2)=0.7,贝陀=；若P(|X|vl)=P(|X|>l),则。=.设X〜N'T)，且关于y的方程y'+y+X=0有实根的概率为1/2,则“二.已知某种电子元件的寿命X(以小时计)服从参数为1/1000的指数分布.某台电子仪器装有5只这种元件,这5只元件中任一只损坏时仪器即停止工作，则仪器能正常工作1000小时以上的概率为•设随机变量X的概率密度为若xe[Q,1]f(x)=<—>若xg[3,6]0,其他.TOC\o"1-5"\h\z若R使得P(XnR)=2/3,则R的取值围是.设随机变量X服从(0、2)上均匀分布，则随机变量y=X'在(0,4)的密度函数为fy(y)=•设X服从参数为1的指数分布，则Y=min(X,2)的分布函数厲(刃=.设二维随机变量(X』)在由y=l/x,y=0,x=l和x=e2所形成的区域D上服从均匀分布，贝iJ(X,Y)关于X的边缘密度在x=2处的值为.28.设随机变量相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则P(X+Yl)=l-e-2,则空2=；(2)若EX'=12,则P(X>1)=.设X〜BQ,p),且EX=2,DX=1,则P(X>1)=.设X〜U[a.b],且EX=2、DX=l/3,则（/=:b=・设随机变量X的概率密度为=—8VXV+8,则A二，EX=DX=・35.设X表示10次独立重复射击中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4,则X’的数学期望ex2=・36・设一次试验成功的概率为〃，现进行100次独立重复试验，当"=时，成功次数的

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差的值最大，其最大值为.设X服从参数为；I的指数分布，且P（X>1）=e-2,则EX2=.设随机变量X的概率密度为（X,a>0,TOC\o"1-5"\h\z若E(CX+2Y)=l/0,则(7=.—批产品的次品率为O.b从中任取5件产品，则所取产品中的次品数的数学期望为•均方差为某盒中有2个白球和3个黑球，10个人依次摸球，每人摸出2个球，然后放回盒中，下一个人再摸，则10个人总共摸到白球数的数学期望为.有3个箱子，第j个箱子中有j个白球，4-i个黑球（心1,2,3）.今从每个箱子中都任取一球，以X表示取出的3个球中白球个数，则EK=,DX=.设二维离散型随机变量（X，Y）的分布列为（x“）(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)p0.40.2Clb若E(XY)=0・8,ci=,b=・TOC\o"1-5"\h\z44.设X"独立，且均服从川(1,£)，D(X-aY+l)=E[(X-aY+l)2],则E\X-aY+\\=.设随机变量X服从参数为几的泊松分布，且已知E[(X-1)(X-2)]=1,则;1=.bx>「z,0,Xy=4,pXY=0.6,则E(2X-Y+1)2=.设随机变量X的数学期望为“，方差为er',则由切比雪夫不等式知P(|X-p|>2b)<.]100设随机变量独立同分布，且EX,=0,DXt=10,i=l,2,…,100,令无=——工X「100,=1100TOC\o"1-5"\h\z则-X)2}=•(=1设•••,%„是总体N(“，4)的样本，乂是样本均值，则当川》时，有^(X-//)2<0.1.设X\,X“.・,X”是来自0・1分布：P(X=1)=p,P(X=0)=l-p的样本，则孫=,DX=,ES2=.设总体X〜P(/l),X|,X“…，X”为来自X的一个样本，则戏=・DX=.设总体X~〃[d,b],X|,X2，...X”为X的一个样本，则戏=,DX=.设总体x〜n(o,o-2),a;,兀,…为来自x的一个样本，设y=(纸+x2+xJ+(乙+x5+x6)2,则当c=时，cr-/2(2).设是总体N(/AO-2)的样本，X是样本均值，S'是样本方差，若P(无>“+卅)=0.95,则a=.设是正态总体X的样本，记x=l(X1+X2+...+X6),K=|(X7+Xs+X9),o519e)'，zW(x-e)/s,Zi=7则z〜.设总体x~s—&9](8>o),人，无，…心为样本，则&的一个矩估计为.设总体X的方差为1,根据来自X的容量为100的样本，测得样本均值为5,则X的数学期望的置信度近似为0.95的置信区间为.设由来自总体N(“，0.92)的容量为9的简单随机样本其样本均值为元=5,则“的置信度为0.95的置信区间是•《概率论与数理统计》习题及答案填空题设事件4,B都不发生的概率为0.3,且P(A)+P(B)=0.8,则4,B中至少有一个不发生的概率为■解：P(AB)=P(A\JB)=1-P(A\JB)=1-P(A)-P(B)+P(AB)=1—0.8+P⑷)=0.3P(AB)=0.1P(AUB)=P(AB)=1-P(AB)=1一0.1=0.9设P(4)=0.4,P(AUB)=0.7t那么若4,B互不相容，则P(B)=;若4,B相互独立，则P(B)=.解：(1)P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=>P(B)=P(AU-P(A)+P(AB)=0.7-0.4=0.3(由已知AB=(j>)(2)P(B)=P(AUB)-P(A)+P(AB)=0.7-0.4+P(A)P(B)=0.3+0.4P(B)0.6P3)=0.3=>P(B)=j设人3是任意两个事件，则P{AUB(AUB)(AU5)(4UB)}=・解：P{(A(JB)}(AUB)(AUB)(A\JB)}=P{(AA\JAB)U(ABUB)(AU=P{{ABUBB)(AB)}=P{(AB)(AB)}=P(0)=0.从0,1,2,-,9中任取4个数，则所取的4个数能排成一个四位偶数的概率为.一C441解：设4二取4个数能排成一个四位偶数，则P(A)=l-P(A)=l-^-=—Cm42有5条线段，其长度分别为1,3,5,7,9,从这5条线段中任取3条，所取的3条线段能拼成三角形的概率TOC\o"1-5"\h\z为•3解：设4二能拼成三角形，则P(A)=—=—Cl10袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，甲、乙两人依次各取一球，取后不放回，甲先取，则乙取得黄球的概率为.2解,：由抓阎的模型知乙取到黄球的概率为一・5解2：设人=乙取到黄球，则p(a)=W+GG=?Ge；5TOC\o"1-5"\h\z十D/.201930202或P(A)H・504950495设事件4,5C两两独立，fiABC=0,P(A)=P(B)=P(C)<-,P(4U3UC)=9/16,则P(A)=9解：P(AIJBUC)=-=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-(AC)-P(BC)+P(ABC)16=3P(A)-3[P(A)Y16[P（4）]‘一16P（4）+3=0.3111P（4）=_或P（A）=—,FhP（A）<-・・・P（A）=—・4248.在区间（0,1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于6/5”的概率为.A发生O0<%<1解：设4=两数之和小于6/5,两数分别为由几何概率如图0a2miA)=P(九A)=P(Aj=0.3=1P(A)-P(A)+P(Aj-0.6+03-310.设事件4,B满足：P(B|A)=P(B|A)=|,P(4)=£,则P(B)=解:P(B|A)=P(AB)=P(AB)=P(4U*)=1-P(A)-P(B)+P(AB)P(A)~P(A)~P(A)~l-P(A)TOC\o"1-5"\h\z9_3(因为P(AB)=P(A)P(B/A)=|-|=|)Pg・某盒中有10件产品，其中4件次品，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概率为，第三次才取得正品的概率为.解：设A=第,次取到正品,i=1,2,3则P（4）=器=|或p（aj=九&）+p（Aa2a.）+p（Aa2a.）+p（aa2a3）6544654366453=2，•—•••••••—109810981098109854361P（AAAJ=——=0.1r"109810三个箱子，第一个箱子中有4个黑球，1个白球；第二个箱子中有3个照球，3个白球；第三个箱子中有3个黑球，5个白球.现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率为;已知取出的球是白球，此球属于第一个箱子的概率为.解：设A=取到第i箱i=l,2,3,3=取出的是一个白球113553P（B）=XPG）P（B|A）=-（-+-+-）=^13P(A2W|A)_36_20P(B)~~5T~53120设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9,A发生B不发生的概率与B发生人不发生的概率相等，则P(A)=.解：由P(AB)=P(AB)P(A-B)=P{B-A)即P(A)-P(AB)=P(B)-P(AB)故P(A)=P(B),从而P(A)=P(B)f由题意:|=P(AB)=P(A)P(B)=[P(A)Y,所以P(A)=|2故P(A)=|.(由4,3独立二＞刀与B,A与P,兀与P均独立)设在一次试验中，事件A发生的概率为〃•现进行"次独立试验，则A至少发生一次的概率为,而事件4至多发生一次的概率为・解：设B=A至少发生一次=15・C=A至多发生一次设离散型随机变量P(C)=(1-p)+p(l-犷AX的分布律为P(X=k)=一伙=0丄2,3)2+kP(X<3)=解：fp(X=Jt=0K)=-+-+23—=15234560_77P(X<3)=1—P(X=3)=1—160—x一=577657716.设X~B(2/),Y〜若P(X>l)=5/9,则P(Y>1)=解••X〜B(2、p)p(X=k)=C：pp_p)Ek=0丄2Y〜B(3,p)P(Y=k)=C^pk(\-pfkk=0丄2,3.p(xn1)=i_p(x=o)=p)2=i-(i-p)2=-TOC\o"1-5"\h\zflv4,21(1-pY=-1-p=-P=-933p(y>i)=i-p(r=o)=i-(i-/?)317・设X〜P(2),且P(X=1)=P(X=2),则P(X>1)=,P(0A=—=>久=2(2>0)1!彳0p(xn1)=1-p(x=0)=1-話厂=1-严P(0I,•q凶《卜解：F(x)为连续函数,liiiiF(x)=lunF(x)=F(—).Tt£+XT；-2l=Asin—=>A=1.2\7I兀、c龙\r兀、「(兀、厂,兀、兀1p(Ix|<—)=^(-―<=sin—=—ooooooz19•设随机变量X的概率密度为Ax2e^2\x>00,x<05则4=，X的分布函数F(x)=.解:匚“dg?……A=4・Ax2e'2xdx=A(--)x2e'2x-f'2L0J0^e-2xdx=--e~2x)4+OC「Y2xe・dxr=lo4F(x)=J；f⑴办=4J；x2e~2xdx=4J；u2e~2udu=1-(2x2+2x+l)e~20,x<020•设随机变量X的概率密度为00.若P(X>l)=l/3,贝ija=:若P(X<1/2)=0.7,则。=:若P(|X|<1)=P(|X|>1),则。=.121.(1)(2)(3)解:(1)xe[-a,a]f(x)=}2(rb其它P(X>1)=—=f-^—dx=——1)=———=—=>tz=3.3」i2a2a22d3P(Xv丄)=0.7=I*-Ldx=—(-+a)=—+-=0.7^a=-2」“2d2a24a24P(|X|<1)=P(|X|>1)=1-P(|X|<1)=1-P(|X|<1)••-P(凶<】)=养匸洁毎扫=22.M：设(“,b‘)，且关于y的方程y'+y+X=0有实根的概率为1/2,则“=才+y+X=0有实根OA=1-4X>OOX4P(X<7)=^=>/r(7)"(一)"(0)=£»=；23.元件，这5只元件中任一只损坏时仪器即停止工作，则仪器能正常工作1000小时以上的概率为.解：Y=仪器正常工作时间，则x>00x<024cr24/«=已知某种电子元件的寿命X(以小时计)服从参数为1/1000的指数分布.某台电子仪器装有5只这种p(r>iooo)=p(x1>1000...x5>1000)=P(X]>1000)..-P(X5>1000)=[P(X>1000)]5P(X>1000)=L-^—e^dx=e^Jlooo1000/.P(y>1000)=e-524.设随机变量X的概率密度为1亍，2若XG[0.1]/W=<若xg[3,6]0,其他./W1/3■1t>.!i0136解：/w=若R使得P(X*)=2/3,则R的取值怜|是—解：P(XnK)=J「/(x)dx=J：£dx+J：£dxl-k2(6-3)3-/:23k=1R的取值围为[1,3].25.设随机变量X服从(0,2)上均匀分布，则随机变量Y=X2在(0、4)的密度函数为fY(y)=—xg(0,2)2®(y)=P(Y<刃=P(X2<刃=」P(|X|5y>00y<00其它_^(-V7°0y<0g=F；(y)=p(Q•护+人(-孙护=寺0<)，<40)'<0当Y=X~在(o,4)时fY(y)=—.4jy26.设X服从参数为1的指数分布，则r=mm(X,2)的分布函数FY(y)=解i：Fy(y)=P(Yy)=\-P(X>y,2>y)1一P(X>y)=P(X2解2：设X的分布函数为Fx(x),2的分布函数为F2(z),则Zv2,Z»2;一厂,x>0,0,x<0;Fy(y)T—[1一代(刃][1一F2(刃]o,y<0,=1)=.解：P(X=K)=—e^R=0,1、2,...2>0k\JoP(X>l)=l-P(X=0)=l-—=l-e_z=1-^-22=2.DX=A=EX2-(EX)2=EX2-22/.EX，=2+才=2+4=6EX2=12=A+A2兄'+2—12=0(2+4)(2-3)=0,2=3P(X>l)=l-e-z=l-e-3设X〜5(/7,p),且EX=2,DX=1,则P(X>1)=.解：X~Bgp)EX=np=2DX=npq=l=>q=*"=£/?=4P(x>1)=1-P(x=0)-p(x=1)=i-c：4)°(l)4—c：(；)(分=Hzzzzlo设X〜U[a,b]9且EX=2,DX=l/3,则°=；b=.:(2)若EX2=129则解:34.DX=_解:35.EX2=.解:36.值最人,解:37.解:38.且EX?解:解X〜U[a,b]EX=2=^-da+b=4・・.a=lb=3设随机变量X的概率密度为f(x)=Ae'^X~3(10,0.4)EX=77/9=10x0.4=4DX=npq=4x0.6=2AEX，=DX+(EX)'=2.4+16=18.4设一次试验成功的概率为p,现进行100次独立重复试验，当p二时，成功次数的标准差的其最大值为•DX=npq=100p(l一p)=一100p2+100/?=(一100)(”_扌)+25p丄有最大值为5.2设X服从参数为;I的指数分布，且P(X>l)=e'2,则EX2=.「1一严r>0F(x)=lP(X>l)=l-P(X<1)=1-F(1)=^2[0x<0—(1一小)十=>兄=2.EX=D,°¥=丄=丄.・・・EX2=DX+(EX)2=-+-=-22"4442设随机变量X的概率密度为^,-ooa2+b2=4EX=1,DX=—.2设X表示10次独立重复射击中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4,则X，的数学期望（1）（2）联立方程有：a=l,b=JT.39.设随机变量同分布，其概率密度为39.设随机变量同分布，其概率密度为/w=<2硏00,其他，若E(CX+2Y)=\/O.则0=・i万2=—=EY0対21解：EX=A9r3d2x202dx=02—o3E(CX+2Y)=CEX+2EY=(C+2)—=-21(C+2)-=l^C=--40.一批产品的次品率为0.1,从中任取5件产品，则所取产品中的次品数的数学期望为.为•10解：设X表示所取产品的次品数，则X〜B(5,0・1)・EX=np=5x0.1=0.5.DX=npq=0.45,^DX=41.某盒中有2个白球和3个黑球，10个人依次摸球，每人摸出2个球，然后放回盒中，下一个人再摸,则10个人总共摸到白球数的数学期望为.解：设乙表示第/•个人模到白球的个数，X表示10个人总共摸到白球数，则X=》Xj/=!X,012P3611010IoEX=lx—+2x—=—1101010Q^=10^.=10x_=8321心)蔦•冇6442.有3个箱子，第，个箱子中有，个白球，4—,个黑球(心123)•今从每个箱子中都任取一球，以X表示取出的3个球中白球个数，则EX=X0123P62626664646464解:6P(X=2)=*•衬+*躬+鼎十鲁〜3x26+183642E(X-//)=0,D(X-//)=E(X-//)2=-n>40.EX2=5x26+9x6=23DX=EX2-(EX)2=2318T_T_8*(x,y)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)P0.40.2ab64843.设二维离散型随机变量(X,Y)的分布列为若E(%y)=0.8,a=,b=・解：£XY=0.2+2b=0.8=>b=0.3a+b=l-0.4-0.2=0.4=>d=0.1(\\44・设X#独立，且均服从TVLTD(X-aY+l)=E[(X-aY+l)2],则。=\〉丿E\X-aY+l\=.解：D(X-aY+l)=E[(X-ciY+l)2]^E(X-ciY+l)=0.EX-aEY+l=091—d+l=0二>d=2・令Z=X-aY+UEZ=0,DZ=DX+a2DY=l.・・・Z〜N(0,1)-X丄丘dx=杠=亚=匡45.设随机变量X服从参数为几的泊松分布，且已知E[(X-1)(X-2)]=1,M2=解：E[(X—1)(X—2)]=E(X‘—3X+2)=EX‘—3EX+2=1X〜F(刃.\EX=DX=A,DX=EX2-(EX)2EX2=A+A2兄+几■—34+2=1=>—2/1+1=0n兄=1.46.设随机变量X〜U[-2,2],记1,X>k—h■fk=0,X0,X〉l)=P(X〉l)=J：?x=#XaK=0)=P(X<0,P(K1-41-41-2OO1-21-2EK=Ox-+ix-=-1222TOC\o"1-5"\h\z11EY.=Ox-+lx-=一-444EKK=lxlx1=14・・・cov(KK)=£KK-EKEK=1.—]・424847.设X#是两个随机变量，且DX=LDK=l/4,pxr=1/3,则D(X—3Y)=解:D(X-3Y)=DX+£)(3/)-2cov(X^Y)=DX+9DY-6cov(X、Y)=l+--6-pXY\[DXyfDY=l+--6xixlx—=-.4432448.设EX=1,EY=2,DX=1,DY=4,=0.6,则E(2X-Y+1)2=解：E(2X-Y+1)=2EX-EY+1=1,pXY=0.6=-4dx-4dy:.cov(X,r)=0.6xlx2=1.2cov(C,K)=0,C常数D(2X-Y+1)=D(2X+1)+DY-2cov[(2X+1),K]=4DX+£>Y—4cov(X,y)=4+4—4x1.2=3.2E(2X-Y+1)，=D(2X-Y+1)+[E(2X-Y+1)]2=3.2+F=4.2.49.设随机变量X的数学期望为“，方差为则由切比雪夫不等式知P(|X-p|>2a)<.解：P(|x—“|n2b)举=J=:.&4b4110050•设随机变量…,/。0独立同分布，且EX,=0,DXi=10,i=12…,100,令乂=——工X」100.=1100TOC\o"1-5"\h\z则E{^(X,.-X)2}=.(=1解i：E(Xt-X)=EXt-EX=0D(XT)=D[Xj一盅(乙+…+XQ199=D[(——)(X]+…+X-+Xg+X100)+——XJL\go八1门H41007100'iQQ=()2x99x10+(——)2x10100100OQ-__=-=E(Xf.-X)2-[£(%,.-X)]2=E(Xf--X)2loo_loo_99・・・-X)2}=^£(X/-X)2=100x—=990i=l11°1100解2：设为总体X的样本，则52=—£(Xy-X)2为样本方差，于是es2=dx=io,即99.=|100-X）2=10x99=990.z=i51•设X“X空…、X"是总体N（〃,4）的样本,X是样本均值，则当”2解：2-——b4/—、°-<0.1nEX=//,DX=——=-£(%-//)"<0.1nn52.设X“X“・、X”是来自0・1分布：P(X=1)=厂P(X=O)=l-p的样本，则療=M：TOC\o"1-5"\h\zDX=,ES2=.DXj=pq=pQ—p)EX=-•nEXt=pDX=^nDXi=-p(\-p)nirnn_1_ES2=——E(yX;-nX2)=——・[nEX;-nEX2]n-1n-l=—[心(1-P)+/)-/?(-XI-P)+P2)]n-1n=厶[w—卩一("一l)P‘]=P(1—p).n-l设总体X…，X”为来自X的一个样本，则,DX=.解：X~P(刃EXt=DXi=2EX=ADX=-n设总体X〜〃[4,切,乙，乙,…X”为X的一个样本，则孫=,DX=.解：X-U[a,b]EX=—DX=^^~212EX=^DX=^-12/z55.设总体X〜N(0,b‘)，X-X—.-Xe为来自X的一个样本，Y=(X[+X2+X.)2+(X4+X5+X6)\则当C=时，CT〜牙(2)・解：E{X,+X2+X.)=E(X4+X5+X6)=QD(X1+X2+X,)=D(X4+X5+X6)=3DX,.=3b‘D[需(X2+x24-x3)]=_LD(Xx+x2+x3)=13b...亠(X】+X、+XJ〜N(0,1),5/3(7亠(X4+X5+X6)〜7V(O,1)且独立••-c=+3cr56.设…是总体N(“。')的样本，斤是样本均值，S，是样本方差，若P(X>/1+aS)=0.95,解：P(X>“+aS)=皿>ag)=P(t>-r005(15))=0.95S查f分布表4。=—f005(15)=—1.75=>a=—0.4383.57.设X\,X、,・..,X9是正态总体X的样本，记Y,=2*+X/+...+X6),Y2=i(X7+X8+X9),s—厅工（x”—〔）2,z=V2（y;-y2）/s,且ZK独立，乙0〜W(O,1),而孚〜才(2).设总体X〜卩［一。，刃(0>0),兀入,…舛为样本，则&的一个矩估计为.—乎",阳辔备A=-=f»O其中山=土工X；设总体X的方差为1,根据来自X的容量为100的样本，测得样本均值为5,则X的数学期望的置信度近似为0.95的置信区间为•解：•••X不是正态总体，应用中心极限定理士X"XU=-=——=X1O~N(O,1)67=0.05>Jn1①(“a/J=1—0.05/2=0.975=>“o.o25=196y_py使P(|"|