高数一知识点

第三章、极限数列极限limxnn函数极限limf(x),limf(x),x_和limf(x),limf(x),X孕X-，xo-求极限(主要方法)：limsinx=1,lim(1-)^e,xTxx供xlimf(x)x>：:limf(x)ximr1x)x=e等价无穷小替换(P76)。当叭x)t0时，代换时要注意，只有乘积因子才可以代换。TOC\o"1-5"\h\z|x°.1洛必达法则(0,二0®严-曲00,1°°严0),只有2二可以直接用罗比达法0旳000则。}/■I'幕指函数求极限：limu(x)v(x)=elimv(x)lnu(x);或，令y=u(x)v(x)，两边取对数lny=v(x)lnu(x)，若limv(x)lnu(x)=a，贝Ulimu(x)v(x)结合变上限函数求极限、连续limf(x)=f(x0)X-^xq左、右连续limf(x)二f(xo),limf(x)二f(x°)x-XTx-X)函数连续二函数既左连续又右连续闭区间上连续函数性质：最值，有界，零点(结合证明题)，介值，推论、导数f'(xo)=limf(x)-f(Xo)limf(XqUX)-1f(Xo)x->XoX-XoX..0X左导数仁'Xo=)Mfo(X」rfmx_-i__mX0(X)X-XoL一q-X右导数f'Xo=)仲詐fo(x」LTX0(X)x-•0XX—XoX微分■y=AX：()zdy=Ad状ydx可导=连续可导=可微可导二既左可导又右可导求导数：复合函数链式法则隐函数求导法则两边对x求导，注意y、y是x的函数。参数方程求导四、导数的应用罗尔定理和拉格朗日定理(证明题)单调性(导数符号)，极值(第一充分条件和第二充分条件)，最值凹凸性(二阶导数符号)，拐点(曲线上的点，二维坐标，曲线在该点两侧有不同凹凸性)。第四章不定积分原函数(F(x))'f(x)》不定积分f(x)dx二F(x)•CTOC\o"1-5"\h\z-J-J基本性质一［f(x)dx］二f(x)或一［f(x)dx］二f(x)dx'dxLF(x)dx(F)或dF(x)=F(x)C.［f(x)g(x)］dx=f(x)dx亠ig(x)dx(分项积分)基本积分公式［kdx=kx+C;(2)Jx°dx=+C乎—1)a+1(3)J^dx=ln|x|十C(4)Jexdx=ex+Cxx(5)Jaxdx=-^+C(6)Jcosxdx=sinx+CIna(7)sinxdx--cosxC(8)se£xdx=tanxC(9)cscxdx--cotxC(10)secxtanxdx二secxCrdxcscxcotxdx--cscxC(12)-arcsinxC(1-x2(13)二arctanxC+x除了上述基本公式之外，还有几个常用积分公式tanxdx=-1n|cosx|C;2.cotxdx=In|sinx|C;secxdxJn|secxtanx|C;4.cscxdx=In|cscx-cotx|C;5.『丘血十如計C;6.J±"rcsin1C;7.1,1.x-ac?T7dx=2aInxaC;8.2JJa2_x2x=—arcsin—+—^]a2-x2+C;a29.J=|n|x..x2_a2|C.x2_a2求不定积分的方法•直接积分法：恒等变形，利用不定积分的性质，直接使用基本积分公式•换元法：第一类换元法(凑微分法)第二类换元法(变量代换法)f(x)dx二f((t))「(t)dt=F(t)C(x)]C.(注意回代)换元的思想：主要有幕代换、三角代换、倒代换•分部积分法v的优先选取顺序为：指数函数；三角函数；幕函数第五章定积分一、概念b定义af(x)dx=lim。'f(J二Xj,■-max^x,}性质：设fx、gx在b,b1区间上可积，则定积分有以下的性质.—_'/-J...；b.fdx=b—a;*a(2).〔mfx产ngxdx=mf(x)dxng(x)dx；TOC\o"1-5"\h\zacc(3).bcf(x)dxf(x)dx亠if(x)dx;'a'a(4).若在La,b上，fx]：:0,则f(x)dx-0；-a推论1.若在！a,b1上，fxgx，贝Uf(x)dx^g(x)dx■a'a、bb推论2.|f(x)dx,|f(x)|dx(a：：b)aa(5).若函数fx在区间a,b1上可积，且m一fx一M，则（6）.（定积分中值定理）设fx在区间a,b1上连续，则存在-.a,b1，使x3.积分上限函数f(t)dt及其性质xdx-(f(t)dt)=fx，或—af(t)dt二fx;adxaQx)qxx)•如果X=of(t)dt，贝Ux=(of(t)dt)二fX][lx.(x)如果••X二，_(x)f(t)dt,■■(x),(3).（x）=（©x）f（t）dt）、f（申（x）忙（x）—f（屮（x）艸（x）.4.广义积分（1）.无穷限积分■::tafxdx""f收敛J（极限存在）发散L（极限不存在）收敛（极限存在）发散（极限不存在）0bbjxdx*mtfxdxJf（xdx收敛的充分必要条件是反常积分ff（x）dx、Jf（x）dx0'--_同时收敛，并且在收敛时，有〕：f（xdx=J「f（x）dx0_;-fxdx•（2）.瑕积分bb「收敛为瑕点」―即」—发散（极限存在）（极限不存在）（极限存在）（极限不存在）'收敛b为瑕点Jf(x)dx=limff(x)dx=(tb-a发散bc为瑕点则fxdx收敛fxdx与fxdx均收敛，并且在收敛时,*a*a'cb有二、计算（一）定积分的计算1、微积分基本公式：设函数fx在区间a,b1上连续，且Lx二fX，则bJaf（x）dx=F（b）-F（a），牛顿-莱布尼兹（N-L）公式2、换元法：设函数fx在区间a,b1上连续，函数X=「t满足:①在区间'：■J上可导，且=t连续；b3、分部积分法：uv】La②a=「,b：XI「，当r[■./-]时，x・a,b1,贝Ubb、bbdx=uvL-uvdx，或udv=uv|a-“唱aLa'L4、偶倍奇零：设函数fx在区间La,a】上连续，则"(2k4)!!5、2-[sinxdx^cosxdx=」(2k)!!(2k)!!(2k1)!!n=2kn=2k16、分段函数的定积分。与积分上限函数相关的计算广义积分的计算(依据定义先求原函数，再求极限)|.z\r".1三、定积分的应用几何应用1、平面图形的面积(1)直角坐标Af(x)dx,A|f(x)-g(x)|dx二(上曲线一下曲线)dx，TOC\o"1-5"\h\za'a'addd或A(y)dy,A|(y^'-(y)|dy(右曲线一左曲线)dyLc“c“c参数方程由x="t)与x=a,x=b及x轴所围成的图形绕x由旋转一周的lya(t)旋转体的体积7-■-2(t)「(t)dta3、平面曲线的弧长(积分限从小到大)(1)直角坐标s=fJi+[f(x)]2dx参数方程s='[x(t)]—[y(t)]2dt极坐标s二一[r(R]2[r(，)]2dra、物理应用(步骤：建立坐标系，选择积分变量，求出功的微元或压力微元，求定积分)阿基米德螺线心形线r=a(1cost)=a2cos2日摆线*x=a()-sin^)y=a(1_cosn)第六章微分方程ft\fti-Z//一、内容小结：(一)、概念：微分方程；阶；通解；特解；初始条件；初值问题；线性相关；线性无关(二八解的结构齐次线性y''P(x)y'Q(x)y二0(*)非齐次线性y''P(x)y'Q(x)y=f(x)(**)1、y1,y2是(*)的解，贝Uy=Gy1C2y2也是(*)的解；若y,y2线性无关,则y二Gy1C2y为(*)的通解)2、y1*,y2*是(**)的解，贝Uy「-y2*是对应齐次线性方程的解Y是(*)的通解，y*是(**)的解，贝UYy*是(**)的通解、解方程：判别类型，确定解法。一阶，二阶。二、一阶微分方程求解1可分离变量方程y‘=f(x)g(y)或g(y)dy=f(x)dx或MMxjNMyjdyM?(x)N2(y)dx=0解法：先分离变量，两边再同时积分2、齐次方程y二f(y)解法：令u=y,则y'=uxu'xx或者dx=f(x)解法：令u=x,dx=ududyyydydy3、一阶线性微分方程齐次线性y'P(x)y=0(y=Ce®x)dx)非齐次线性y'+P(x)y=Q(x)(y=e戶宀皿(jQ(x)e尸以川小乂+c))三、二阶微分方程求解、可降阶情形1、y”二f(x)2、不显含y的二阶方程y'^f(x,y')解法：令y'二p,则y'：=p',原方程化为p'=f(x,p)3、不显含x的二阶方程yJf(y,y')解法：令y'=p,则y''=p-dp,原方程化为p虫=f(y,p)dydy、二阶线性微分方程1、二阶常系数齐次线性微分方程y「py'，qy=0(***)(其中p,q为常数)特征方程r2prq=0特征根几，r2r广D且为实根,则微分方程通解为y=Ger1x•C2e护ri=r2=-^为相等实根,则微分方程通解为y=(C「C2X)erx2n,2匸i为一对共轭复根,则微分方程通解为y=e〉X(Gcos1x-Czsinx)2、二阶常系数非齐次线性微分方程y''+py'+qy=Pm(x)e"(****),(k为常数，Pm(x)是m次多项式)其具有特解形式y=xkQm(x)e'x,其中Qm(x)为与Pm(x)同次的多项式,(2)参数方程若!x-%)与x=a,x=b及x轴所围成的面积ly亠(t)BA=「屮(t)報(t)dt，«,0分别是曲边的起点的横坐标与终点的横坐标的参数值。(3)极坐标由曲线r=r(",v---,(二'■-■)所围的曲边扇形P2的面积A=」J[r(8)]23d®a2、旋转体的体积(1)直角坐标：由曲线y二f(x),x=a,x二b,(a:::b)与x轴所围曲边梯形绕x轴旋bebe转一周的旋转体的体积V二二f2(x)dx二二f2(x)dx.fcaLa由曲线x=(y),y=c,y=d,(c：：：d)与y轴所围曲边梯形绕y轴旋转一周的旋转体ddo的体积V二■:;：(y)dy=二.:(y)dy.cc