高考数学刍甍、羡除、刍童楔形四棱台的体积公式下载_Word模板_18

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高考数学刍甍、羡除、刍童楔形四棱台的体积公式刍甍、羨除、刍童及楔形四棱台的体积公式题1(2013年高考湖北卷文科第20题)如图1,某地质队自水平地面V,B,C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A处发现矿藏,再继续下钻至IJA处后下面已无矿，从而得到在A处12正下方的矿层厚度为!A=d.同样可得在B,处正下方的矿层厚度分别为B=d,CC=d,121122123且dc,b>d,两底面间的距离为h..求侧面ABB1A］与底面ABCD所成二面角正切值；在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式▼估=5中截面・h来计算.已知它的体积公估中截面注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等...

刍甍、羨除、刍童及楔形四棱台的体积公式题1(2013年高考湖北卷文科第20题)如图1,某地质队自水平地面V,B,C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A处发现矿藏,再继续下钻至IJA处后下面已无矿，从而得到在A处12正下方的矿层厚度为!A=d.同样可得在B,处正下方的矿层厚度分别为B=d,CC=d,121122123且dc,b>d,两底面间的距离为h..求侧面ABB1A］与底面ABCD所成二面角正切值；在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式▼估=5中截面・h来计算.已知它的体积公估中截面注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.)式是v—6(s上底面+4S中截严下底面)'试判断v估与v的大小关系，并加以证明.注：与两个底面平行,且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.)笔者关心的是：高考题2,3中的V—(S6+4S+S)即上底面中截面下底面题3(2002年高考北京卷理科第18题)如图3,在多面体ABCD—A1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E,F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c,d与a,b且a>c,b>d,两底面间的距离为h..⑴求侧面ABB］、与底面ABCD所成二面角的大小;(2)证明：EF//面ABCD在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V估=S中截面・h来计算.已知它的体积公式是V—6(S上底面+4S中截面+S下底面)'试判断V估与V的大小关系，并加以证明.hV=T（2a+c）b+（2c+a）d］是怎么来的呢？这由下面推导的刍童体积公式立得6《九章算术•商功》篇有部分题目涉及到刍甍、羨除、刍童及楔形四棱台的体积公式,这些公式秦汉时人都已掌握，下面来推导它们.1.刍甍刍甍是图4所示中的五面体ABCDEF，其中AB〃DCIIEF，底面ABCD是平行四边形.设AB=a，直线AB、CD之间的距离是h，直线EF与Hh平面ABCD之间的距离是H，则其体积V二百（2a+c）.图4证明如图5所示•设点E，F在面ABCD上的射影分别是点E,F.图5我们把平面ABCD分成三块区域：区域I指该平面位于直线AD左侧的部分（不包括直线AD），区域II指该平面夹在直线AD、BC之间的部分（包括直线这两条直线），区域III指该平面位于直线BC右侧的部分(不包括直线BC).应分六种情形来证明：EF'⑴点均位于区域I；E，Ff点E位于区域I,点F位于区域II；E，F，点E位于区域I,点F位于区域III；E，,F，点均位于区域II；E，F，点E位于区域II,点F位于区域III；E，,F，点E，F均位于区域III.面只对情形(5)予以证明：过点E，作GH丄CD于H，交AB于G；过点F'作IJ丄CD于I，交AB于J，得GH二h,EE=H，所以V=V+(V-V)=直三棱柱EGH-FJI四棱锥AGHD四棱锥BJICHhc+H(S-S)=Hhc+H(S-S)=3AGHDBJIC23ABCDGJHHhHHhc+—(ah-ch)=(2a+c)236证毕！2.羨除羨除是图所示中的五面体ABCDEF，其中AB〃DCIIEF,底面ABCD是梯形.设AB=a,DC=b(a>b)，直线AB、CD之间的距离是Hhh，直线EF与平面ABCD之间的距离是H，则其体积V=百(°+b+C)如图7所示，延长CD至人，使AB=RC，得刍甍ABCREF，由刍甍的体积公式，得HhH(a-b)hHhz,、V=V-V=(2a+c)--=(a+b+c)刍甍ABCREF三棱锥E-ADR6注羨除的体积公式是由刍甍的体积公式推得的；当羨除的下底面梯形变成平行四边形时(即图4所示中的a=b时的情形)，羨除就变成了刍甍，也得刍甍的体积公式是羨除的体积公式的极限情形.3.刍童刍童是图8所示中的六面体ABCD-A'B'C'D'，其中面ABCD〃面ABC。，底面ABCD、底面ABCD'均是平行四边形.设AB二a,AB二b，直线AB、CD之间的距离是h,AB、CD'之间的距离是h，面ABCD、ABCD之间的距离是H，则其体积HV=[(2a+a')h+(2a+a)h']"6图8证明如图9所示，可得面ABBA与平行平面ABCD、ABCD的交线AB、AB'平行，所以AB'//CD.连结A'D,B'C.图9由刍甍的体积公式，得HV=V+V=[(2a+a')h+(2a'+a)h']刍甍B'A'ABCD刍甍CDA'B'C'D'6注刍童的体积公式是由刍甍的体积公式推得的；当刍童的上底面平行四边形变成线段时(即图4所示中的h=0时的情形)，刍童就变成了刍甍，也得刍甍的体积公式是刍童的体积公式的极限情形.4.楔形四棱台楔形四棱台是图10所示中的六面体ABCD-ABCD，其中面ABCD//面ABCD，底面ABCD、底面ABCD均是梯形.设AB=aCD=b，AB=bCD=b，面AB、CD之间的距离是h，AB'、CD之间的距离是h，面ABCD、AAB'C'D'之间的距离是H，则其H体积V=[(a+b+aa)h+(aA+bA+b)hA].图10图11证明如图11所示，可得AABA//CD.连结AD,BAC.由羨除的体积公式，得HV=V+V=[(a+b+a')h+(aA+bA+b)h\羡除BAAAABCD羡除CDAABACADA6注楔形四棱台的体积公式是由羨除的体积公式推得的；当楔形四棱台的上底面的梯形hA-0变成线段时(即图4中的h-U时的情形)，楔形四棱台就变成了羨除，也得刍甍的体积公式是楔形四棱台的体积公式的极限情形.由刍甍的体积公式可推得羨除、刍童、楔形四棱台的体积公式，由楔形四棱台的体积公式也可推得刍甍的体积公式.题4（1999年高考全国卷文科、理科第10题）如图12所示，在多面体ABCDEF中，3已知面ABCD是边长为3的正方形，EF//AB,EF二,EF与面ABCD的距离为2,则2该多面体的体积为（）A.-B.5C.615图12解D.由刍甍的体积公式可得.题5（2007年全国高中数学联赛江苏赛区复赛第一试第9题）如图13，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为3的正方形，EF//AB,EF二2.若该多面体的2体积为125，则ef与AC的距离为图13解2•设直线EF与平面AC的距离为H,由刍甍的体积公式可得进而可得：异面直线EF,AC的距离为H=2.题6（2005年高考全国卷I理科第4题即文科第5题）如图14,在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、ABCF均为正三角形，EF//AB，EF=2，则该多面体的体积为（）TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark74"迈<343A.B.C.D.—HYPERLINK\l"bookmark76"3332图14解A.设棱AD,BC的中点分别是S,T，在等腰梯形EFTS中可得ST二1,EF二2,ES二FT二斗，可求得该等腰梯形的高即直线EF与平面ABCD的距离2所以由刍甍的体积公式可得多面体ABCDEF的体积为题7（1983年美国邀请赛题）图15中的多面体的底面是边长为s的正方形，上面的棱平行于底面，其长为2s，其余棱长也都为s，若s=6^2，求这个多面体的体积.图152.当s=1时就是咼考题J2288.由刍甍的体积公式可得（先算得H=^2-s）•在该题中,

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