离散数学课后习题答案(第一章)

1-1，1-2（1）指出下列哪些语句是命题，那些不是命题，如果是命题，指出它的真值。a)离散数学是计算机科学系的一门必修课。是命题，真值为T。b)计算机有空吗？不是命题。c)明天我去看电影。是命题，真值要根据具体情况确定。d)请勿随地吐痰。不是命题。e)不存在最大的质数。是命题，真值为T。f)如果我掌握了英语，法语，那么学习其他欧洲语言就容易多了。是命题，真值为T。g)9+5≤12.是命题，真值为F。h)X=3.不是命题。i)我们要努力学习。不是命题。（2）举例说明原子命题和复合命题。原子命题：我爱北京天安门。复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。（3）设P表示命题“天下雪。”Q表示“我将去镇上。”R表示命题“我有时间。”以符号形式写出下列命题a)如果天不下雪和我有时间，那么我将去镇上。(┓P∧R)→Qb)我将去镇上，仅当我有时间时。Q→Rc)天不下雪。┓Pd)天下雪，那么我不去镇上。P→┓Q（4）用汉语写出一些句子，对应下列每一个命题。a)()QRP∧¬�Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。Q↔(R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。b)RQ∧R:我在看电视。Q:我在吃苹果。R∧Q:我在看电视边吃苹果。c)()()QRRQ→∧→Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。(5)将下列命题符号化。a)王强身体很好，成绩也很好。设P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P∧Qb)小李一边看，一边听音乐。设P：小李看书。Q：小李听音乐。P∧Qc)气候很好或很热。设P：气候很好。Q：气候很热。P∨Qd)如果a和b是偶数，则ab+是偶数。设P：a和b是偶数。Q：a+b是偶数。P→Qe)四边形ABCD是平行四边形，当且仅当它的对边平行。设P：四边形ABCD是平行四边形。Q：四边形ABCD的对边平行。P↔Qf)停机的原因在于语法错误或程序错误。设P：语法错误。Q：程序错误。R：停机。（P∨Q）→R(6)将下列复合命题分成若干原子命题。a)天气炎热且正在下雨。P:天气炎热。Q:正在下雨。P∧Qb)天气炎热但湿度较小。P:天气炎热。R:湿度较低。P∧Rc)天正在下雨或湿度很大。R:天正在下雨。S:湿度很高。R∨Sd)刘英与李进上山。A:刘英上山。B:李进上山。A∧Be)老王或小李是革新者。M:老王是革新者。N:小李是革新者。M∨Nf)如果你不看电影，那么我也不看电影。L:你看电影。M:我看电影。┓L→┓Mg)我既不看电视也不外出，我在睡觉。P:我不看电视。Q:我不外出。R:我在睡觉。P∧Q∧R1-3（1）判别下列哪些是合式公式，哪些不是合式公式。a)().QRS→∧不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)(()).PRS∧�是合式公式c)(()()).PQQP¬→→→不是合式公式（括弧不配对）d)().RST→不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)((())(()())).PQRPQPR→→→→→→是合式公式。（2）根据合式公式的定义，说明下列公式是合式公式。a）(()).AAB→∨A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。这个过程可以简记为：A；(A∨B)；(A→(A∨B))同理可记b）(()).ABA¬∧∧A；┓A；(┓A∧B)；((┓A∧B)∧A)c）(()())ABBA¬→→→A；┓A；B；(┓A→B)；(B→A)；((┓A→B)→(B→A))d）(()()).ABBA→∨→A；B；(A→B)；(B→A)；((A→B)∨(B→A))（3）对下列公式用指定的公式进行代换。a）((())),ABBA→→→用()AC→代换A，用(())BCA∧→代换B((((A→C)→((B∧C)→A))→((B∧C)→A))→(A→C))b）(()())ABBA→∨→，用B代换A。((B→A)∨(A→B))。（5）试把原子命题表示为,,PQR等，然后用符号译出下列各句子。a)或者你没有给我写信，或者它在途中丢失了。P:你没有给我写信。R:信在途中丢失了。()PQ¬↔b)如果张三和李四都不去，他就去。P:张三不去。Q:李四不去。R:他就去。(P∧Q)→Rc)我们不能既划船又跑步。P:我们能划船。Q:我们能跑步。┓(P∧Q)d)如果你来了，那么他唱不唱歌将看你是否伴奏。P:你来了。Q:他唱歌。R:你伴奏。P→(Q↔R)（7）用符号形式写出下列命题。a)假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。P:上午下雨。Q:我去看电影。R:我在家里读书。S:我在家里看报。(┓P→Q)∧(P→(R∨S))b)我今天进城，除非下雨。P:我今天进城。Q:天下雨。┓Q→Pc)仅当你走我将留下。P:你走了。Q:我留下。Q→P1-4(7)下列等价式。a)()()ABAAAB→→⇔¬→→¬证明：A→(B→A)⇔┐A∨(┐B∨A)⇔A∨(┐A∨┐B)⇔A∨(A→┐B)⇔┐A→(A→┐B)∨b)()()()ABABAB¬⇔∨∧¬∧�证明：┐(A↔B)⇔┐((A∧B)∨(┐A∧┐B))⇔┐((A∧B)∨┐(A∨B))⇔(A∨B)∧┐(A∧B)或┐(A↔B)⇔┐((A→B)∧(B→A))⇔┐((┐A∨B)∧(┐B∨A))⇔┐((┐A∧┐B)∨(┐A∧A)∨(B∧┐B)∨(B∧A))⇔┐((┐A∧┐B)∨(B∧A))⇔┐(┐(A∨B))∨(A∧B)⇔(A∨B)∧┐(A∧B)c)()ABAB¬→⇔∧¬证明：┐(A→B)⇔┐(┐A∨B)⇔A∧┐Bd)()()()ABABAB¬⇔∧¬∨¬∧�证明：┐(A↔B)⇔┐((A→B)∧(B→A))⇔┐((┐A∨B)∧(┐B∨A))⇔(A∧┐B)∨(┐A∧B)e)((())(()))((()))ABCDCABDCABD∧∧→∧→∨∨⇔∧→�证明：(((A∧B∧C)→D)∧(C→(A∨B∨D)))⇔(┐(A∧B∧C)∨D)∧(┐C∨(A∨B∨D))⇔(┐(A∧B∧C)∨D)∧(┐(┐A∧┐B∧C)∨D)⇔(┐(A∧B∧C)∧┐(┐A∧┐B∧C))∨D⇔((A∧B∧C)∨(┐A∧┐B∧C))→D⇔(((A∧B)∨(┐A∧┐B))∧C)→D⇔((C∧(A↔B))→D)f)()()ABCABC→∨⇔∧¬→证明：A→(B∨C)⇔┐A∨(B∨C)⇔(┐A∨B)∨C⇔┐(A∧┐B)∨C⇔(A∧┐B)→Cg)()()()ADBDABD→∧→⇔∨→证明：(A→D)∧(B→D)⇔(┐A∨D)∧(┐B∨D)⇔(┐A∧┐B)∨D⇔┐(A∨B)∨D⇔(A∨B)→Dh)(())(())(())ABCBDCBDAC∧→∧→∨⇔∧→→证明：((A∧B)→C)∧(B→(D∨C))⇔(┐(A∧B)∨C)∧(┐B∨(D∨C))⇔(┐(A∧B)∧(┐B∨D))∨C⇔(┐(A∧B)∧┐(┐D∧B))∨C⇔┐((A∧B)∨(┐D∧B))∨C⇔((A∨┐D)∧B)→C⇔(B∧(D→A))→C（8）化简以下各式：A）((A→B)↔(┐B→┐A))∧C解：((A→B)↔(┐B→┐A))∧C⇔((┐A∨B)↔(B∨┐A))∧C⇔((┐A∨B)↔(┐A∨B))∧C⇔T∧C⇔CB）A∨(┐A∨(B∧┐B))解：A∨(┐A∨(B∧┐B))⇔(A∨┐A)∨(B∧┐B)⇔T∨F⇔TC）(A∧B∧C)∨(┐A∧B∧C)解：(A∧B∧C)∨(┐A∧B∧C)⇔(A∨┐A)∧(B∧C)⇔T∧(B∧C)⇔B∧C（9）如果ACBC∨⇔∨，是否有AB⇔？如果ACBC∧⇔∧，是否有AB⇔？如果AB¬⇔¬，是否有AB⇔？解：1）设C为T，A为T，B为F，则满足A∨C⇔B∨C，但A⇔B不成立。2）设C为F，A为T，B为F，则满足A∧C⇔B∧C，但A⇔B不成立。3）由题意知┐A和┐B的真值相同，所以A和B的真值也相同。习题1-5（1）试证下列各式为重言式。a)(P∧(P→Q))→Q证明：(P∧(P→Q))→Q⇔(P∧(┐P∨Q))→Q⇔(P∧┐P)∨(P∧Q)→Q⇔(P∧Q)→Q⇔┐(P∧Q)∨Q⇔┐P∨┐Q∨Q⇔┐P∨T⇔Tb)┐P→(P→Q)证明：┐P→(P→Q)⇔P∨(┐P∨Q)⇔(P∨┐P)∨Q⇔T∨Q⇔Tc)((P→Q)∧(Q→R))→(P→R)证明：((P→Q)∧(Q→R))→(P→R)因为(P→Q)∧(Q→R)⇒(P→R)所以(P→Q)∧(Q→R)为重言式。d)((a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a))↔(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)证明：((a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a))↔(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)因为((a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a))⇔((a∨c)∧b)∨(c∧a)⇔((a∨c)∨(c∧a))∧(b∨(c∧a))⇔(a∨c)∧(b∨c)∧(b∨a)所以((a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a))↔(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)为重言式。（2）不构造真值表证明下列蕴含式。a)(P→Q)⇒P→(P∧Q)解法1：设P→Q为T（1）若P为T，则Q为T，所以P∧Q为T，故P→(P∧Q)为T（2）若P为F，则Q为F，所以P∧Q为F，P→(P∧Q)为T命题得证解法2：设P→(P∧Q)为F，则P为T，(P∧Q)为F，故必有P为T，Q为F，所以P→Q为F。解法3：(P→Q)→(P→(P∧Q))⇔┐(┐P∨Q)∨(┐P∨(P∧Q))⇔┐(┐P∨Q)∨((┐P∨P)∧(┐P∨Q))⇔T所以(P→Q)⇒P→(P∧Q)b)(P→Q)→Q⇒P∨Q设P∨Q为F，则P为F，且Q为F，故P→Q为T，(P→Q)→Q为F，所以(P→Q)→Q⇒P∨Q。c)(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))⇒R→Q设R→Q为F，则R为T，且Q为F，又P∧┐P为F所以Q→(P∧┐P)为T，R→(P∧┐P)为F所以R→(R→(P∧┐P))为F，所以(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))为F即(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))⇒R→Q成立。（3）设P表示命题“8是偶数”，Q表示命题“糖果是甜的”。试以句子写出：a)P→Q表示命题“如果8是偶数，那么糖果是甜的”。b)a)的逆换式Q→P表示命题“如果糖果是甜的，那么8是偶数”。c)a)的反换式┐P→┐Q表示命题“如果8不是偶数，那么糖果不是甜的”。d)a)的逆反式┐Q→┐P表示命题“如果糖果不是甜的，那么8不是偶数”。（4）叙述下列各个命题的逆换式和逆反式，并以符号写出。a)如果天下雨，我不去。设P：天下雨。Q：我不去。P→Q逆换式Q→P表示命题:如果我不去，则天下雨。逆反式┐Q→┐P表示命题:如果我去，则天不下雨b)仅当你走我将留下。设S：你走了。R：我将留下。R→S逆换式S→R表示命题：如果你走了则我将留下。逆反式┐S→┐R表示命题：如果你不走，则我不留下。c)如果我不能获得更多帮助，我不能完成个任务。设E：我不能获得更多帮助。H：我不能完成这个任务。E→H逆换式H→E表示命题：我不能完成这个任务，则我不能获得更多帮助。逆反式┐H→┐E表示命题：我完成这个任务，则我能获得更多帮助（5）试证明P↔Q，Q逻辑蕴含P。证明：本题证明(P↔Q)∧Q⇒P,设(P↔Q)∧Q为T，则(P↔Q)为T，Q为T，故由↔的定义，必有P为T。所以(P↔Q)∧Q⇒P（8）逻辑推证以下各式。a)P⇒(┐P→Q)设P为T，则┐P为F，故┐P→Q为Tb)┐A∧B∧C⇒C假定┐A∧B∧C为T，则C为T。c)C⇒A∨B∨┐B因为A∨B∨┐B为永真，所以C⇒A∨B∨┐B成立。d)┐(A∧B)⇒┐A∨┐B设┐(A∧B)为T，则A∧B为F。若A为T，B为F，则┐A为F，┐B为T，故┐A∨┐B为T。若A为F，B为T，则┐A为T，┐B为F，故┐A∨┐B为T。若A为F，B为F，则┐A为T，┐B为T，故┐A∨┐B为T。命题得证。e)┐A→(B∨C)，D∨E，(D∨E)→┐A⇒B∨C设┐A→(B∨C)，D∨E，(D∨E)→┐A为T，则D∨E为T，(D∨E)→┐A为T，所以┐A为T又┐A→(B∨C)为T，所以B∨C为T。命题得证。f)(A∧B)→C，┐D，┐C∨D⇒┐A∨┐B设(A∧B)→C，┐D，┐C∨D为T，则┐D为T，┐C∨D为T，所以C为F又(A∧B)→C为T，所以A∧B为F，所以┐A∨┐B为T。命题得证。（9）求与下列命题等价的逆反式。a)如果他有勇气，他将得胜。P：他有勇气Q：他将得胜原命题：P→Q逆反式：┐Q→┐P表示：如果他失败了，说明他没勇气。b)仅当他不累他将得胜。P：他不累Q：他得胜原命题：Q→P逆反式：┐P→┐Q表示：如果他累，他将失败。习题1-6(1)把下列各式用只含∨和¬的等价式表达，并要尽可能的简单。a)(P∧Q)∧┐P⇔(P∧┐P)∧Q⇔┐(T∨Q)b)(P→(Q∨┐R))∧┐P∧Q⇔(┐P∨(Q∨┐R))∧┐P∧Q⇔(┐P∧┓P∧Q)∨(Q∧┓P∧Q)∨(┓R∧┓P∧Q)⇔(┓P∧Q)∨(┓P∧Q)∨(┓P∧┓R∧Q)⇔┓P∧Q⇔┐(P∨┐Q)c)┐P∧┐Q∧(┐R→P)⇔┐P∧┐Q∧(R∨P)⇔(┐P∧┐Q∧R)∨(┐P∧┐Q∧P)⇔(┐P∧┐Q∧R)∨F⇔┐P∧┐Q∧R⇔┐(P∨Q∨┐R)(2)对下列各式仅用“或非”（↓）表达。a)┐P⇔P↓Pb)P∨Q⇔┐(P↓Q)⇔(P↓Q)↓(P↓Q)c)P∧Q⇔┐P↓┐Q⇔(P↓P)↓(Q↓Q)(3)把()PPQ→¬→表示为只含有“↑”的等价公式，把同样的公式表示为只含有“↓”的等价公式。P→(┐P→Q)P→(┐P→Q)⇔┐P∨(P∨Q)⇔┐P∨(P∨Q)⇔T⇔T⇔┐P∨P⇔┐P∨P⇔┐(┐P↓P)⇔(┐P↑┐P)↑(P↑P)⇔┐((P↓P)↓P)⇔P↑(P↑P)⇔((P↓P)↓P)↓((P↓P)↓P)(4)把PQ↑表示为只含有“↓”的等价公式。P↑Q⇔┐(┐P↓┐Q)⇔┐((P↓P)↓(Q↓Q))⇔((P↓P)↓(Q↓Q))↓((P↓P)↓(Q↓Q))(5)证明：�┐(B↑C)⇔┐B↓┐C�┐(B↓C)⇔┐B↑┐C�┐(B↑C)⇔┐(┐B∨┐C)⇔┐B↓┐C�┐(B↓C)⇔┐(┐B∧┐C)⇔┐B↑┐C(6)联结词“↑”和“↓”服从结合律吗？解：联结词“↑”和“↓”不满足结合律。举例如下：a)给出一组指派：P为T，Q为F，R为F，则(P↑Q)↑R为T，P↑(Q↑R)为F故(P↑Q)↑RP↑(Q↑R).b)给出一组指派：P为T，Q为F，R为F，则(P↓Q)↓R为T，P↓(Q↓R)为F故(P↓Q)↓RP↓(Q↓R).习题1-7(1)求公式()PPQ∧→的析取范式和合取范式。解：P∧(P→Q)P∧(P→Q)⇔P∧(┐P∨Q)⇔(P∨(┐Q∧Q))∧(┐P∨Q)⇔(P∧┐P)∨(P∧Q)⇔(P∨┐Q)∧(P∨Q)∧(┐P∨Q)⇔⇔(2)把下列各式化为析取范式。a)(┐P∧Q)→R⇔┐(┐P∧Q)∨R⇔P∨┐Q∨R⇔(P∧Q)∨(P∧┐Q)∨(┐Q∧R)∨(┐Q∧┐R)∨(R∧P)∨(R∧┐P)b)P→((Q∧R)→S)⇔┐P∨(┐(Q∧R)∨S)⇔┐P∨┐Q∨┐R∨S⇔(┐P∧Q)∨(┐P∧┐Q)∨(┐Q∧R)∨(┐Q∧┐R)∨(┐R∧S)∨(┐R∧┐S)∨(S∧P)∨(S∧┐P)c)┐(P∨┐Q)∧(S→T)⇔(┐P∧Q)∧(┐S∨T)⇔(┐P∧Q∧┐S)∨(┐P∧Q∧T)d)(P→Q)→R⇔┐(┐P∨Q)∨R⇔(P∧┐Q)∨R⇔(P∨R)∧(┐Q∨R)e)┐(P∧Q)∧(P∨Q)⇔(┐P∨┐Q)∧(P∨Q)⇔(┐P∧P)∨(┐P∧Q)∨(┐Q∧P)∨(┐Q∧Q)⇔(┐P∧Q)∨(┐Q∧P)(3)把下列各式化为合取范式。a)P∨(┐P∧Q∧R)⇔(P∨┐P)∧(P∨Q)∧(P∨R)⇔(P∨Q)∧(P∨R)b)┐(P→Q)∨(P∨Q)⇔┐(┐P∨Q)∨(P∨Q)⇔(P∧┐Q)∨(P∨Q)⇔(P∨P∨Q)∧(┐Q∨P∨Q)c)┐(P→Q)⇔┐(┐P∨Q)⇔P∧┐Q⇔(P∨Q)∧(P∨┐Q)∧(┐Q∨┐P)d)(P→Q)→R⇔┐(┐P∨Q)∨R⇔(P∧┐Q)∨R⇔(P∨R)∧(┐Q∨R)e)(┐P∧Q)∨(P∧┐Q)⇔(┐P∨P)∧(┐P∨┐Q)∧(Q∨P)∧(Q∨┐Q)⇔(┐P∨┐Q)∧(Q∨P)(4)求下列各式的主析取范式及主合取范式，并指出下列各式哪些是重言式。a)(┐P∨┐Q)→(P↔┐Q)⇔┐(┐P∨┐Q)∨(P↔┐Q)⇔(P∧Q)∨(P∧┐Q)∨(┐P∧Q)⇔∑1，2，3⇔P∨Q=Π0b)Q∧(P∨┐Q)⇔(P∧Q)∨(Q∧┐Q)⇔P∧Q=∑3⇔Π0，1，2⇔(P∨Q)∧(P∨┐Q)∧(┐P∨Q)c)P∨(┐P→(Q∨(┐Q→R))⇔P∨(P∨(Q∨(Q∨R))⇔P∨Q∨R=Π0⇔∑1，2，3,4,5,6,7=(┐P∧┐Q∧R)∨(┐P∧Q∧┐R)∨(┐P∧Q∧R)∨(P∧┐Q∧┐R)∨(P∧┐Q∧R)∨(P∧Q∧┐R)∨(P∧Q∧R)d)(P→(Q∧R))∧(┐P→(┐Q∧┐R))⇔(┐P∨(Q∧R))∧(P∨(┐Q∧┐R))⇔(P∧┐P)∨(P∧(Q∧R))∨((┐Q∧┐R)∧┐P)∨((┐Q∧┐R)∧(Q∧R))⇔(P∧Q∧R)∨(┐P∧┐Q∧┐R)=∑0,7⇔Π1，2，3,4,5,6⇔(P∨Q∨┐R)∧(P∨┐Q∨R)∧(P∨┐Q∨┐R)∧(┐P∨Q∨R)∧(┐P∨Q∨┐R)∧(┐P∨┐Q∨R)e)P→(P∧(Q→P)⇔┐P∨(P∧(┐Q∨P)⇔(┐P∨P)∧(┐P∨┐Q∨P)⇔T∨(T∧┐Q)⇔T⇔∑0,1,2,3=(┐P∧┐Q)∨(┐P∧Q)∨(P∧┐Q)∨(P∧Q)f)(Q→P)∧(┐P∧Q)⇔(┐Q∨P)∧┐P∧Q⇔(┐Q∨P)∧┐(P∨┐Q)⇔F⇔Π0,1，2，3=(P∨Q)∧(P∨┐Q)∧(┐P∨Q)∧(┐P∨┐Q)(6)如果(,,)APQR由(())RQRP↑∧¬↓给出，求它的对偶*(,,)APQR，并求出与A及*A等价且仅包含联结词“∧”，“∨”，及“¬”的公式。解：A⇔R↑(Q∧┐(R↓P)),则A*⇔R↓(Q∨┐(R↑P))A⇔R↑(Q∧┐(R↓P))⇔┐(R∧(Q∧(R∨P)))⇔┐R∨┐Q∨┐(R∨P)⇔┐(R∧Q)∨┐(R∨P)A*⇔R↓(Q∨┐(R↑P))⇔┐(R∨(Q∨(R∧P))⇔┐R∧┐Q∧┐(R∧P⇔┐(R∨Q)∧┐(R∧P)习题1-8(1)用推理证明以下各式。a)┐(P∧┐Q)，┐Q∨R，┐R⇒┐P(1)┐RP(2)┐Q∨RP(3)┐Q(1)(2)T,I(4)┐(P∧┐Q)P(5)┐P∨Q(4)T,E(6)┐P(3)(5)T,Ib)J→(M∨N)，(H∨G)→J，H∨G⇒M∨N(1)(H∨G)→JP(2)(H∨G)P(3)J(1)(2)T,I(4)J→(M∨N)P(5)M∨N(3)(4)T,Ic)B∧C，(B↔C)→(H∨G)⇒G∨H(1)B∧CP(2)B(1)T,I(3)C(1)T,I(4)B∨┐C(2)T,I(5)C∨┐B(3)T,I(6)C→B(4)T,E(7)B→C(5)T,E(8)B↔C(6)(7)T,E(9)(B↔C)→(H∨G)P(10)H∨G(8)(9)T,Id)P→Q，(┐Q∨R)∧┐R，┐(┐P∧S)⇒┐S(1)(┐Q∨R)∧┐R(2)┐Q∨R(1)T,I(3)┐R(1)T,I(4)┐Q(2)(3)T,I(5)P→QP(6)┐P(4)(5)T,I(7)┐(┐P∧┐S)P(8)P∨┐S(7)T,E(9)┐S(6)(8)T,I(2)仅用规则P和T，推证以下各式。a)┐A∨B，C→┐B⇒A→┐C(1)┐(A→┐C)P(2)A(1)T,I(3)C(1)T,I(4)┐A∨BP(5)B(2)(4)T,I(6)C→┐BP(7)┐B(3)(6)T,I(8)B∧┐B矛盾。(5),(7)b)A→(B→C)，(C∧D)→E，┐F→(D∧┐E)⇒A→(B→F)(1)┐(A→(B→F))P(2)A(1)T,I(3)┐(B→F)(1)T,I(4)B(3)T,I(5)┐F(3)T,(6)A→(B→C)P(7)B→C(2)(6)T,I(8)C(4)(7)T,I(9)┐F→(D∧┐E)P(10)D∧┐E(5)(9)T,I(11)D(10)T,I(12)C∧D(8)(11)T,I(13)(C∧D)→EP(14)E（12)(13)T,I(15)┐E(10)T,I(16)E∧┐E矛盾。(14),(15)c)A∨B→C∧D，D∨E→F⇒A→F(1)┐(A→F)P(2)A(1)T,I(3)┐F(1)T,I(4)A∨B(2)T,I(5)(A∨B)→C∧DP(6)C∧D(4)(5)T,I(7)C(6)T,I(8)D(6)T,I(9)D∨E(8)T,I(10)D∨E→FP(11)F(9)(10)T,I(12)F∧┐F矛盾。(3),(11)d)A→(B∧C)，┐B∨D，(E→┐F)→┐D，B→(A∧┐E)⇒B→E(1)┐(B→E)P(2)B(1)T,I(3)┐E(1)T,I(4)┐B∨DP(5)D(2)(4)T,I(6)(E→┐F)→┐DP(7)┐(E→┐F)(5)(6)T,I(8)E(7)T,I(9)E∧┐E矛盾e)(A→B)∧(C→D)，(B→E)∧(D→F)，┐(E∧F)，A→C⇒┐A(1)(A→B)∧(C→D)P(2)A→B(1)T,I(3)(B→E)∧(D→F)P(4)B→E(3)T,I(5)A→E(2)(4)T,I(6)┐(E∧F)P(7)┐E∨┐F(6)T,E(8)E→┐F(7)T,E(9)A→┐F(5)(8)T,I(10)C→D(1)T,I(11)D→F(3)T,I(12)C→F(10)(10)T,I(13)A→CP(14)A→F(13)(12)T,I(15)┐F→┐A(14)T,E(16)A→┐A(9)(15)T,I(17)┐A∨┐A(16)T,E(18)┐A(17)T,E(3)用CP规则推证上题的a），b），c),d)各式。a)┐A∨B，C→┐B⇒A→┐C(1)AP(2)┐A∨BP(3)B(1)(2)T,I(4)C→┐BP(5)┐C(3)(4)T,I(6)A→┐CCPb)A→(B→C)，(C∧D)→E，┐F→(D∧┐E)⇒A→(B→F)(1)AP(2)A→(B→C)P(3)B→C(1)(2)T,I(4)BP(5)C(3)(4)T,I(6)(C∧D)→EP(7)C→(D→E)(6)T,E(8)D→E(5)(7)T,I(9)┐D∨E(8)T,E(10)┐(D∧┐E)(9)T,E(11)┐F→(D∧┐E)P(12)F(10)(11)T,I(13)B→FCP(14)A→(B→F)CPc)A∨B→C∧D，D∨E→F⇒A→F(1)AP(2)A∨B(1)T,I(3)A∨B→C∨DP(4)C∧D(2)(3)T,I(5)D(4)T,I(6)D∨E(5)T,I(7)D∨E→FP(8)F(6)(7)T,I(9)A→FCPd)A→(B∧C)，┐B∨D，(E→┐F)→┐D，B→(A∧┐E)⇒B→E(1)BP(附加前提)(2)┐B∨DP(3)D(1)(2)T,I(4)(E→┐F)→┐DP(5)┐(E→┐F)(3)(4)T,I(6)E(5)T,I(7)B→ECP(4)证明下列各式：（如果必要，可用间接证法）a)R→┐Q，R∨S，S→┐Q，P→Q⇒┐P(1)R→┐QP(2)R∨SP(3)S→┐QP(4)┐Q(1)(2)(3)T,I(5)P→QP(6)┐P(4)(5)T,Ib)S→┐Q，S∨R，┐R，┐P↔Q⇒P证法一：(1)S∨RP(2)┐RP(3)S(1)(2)T,I(4)S→┐QP(5)┐Q(3)(4)T,I(6)┐P↔QP(7)(┐P→Q)∧(Q→┐P)(6)T,E(8)┐P→Q(7)T,I(9)P(5)(8)T,Ic)┐(P→Q)→┐(R∨S)，((Q→P)∨┐R)，R⇒P↔Q(1)RP(2)(Q→P)∨┐RP(3)Q→P(1)(2)T,I(4)┐(P→Q)→┐(R∨S)P(5)(R∨S)→(P→Q)(4)T,E(6)R∨S(1)T,I(7)P→Q(5)(6)(8)(P→Q)∧(Q→P)(3)(7)T,I(9)P↔Q(8)T,E(5)对下面的每一组前提，写出可能导出的结论以及所应用的推理规则。a)设P：我跑步。Q：我很疲劳。前提为：P→Q，┐Q(1)P→QP(2)┐QP(3)┐P(1)(2)T,I结论为：┐P，我没有跑步。b)设S：他犯了错误。R：他神色慌张。前提为：S→R，R因为（S→R）∧R⇔（┐S∨R）∧R⇔R。故本题没有确定的结论。实际上，若S→R为真，R为真,则S可为真，S也可为假，故无有效结论。c)设P：我的程序通过。Q：我很快乐。R：阳光很好。S：天很暖和。（把晚上十一点理解为阳光不好）前提为：P→Q，Q→R，┐R∧S(1)P→QP(2)Q→RP(3)P→R(1)(2)T,I(4)┐R∨SP(5)┐R(4)T,I(6)┐P(3)(5)T,I结论为：┐P，我的程序没有通过