上海交大计算结构力学课件ppt杆系结构有限元01

上海交大计算结构力学ppt杆系结构有限元01 第5章 杆系结构有限元 (1)有限元方法是在结构力学中的结构矩阵位移法的基础上发展起来的。 杆系结构:几何形状简单 杆系结构矩阵位移法:(直接有限元法): 杆的力与位移的关系容易求得 几乎包含了有限元的主要思想 (没有位移插值的问题) (2)基于最小势能原理的杆系结构FEM分析 5(1 直杆受轴向力杆的有限元 受力特点: 只有轴向力的作用 主要的控制方程: ,u ,,x几何关系: ,x ,u,,,,EExx应力应变关系: ,x uu,边界条件: (给定位移) ,u AEP,, (给定载荷) ,x 2,()A,,ux,,AEfx() 平衡方程: 2,,xx 最小势能原理的描述: 2LLEAu,,,(),,,dxufxdxp,,,, 2,x,,00 uu直杆的解满足上述控制方程等价于使得 ,势能取最小值。 p 同样的划分单元，并且单元和节点编号 eN,1,2,..... 单元编号: in,1,2,...节点编号: 节点的位移和力向量 ,,,upP,,,,,,,,iiii 单元节点位移和节点力向量(总体编号) uP，，，，ii ,,,p,,,,,,,,ee uP jj，，，， 单元节点位移和节点力向量(局部编号) uP，，，，11 ,,p,,,,,ee,,,, uP，，，，22 以下讨论基于变分原理的有限元。 假定直杆单元内任意一点的位移可以示为两个节点位移的线性插值。 ,,,11,取单元的局部坐标 T uNNuu()[(),()][,],,,, 1212 多个节点参数 e u,[N][u] 1 N(,),(1,,)1 2 1 N(,),(1，,)2 2 2 ,,(x,x)c l N 的将单元节点位移和单元内任意一点的位移建立了联系。这个联系(线性插值)是我们假定的，因此不同的单元，可以采用不同插值模式，也就形成了不同精度的单元。 ,,p 0,e由势能极小 ,u lddx,,并注意到 2 l，1dNdNEAdNdN2eTT,,,KEAdxd()()()(),, ,,dxdxldd01, l，1leTT,,()(),,PNfxdxNfd ,,201, 可以直接给出刚度矩阵的积分以及等效载荷(均布轴向载荷)列阵的计算 类似的三节点单元以及其他更高级的单元。 1 N,,,,(1)12 2N,,1,2 1 N,，(1),,32 这里实际上位移函数的插值可以理解成是一个一维的LAGRANGE插值。 进一步针对含有N个节点的单元， 采用L插值可以给出对应的位移形式。值得注意的是所求的位移场函数只有位移函数本身。 5(2 直杆扭转问题的有限元 一些基本的方程 ,,,几何关系: ,x, ,,MGJGJ,,应力应变关系 ,x, 2M,,,GJmx(),,平衡方程 2xx,, ,,,MM,边界条件 LL1,,2GJdxmxdx最小势能原理: ,,,()(),p,,x2,00 l ddx,,对于两节点单元，由于同样有 2对应单元的刚度矩阵 T1,,,,2GJdNdNe,Kd,,,,, ,ldd,,,,,,,1 等效载荷列阵: l，1leTT,,()(),,PNmxdxNmd ,,201,