北京市海淀区重点中学七年级数学寒假专题1--10

北京市海淀区重点中学七年级数学寒假专题1--10 七年级数学寒假专题1——面积问题与面积 【本讲教育信息】 一. 教学内容: 寒假专题1——面积问题与面积方法 二. 学习重难点: 图形的面积的计算及利用面积证明一些几何问题是本讲的重点也是难点 三. 知识要点讲解: 【面积问题】 1、常见图形的面积公式: 1S,底，高?S, ? ，底，高?ABC平行四边形2 12S,, R R表示半径? ? S,，(上底，下底)，高圆梯形2 2、常见的等面积变形: ?等底同高 ?同底等高----有平行条件 ?三角形的面积之比: 高相等时，面积之比等于底之比，底相等时，面积之比等于高之比。 3、面积证题的要点: 一个图形的面积，两种不同的求法。 【典型例题】 1 应用1:面积的计算问题 例1. 求下列图形的面积(网格图形的面积) 例2. 已知:平面直角坐标系中的三个点A(5，2)、B(2，5)、C(0，0) 求:S,_______ ?ABC 注:平面直角坐标系中的面积问题实际上就是网格问题 例3. 一次函数y,0.5x,3与两坐标轴所围成的三角形的面积是:________ x，1例4. 求一次函数y,和y,2x –2与两坐标轴所围成的图形的面积。 2 2 例5. 已知:在?ABC中，AB,BC,CA,2cm，求:S,_______ ?ABC 解:作?ABC的高线AD，BD,DC,1cm， 22由勾股定理可知:AD,cm AB,BD,3 112?S, ，BC，AD,，2，3,3cm?ABC22 总结:此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的三线合一、勾股定理、30?角的直角三角形的性质、三角形 的面积公式。 应用2:利用面积法进行有关的计算或证明: 一个图形的面积，两种不同的求法。 例6. 在直角?ABC中，?C,90?，若AC,4，BC,3，则斜边AB上的高CD,________。 C BDA 22222解:?ACB,90? ?AB,AC，BC,3，4,25 ， ?AB>0 ?AB,5 11AC，BC,S,AB，CD? ,ABC22 12?AC×BC,AB×CD 即:3×4,5×CD ?CD, 5 例7. 在直角?ABC中，?C,90?，若AC,5，BC,12，求:?ABC的两条角平分线的交点到三条边的距离。 3 分析:因为，?C,90?，若AC,5，BC,12， 所以:由勾股定理可知，AB,13，S,30 ?ABC 因为角平分线上的点到角的两边的距离相等， 所以，点P到三角形的三条边的距离相等，不妨设距离为:x S，S，S,S ?APC?BPC?APB?ABC 0.5×5x ，0.5×12x，0.5×13x,30 x,2 例8. 在等腰?ABC中，AB,AC，BD、CE是?ABC的高，求证:BD,CE A E D O B C 11证明:?，AB，CE,S,，AC，BD，AB,AC ,ABC22 ?BD,CE 例9. 已知:在等边?ABC中，AB,BC,CA,2 cm，如果点P是BC边上的一点，求:点P到边AB、AC的距离之和。 例10. (08山东)如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点停止(设点运动的路程为，?的面积为，如果关于的函数图象如APxABPyyx图2所示，则?ABC的面积是( ) A. 10 B. 16 C. 18 D. 20 4 y C D P A B O x 4 9 图1 图2 分析: 【模拟试题】(答题时间:40分钟) 1、求下列图形的面积 ?S,__________，?S,__________， 12 ?S,__________，?S,__________。 34 2、在平面直角坐标系中 ?A(,3，0)，B(2，0)，C(3，2)，则S,_________ ,ABC*?A(1，,3)，B(0，0)，C(4，,1)，则S,_________ ,ABC 1*3、一次函数与两坐标轴所围成的图形的面积。 y,3,x2 S,4、在等腰?ABC中，?B,30?，AB,AC,2，则_________。 ,ABC5、求边长为2的等边三角形的面积。 S,**6、在等腰?ABC中，AB,AC,12，?B,15?，求_________。 ,ABC 提示:作高CD。 2y,,2x，4**7、求直线和与两坐标轴所围成的图形的面积。 y,x,43 8、在平行四边形ABCD中，BC,4，CD,3，AE?BC，AF?CD，且AE,2。 求:AF。 5 9、在直角?ABC中，?C,90?，AB,5，AC,4。则斜边AB上的高CD,________。 *10、在Rt?ABC中，?C,90?，AC,12，BC,5。BD是?ABC的平分线，求点D到AB的距离。 6 七年级数学寒假专题1——面积问题与面积方法 试题答案 1、?9，?10，?7，?10.5 2、?5，?5.5 3、 11解:由x,0得 由得，，x,6。 y,3y,03,x,03,x22?一次函数与x轴的交点坐标是A(6，0)与y轴的交点B(0，3) ?一次函数与两坐标轴所围成的三角形面积是 11 S,OA,OB,，6，3,9.,AOB22 4、解:过点A作高AD。 ?AB,AC,2 ?BD,DC 又??B,30?，AD?BC 1?AD,1 AB,2 由勾股定理得: 22DC,BD,AB,AD,3， ？BC,23 11 ？S,，BC，AD,，23，1,3.,ABC22 5、 3解:(参见4)答案:面积单位。 6、 7 36面积单位 7、 解:直线与x轴交点A(2，0) y,,2x，4 2直线与y轴的交点C(0，,4)。 y,x,43 y,,2x，4,x,3,,由 得 ,2,y,,2y,x,4,,3, 两直线的交点坐标B(3，,2) 作BM?y轴 S? 四边形ABCO ,S，S梯形OABM,BMC 11,(2，3)，2，，2，3 22 ,5，3 ,8 S8、解:?BC?AE,,CD?AF 平行四边形?4×2,3?AF 8 ？AF,3 129、CD, 5 10、解:过点D作DM?AB。 ?BD平分?ABC，?C,90? ?设DM,DC,x。 8 由勾股定理可知。 AB,13。 又? S，S,S,ABD,BDC,ABC 111？AB,DM，BC，DC,CB，AC222 111？，(13x)，，(5x),，5，12 222 10x,3 10?点D到AB的距离是。 3 初一数学寒假专题 2 【本讲教育信息】 一. 教学内容: 寒假专题(二) 【教学目标】 1. 通过专题复习，掌握一元一次不等式、一元一次方程的解法。 2. 通过此专题复习，熟悉有关一元一次不等式、一元一次方程的综合题型的解法。 【教学重点、难点】 重点:一元一次方程、一元一次不等式的解法。 难点:一元一次方程、一元一次不等式的综合题型的解答。 【知识要点】 1. 有关一元一次方程的基本概念 ?含有未知数的等式叫方程。使方程两边的值相等的未知数的值叫方程的解。求方程的解的过程叫解方程。 ?含有一个未知数，并且含未知数的项中未知数的次数为1，这样的方程叫一元一次方程，如3x，8,6，6t，5 ,2t。 9 2. 解一元一次方程的步骤及注意事项 (1)去分母。方程两边都乘以分母的最小公倍数，但不能漏乘无分母的项。 (2)去括号。注意括号前的数要与括号里的每项相乘不漏乘，去括号按去括号法则进行。 (3)移项。注意移项要变号，没有从一边移到另一边的项千万不要变号。 (4)化简。注意方程两边的计算要准确。 (5)化系数为1。方程两边都除以未知数前面的系数，注意不能颠倒了分子分母。如3x, 434得x,，千万不能得x, 34 3. 有关不等式的概念 (1)表示不等关系的式子叫不等式。如3x?5，4m?m,5，1<2„„ (2)满足一个不等式的未知数的每一个值称为这个不等式的一个解，一个不等式的解的全体叫这个不等式的解集。 (3)求一个不等式的解集的过程叫解不等式。 (4)含有一个未知数且含未知数的项中未知数的次数为1的不等式叫一元一次不等式。 4. 一元一次不等式的解法与注意点 (1)去分母。注意不漏乘无分母的项，不等式方向有时会变。 (2)去括号。注意不漏乘括号里的项，去括号时注意符号是否要改变，不等式的方向不变。 (3)移项。移项变号，不等式的方向不变。 (4)化简。注意计算准确，不等式的方向未变。 (5)化系数为1。注意不颠倒分子、分母位置，并且当未知数前的系数为负数时，不等式的方向一定改变。 说明:解方程不存在不等式的方向改变这样的问题。因此，解不等式比解方程更要细心，解方程得到未知数的解一般只有一个，而解不等式得到的未知数的解一般有无数个，是一个集合。 5. 不等式的解集在数轴上表示 (1)画一条数轴，标出原点、正方向、单位长度及数值。 (2)找到不等式的解集的边界值。 (3)确定是否用空心圆圈或实心圆点表示。 (4)注意大于折线开口向右，小于折线开口向左。 【典型例题】 例1. 解下列方程。 (1)6x,8,x,26(2)6(x，1),7(x，5) 2x,15x,66529(3),,9(4)(x，1),(x,1)，0.2 23100100 1x,52x,6(5),0.4(3y，2),,1.5(y,1)(6)，,5100.10.5 10 解: (1)6x,8,x,26 移项:6x,x,,26，8 化简:5x,,18 18化系数为1:x,, 5 即x,,3.6 (2)6(x，1),7(x，5) 去括号:6x，6,7x，35 移项:6x,7x,35,6 化简:,x,29 化系数为1:x,,29 2x,15x,6 (3),,923 去分母:3(2x,1),2(5x,6),54 去括号:6x,3,10x，12,54 移项:6x,10x,54，3,12 化简:,4x,45 1化系数为1:x,,11 4 6529 (4)(x，1),(x,1)，0.2100100 去分母:65(x，1),29(x,1)，20 去括号:65x，65,29x,29，20 移项:65x,29x,,29，20,65 化简:36x,,74 37化系数为1:x,, 18 1 (5),0.4(3y，2),,1.5(y,1)10 213解法一: 化小数为分数:,(3y，2),,(y,1)5102 11 去分母:,4(3y，2),1,15(y,1) 去括号:,12y,8,1,15y，15 移项:,12y，15y,1，15，8 化简:3y,24 化系数为1:y,8 化分数为小数,0.4(3y，2),0.1,1.5(y,1)解法二: 去括号:,1.2y,0.8,0.1,1.5y，1.5 移项:,1.2y，1.5y,0.1，1.5，0.8 化简:0.3y,2.4 化系数为1:y,8 x,52x,6 (6)，,50.10.5 10x,504x,12 化分母为整数:，,511 即:10x,50，4x,12,5 移项:10x，4x,5，50，12 化简:14x,67 67化系数为1:x, 14 (只对每一个分母为小数的分式，分子、分母同时扩大相同的倍数，其他项不变，尽量乘以最小的倍数，否则数 大了，计算复杂些) 例2. 解下列不等式，并在数轴上表示它们的解集。 (1)3x，7,4x,6(2)2(x,5),3(6x,8) x,32x，65(x,2)(3),(4),2x,5 352 2x,68x，7(5)0.8(x,6),(2x,5)(6),，130.20.3解: (1)3x，7,4x,6 移项:3x,4x,,6,7 12 化简:,x,,13 化系数为1:x,13 在数轴上表示: -5 0 5 10 15 (2)2(x,5),3(6x,8) 去括号:2x,10,18x,24 移项:2x,18x,,24，10 化简:,16x,,14 7化系数为1:x, 8 在数轴上表示: -1 0 1 2 x,32x，6(3), 35 去分母:5(x,3),3(2x，6) 去括号:5x,15,6x，18 移项:5x,6x,18，15 化简:,x,33 化系数为1:x,,33 在数轴上表示: -36 -30 -24 -18 -12 -6 0 6 5(x,2) (4),2x,52 去分母:5(x,2),2(2x,5) 去括号:5x,10,4x,10 13 移项:5x,4x,,10，10 化简:x,0 在数轴上表示: -1 0 1 2 (5)0.8(x,6),(2x,5)3 42 化小数为分数:(x,6),(2x,5)53去分母:12(x,6),10(2x,5) 去括号:12x,72,20x,50 移项:12x,20x,,50，72 化简:,8x,22 11化系数为1:x,, 4 在数轴上表示为: -3 -2 -1 0 1 x,68x，7 (6),，10.20.3 10x,6080x，70 化分母为整数:,，123去分母:3(10x,60),2(80x，70)，6 去括号:30x,180,160x，140，6 移项:30x,160x,140，6，180 化简:-130x,326 163化系数为1:x,, 65 33即x,,2 65 在数轴上表示: 14 -3 -2 -1 0 1 331 说明:找解集的边界值时，要估计大约在什么位置，不能出现大的错误，在还要往左一丁点的位置,2,2652 331上，比小得多，离原点要更远一点。 ,2,2652 x，7m17m,x2x,m 例3. 关于x的方程,6x,5与,，1的解相同，求m的值。234 分析:由已知两方程的解相同，不是指方程相同，而是先把两方程的解求出，用m的表达式表示x，可得到两个 m的表达式相等，于是有第3个方程，解之得m。 x，7m解: 由,6x,5得:x，7m,12x,102 10，7m则,11x,,10,7mx, 11 17m,x2x,m 由,，1得:4(17m,x),3(2x,m)，1234 则68m,4x,6x,3m，12 ,4x,6x,,3m，12,68m ,10x,,71m，12 71m,12x, 10 10，7m71m,12由已知有:, 1110 则10(10，7m),11(71m,12) 100，70m,781m,132 70m,781m,,132,100 ,711m,,232 232m, 711 232m的值为答: 711 说明:此题涉及解三个方程，计算复杂，只要细心则行。 5x,5n 例4. 关于x的方程,2x,n，1的解是非负数，求n的取值范围。6 分析:此题中关于x的方程的解为非负，即大于或等于0，也必求出x来，用n的表达式表示，把n看作常数， 由已知非负，则可得到n的表达式大于或等于0，解不等式得n的取值范围，此题涉及解方程解不等式知识，关键在 15 理解题目，确保计算准确。 5x,5n解: 由,2x,n，1得:5x,5n,12x,6n，66 则5x,12x,,6n，5n，6 n,6即有:,7x,,n，6x, 7 n,6 由已知得:,0，则n,6,0，得n,67 答:n的取值范围为n?6。 【模拟试题】(答题时间:30分钟) 一、解方程 (1)2x,8,7x，9(2)3(x,5),2(x，7)，9 x，52x,55x，18x，2(3),，2(4),,3340.10.3 二、解不等式，并在数轴上表示它们的解集。 (1)3x，9,2x,7(2)4(2x,6),5(x,1)，2 8，7xx，53(3),，1(4)0.2(x,5),(8，3x)，1 234 8,3x4x，9(5),，30.20.5 5x,m8x，2mm,6x三、关于x的方程与的解相同，求m的值。 ,，1,3x，4267 7x，9t四、关于x的方程的解为负数，求t的取值范围。 ,2(3t，5)，23 16 初一数学寒假专题 试题答案 一、解方程 17(1)x,,(2)x,385 111(3)x,(4)x,,270 二、解不等式 (1)x,,16 -10 -5 0 5 -20 -15 (2)x,7 2 3 4 5 6 7 8 -1 0 1 8(3)x,, 19 -1 0 1 160(4)x,, 41 -2 -1 0 1 -4 -3 19(5)x, 23 -1 0 1 5x,m8x，2m三、解:由得7(5x,m),6(8x，2m)，42 ,，167 则 35x,7m,48x，12m，42 35x,48x,12m，42，7m ,13x,19m，42 19m，42x,, 13 17 m,6x由得: ,3x，4m,6x,6x，82 则 ,6x,6x,8,m ,12x,8,m m,8 x,12 19m，42m,8 由已知有:,,1312则 ,12(19m，42),13(m,8) ,228m,504,13m,104 ,228m,13m,,104，504 ,241m,400 400 m,,241 400答:m的值为, 241 7x，9t四、解:由 ,2(3t，5)，2得:7x，9t,6(3t，5)，63 则 7x，9t,18t，30，67x,18t，30，6,9t 7x,9t，36 9t，36x,7 9t，36由已知有:得: ,09t，36,07 解之得: t,,4 答:t的取值范围为。 t,,4 初一数学寒假专题 【本讲教育信息】 一. 教学内容: 寒假专题(三) 【知识要点】: 同学们好，今天我们来共同复习义务教育课程实验教科书，北京师范大学出版社出版的《数学》六年级 上册， 第四单元“数学与交通”。 18 本单元涉及认识与画图表、平均数、图像、图形(尺规画圆和弧)、比例尺与计算、方程等知识和技能。 一、平均速度与平均数 S平均速度同学们都很熟悉了，，它的一些变形也需要同学们掌握。平均数还涉及很多方面，比如说人均票价v,t ,所有买票的钱?所有人数，平均分数,总分?打分人数等。 具体包括:“平均速度”和“旅游费用”中的部分内容。 二、图表与行程问题 关于统计表的有关知识，我们在之前的课程中已经讲过。本章中我们将接触一些特殊的统计表和图表。它们在一些特殊的领域有着不同的用途。 其实关于里程表中的一些计算，同学们已经很熟悉了，下面列出两个图说明其中数据的关系。 如图1、图2所示，我们求里程表中任何一格时都可以采取“最外面格相加”的方法，也可以采取如图3所示的“右面格与最上面格相加”等方法。 具体包括:“里程表”和“运行图”中的部分内容。 三、旅游费用问题 这一部分内容主要是通过计算比较，找出最佳策略。 具体包括:“旅游费用”中的部分内容。 【例题分析】 例1:在一次独唱比赛中，6个评委给?号选手打的分数分别是: 评委 1 2 3 4 5 6 得分 9.65 9.25 8.75 10.00 8.35 7.70 假如你是第七位评委，你打的分数又不想影响?号选手原先的名次，应该给他打几分,说说你的理由。 分析与解答:首先我们先算出前6名评委打的分数的平均分数 (9.65+9.25+8.75+10+8.35+7.7)/6=8.95 19 要想不影响?号选手原先的名次，就不能改变他的平均成绩，给出的分数比平均分数不能高，也不能低，所以只能是8.95分。 答:要想不影响?号选手原先的名次，打的分数应为8.95分。 例2:一个人上山和下山的路程都是S，上山的速度是，下山的速度是，那么此人上山和下山的平均速度是vv12 多少, v，v12分析与解答:此题较为容易，但也非常容易出错。同学们经常将平均速度计算为。其实要求平均速度v,2只需知道两个量，总路程和总时间，没有第二个关系。第一种做法实际求的是“速度的平均数”，而不是平均速度。所以正确的做法是: SS总时间为:，而总路程为2S t,，vv12 2S所以平均速度为: v,SS，vv12 此题告诉我们，“速度的平均数”不是“平均速度”。 例3:一辆汽车从A地驶往B地，平均速度为60千米/时;从B地沿原路返回A地，平均速度为40千米/时，求该车往返的平均速度。 分析与解答:题目看起来并不复杂，不过条件越少的问题往往更不容易解决。题中只有两个数据:60千米/时与40千米/时。因为从A地到B地的距离没有改变，所以我们设A地到B地的距离为S，则 SS从A地到B地的时间为小时，从B地到A地的时间为小时 6040 2S2S2S2,,,,48平均速度为(千米/时) SS1111t，t12，S(，)，604060406040 解决这道题的关键是设出A、B两地的距离而不将其解出。 40，60错误的做法是:(千米/时) ,502 2vv2S12 v,,SSv，v12，vv12 :这是一个古老的问题，称为“波利亚迷题”:某人步行了5小时，现沿着平路走，然后上山，最后又沿着例4 原路返回原地。假如他在平路上每小时走4千米，上山每小时走3千米，下山每小时走6千米。试求他5小时共走了多少里, 分析与解答:题目中没有给出任何一段路程的长度，也没有给出走过任何一段路程所用的时间。 20 没有尝试就没有突破，因此我们先假设平路路程为，上坡路程为，下坡路程为。 SSS123 SSS123 此人行走的过程是平路、上坡、下坡、上坡、下坡、平路，所以5小时是由六部分组成的，即 SSSSSS331221 5T,,，，，，，436364 S，SS，SS23231 ,，，236 S，SS231 ,，22 S，S，S123 ,2 S 2, 2 所以(千米) S,5，4,20 S10，2我们来看一下他这一段路的平均速度:(千米/时)，正好与平路的速度一致，这是否是一种巧合,,,4T5 事实上，由于此人在同一段路上上坡与下坡的距离相等，所以这一过程也可以看成这个人始终在走平路，即始终以4千米/时的速度行走，5×4,20(千米/时)也可解决问题。 例5:“冰雪节”期间，某旅行社组织了35名游客去“亚布力”滑雪场游玩，由一名导游带领。滑雪场入口处的“购票须知”写道:“每人凭票进门。儿童、成人一律每张30元，40张开始可以享受团体八折优惠”。导游买票时付给售票员1000元，你认为够了吗,请用所学的数学知识来说明你的观点, 分析与解答:如果我们按照要求买票，则只能买35张，但根据已知条件“40张开始可以享受团体八折优惠”，可以尝试多买票而少花钱的情况。 导游若按“儿童、成人一律每张30元”付钱 则旅游团所花总费用为30×35=1050(元)>1000元。 所以付给的1000 元不够 若按“40张开始可以享受团体八折优惠” 的买票 则旅游团所花总费用为40× 30× 80,=960(元)<1000元。 所以付给的1000元足够了 这类问题不要求没有浪费，所以可以根据具体情况采取最佳策略。 例6:为满足广大市民春节期间旅游需求，某城市特加开一列风景旅游号列车，从A景点出发，途经B、C、D最后到达E，全程行驶约3小时(停站休息忽略不计)，已知C到B和D的距离一样。 21 (1)根据已有信息，完成下表(单位:km) 风景旅游号列车A景点至E景点站间里程表 (2)求出列车从D到E所需时间, 分析与解答:第(1)问，数据给的不全，如果只按照里程表中的数据只能得到以下答案: 这就要求同学们回到已知条件中认真读题，结合CB=CD和下图才可较容易地解决。 所以将里程表补全应是: 以往关于里程表的问题，都附带一问求平均速度，而第(2)问没有直接问平均速度，而是求时间，这就需要同学们仔细审题，彻底明白里程表问题，实际要想求结果也必须先求平均速度才能解决。 (2)列车的平均速度为300?3=100(千米/时) 从D到E所需时间50?100=0.5(小时) 【模拟试题】(答题时间:30分钟) 1、暑假，李明同学和爸爸、妈妈、爷爷、奶奶一家五口乘飞机旅游。航空公司有两种优惠政策。A种:大人按标准收费，学生六折。B种:四人以上一律八折。选择( )种方式最合算。 A、A种 B、B种 C、李明选A种，其他家人选B种 2、在一次登山活动中，小明上山时每分钟走50米，18分钟到达山顶，然后按原路下山，每分钟走75米。小明上、下山的平均速度是多少。 3、下面是京、广线铁路部分站间里程表(单位:千米)，请将表格填完整。 22 北京 北京 郑州 郑州 689 长沙 广州 长沙 898 广州 707 此次列车硬卧票价表(部分)如下: 完成下表: 里程/千米 671,700 701,740 861,900 1551,1610 2271,2340 京广线铁路部票价/元 156 163 191 310 411 分站间票价表(单 位/元) 北京 北京 郑州 郑州 156 长沙 长沙 广州 广州 4、甲、乙两岸相距24海里，一艘游艇顺水航行的时速为12海里，逆水航行时速为8海里，求这艘游艇的平均速度。 23 初一数学寒假专题 试题答案 1、C 2、60(米/分) 3、 北京 北京 郑州 郑州 689 长沙 长沙 1587 898 广州 广州 2294 1605 707 北京 北京 郑州 郑州 156 长沙 长沙 310 191 广州 广州 411 310 163 4、9.6海里/小时 初一数学寒假专题4 【本讲教育信息】 一. 教学内容: 寒假专题(四) 【知识要点】 上册，同学们好，今天我们来共同复习义务教育课程标准实验教科书，北京师范大学出版社出版的《数学》六年级 第五单元“数学与体育”。同学们都喜欢体育运动，其实享受体育的乐趣不光有运动员对人类体力的挑战，还有很多数学知识的应用。本单元涉及组合、图形(主要是圆的有关知识)、四则运算等知识和技能。其中会用列表或画图的方法解决体育比赛中的组队、比赛场次问题及其他相类似的组合问题是本章的重点。 一、比赛场次中的组合问题。 我们经常在体育新闻中听到某某球队提前几轮出现这样的话语，其实这中间包含了很多组合的知识。如果有n支球队进行比赛，比赛的场数会根据比赛的方式不同而不同。我们熟悉的比赛方式主要有淘汰赛和单循环赛。比赛的场 24 数分别是 淘汰赛:场 n,1 n(n,1)单循环赛:场 2 此外还要求同学们根据不同的比赛方式灵活的应用以上公式，分析解决不同问题，图表在这里也同样有着很大作用。 二、联络方案问题。 通过打电话进行联络是同学们日常生活中比较熟悉的事情，要求“尽快地通知到全班的同学”，也就是所需时间尽可能少。 画出清晰的图表是解决这类问题的关键。这部分内容我们在前面的章节中已经做过详细的讲解，在这里就不再赘述。 三、起跑线中的几何应用。 R r 事实上我们可以将所谓“起跑线”问题归结为以上图形所表示的问题:弯道 (R,r)1,的外圈半径为R米，内圈半径为r米，则在跑过这个圆的弯道时，外圈比内圈多跑了米，也就是外圈的起42 (R,r),跑线应提前米。 2 【例题分析】 例1:4个学校的代表队参加“友好杯”羽毛球比赛。 (1)如果采用单循环赛制，决出冠军和亚军，至少需要多少场, (2)如果采用淘汰制比赛，决出冠军和亚军，一共需要赛多少场, 分析与解答:此类问题比较简单，关键是审清问题，弄清采用什么赛制，再按照各种赛制的比赛方法计算出比赛场次。 (1)采用单循环赛制可以用图表的方法来解决，共有6场。 (2)采用淘汰制比赛4支球队需要淘汰掉3支，而每淘汰一支球队就需要进行一场比赛，所以共需进行3场。 25 A B C D 如果我们将题目改成:“10个学校的代表队参加“友好杯”羽毛球比赛。 1)如果采用单循环赛制，决出冠军和亚军，至少需要多少场, 2)如果采用淘汰制比赛，决出冠军和亚军，一共需要赛多少场, 3)若先分两个小组，在小组内采用单循环制，小组前2名共4支球队再进行淘汰制，决出冠亚季军，则共进行多((( 少场,” 1)采用单循环赛制如果还用图表的方法来解决未免有些麻烦，我们可以用公式法来解决: 10(10,1)比赛场数,场。 ,452 2)采用淘汰制比赛10支球队需要淘汰掉9支共需进行9场。 3)此类问题是综合以上两种比赛方式进行的，可以分为两部分: 循环赛部分:每一小组的比赛场数均为如图所示为10场，两个小组20场。 A B E C D 淘汰赛部分:四支球队淘汰赛共需4场，因为决出季军还得再进行一场。 所以加在一起共进行20，4,24场比赛。 例2:现有1角币一张，2角币一张，5角币一张，1元币一张，用这些人民币可以组成多少种不同数额的钱款, 分析与解答:我们可以用列举的方法来解决这道题: 由1张组成不同的钱数为 1角 2角 5角 1元 共计:4种 由2张组成不同的钱数为 26 1角+2角=3角 1角+5角=6角 1角+1元=11角 3种 2角+5角=7角 2角+1元=12角 2种 5角+1元=15角 1种 共计:3+2+1=6种 由3张组成不同的钱数为 1角+2角+5角=8角 1角+2角+1元=13角 1角+5角+1元=16角 2角+5角+1元=17角 共计:4种 由4张组成不同的钱数为: 1角+2角+5角+1元=18角 共计:1种 所以一共有:4+6+4+1=15种不同的钱数。 如果我们将题目改成:“现有1角币两张，2角币一张，5角币一张，用这些人民币可以组成多少种不同数额的钱 款” 我们还用这样的办法试试: 由1张组成不同的钱数为 1角 2角 5角 共计:3种 由2张组成不同的钱数为 1角+2角=3角 1角+5角=6角 2角+5角=7角 共计:3种 由3张组成不同的钱数为 1角+1角+2角=4角 1角+2角+5角=8角 共计:2种 由4张组成不同的钱数为: 1角+1角+2角+5角=9角 共计:1种 所以一共有:3，3，2，1,9种不同的钱数。 例3:暑假老师有急事电话通知某兴趣小组同学到校，已知兴趣小组的联络网是按分组的形式编排的，共分4组， 老师只负责通知给组长，再由组长通知组员，每个电话需要1分钟。 1)如果每个小组的人数一样多，那么最短几分钟能通知到全组20名同学, 2)如果由于某种原因必须按照下图的方案分组，最短几分钟能通知到全组20名同学, 27 3)如果每个小组的人数可以不一样多，那么如何编排各小组的人数能够在最短的时间内通知到全组20名同学, 分析与解答:第一个问题比较简单，我们这样解决:先将每人编号，再将时间标在每人代号的旁边或下方，所用的最短时间即时间数最大值。 1)如果每个小组的人数一样多，则应有以下图形所示的方案。 所以共需要8分钟能通知到全组20名同学。 2)第二个问题，如果我们按照题中的图形来解决 似乎需要10分钟才能全部通知到，不过我们将图形的位置颠倒一下: 最大的时间数为7，所以共需要7分钟就能通知到全组20名同学。 3)根据2)所做的研究，无论哪一组增加人数或减少人数，最大的时间数都不会小于7，所以2)中的方案能够在最短的时间内通知到全组20名同学，最短时间为7分钟 例4:红、黄两只蚂蚁都认为自己跑得快，于是决定比赛。红蚂蚁沿图中一个大半圆跑，黄蚂蚁沿着两个相同的小半圆跑，都从甲跑到乙，结果同时出发同时到达。你能说明2只蚂蚁谁跑的快吗, 甲乙 R分析与解答:设外面大圆的半径为R，则里面两个小半圆的半径为。 2 28 R,大半圆的长度=лR，小半圆的长度= 2 R,R,两个小半圆的长度之和=+=лR=大半圆的长度 22 因为这两个图形的长度相等，又同时出发同时到达，说明时间相等。 所以2只蚂蚁的速度相同。 这个图形比较特殊，如果我们将题目改成:“红蚂蚁沿图中一个大半圆跑，黄蚂蚁沿着三个相同的小半圆跑，都 从甲跑到乙，结果同时出发同时到达。”此时答案还一样吗, 甲乙 R不难得到:设外面大圆的半径为R，则里面3个小半圆的半径为。 3 R,大半圆的长度=лR，小半圆的长度= 3 R,R,R,三个小半圆的长度之和=+，=лR=大半圆的长度 333 所以，2只蚂蚁的速度仍相同。 如果我们将题目改成:“红蚂蚁沿图中一个大半圆跑，黄蚂蚁沿着两个不同大小的小半圆跑，都从甲跑到乙，结 果同时出发同时到达。”此时答案还一样吗, 甲乙 设外面大圆的半径为R，里面2个小半圆的半径分别为、R，则里面2个两个小半圆的半径和为，R,R。 RR2211大半圆的长度=лR，小半圆1的长度=，小半圆2的长度=R, R,21 两个小半圆的长度之和=+R,=,(R，R)=лR=大半圆的长度 R,2121 可见仍然有这样的规律。 最后如果我们将题目改成:“红蚂蚁沿图中一个大半圆跑，黄蚂蚁沿着任意多个不同大小的小半圆跑，都从甲跑 到乙，结果同时出发同时到达。”此时答案还一样吗, 29 甲乙 设外面大圆的半径为R，里面n个小半圆的半径分别为、„„，则里面n个小半圆的半径和为，RRRRR2n211，„„，,R。 Rn 大半圆的长度=лR，小半圆1的长度=，小半圆2的长度=，„„，小半圆n的长度=。 R,R,R,2n1 n个小半圆的长度之和=+，„„，=„„=лR=大半圆的长度。 R,R,,(R，R，，R)R,2n12n1 所以我们可以将此题总结为:只要黄蚂蚁沿着几个小半圆跑，无论小半圆的半径如何，都与红蚂蚁跑的路程一样。 【模拟试题】(答题时间:20分钟) 1、2名运动员进行400米赛跑，跑道宽1.2米，弯道部分为半圆，则相临两条跑道起跑线的差为__________米。 2、某项比赛，采用单循环制，那么每组4个队的小组会比每组3个队的小组多( )场比赛。 A. 1场 B. 2场 C. 3场 D. 6场 3、某市初中12支排球队进行比赛，如果采用单循环赛制，一共举行( )场比赛。 A、11 B、12 C、66 D、72 4、某校初中一年(6)班有44人，老师给同学布置这样一个作业题:请你为班级设计一个联络网，并提出如下问题供同学研究: ?借助电话传递一条信息，对于不同的方案打电话次数是否相同, ?如果打一次电话需要1分钟，那么从开始到结束，不超过9分钟传递一条信息，请你设计一种方案。 30 初一数学寒假专题4 答案 1、2.4 , 2、C 3、C 4、?相同 ?只要方案合理即可。 初一数学寒假专题4 【本讲教育信息】 一. 教学内容: 寒假专题(四) 【知识要点】 同学们好，今天我们来共同复习义务教育课程标准实验教科书，北京师范大学出版社出版的《数学》六年级 上册，第五单元“数学与体育”。同学们都喜欢体育运动，其实享受体育的乐趣不光有运动员对人类体力的挑战，还有很多数学知识的应用。本单元涉及组合、图形(主要是圆的有关知识)、四则运算等知识和技能。其中会用列表或画图的方法解决体育比赛中的组队、比赛场次问题及其他相类似的组合问题是本章的重点。 一、比赛场次中的组合问题。 我们经常在体育新闻中听到某某球队提前几轮出现这样的话语，其实这中间包含了很多组合的知识。如果有n支球队进行比赛，比赛的场数会根据比赛的方式不同而不同。我们熟悉的比赛方式主要有淘汰赛和单循环赛。比赛的场数分别是 淘汰赛:场 n,1 n(n,1)单循环赛:场 2 此外还要求同学们根据不同的比赛方式灵活的应用以上公式，分析解决不同问题，图表在这里也同样有着很大作用。 二、联络方案问题。 通过打电话进行联络是同学们日常生活中比较熟悉的事情，要求“尽快地通知到全班的同学”，也就是所需时间尽可能少。 31 画出清晰的图表是解决这类问题的关键。这部分内容我们在前面的章节中已经做过详细的讲解，在这里就不再赘述。 三、起跑线中的几何应用。 R r 事实上我们可以将所谓“起跑线”问题归结为以上图形所表示的问题:弯道 (R,r)1,的外圈半径为R米，内圈半径为r米，则在跑过这个圆的弯道时，外圈比内圈多跑了米，也就是外圈的起42 (R,r),跑线应提前米。 2 【例题分析】 例1:4个学校的代表队参加“友好杯”羽毛球比赛。 (1)如果采用单循环赛制，决出冠军和亚军，至少需要多少场, (2)如果采用淘汰制比赛，决出冠军和亚军，一共需要赛多少场, 分析与解答:此类问题比较简单，关键是审清问题，弄清采用什么赛制，再按照各种赛制的比赛方法计算出比赛场次。 (1)采用单循环赛制可以用图表的方法来解决，共有6场。 (2)采用淘汰制比赛4支球队需要淘汰掉3支，而每淘汰一支球队就需要进行一场比赛，所以共需进行3场。 A B C D 如果我们将题目改成:“10个学校的代表队参加“友好杯”羽毛球比赛。 1)如果采用单循环赛制，决出冠军和亚军，至少需要多少场, 2)如果采用淘汰制比赛，决出冠军和亚军，一共需要赛多少场, 3)若先分两个小组，在小组内采用单循环制，小组前2名共4支球队再进行淘汰制，决出冠亚季军，则共进行多(((少场,” 32 1)采用单循环赛制如果还用图表的方法来解决未免有些麻烦，我们可以用公式法来解决: 10(10,1)比赛场数,场。 ,452 2)采用淘汰制比赛10支球队需要淘汰掉9支共需进行9场。 3)此类问题是综合以上两种比赛方式进行的，可以分为两部分: 循环赛部分:每一小组的比赛场数均为如图所示为10场，两个小组20场。 A B E C D 淘汰赛部分:四支球队淘汰赛共需4场，因为决出季军还得再进行一场。 所以加在一起共进行20，4,24场比赛。 例2:现有1角币一张，2角币一张，5角币一张，1元币一张，用这些人民币可以组成多少种不同数额的钱款, 分析与解答:我们可以用列举的方法来解决这道题: 由1张组成不同的钱数为 1角 2角 5角 1元 共计:4种 由2张组成不同的钱数为 1角+2角=3角 1角+5角=6角 1角+1元=11角 3种 2角+5角=7角 2角+1元=12角 2种 5角+1元=15角 1种 共计:3+2+1=6种 由3张组成不同的钱数为 1角+2角+5角=8角 1角+2角+1元=13角 1角+5角+1元=16角 2角+5角+1元=17角 共计:4种 由4张组成不同的钱数为: 1角+2角+5角+1元=18角 共计:1种 所以一共有:4+6+4+1=15种不同的钱数。 如果我们将题目改成:“现有1角币两张，2角币一张，5角币一张，用这些人民币可以组成多少种不同数额的钱 33 款” 我们还用这样的办法试试: 由1张组成不同的钱数为 1角 2角 5角 共计:3种 由2张组成不同的钱数为 1角+2角=3角 1角+5角=6角 2角+5角=7角 共计:3种 由3张组成不同的钱数为 1角+1角+2角=4角 1角+2角+5角=8角 共计:2种 由4张组成不同的钱数为: 1角+1角+2角+5角=9角 共计:1种 所以一共有:3，3，2，1,9种不同的钱数。 例3:暑假老师有急事电话通知某兴趣小组同学到校，已知兴趣小组的联络网是按分组的形式编排的，共分4组， 老师只负责通知给组长，再由组长通知组员，每个电话需要1分钟。 1)如果每个小组的人数一样多，那么最短几分钟能通知到全组20名同学, 2)如果由于某种原因必须按照下图的方案分组，最短几分钟能通知到全组20名同学, 3)如果每个小组的人数可以不一样多，那么如何编排各小组的人数能够在最短的时间内通知到全组20名同学, 分析与解答:第一个问题比较简单，我们这样解决:先将每人编号，再将时间标在每人代号的旁边或下方，所用 的最短时间即时间数最大值。 1)如果每个小组的人数一样多，则应有以下图形所示的方案。 所以共需要8分钟能通知到全组20名同学。 2)第二个问题，如果我们按照题中的图形来解决 34 似乎需要10分钟才能全部通知到，不过我们将图形的位置颠倒一下: 最大的时间数为7，所以共需要7分钟就能通知到全组20名同学。 3)根据2)所做的研究，无论哪一组增加人数或减少人数，最大的时间数都不会小于7，所以2)中的方案能够在最短的时间内通知到全组20名同学，最短时间为7分钟 例4:红、黄两只蚂蚁都认为自己跑得快，于是决定比赛。红蚂蚁沿图中一个大半圆跑，黄蚂蚁沿着两个相同的小半圆跑，都从甲跑到乙，结果同时出发同时到达。你能说明2只蚂蚁谁跑的快吗, 甲乙 R分析与解答:设外面大圆的半径为R，则里面两个小半圆的半径为。 2 R,大半圆的长度=лR，小半圆的长度= 2 R,R,两个小半圆的长度之和=+=лR=大半圆的长度 22 因为这两个图形的长度相等，又同时出发同时到达，说明时间相等。 所以2只蚂蚁的速度相同。 这个图形比较特殊，如果我们将题目改成:“红蚂蚁沿图中一个大半圆跑，黄蚂蚁沿着三个相同的小半圆跑，都从甲跑到乙，结果同时出发同时到达。”此时答案还一样吗, 35 甲乙 R不难得到:设外面大圆的半径为R，则里面3个小半圆的半径为。 3 R,大半圆的长度=лR，小半圆的长度= 3 R,R,R,三个小半圆的长度之和=+，=лR=大半圆的长度 333 所以，2只蚂蚁的速度仍相同。 如果我们将题目改成:“红蚂蚁沿图中一个大半圆跑，黄蚂蚁沿着两个不同大小的小半圆跑，都从甲跑到乙，结 果同时出发同时到达。”此时答案还一样吗, 甲乙 设外面大圆的半径为R，里面2个小半圆的半径分别为、，则里面2个两个小半圆的半径和为，,R。 RRRR2211大半圆的长度=лR，小半圆1的长度=，小半圆2的长度= R,R,21 两个小半圆的长度之和=+==лR=大半圆的长度 R,,(R，R)R,2121 可见仍然有这样的规律。 最后如果我们将题目改成:“红蚂蚁沿图中一个大半圆跑，黄蚂蚁沿着任意多个不同大小的小半圆跑，都从甲跑 到乙，结果同时出发同时到达。”此时答案还一样吗, 甲乙 RRR设外面大圆的半径为R，里面n个小半圆的半径分别为R、„„，则里面n个小半圆的半径和为R，2n211 R，„„，,R。 n 36 大半圆的长度=лR，小半圆1的长度=，小半圆2的长度=，„„，小半圆n的长度=。 R,R,R,2n1 n个小半圆的长度之和=+，„„，=„„=лR=大半圆的长度。 R,R,,(R，R，，R)R,2n12n1 所以我们可以将此题总结为:只要黄蚂蚁沿着几个小半圆跑，无论小半圆的半径如何，都与红蚂蚁跑的路程一样。 【模拟试题】(答题时间:20分钟) 1、2名运动员进行400米赛跑，跑道宽1.2米，弯道部分为半圆，则相临两条跑道起跑线的差为__________米。 2、某项比赛，采用单循环制，那么每组4个队的小组会比每组3个队的小组多( )场比赛。 A. 1场 B. 2场 C. 3场 D. 6场 3、某市初中12支排球队进行比赛，如果采用单循环赛制，一共举行( )场比赛。 A、11 B、12 C、66 D、72 4、某校初中一年(6)班有44人，老师给同学布置这样一个作业题:请你为班级设计一个联络网，并提出如下问题供同学研究: ?借助电话传递一条信息，对于不同的方案打电话次数是否相同, ?如果打一次电话需要1分钟，那么从开始到结束，不超过9分钟传递一条信息，请你设计一种方案。 37 初一数学寒假专题4 答案 1、2.4 , 2、C 3、C 4、?相同 ?只要方案合理即可。 初一数学寒假专题——列方程、列不等式解应用题 【本讲教育信息】 一. 教学内容: 寒假专题——列方程、列不等式解应用题 二. 教学目标: 1. 通过此专题复习掌握列方程、列不等式解应用题的方法步骤。 2. 通过此专题复习，熟练地列方程、列不等式解决实际问题。 三. 本周重点难点: 重点:列方程解应用题、列不等式解应用题。 难点:有关解应用题中的综合性、决策性问题。 四. 本周知识要点: 1. 列方程或列不等式解应用题的关键是从问题中找出一个等量关系或不等关系，恰当地设未知数，把相等的各个量 或不等的各个量用已知数和未知数的代数式表示，这样可列出方程和不等式。 2. 列方程、列不等式解应用题的一般步骤 (1)审:审题。分析题中已知什么、未知什么、求什么、明确量之间关系。 (2)找:找出能够表示应用题全部含义的相等关系或不等关系。这一步要抓住题中关键性语句。 (3)设:设未知数，一般求什么就设什么为x，有时可间接设未知数，一般设的时候要带单位。 (4)列:列方程或不等式，把相等关系或不等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来。 (5)解:解所列出的方程不等式，求出未知数的值。 (6)答:检验所求解是否符合题意，是否符合实际，写出答案。 38 3. 列方程或不等式解应用题时要注意的几点 (1)设未知数和写答案时，一定要写清楚单位。 (2)列方程或不等式时，两边所表示的量应该相同，并且单位要统一。 (3)对于求得的方程或不等式的解，还要看是否符合题意与实际情况。 (4)有时应用题解答需要分情况讨论，才能做决策。 【典型例题】 例1. 现有甲、乙两项工程甲工程的工作量是乙工程的工作量的2倍，第一组有19人，第2组14人(设每人工作效 率相同)，怎样调配两组的人数，才能使两项工程同时开工又同时完工呢,(一种答案即可) 分析:甲工程的工作量为乙工程的工作量的2倍，且人均工作效率相同，所以甲工程需要的人数是乙工程需要的 人数的2倍，第一组人数多于第二组人数，但第一组人数不是第二组人数的2倍，甲、乙工程的人数必须互相抽调， 可从第二组抽人数到第一组中去完成甲工程，也可从第一组抽调人数到第二组中去做甲工程，但必有等量关系为:做 甲工程的人数,做乙工程的人数×2。 解法一:设从第二组抽x人到第一组去完成甲工程，依题得: 19，x,2(14,x) 解之19，x,28,2x x，2x,28,19 3x,9 x,3 答:从第二组抽3人去第一组做甲工程，第二组做乙工程。 解法二:设从第一组抽y人到第二组，由第二组做甲工程，依题意得 14，y,2(19,y) 解之14，y,38,2y 3y,24 y,8 答:从第一组抽8人到第二组做甲工程，第一组做乙工程。 说明:做甲工程的人数还可以从第一组抽18人，第二组抽4人。 从第一组抽17人，第二组抽5人。 „„ 14，19 做甲工程人数和为，2,22人3 39 2 例2. 一个长方形如图所示，恰分成六个正方形，其中最小的正方形的面积为1cm，求这个长方形的面积。 CB A D FE (2)(1) 分析:本题要求长方形的面积，只要求出这个长方形的长与 2宽。这里只知道最小的正方形的面积为1cm，即边长为1cm。其他正方形边长、面积均为不知道，如图(2)中，n个 正方形分别标以A、B、C、D、E、F可观察得到。 正方形E的边长,正方形F的边长， 正方形D的边长,正方形E的边长，1， 正方形C的边长,正方形D的边长，1 正方形B的边长,正方形C的边长，1， 原长方形的长,正方形E、F、D的边长和 原长方形的宽,正方形D、C的边长和 原长方形的长,正方形B的边长，正方形C的边长,正方形D的边长，2，正方形C的边长 即原长方形的长,正方形D、C的边长和，2,原长方形宽，2 正方形A、B、C、D、E、F的边长都有联系，设正方形E的边长为xcm 求出x，其他的边长，长方形长、宽可求出，面积可求出。 解:设正方形E的边长为xcm，则原长方形的长为(3x，1)cm 宽为(x，1，x，1，1)cm依题得 3x，1,(x，1，x，1，1)，2 解之x,4，则3x，1,13，x，1，x，1，1,11 所以长方形面积,13×11,143 2答:这个长方形面积为143cm。 说明:此题采用了间接设未知数的办法，通过图形观察、分析找到等量关系，才列出方程。 1 例3. 一个两位数，十位上的数比个位上的数小1，十位与个位上的数的和是这个两位数的，求这个两位数。 5 1分析:本题的等量关系为“十位与个位上的数的和是这个两位数的”求两位数不能直接设两位数，而要先设个5 位数为x，则十位数为(x,1)，这个两位数可表示为:10(x,1)，x 解:设个位数字为x，则十位上的数为(x,1)，依题得 1 x,1，x,[10(x,1)，x]5 40 解之:5x,5，5x,10x,10，x 5x，5x,10x,x,,10，5 ,x,,5 x,5 当x,5时，x,1,5,1,4，10(x,1)，x,45 答:这个两位数为45。 说明:此题也是间接设未知数，要注意两位数的大小是如何表示的。 例4. 在知识竞赛的预选赛中共有20道题，对于每一道题答对得10分，答错或不答扣5分，总得分不少于80分者通过预选赛，小明通过预选赛，小明可能答对了多少道题, 分析:抓住“不少于80分”这个关键语句，可以找到一个不等关系:“小明的得分大于或等于80分”，设小明答对x道题，则小明的得分可表示为:10x,5(20,x) 解:设小明答对x道题，依题得: 10x,5(20,x),80 10x,100，5x,80 15x,180 x,12 取满足题意的整数解:12，13，14，15，16，17，18，19，20。 答:小明可能答对了12或13或14或15或16或17或18或19或20道题。 说明:此应用题作答时要注意用词恰当。 例5. 某童装加工企业今年五月份工人每人平均加工童装150套，最不熟练的工人加工的童装为平均套数的60%，为了提高工人的积极性，按时完成外商订货，企业从六月份起进行工资改革，改革后每位工人的工资分二部分:一部分为每人月基本工资200元，另一部分为每加工一套童装奖励若干元。 (1)为了保证所有工人的每月工资收入不低于市有关部分规定的最低工资标准450元，按五月份工人加工的童装的套数计算，工人每加工1套童装企业至少奖励多少元,(精确到分) (2)根据经营情况，企业决定每加工1套童装奖励5元，工人小张争取六月份工资不少于1200元，问小张在六月份应至少加工多少套童装, 分析:(1)可找不等关系:基本工资，奖励?450 (2)可找不等关系:基本工资，5×童装套数?1200 解:(1)设企业每套奖励x元，由题意得: 200，60%，150x,450 解之x,2.78 41 因此该企业每套至少奖励2.78元。 (2)设小张在六月份加工y套，由题得: 200，5y,1200 解之y,200 答:小张六月份至少加工200套童装。 说明:本题取材于实际生活中的工作量，奖金问题。利用不等式解决实际问题的题较多，应多加关注、多练习。 【模拟试题】(答题时间:30分钟) 1. 甲、乙二人在体育场400m环形跑道上赛跑，甲的速度是乙的速度的2倍，若两人同时同地同向出发，1分40秒后甲、乙首次相遇，问二人速度各为多少,若两人同时同地背向而行，几分钟可相遇, 2. 某工人在一定时间内加工一批零件，如每天加工44个就比任务少加工20个，如每天加工50个，则可超额10个，求规定的零件数与加工天数。 3. 某种商品换季处理，若按标价的七五折出售，将亏25元，而按标价的九折出售将赚20元，问这种商品的标价是多少,进价为多少, 4. 某公司向银行贷款40万元，用来生产新产品，已知货款的年利率为15%(不计复利:即还贷时每年利息不重复计息)每个新产品成本2.3元，售价4元，应纳税为销售额的10%，如每年生产该种产品20万个，并把所有利润全部用来还贷，问用几年后一次可还清, 5. 两位老师准备带若干名学生外出旅游，甲、乙两家旅游公司的定价相同，且都表示提供优惠，甲公司对老师和学生一律7折收费，乙公司对老师全价，学生按半价收费，问选择哪个公司合算, 6. 某宾馆底楼比二楼少5间，某旅游团有48人，若全安排在底楼，每间4人，房间不够，每间5人，有房间没住满5人，又若全安排在二楼，每间3人，房间不够，每间4人，有房间没有住满4人，该宾馆底楼有多少间房, 42 初一数学寒假专题——列方程、列不等式解应用题 试题答案 1. 解:设乙的速度为x米/秒，则甲的速度为(2x)米/秒，依题得; (2x,x)，100,400 解得 x,4 (米/秒) 2x,2，4,8 4001005 ,秒,(分钟)4，839 5答:甲的速度为8米/秒，乙的速度为4米/秒，分钟后相遇。 9 2. 解:设计划加工x天，依题得: 44x，20,50x,10 x,5 (个) 44x，20,240 答:规定的零件个数为240个，加工天数为5天。 3. 解:设这种商品标价x元，则 解之得 0.75x，25,0.9x,20x,300 进价为:(元) 0.9x,20,0.9，300,20,250 答:商品标价为300元，进价为250元。 4. 解:设需x年还清，依题得 40，40，15%,x,[(4，20)，(1,10%),2.3，20]x 解之x=2 答:2年后才能一次还清。 5. 解:设带x个学生，两公司原定价为1个单位，若甲公司优惠，则列不等式为: 0.7(x，2),2，0.5x 解之，x为正整数，取 x,3x,1，2 当时，乙公司优惠，带3个学生两公司一样优惠。 x,3 答:带1名或2名学生，甲公司合算。 带3名学生，两公司一样合算。 带3名以上学生，乙公司合算。 6. 解:设宾馆底楼有x间房，依题得: 4848,x, 即 9.6,x,1254 43 则x取10或11 ? 4848又,x，5,即 ? 7,x,11？x,8，9，1043 由??知 x,10 答:宾馆底楼有10间房。 七年级数学寒假专题——代数式 【本讲教育信息】 一. 教学内容: 寒假专题——代数式 1(理解字母表示数的重要意义以及代数式的意义，会根据实际问题列代数式，会求代数式的值，能解释代数式的值所表示的实际意义。 2(理解同类项、合并同类项的意义，掌握合并同类项的法则，并能正确合并同类项、根据合并同类项化简求值。 3(掌握去括号的法则，并能根据去括号的法则进行代数式的化简与求值。 4(进一步熟悉计算器的使用，能借助计算器探索数量关系，解决某些实际问题。 5(会用代数式表示简单问题中的数量关系，能用合并同类项、去括号等法则验证所探索的规律。 二. 学习重难点: 1(重点:列代数式，根据代数式化简求值，根据图形进行规律探索。 2(难点:根据代数式说出它所表示的实际意义，利用去括号法则去括号以及探索图形中的规律问题。 3(主要考点:(1)根据实际问题列代数式;(2)代数式的化简求值;(3)探索规律 三. 知识要点讲解: (一)明确代数式的特征 代数式是一个非常重要的概念，它贯穿于初中代数的始终，我们可以看出代数式的三个特征: 1(代数式是用运算符号把数和表示数的字母连结而成的。如:3a、a+b等。 2(单独一个数或一个字母也是代数式。如:7、x等。 3(代数式中是不含等号的。运算律、公式，它们都是以等号形式出现的，应该说，这些等式的左、右两边，各是一个代数式。如:S=ab，它是用等号把代数式S与ab连结起来而成为公式，所以S=ab不是代数式，而是公式。 (二)注意代数式的书写格式 1(代数式中出现的乘号，通常简记作“?”或省略不写。数字和数字相乘，乘号不能省略;数字和字母相乘，可以省略乘号，但数字必须写在字母前面，如:a×2可记作2a，不能写成a2;字母和字母相乘时，除可省略乘号外，一 44 般习惯按英文字母表示的自然顺序来书写，如:y×x×2，可简记为2xy。 1912(带分数和字母相乘时，若要省略乘号，须把带分数化成假分数，如:x×，记作，不能写成，另外，4x4x222当一个因数是1时，通常省略不写，如1×a，不能写成1a，而应记作a。 sah 3(代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写，如:s?t应记作，ah?2记作。 t2 4(写代数式的答案时，若是乘、除关系的，单位名称直接写在式子的后面，如:正方形面积是12a平方厘米，无需加括号;若是加减关系时，必须把式子用括号括起来，再写单位，如:三角形的周长是(a+b+c)米。 (三)掌握列代数式的要点 列代数式就是把问题中与数量关系相关的语句，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来。 首先弄清问题中的数量关系，如:和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、增加到、减少到、增加了、减少了等，并把这些语言转化为算式。 其次是弄清问题中的运算顺序，特别是注意括号的运用。 最后要明确列代数式与小学的算术列式类似，所不同的是把数改为表示数的字母来列式。 例1. 设甲数为x，用代数式表示乙数 (1)乙数比甲数的2倍小3; (2)乙数比甲数大16,， 解:(1)中的甲数转化为“x”，“小”转化为运算符号“,”，先表示甲数的2倍2x，再表示比2x小3的数是2x,3。 (2)中甲数的16,即为:16,?x，“大”转化为运算符号“+”，即“x+16,?x 或(1+16,)x。 例2. 设甲数为x，乙数为y，用代数式表示 (1)甲乙两数的平方和(即平方的和)。 (2)甲乙两数的和与甲乙两数的差的积。 22 解:(1)中就是:甲数的平方+乙数的平方，注意先平方后和，即x+y。 (2)中就是:(甲数+乙数)×(甲数,乙数)，注意先算和、差，再相乘，和、差要添括号，即(x+y)(x,y)。 (四)准确求出代数式的值 一般地，把用数值代替代数式里的字母，按照代数式中指明的运算，计算出的结果，叫做代数式的值，在这个概念中，实际上也指出了求代数式的值的方法，即一是代入、二是计算，当代数式中有多个字母时，代入值不要混淆，式中的同一个字母其值应该是相同的，在进行运算时，既要分清运算的种类，又要注意运算顺序。某些求代数式的值的题目，没有直接给出代数式中相关字母的值，而是给出某种关系，这时要认真仔细观察题目特征，运用整体代换的方法来进行求值。 例3. 若代数式2x+3y+7的值是8，那么4x+6y+10的值是多少? 45 解:本题没有给出x、y的值，而是已知2x+3y+7=8，这时易知2x+3y=1，然后再观察4x+6y+10这个代数式，其式中的4x+6y正好是2x+3y的2倍，即4x+6y=2(2x+3y)，所以4x+6y=2，此时4x+6y+10的值就是2+10=12了。 (五)会应用代数式解决实际问题 应用数学知识解决实际问题是学习数学的目的，灵活应用代数式，可以解决许多实际问题。 例4. 用a米长的篱笆材料，在空地上围成一个绿化场地。现有两种设计方案:一种是围成正方形的场地;另一种是围成圆形的场地。试问选用哪一种方案，围成的场地面积较大?并说明理由。 解:设S、S分别表示围成的正方形场地和圆形场地的面积，则 12 2222aaaa,,,,S,,,S,,, ,,,,124162,4,,,,, 2211aa?π,4，? ,,,,4164, ?S,S，故应选用围成圆形场地的方案，它的面积较大。 21 例5. 暑假里父亲、儿子、女儿准备外出旅行，咨询时了解到，甲旅行社规定:大人买一张全票，两个孩子的费用可按全票价的一半优惠;乙旅行社规定:三人旅行可按团体票计价，即按原价的60,收费。已知两个旅行社的原价相同，问选择哪个旅行社，能多省钱? 解:设两个旅行社的原票价为a(a>0)元，则甲旅行社的收费为a+2×0.5a=2a(元)，乙旅行社的收费为3×60,a=1.8a(元)。因为2a>1.8a，所以选择乙旅行社能多省钱。 (六)在列代数式中培养创新能力 “创新是一个民族的灵魂。”我们每个中学生都应具有创新意识，在数学学习中创新，就是要对自然界和社会中的数学现象具有好奇心，会从数学的角度发现和提出问题，并加以探索和解决。 例6. 给出下列算式: 2222 3,1=8=8×1，5,3=16=8×2 2222 7,5=24=8×3，9,7=32=8×4 观察上面一系列等式，你能发现什么规律?用代数式表述这个规律。 分析:观察可知左边是连续奇数的平方差(大数减小数)，右边是8的倍数，其规律可用代数式表述为 (2n+1)22,(2n,1)=8n(n为自然数)。 2 例7. 问题:你能很快算出1995 吗? 为了解决这个问题，我们考察个位数为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可用代数式表示为10n+5， 46 2问题即转化求(10n+5) 的值(n为自然数)，试分析n=1，n=2，n=3，„这些简单情况，从中探索其中的规律，并归纳、猜想出结论(在下面横线上填上你的探索结果)。 (1)通过计算，探索规律: 2 15=225，可写成100×1×(1+1)+25， 2 25=625，可写成100×2×(2+1)+25， 2 35=1225，可写成100×3×(3+1)+25， 2 45=2025，可写成100×4×(4+1)+25， 2 75=5625，可写成_____________。 2 85=7225，可写成_____________。 „„ 2 (2)从第(1)题的结果，归纳、猜想得:(10n+5)=_____________。 2 (3)根据上面的归纳、猜想，请算出:1995=______ 解:(1)l00×7×(7+1)+25，100×8×(8+1)+25; (2)100n(n+1)+25，n为自然数; (3)100×199×(199+1)+25=3980025。 本例的实质是先用代数式表示出一般情况，再求特殊情况下代数式值的计算规律，归纳出一般性结论，再求这个一般性结论中代数式的值，体现了“特殊—— 一般 ——特殊”的思想方法，这正是用字母代数 (从特殊到一般)后再求代数式的值(从一般到特殊)这种思想方法的反复应用。发现是创新的前提，以上两例要求同学们从具体、特殊的事例中探究其存在的规律，并把潜藏在现象中的本质挖掘出来，并用代数式加以表示。规律被找出，即是完成了一个创新过程。 四. 思想方法 1(代数思想:用字母表示数，并让字母和数一样参加运算是数学中重要的思想方法.在解决一些实际问题时，通过用字母表示某些量进行计算，可使运算非常简捷。 2(分类思想:字母可以表示正数，也可以表示负数或0，在具体的求值中，如果没有明确字母的具体取值，则需要对字母的取值分类讨论。在求代数式的值或比较代数式的值的大小时，应注意分类思想的应用。 3(整体思想:代数式的化简，有时可以从整体的角度思考问题，即将局部放在整体中去观察分析探究问题的解决方法，从而使问题得以简捷巧妙解决。在代数式的化简中应注意这种数学思想的应用。 【典型例题】 1(列代数式 和列代数式有关的题目主要包含以下几点:?根据实际问题列代数式;?用代数式解决实际问题;?已知代数式，从实际问题角度出发说出代数式所能表示的实际问题。解决问题的关键是理解题目中的数量关系，注意一些公式的应 47 用。 例1. 如图1，某长方形广场的四个角都有一块半径相同的四分之一圆形的草地，若圆形的半径为r米，长方形的长为a米，宽为b米.则空地面积用代数式表示为_____。 图1 分析:本题是一道数形结合题，要用代数式表示空地的面积，观察图形可知:空地的面积等于长方形的面积减去四个四分之一圆的面积，也就是长方形的面积减去一个半径为r米的圆的面积.因为长方形的面积为ab平方米，圆的 22,r,r面积为平方米，所以空地的面积为(ab,)平方米。 2,r 解:(ab,) 评注:根据图形中的数量关系列代数式也是一个重要类型，解决此类问题需要了解图形的一些特征，如长方形的面积的公式，圆的面积的公式等。 22mnmn,,,(0) 例2. 代数式的两个实际意义是: ， 。 分析:此类问题的答案较多，只要能用代数式表达出实际意义即可.如:大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，大正方形与小正方形的面积差是多少.再如，摩托车每辆m元，自行车每辆n元，m辆摩托车比n辆自行车贵多少钱。 解:略 评注:说出代数式的实际意义，一定要注意所写的实际问题要有意义.能够和代数式相吻合。 2. 代数式的化简 与代数式的化简有关的题目主要涉及先去括号，再合并同类项.解决问题的关键是正确使用去括号法则以及合并同类项的法则，并注意乘法分配律的使用。 22例3. 化简(8xy,3x),5xy,3(xy,2x+3) 分析:本题是一道综合化简题，首先要根据去括号法则去括号，然后再根据合并同类项的法则合并同类项。 22 解:(8xy,3x),5xy,3(xy,2x+3) 22=8xy,3x,5xy,3xy+6x,9 2=3x,9. 评注:使用乘法分配律注意不要漏乘括号内的项，括号前是“,”时，去括号应注意变号。 48 例4. 化简3(x,y),2(x+y),5(x,y)+4(x+y)+3(x,y) 分析:此题的一般解法是去括号，然后合并同类项，若按常规的方法，需去5个括号，计算较繁琐，若将(x+y)，(x,y)各看作一整体，进行整体合并，则化简快捷方便。 解:3(x,y),2(x+y),5(x,y)+4(x+y)+3(x,y) =3(x,y),5(x,y)+3(x,y),2(x+y)+4(x+y) ,(x,y)，2(x，y) ,x,y，2x，2y ,3x，y 评注:整体思想是一种重要的数学思想，解题时应注意这种思想的应用。 3. 代数式的求值 和求代数式的值有关的题目主要分两类:一是直接代入求值，这类问题比较简单，常以选择或填空题的形式出现;二是先化简，后求值.这类问题比较常见。 122例5. 先化简，再计算: (3a,ab+7),(5ab,4a+7)，其中a=2，b= 3 分析:本题主要考查去括号及合并同类项.解决问题的基本步骤是先去括号，后合并同类项.去括号时，应注意去括号法则的应用。 22222解:(3a,ab+7),(5ab,4a+7)=3a,ab+7,5ab+4a,7=7a,6ab 1当a=2，b=时，原式=28,4=24. 3 评注:化简求值，一定要保证化简的正确性，否则，代入求值做的就是无用功了。 4. 探索规律 探索规律型问题是考试的一个重点，常见的探索规律型问题与图案中的规律探索有关.解决规律探索问题，一般可采用归纳猜想的方法求解，然后进行特殊验证。 n例6. 如图2，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第个图案中白色瓷砖的块数为_________块( 图2 分析:观察第1个图案中白色瓷砖的块数为1+3+1=5块，第2个图案中白色瓷砖的块数为2+4+2=8块，第3个图案中白色瓷砖的块数为3+5+3=11块，依此规律可以得到第n个图案中白色瓷砖的块数为n+(n+2)+n=3n+2块。 49 解:3n+2 评注:探索规律型问题的解法有时比较多，可以从不同的角度思考问题，但结果都是一样的。本题也可以从5，8，11，„数字之间的关系发现规律。 5. 探究说理题 探究型问题是在代数式化简的基础上，通过对题目的变式提问等方式设计出来的一种题目，解决这类题目的关键还是代数式的化简。 2222 例7. 有一道题“先化简，再求值:17x,(8x+5x),(4x+x,3)+(,5x+6x+2006),3，其中x=2006。”小芬做题时把“x=2006”错抄成了“x=2060”。但她计算的结果却是正确的，请你说明这是什么原因, 分析:本题可通过将多项式进行去括号，合并同类项再进行说理。实际上，当x=2006和x=2060时，多项式的值不变，说明合并同类项后，结果与x无关。 2222解:17x,(8x+5x),(4x+x,3)+(,5x+6x+2006),3 2222=17x,8x,5x,4x,x+3,5x+6x+2006,3 2=(17,8,4,5)x+(,5,1+6)x+(3+2006,3) =2006 由计算的结果不含字母x，可知此多项式的值与字母x的取值无关.所以小芬将x=2006错抄成x=2060时，计算的结果不变。 评注:与代数式有关的说理型问题，主要是通过代数式的化简进行说理的.正确的化简是说理的基础。 6. 用字母表示数的实际应用 对于有关的实际问题，可以通过用字母表示数，得到有关代数式，通过代数式的化简来解决问题。 例8. 扑克牌游戏: 小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作: 第一步:分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌现有的张数相同; 第二步:从左边一堆拿出两张，放入中间一堆; 第三步:从右边一堆拿出一张，放入中间一堆; 第四步:左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆. 这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数.你认为中间一堆牌现有的张数是 张。 分析:因为第一步各堆牌的张数相同，所以可设为n张，则第二步后左边一堆为(n,2)张，中间一堆为(n+2)张;第三步后，中间有(n+2+1)张;第四步，中间一堆为(n+3),(n,2)=5(张)。 解:5 评注:本题是字母表示数的思想方法应用的重要展现，在解决实际问题时注意对这种思想方法的应用。 50 【模拟试题】(答题时间:70分钟) 考点1:列代数式 一. 选择题 1. 下面的代数式中，书写表达符合要求的是( ). ab132 A(ab B( C(4xy D(x+y克 44 2(如果a是有理数，则下面的代数式始终有意义的是( ). 1111 A( B( C( D( 22aa，12aa，1 3(用代数式表示“x的2倍与y的平方的差”正确的是( ). 2222 2A((2x,y) B(x,2y C(2x,y D(2x,y 4(a是一个两位数， b是一个一位数，如果把b放在a的左边组成一个三位数，则这个三位数表示为( ). A(100b+a B(100a+b C(10b+a D(10a+b 5(从山顶到山脚共s千米，某人上山用了a小时，下山用了b小时，那么这人在往返过程中的平均速度表示为( ). s2sA(千米/小时 B(千米/小时 a，ba，b 1ssssC(( +)千米/小时 D(( +)千米/小时 2abab 二(填空题 6(两个数之和为100，其中一个用x表示，那么另一个数表示为______，它们的积表示为___________。 7(体育用品商店的老板进了某种型号的篮球10个，另一种型号的足球20个，已知这种篮球的进价是a元/个，足球的进价是b元/个，那么老板共用去了________元钱。 8(小明家去年总收入为x元，今年的总收入比去年提高了20,，则今年总收入是________元。 9. 如图1，阴影部分的面积表示为__________。 图1 10(一棵小树苗，刚栽下时高1.5米，以后每年长0.6米，则n年后树高为________米。 三(解答题 11(将左边的语句与右边的式子用线连接起来。 51 11?a与b的平方和 A. ，ab 22 ?a与b和的倒数 B. a,b 2?a与b的差的平方 C. (a+b) 1?a与b的和的平方 D. a，b 22?a与b的倒数的和 E. a+b 2?a与b的平方差 F. (a,b) 12(某生活小区有一块长为am，宽为bm的长方形绿地，现打算在绿地中建两条小径，如图2所示，那么建好小径后， 陆地的面积用代数式表示为多少, 13. 某一个电影院内共有50排座位，第一排座位有25个，以后每一排比它的前一排多一个座位。 (1)请求出第10排有多少个座位, (2)请表示出第n排(n是不超过50的正整数)的座位数。 考点2:求代数式的值 一. 选择题 221. 已知x的相反数是,2，y的倒数是2，那么代数式x+y+2xy的值是( ). 925A. 0 B. 16 C. D. 44 222222. 下列说法:?代数式a+b的值一定是非负数，?代数式(a+b)的值一定是非负数;?a,b的值一定是非负数， 其中正确的有( ). A. ?? B. ?? C. ?? D. ??? 423. 当x分别等于1和,1时，多项式x+2x+5的值( ). A. 互为相反数 B. 互为倒数 C. 相等 D. 异号 4. 已知|x|=5，|y|=4，且x+y,0，那么xy的值等于( ). A. 20 B. ,20 C. 20或,20 D. 以上答案都不对 535. 已知y=ax+bx+cx，当x=2时，y=100;则当x=,2时，y的值为( ). 52 A. ,100 B. ,98 C. ,102 D. 98 二. 填空题 3226. 当代数式3x,2x,4的值为2时，的值为_________。 x,x2 7. 小明今年m岁，他爷爷的岁数是他的5倍，那么5年后，爷爷的年龄是______岁。 8. 12世纪，数学家斐波拉契提出了有名的“兔子繁殖问题”，经研究得到一列数:1，1，2，3，5，8，13，x，34， 55，y，z，„，根据你的观察，计算出2y+ x,z=____。 9. 两个圆的直径之和为10?，其中一个圆的半径为r?，则另一个圆的周长为__________?。 10. 已知a+ b=10，ab=,11，那么5 a+5 b,2 a b的值为_________。 三. 解答题 11. 用火柴棒搭了如图3的一些图形。 (1)填表 第n个图形 ? ? ? 火柴棒根数 (2)用含有n的代数式表示第n个图形中火柴棒的根数。 12. 某商店出售一批水果，最初以每箱a元的价格出售m箱;后来每箱降价了b元，又售出m箱;最后剩下的30箱 以c元每箱的价格售完。 (1)用代数式表示这批水果共卖了多少元, (2)如果这批水果每箱的进价为20元，试计算当m=20，a=35，b=7，c=22时，该店共赚了多少元, 考点3:合并同类项及去括号法则 一. 选择题. 1. 下列式子中正确的是( ). 22A. 3ab,2ba= ab B. 3xy,2xy=1 34224C. 15x+5x=20x D. a+a=a 2. 下列各组整式中，不是同类项的是( ). 53 222323A. 3ab与,2ba B. 2ab与2ba 23423232C. abc与10abc D. ,3ab与2ba 3. 下列各式中去括号正确的是( ). A. a,2(2b,3c+d)=a,4b,3c+d B. a,2(2b,3c+d)=a,2b+3c,d C. a,2(2b,3c+d)=a,4b+6c+2d D. a,2(2b,3c+d)=a,4b+6c,2d 1224. 若多项式3x+xy与3y,3axy+5的和中不再会有xy的项，则a的值为( )。 3 11A. 1 B. ,1 C. D. , 995. 一个长方形的一边长是2a+3b，另一边长是a+b，则这个长方形的周长是( ). A. 12a+16b B. 6a+8b C. 3a+4b D. 以上都不对 二. 填空题: 236. 代数式,5xyz的系数是______，次数是________。 62n,1m，n7. 若,2xy与3xy是同类项，则m=_______，n=_________。 8. 代数式a,2b,3c的相反数是_________。 9. 若M=,5a+3b，N=2a,7b，则M+N=_________，M,N=__________。 10. 在下面的括号内填入适当的式子，使从左到右的变形是正确的: x,2y+3z,4p=x+(_________)=x,(_________)=x,2(_________)。 三. 解答题 2211. 先化简，再求值:(8a,9a),2(1,5a+4a)，其中a=,2。 2212. 三角形的一边长为(2x,3x,4)?，另一边长是(x+x+1)?，第三边长是这两边差的2倍，求这个三角形的 周长。 考点4:整式的加减法及应用 一. 选择题: 22221. 一个多项式减去x—2y等于x+y，则这个多项式是( )。 222222 22A. 2x,y B. ,2x,y C. x,2yD. ,x+2y 22. 已知,x+2y=3，则3(x,2y),4(x,2y),1的值为( )。 A(24 B(25 C(38 D(39 54 123. 与A的和是x，则A表示的式子是( ). x，x,12 11112222A. B. , C. D. , x，1x，1x,1x,12222 4. 如果用a、b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，交换这个两位数的十位数字和个位数字后，得到一个新的两位数，这两个两位数的差一定能够( )。 A. 被6整除 B. 被9整除 C. 被10整除 D. 被11整除 2222225. 要使(ax,2xy+y),(,x+bxy+4y)=5x—6xy+cy始终成立，则a、b、c的值分别是( )。 A. 4，4，3 B. ,4，4，,3 C. 4，,4，,3 D. 4，4，,3 二. 填空题 6. 某个学习小组中12岁的学生有a人，13岁的学生有b人，14岁的学生有c人，那么这个小组的平均年龄是_________。 7. 一个三位数，十位数字为x，百位数字比十位数字的2倍少3，个位数字比十位数字多2，那么这个三位数表示为_________。 8. 如果A=m,n，B=n,p，并且A+B+C=0，则C=_________。 9. 图4中阴影部分的面积为_________。 10. 已知甲、乙两地相距S千米，货车需t小时走完全程，客车少用1小时走完全程，则客车每小时比货车多行驶_________千米。 三. 解答题 222211. 若|x+2|+(y,3)=0，并且A=2xy+3y，B=x,xy+y，求2A,6B的值。 12. 某市的出租车有两种车型，它们的收费标准也不同，A型车的起步价为5元，2km后每千米价为1.2元;B型车的起步价为8元，3km后每千米价为1.00元。 (1)如果小明要乘坐出租车到20km处的某地，你帮他计算一下，乘坐哪种车型的出租车合算, (2)请你计算乘坐A型出租车和B型出租车x(x,3)km时的差价是多少元, 1，(1，1)，(2，1，1)213. 已知1=1=; 6 2，(2，1)，(2，2，1)221+2=5=; 6 55 3，(3，1)，(3，2，1)2221+2+3=14=. 6 观察上面算式的规律并解答下列各题: ，，，，，，，，2222(1)1+2+3+4= 6 ，(，，，，，，，22222(2)1+2+3+4+„+n= 6 22222(3)计算1+2+3+4+„+100的值. 22222(4)计算2+4+6+8+„+100的值. 56 七年级数学寒假专题——代数式 试题答案 考点1 一. 选择题 1. B 2. C 3. D 4. A 5. B 二. 填空题 6. 100,x，x(100,x) 7. 10a，20b 222，，,R,r,R，r8. (1，20%)x 9. —— 22210. 1.5+0.6n 三. 解答题 11. ?E，?D，?F，?C，?A，?B 12. ab,(bd+ac,cd) 13. (1)34，(2)25,(n,1) 考点2 一. 选择题 1. D 2. A 3. C 4. C 5. B 二. 填空题 6. 3 7. 5m，5 8. 55 9. 2π(5,r) 10. 72 三. 解答题 11. (1)3，9，18 (2)3(1+2+3+„+n) 12. (1)am+(a,b)m+30c (2)520 考点3 一. 选择题 1. A 2. B 3. D 4. C 5. B 二. 填空题 57 6. ,5，6 7. 5，1 8. ,a+2b+3c 9. ―3a―4b，―7a+10b 10. ,2y，3z―4p，2y―3z，4p，y,1.5z，2p 三. 解答题 11. 化简为a,2，值为,4 212. (5x,10x,13)? 考点4 一. 选择题 1. A 2. C 3. B 4. B 5. D 二. 填空题 12a，13b，14c6. 7. 211x,298 a，b，c s1s28. ,m，p 9. 10. , at2t,1 三. 解答题 11. ,84 12. (1)B型车，(2)2.2x,8.4 13. (1)4，4+1，2×4+1 (2)n，n+1，2n (3)338350 (4)171700 初一数学寒假专题——分情况讨论 【本讲教育信息】 一. 教学内容: 寒假专题——分情况讨论 二、教学要求 1、巩固有理数的几种分类方法，加法及乘法法则，深入理解相反数、乘方、绝对值的概念，知道几何图形的分类及 角的分类方法; 2、树立分类意识，能够从问题环境中抓住分类的对象，并能根据对象的特点找出科学合理的分类标准; 3、能够在实际背景中理解各数量关系及变化规律，合理分情况讨论;发展应用数学知识解决问题的意识和能力， 58 进一步加深对相关数学知识的理解;认识数学知识之间的联系。 三、重点、难点 重点: 1、巩固基本概念与法则; 2、从问题情景中抓住分类的对象并找出正确的分类标准; 3、能够逐类讨论并概括归纳。 难点: 1、确定分类对象及标准 2、正确、全面地讨论、归纳 四、课堂教学 (一)知识要点 1、基本概念的讨论 在本学期的学习中，我们接触了许多的新概念及概念之间的关系，如整式分为单项式与多项式、等式分为方程、恒等式与矛盾式，几何图形分为平面图形与立体图形，角按角度分为零角、锐角、直角、钝角、平角、优角、周角。以上这些都是对一个较大的概念按一定的标准进行分类，而我们往往通过对其中每一小类的讨论，掌握其性质，从而对大概念这一整体进行把握。我们所接触的事物往往不是单一的，一成不变的，因此需要我们能够分清它的不同情况，逐一讨论，通过概括总结解决问题。 (1)有理数的分类 有理数按不同的目的标准有不同的分类方法，我们常见的两种是: 注意:确定统一的分类标准，按照标准分类要做到既不重复又不遗漏。我们对有理数的相反数、绝对值及倒数的讨论往往建立在有理数分类的基础上。 2)相反数、绝对值、倒数 ( (A)相反数 a,a,a,a数的相反数表示为，不一定是负数。对于的符号的确定需要分类讨论。 59 ,0a,0, ,,a0 a,0 , ,,0a,0, (B)绝对值 a数的绝对值表示为，对于的化简要有具体分类讨论的思想，把可能出现的情况都想到，做到解题准确。一aa 般是对绝对值里面的式子按正数、负数、0进行分类，确定为哪一类，再根据其性质讨论。 aa,0, ,a,0a,0 , ,,aa,0, 如: a,1a,1, ,a,1,0a,1 , ,1,aa,1, ,aa,0, ,,a,0a,0 , ,a,0a, (C)倒数 ,0,a,0111aa数的倒数表示为，与的符号相同，即 ,aa,0aa,0, 对于一个数的倒数大小的讨论有四种情况: 1?时， 0,,1a,1a 1?时， ,10,a,1a 1?时， ,,1,1,a,0a 1?时， ,1,,0a,,1a 2、加法与乘法的法则 加法法则:(1)同号的两个数相加，符号不变，并把两个加数的绝对值相加。(2)异号的两个数相加，取绝对 值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数和为0。(3)0和任何一个有理数 相加，仍得这个有理数。 乘法法则:同号两个数相乘得正，异号两个数相乘得负，并把绝对值相乘，任何有理数和0相乘都得0。 加法与乘法法则都要对进行运算的两个数分类讨论，对每类的运算结果进行规定，进行计算时首先要确定进行运 算的两个数属于哪一类，特别地，除法与减法可以转化为乘法和加法进行。 在,2、3、4、,5这四个数中求任何两个数相乘，所得的积中最大的。 60 共有,2×3、,2×4、,2×(,5)、3×4、3×(,5)、4×(,5)六种情况，积最大的值为正数，因此必为 同号相乘，只有,2×(,5)、3×4两种情况，可知最大的积是3×4,12。 通过分析几种情况利用法则可准确判断结果，而不出现漏掉最大值的现象。 3、比较大小 a对于一些没有具体数值而比较大小的问题，需要分情况讨论其结果。如与比较， a，t?时， t,0a，t,a ?时， t,0a，t,a ?时， t,0a，t,a aa，则与比较。、都有三种情况:正数、0、负数，分别讨论。a,bbb b,0a,b b,0a,b?时有三种可能，，此时 a,0 b,0a,b b,0a,b b,0a,b?时有三种可能，，此时 a,0 b,0a,b ?时不可能，因为最小的绝对值为0。 a,0 综合 ，当时，;当时。 a,ba,0a,ba,0a,b n，，,a4、 n，，，，，，，，，，,a,,a，,a，,a，？，,a有两种情况， ,,,,,,,,,,,,,n个 n,an是正偶数,n，，,a, ,n,n是正奇数a,, 如化简 ,1n是正偶数，特别注意当n为正整数时,n，1 。 ,,1，，,1n是正奇数, 2n，，,1,1m,4n,？为偶数，2n，1,2n,1为奇数，如 nnn，，,a,a另外，由于为正偶数时， 2则可知，互为相反数的偶数次幂相等，则偶数次幂为一个正数的数有两个，如，则。由乘法法则a,25a,,5 可知，任何数的偶次幂都为正数。 5、应用题 在现实生活中存在一些问题需要分不同情况讨论，总结结论。 61 如某出租车收费标准是4千米以内为10元，超过4千米不足20千米时，每千米1.2元;超过20千米后，每千米 s1.8元。甲乘坐出租车走了千米，则应付多少车费, ss其中没有给出在哪一范围内。这段路有三种情况。因此，要对分情况讨论。分、和三s,44,s,20s,20 种情况讨论。 ss?时，收费10元;?在4,20千米时，收费(10，1.2×(,4))元;?时，收费,(10，1.2s,4s,20 s×16，1.8×(,20)),元。 6、几何方面 在几何中分情况讨论的问题也相当普遍，同学们往往看不到分类的必要性。 如过平面上三点，两两画一条直线，可有几条直线。 分两种情况:三点在一条直线上，则可画一条直线;三点不在一条直线上，则可以画三条直线。 一个钝角减去一个锐角是什么角，有三种情况。 ?钝角，如170?,20?,150? ?直角，100?,10?,90? ?锐角，120?,60?,60? 【典型例题】 例1:在直线AB上取点C，已知AB,8?，BC,2?，求AC。 分析:作图是其中的关键。C点在直线AB上，但是C点是否取在A、B之间没有确定，要分情况讨论。 情况1:C点在AB之间，可知，AC,AB,BC,8,2,6(?)。 情况2:C点在AB之外，可知AC,AB，BC,8，2,10(?)。 20042005，，，，a，b,cd，x例2:已知a,b互为相反数，c,d互为倒数，，求的值。 x,2 分析:，则，分两种情况: a，b,0,cd,1,x,2x,,2 解:(1)当时，原式,0,1，2,1 x,2 62 (2)当时，原式,0,1,2,,,3 x,,2 aa例3:表示有理数，那么一定小于吗, 3a a分析:是有理数，有三种可能:正数、0、负数。对三种情况分别讨论。 解:?时， a,0a,3a ?时， a,0a,3a ?时，。 a,0a,3a 例4:比较与的大小。 a，ba，b 分析:与都为正数，由加法法则，可知比和都大。化简，要判断符号。 aba，baba，ba，b由加法法则可知，有5种情况:?同号;?异号且负数绝对值较大;?异号且正数绝对值较大;?互a,ba,ba,b 为相反数;?中一数为0。 a,b 分别讨论， 情况?, a，ba，b 情况?< a，ba，b 情况?< a，ba，b 情况?< a，ba，b 情况?, a，ba，b 综合以上情况，则 a，b,a，b 解:。 a，b,a，b 例5:已知4条线段，长度分别是5?、6?、11?、16?，任取三条可组成几个三角形。 分析:如图三角形ABC，线段BC是B到C的连线，AB，AC为B到C的折线，由两点之间线段最短可知，AB，AC>BC。 则以上四个数据中任取三个也应满足这个关系。 A B C 解:?取长度分别为5?、6?、11?的线段，5，6,11不符合规定; 63 ?取长度分别为5?、6?、16?的线段，5，6,11<16不符合规定; ?取长度分别为5?、11?、16?的线段，5，11,16不符合规定; ?取长度分别为6?、11?、16?的线段，6，11,17>16 11，16,27>6 16，6,22>11符合规定。则可知能组成一个三角形。 小结: (一)能够确定树立分类的意识，分类时统一分类标准; (二)按分类标准做到既不重复又不遗漏; (三)逐步讨论完全; (四)善于总结概括结论。 【模拟试题】(答题时间:30分钟) 一、填空 1、将下列各数填入相应的括号内。 ,611 ,15,,0.02,,97,0,1.5,,,2,,753 正数集合, , 负整数集合, , 整数集合 , , 有理数集合 , , 2、已知，，则的最大值为 。 x,2003y,2004x,y 3、若，则 (填>、<或,) ,aaa,0 4、，则 0(填<、 >或,)。 a,ba,b,0 5、若，且，那么 0(填<、 >或,)。 a,0,b,0a,ba，b 6、若，则 (填<、 >或,) a,ba,ba,b,0 n，，,17、化简, a8、，则 0。 ,a,,a 9、三条直线两两相交有 个交点。 ，，,bb,010、的倒数是 ，相反数是 绝对值是 。 64 二、选择 1、两个数的积是负数，则( ) A. 两个数都是负数 B. 一个数是负数，一个数是正数 C. 至少有一个数是负数 D. A或B 2、如果有理数的倒数的绝对值分别是3和2，那么的值是( ) a,ba，b 55515A. 是 B. C. 是 D. 或 ,,,,666663、两个数的积是零，下列判断中正确的是( ) A. 两个数都是零 B. 其中只有一个数是零 C. 至少有一个数是零 D. 一个数不小于零，另一个数不大于零 nn，1n，，，，,1a，,1a4、若为正整数，那么的结果是( ) A. 0 B. C. D. 或 2a,2a2a,2a 三、化简 1、 2、 1,a2x,,x 65 初一数学寒假专题——分情况讨论 试题答案 一、填空 ,611、正数集合 ,, ,97,1.5,2,,73 负整数集合 ,,15 , 整数集合 , ,15，97，0 , ,611,15,,0.02,,97,0,1.5,,,2有理数集合 , , 7532、4007 3、<(提示若，则) a,,a,,a,0a,0 4、> 5、< 6、, 1n为正偶数,7、 ,,1n为正奇数, 8、, 9、1或3 bb,0,1,b,0,,b,b,010、 ,b,b,0,b, 二、选择题 1、B 2、D 3、C 4、A 三、化简 1、解:当时，即时，, 1,a1,a,0a,11,a当时，即时，, 1,a1,a,0a,1a,1当时，|1,a|,0 1,a,0 2、解:当时，, 2x,,x2x,x,xx,0 当时，,0 2x,,xx,0 ，，，，2,x,,x,,x当时，, 2x,,xx,0 66 xx,0, ,所以,0 x,0 2x,,x, ,,xx,0, 初一数学寒假专题——规律探索 【本讲教育信息】 一、教学内容: 寒假专题——规律探索 在学习和生活中，我们经常会碰到一些连续重复出现某种现象的有规律的问题(我们如何寻找这些规律，解决这些问题呢,本讲就此问题中常见的几种类型，举例说明如何解决规律性问题( 二、考点分析: 近年来有关规律探索性题目在初中数学的考试题中频繁出现，所占分值不高，但难度偏大(主要类型有:图形规律、数的运算规律、代数式的规律等问题( 【典型例题】 题型一 关于图形排列的规律性问题 例1.观察下列图形，根据变化规律推测第100个与第_______个图形位置相同( „„ 分析:图中的小猪只有三种形态，第4个图和第1个图相同，第5个图和第2个图相同，第6个图和第3个图相同，„„(依此规律，第7个图应该和第1个图相同，第10个图和第1个图相同，每过三个图形便重复一次(第99个图形正好重复33次，那么第100个图形与第1个图形位置相同( 解:1 评析:本题也可以把图形转化为数字:1，2，3，4，5，6，„„，如果某个数字被3除余1，那么该图形与第1个图形位置相同;如果某个数字被3除余2，那么该图形与第2个图形位置相同;如果某个数字被3整除，那么该图形与第3个图形位置相同(100除以3余数是1，所以第100个图形与第1个图形相同( 例2.观察下列图形: 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20个图形共有__________个?( 67 分析:第1个图形有1×3,3个?;第2个图形有2×3,6个?;第3个图形有3×3,9个?;第4个图形有4×3,12个?，„„，第20个图形有20×3,60个图形( 解:60 评析:图中三角形是由?组成的，第1个图形中每边有2个?，共有2×3,3,3个?;第2个图形中每边有3个?，共有3×3,3,6个?;第3个图形中每边有4个?，共有4×3,3,9个?;第4个图形中每边有5个?，共有5×3,3,12个?;„„(第20个图形中每边有21个?，共有21×3,3,60个( 例3. 如图所示，在锐角?AOB内部，画1条射线，可得3个锐角;画2条不同射线，可得6个锐角;画3条不同射线，可得10个锐角;„„照此规律，画10条不同射线，可得锐角__________个( AAA CCD„„CDE BBBOOO 分析:在?AOB内部画一条射线时第1个图形共有3条射线，以OA为边可以形成?AOC，?AOB;以OC为边可以形成?AOC、?BOC;以OB为边可以形成?AOB、?BOC(这些角两两重复，实际是6?2,3个角(即第1个图形有3×2?2,3个角(同理，第2个图形有4×3?2,6个角，第3个图形有5×4?2,10个角，„„，画10条不同的射线时是第10个图形，共有12条射线，有12×11?2,66个角( 解:66 评析:和本例类似的题目: (1)在一条直线上取n个不同的点可以组成多少条线段，如图所示( ABCDE 点A可以和除A以外的所有点(n,1)组成线段，点B可以和除B以外的所有点(n,1)组成线段，„„，这样的点A或点B或„„共有n个，所以有线段n(n,1)条(在这n(n,1)条线段中两两重复，如以A为端点的线段包 1含AB，而以B为端点的线段也包含AB，所以组成的不同线段有n(n,1)条( 2 (2)在联欢会上，到场的n个人每两人握一次手，共握手多少次, 这个问题也可以用类似的方法求解，在一条直线上取n个不同的点，每个点代表一个人，求握手次数可以转变成求不同线段的条数( 题型二 有理数的规律性问题 例4. 有一组数:1，2，5，10，17，26，„„，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为__________( n(2)已知a,(,1)，1，当n,1时，a,0;当n,2时，a,2;当n,3时，a,0;„(则a，a，a，a，n1231234a，a的值为__________( 56 222分析:(1)观察这组数，正好是从0开始的连续完全平方数加1，如1,0，1，2,1，1，5,2，1，„„所以 2n第8个数应为:7，1,50((2)对于a,(,1)，1，当n,1时，a,0;当n,2时，a,2;当n,3时，a,0;„(可n123见当n为奇数时，a,0;当n为偶数时，a,2(则a，a，a，a，a，a的值为6( nn123456 解:(1)50(2)6 68 例5. 观察下图中一列有规律的数，然后在“,”处填上一个合适的数，这个数是__________( 24 3515 488 30? 分析:由图中看到第二个数字是由第一个数字加上3得到的，第三个数字是由第二个数字加上5得到的，第四个数字是由第三个数字加上7得到的，后面依次加上9，11，„( 解:63 22评析:直接观察0，3，8，15，„„，可以发现每个数加上1后都变成完全平方数，也就是0,1,1，3,2,1， 2228,3,1，„„，48,7,1(下一个数应该是8,1,63( 例6. 符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下: (1)f(1),0，f(2),1，f(3),2，f(4),3，„ 1111(2)f(),2，f(),3，f(),4，f(),5，„2345 1利用以上规律计算:f(),f(2008),__________( 2008 分析:根据(1)和(2)推测出运算法则，由(1)可得，当取1、2、3、4、„这样的正整数时，结果为0、1、2、3、„的整数，用一个一般性的式子表示是f(n),n,1，这里n取正整数(则f(2008),2008,1,2007(由(2) 111可得，f(),n，这里n取大于等于2的整数，所以f(),2008，所以f(),f(2008),2008,2007n20082008 ,1( 解:1 评析:定义新运算也是常见的创新题型，本题主要考查对数量与数量之间关系的理解( 【方法总结】 解答规律性问题要求学生学会观察，懂得分析，善于归纳、总结，在解决这类问题的过程中促进数学知识和数学方法的巩固和掌握，提高学生思维能力的提高和自主探索、创新精神( 【模拟试题】(答题时间:45分钟) 一. 选择题 1. 用M，N，P，Q各代表四种简单几何图形(线段、正三角形、正方形、圆)中的一种(图1,图4是由M，N，P，Q中的两种图形组合而成的(组合用“&”表示)(( ) 69 M,PN,PN,QM,Q图2图1图3图4 那么，下列组合图形中，表示P&Q的是( ) ABCD 2. 观察下列图形，并按照此规律从左向右第2007个图形是( ) „ ABCD123456 3. 观察下面给出的四个点阵，s表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第n个点阵中 的点的个数s为( ) A. 3n,2 B. 3n,1 C. 4n，1 D. 4n,3 „ 第1个第2个第3个第4个 s,1s,4s,7s,10 4. 有30张分别标示1,30号的纸牌(先将号码数为3的倍数的纸牌拿掉，然后从剩下的纸牌中，拿掉号码数为2 的倍数的纸牌(若将最后剩下的纸牌，依号码数由小到大排列，则第5张纸牌的号码为( ) A. 7 B. 11 C. 13 D. 17 *5. 观察表1，寻找规律(表2是从表1中截取的一部分，其中a、b、c的值分别为( ) 表1 1 2 3 4 „„ 2 4 6 8 „„ 3 6 9 12 „„ 4 8 12 16 „„ „„ „„ „„ „„ „„ 表2 16 a 20 b c 30 A. 20，25，24 B. 25，20，24 C. 18，25，24 D. 20，30，25 3333**6. 2，3和4分别可以按如图所示方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，6也能按此规律进行“分裂”， 3则6 “分裂”出的奇数中最大的是( ) 70 13715333342935171119 A. 41 B. 39 C. 31 D. 29 二. 填空题 1. 根据下列图形的排列规律，第2008个图形是福娃__________(填写福娃名称即可)( 2. 观察下列图形的排列规律(其中?，?，?分别表示五角星、正方形、圆)(???????????????„„ 若第一个图形是圆，则第2008个图形是__________(填名称)( 3. 如图，观察下列图案，它们都是由边长为1的小正方形按一定规律拼接而成的，依此规律，则第16个图案中cm 的小正方形有__________个( „„ 1234图案图案图案图案 4. 用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第(3)个图形中有黑色瓷砖__________块，第n 个图形中需要黑色瓷砖__________块(用含n的代数式表示) „„ (1) (2) (3) **5. 如图所示，?中多边形(边数为12)是由正三角形“扩展”而来的，?中多边形是由正方形“扩展”而来的，„， 依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为__________( 三. 解答题 *1. 下图是2009年1月的日历(任意画一个方框框住9个数字( 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 71 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)方框中的9个数字之和与该方框中间的数字有什么关系, (2)这个关系对其他这样的方框成立吗,用代数式表示这个关系( (3)这个关系对2009年10月的日历也成立吗, 72 初一数学寒假专题——规律探索 试题答案 一. 选择题 1. B 2. C 3. A 4. C 5. A 6. A 提示:观察数字排列规律发现:一个数能“分裂”成的奇数中最大的那个奇数在最下面，且这个奇数与这个 3数的关系是:5,2×3,1;11,3×4,1;19,4×5,1;„;那么6能“分裂”出的最大的奇数应是:6×7,1,41( 二. 填空题 1. 欢欢 2. 正方形 3. 136 4. 10，3n，1 5. n(n，1) 提示:图?可以看成一个正三角形的每条边变成:(由4条折线组成); 图?可以看成一个正方形的每条边变成:(由5条折线组成); „„ 图?的边数:3×4,12; 图?的边数:4×5,20; 图?的边数:5×6,30; 图?的边数:6×7,42; „„ 正n边形“扩展”而来的多边形的边数为:n(n，1)( 三. 解答题 1.(1)方框中的9个数之和是该方框正中间的数的9倍( (2)这个关系对其他这样的方框仍然成立( 设第一行最左边的数为a，则这9个数的和为: a，(a，1)，(a，2)，(a，3)，(a，4)，(a，5)，(a，6)，(a，7)，(a，8),9a，36,9(a，4)(而 正中间的数为a，4，所以这九个数的和为正中间的数的9倍( (3)结论仍然成立，理由同(2)( 73