2006江苏省数学学会等级教练培训讲义——从几何问题谈数学竞赛的。。。

2006江苏省数学学会等级教练培训讲义——从几何问谈数学竞赛的。。。 2006江苏省数学学会等级教练培训讲义 ——从几何问题谈数学竞赛的培训工作 满涛 2006年7月26日 数学竞赛——交流、学习、共同进步 教练员应做到 , 研究竞赛试题 , 做好培训 , 培训的有序正常开展 , 自身水平的提升 第一部分 从初中数学竞赛试题看竞赛试题的特点和 1、下图是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是正方形四条边的中点，请计算图中红色 八边形的面积。 H , G F (试题的美、整体中研究部分、落脚点很容易) H 、 , G F 2、如图，四边形ABCD 中，AD = DC = BC，角CDA = 150?，?C为直角，则?B= 。 69 0 辅助线添加的对称、整体的思想、简洁、新意。 0 3、空间有一红色实心单位正方体，问最多能在它周围摆上 个黄色实心单位正 1 方体，使得摆的每个正方体与红色正方体都有大于零的接触面积( 解:如图，象下面中间那层那样摆好7个正方体，中间红色的就是固定的那个正方体;上面、下面也都这样摆好7个，然后将上下的7个正方体旋转45度即可(也见旁边俯视图( 总结初中数学竞赛几何试题的特点 ? 代数化 4、在长方形ABCD中，BF=AE=3厘米，DE=6厘米，三角形GEC的面积是20平方厘米，三角形GFD的面积是16平方厘米，那么，长方形ABCD的面积是多少平方厘米, 设AG和GB的长度，列方程分别示已知的两个三角形面积。注意三角形GEC和三角 形GFD的面积可表示成矩形的面积与周围的直角三角形的面积差。 5、在?ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD?CE，BD=4，CE=6，那么，?ABC的面积等于( ) (A)12 (B)14 (C)16 (D)18 连接DE，先求梯形DBCE的面积。求面积的时候利用两条对角线相互垂直，那么梯形的面积就是被对角线分成的四个小直角三角形的面积和。利用了因式分解。 ? 优化问题 6、如果?的两边长分别为、，那么?的面积不可能等于 ( ) ABCabABC 11112 22 2 2 (A) (a+ b) (B) (a+ b) (C) (a + b ) (D) ab 4284?考虑到三角形的面积不大于其任意两边乘积的一半。?基本不等式。 7、凸四边形ABCD中，AB+AC+CD=16,问:对角线AC,BD为何值时，四边形ABCD面积 2 最大,面积最大值是多少, 解:设AB=x, AC=y, 则CD=16-x-y. 11S,S，S,xy，y(16,x,y),ABC,ACDABCD四边形22 o(当，BAC,，ACD,90时取等号) 11111222,xy，8y-xy,y,,(y,16y),,(y,8)，32.22222 当y,8时，面积最大值为32。 o，BAC,，ACD,90,AC,8,BD,82答:当时， 四边形ABCD的最大面积为32。 18、如图，四面体DABC的体积为，且满足6 ACCD,则 。 ，ACB,45:,AD，BC，,3, 2 111解: ？AD,(,BC,AC,sin45:),V,,DABC 326 ACACAC3即又 AD,BC,,1.3,AD，BC，,AD,BC,,3, 222 ACAB,1,AD,？DC,3等号当且仅当AD,BC,,1时成立，这时面ABC，. 2 ? 整体和部分 9、一块四边形绿地(如图)BC=a,CD=b,?C=120?,?D=135?,求这块地的面积。(用a,b,c 表示) 过A点和B点分别作CD边的垂线，将这个四边形补成一个直角梯形。 ? 对称 10、如图，已知?A=?B，AA、PP、BB均垂直于AB， 11111 AA=17，PP=16，BB=20，AB=12.则AP+BP的值是( )11111 (A)12 (B)13 (C)14 (D)15 ? 与其他知识的结合 11、如图所示，点B是线段AD的中点， 由A、B、C、D四个点所构成的所有 A B C D 3 线段的长度均为整数，若这些线段的 长度之积为10500，则线段AB的长度是多少, 12、如图所示，六边形ABCDEF被分成5个菱形P、Q、R、S、T。菱形P、Q、R、S是全等的， 2006面积都为，令K为菱形T的面积。已知K是正整数，试求K的最大可能值. 第二部分 数学竞赛选手的培养 , 提供背景，开拓视野 , 尝试探究，训练思维 , 积累模型，解一通一 , 分组分类，强化训练 , 提供背景，开拓视野 13、下图是由风筝形和镖形两种不同的铺设砖铺设而成。请仔蓝观察这个美丽的图案，并且回答风筝形砖和镖形砖的内角各是多少度, 风筝形 镖形 背景:这是一种镶嵌图形，就是像铺瓷砖那样的现象。在龟壳、鱼鳞甚至人的皮肤蓝胞上是很明显的，它们看上去就像是镶嵌一样。镶嵌分周期性和非周期性镶嵌。在周期性镶嵌中，一种基本的图案在人们眼睛往垂直和水平方向移动时，会重复地出现。此题是著名数学物理家R.Penrose于1974年发现的一套能产生无数种不同的平面非周期镶嵌的瓷砖，仅有两种类型:镖形和风筝形。用Penrose瓷砖虽然不能作周期平面镶嵌，但是却有5折对称，即若将Penrose镶嵌印在一张透明纸上，将镶嵌旋转圈，图形和原有的图形相合。 相关联系的问题 14、请数出图形中三角形和正方形的个数 4 此图是用直角三角形做的非周期镶嵌的一个例子。 数学家相信，如果一种非周期镶嵌能够用特殊形状铺镶的话，那么用同样的形状也能做出一种周期的镶嵌，但是，并未证明。1964年，发现了一套只能用于非周期镶嵌的瓷砖，这套瓷砖含有20000种不同的形状。自然，人们会问:有无更少的瓷砖，用它们只能做非周期的镶嵌呢, , 尝试探究，训练思维 15、??ABC内有一点P，如果?PAB、?PAC和?PBC的面积比为7:7:1，则确定点P位置的是,,,,。 ?将以上面积比改为1:2:3，如何确定P点的位置, ?一般情况下，如果面积比改为m:n:p，又怎样, 本题可从以下这个简单的性质讲起 16、三角形PAB中，M为AB上任意一点，Q为PM上任意 一点。则: SSSAM,,QAMPAQ,PAM ,,, SSBMS,,,PBMQBMPBQ 17、请用面积法证明三角形三条中线交于一点。 18、请证明三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，若AD:DB=AE:EC，连结CD与BE，交点为O，则AO是三角形ABC的一条中线。 19、由15题引入(Ceva定理)设X、Y、Z分别为?ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是 A AZBXCY,,Z 等于1。 ZBXCYAY P CBX, 积累模型，解一通一 A以下是一系列与面积有关的问题 Z20、如图，已知三角形ZBP、PBX、PXC的面积分别为3、4、8，求三角形面积. Y P CBX 21、如图，?ABC中，AD、BE相交于点O，BD :CD,3 :2， AE:CE = 2 :1(那么S?BOC :S?AOC :S?AOB 为 (A)2 :3 :4 (B)2 :3:5 (C)3 :4:5 (D)3 :4 :6 22、如右图，四边形ABCD中，对角线AC, BD交于O点. 已知AO =1,并且 那么OC的长是多少, 5 23、如下图1所示，三角形ABC中，点X，Y，Z分别在线段AZ，BX， CY上，且YZZCZXXAXYYB,,,2,3,4.三角形XYZ的面积等于24，求三角形ABC的面积. 图1 图2 图3 SBFAFCDBDAECE,,,,1.2,2,2.24、如图2所示，已知求图中阴影部分ABC PMN的面积. ADDEECBGGFFC,,,,,.ABC25、的面积是1.如图3所示。求三角形ABC被分割成的九个小图形的面积. , 分组分类，强化训练 组别1 26、从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形. 如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片再剪下边长尽可能大的正方形. 按照上面的过程，不断地重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米, 27、将两个不同的自然数中较大的数换成这两个数之差，称为一次操作。如对18和42可 18,42,18,24,18,6,12,6,6,6连续进行这样的操作，则有: 。直到两数相同为止。试给出和最小的两个五位数，按照以上操作，最后得到的相同的数是15。这两个五位数是______与______。 28、在长260米，宽150米的台球桌上，有，，，，，F六个球袋.其中 =130ABCDEAB = EF厘米.现在从A处沿方向击出一球，碰到桌边后又沿方向弹出，当再碰到桌边后仍沿方向弹出.假设球可以如此继续下去一直运动到落入某个球袋为止.问:球将落入哪个球袋中, 组别2 29、红刻度线将木棍分成10等分;黑刻度线将木棍分成12等分。现在按照刻度线把木棍锯成小木条，问有多少条小木条, 30、在一根长木棍上有两种刻度线，第一种刻度线将木棍分成十等份，第二种刻度线将木 6 棍分成m等份，如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成20段。求m的值。 31、在一根长木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成十等份，第二种刻度线将木棍分成十二等份，第三种刻度线将木棍分成m等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成30段。求m的值。 32、一根长为L的木棍，用红色刻度线将它分成m等份，用黑色刻度线将它分成n等份(m>n)。如果按刻度线将该木棍锯成小段，一共可以得到170根长短不等的小木棍，其中最长的小棍恰有100根。试确定m和n的值。 组别3 33、一根长线将他对折在对折，一共对折10次得到一线束。用剪刀将得到的线束剪成10 等分。问:得到不同长度的短线段各多少根, 34、一根长线将他对折在对折，一共对折m次得到一线束。用剪刀将得到的线束剪成n等 1分,得到2种不同长度的短线段，若较长的线段的数量占问:最大的m=? .11 35、一根红色的长线，将它对折，再对折，……, 经过m次对折后将所得到的线束从中间 剪断，得到一些红色的短线;一根白色的长线， 经过n次对折后将所得到的线束从中 间剪断，得到一些白色的短线(m>n)。若红短线的数量与白短线的数量之和是100的 倍数，试问:红色短线至少有多少条, 36、一根红色的长线，将它对折，再对折，……, 经过m次对折后将所得到的线束从中间 剪断，得到一些红色的短线;一根白色的长线， 经过n次对折后将所得到的线束从中 间剪断，得到一些白色的短线(m>n)。若红短线的数量与白短线的数量之差是100的 倍数，试问:红色短线至少有多少条, 第三部分 中国数学奥林匹克历届等级考试(江苏)的几何试题 RCCC,,37、如图，三圆的半径都为，它们的圆心在同一条直线上，且每一圆心都在另123 CRr:,一圆的圆周上(?与这三个圆相切，半径为(则, r4 15:411:34:1ABC ，，，，，，C4 3:1D ( ，， CCC123C解:( 222CCCCCC,，由得，，，，，，141224 222RrRRr，,，,(化简即得( ，，，， 38、有一种足球是由32块黑色与白色的牛皮缝制而成，黑牛皮是正五边形，白牛皮是正六边形，且所有牛皮的边长都相等(则白牛皮的块数为, 7 DABC12 16 20 24 ，，，，，，，， C解:( xy，,32,,y设黑牛皮有块，白牛皮有块(则( x,5656xyxy，，，,,322,32, y,20x,12解之方程组可得，( AB,ABCABC,,BC,90:,A39、已知锐角三角形的三个内角满足(用表示，及, 中的最小值，则的最大值为 ( , 15:解:( 3902:,，,，,AABBC，，，，，，,,,32，，由 ,,,66 270:,，，ABC，，( ,,:156 9015:,,,,,,:AABBCA,:75B,:60C,:45等号成立条件:，即，，( 40、条直线两两相交，但任何三条不共点，这样条直线将平面分成的区域数nn 为 ( 1解:( nn(1)1，，2 fnf12,f24,记条直线把平面分成个区域(则，( n，，，，，， n，1n，1n，1第条直线与前条直线有个交点，这个交点把第条直线分成段，每nnn fnfnn，,，，11一段都把原来的某个区域一分为二(所以 ( ，，，， 1? ( fnnnnn,，，，，，,，,，，2234111，，，，，，2 41、平面上有6个圆，每个圆的圆心都在另外5个圆的外部，证明:平面上不存在同时在6 个圆内部的点( BC A D P FEP6证明:假设存在点同时在个圆的内部( PABCDEF,,,,,6设个圆的圆心依次(按逆时针方向排列)为(考察相邻两点对点 8 ,,AB,r的张角(共六个)，必有一个角不超过(不妨设，圆的半径分别为，APB，,A33 ,APB，BPAAB,，，AB,r(考察?，设中较大者为，则，? (而另一方面，B，,B3 BAPAPArAB,,点在?外，点在?内，从而(矛盾～故假设不成立(?不存在同时A 在6个圆内部的点( nnnabc,,n,3abc，,42、设是直角三角形的三边，为斜边，整数(求证( c ab证明:由题意存在锐角使得，( ,cos,,sin,,cc nnab,,,,22nnn,3则((? ) cossincossin1,,,,，,，,，,,,,,cc,,,, nnnabc，,由此得到( ，A，BPR?ABC，CQ43、如图，在中，、、的平分线分别交外接圆于、、( APBQCR，，,BCCAAB，，试证:( 2IAIBICIAIBIBICICIAABBCCA，，,，，，，，,，，证: ，，，，，，，， 2222IPIQIRIPIQIR，，,，， ，，A R,，，，，，PBPCQCQARARB ，，，，，， Q,，，BCCAAB( I把上面两个不等式相加得到: 2APBQCR，，,2BCCAAB，， ，，，， BC APBQCR，，,BCCAAB，，即:( P 2222IPIQIRIPIQIR，，,，，(说明，对于等式 ，， ,，，，，，PBPCQCQARARB。因为角BAP和角CAP是相等的圆周角，所以弦，，，，，， PB和PC是相等的。我们可以证明IP和BP是相等的，为此只要证明三角形IPB是等腰三角形。 对于角BIP，它等于角AIQ，它是三角形ABI的一个外角，所以 ，,，,，，，,，，，BIPAIQABQBAPQBCBAP，,，,，BAPCAPCBP，而， ，,，，，,，BIPQBCCBPIBP所以，三角形IPB是等腰三角形。这样我们可以得到 9 2IP=2BP=BP+PC，其余的同理可证。) 第四部分 练习 ,1、在四边形ABCD中，?B,90，对角线AC垂直于CD，AB=18，BC,21，CD,14，试求ABCD的周长. 2、如图所示，在一组等距平行线所在的平面作出一个角，阴影C的面积与阴影B的面积之比为11,5，求阴影D与阴影A的面积之比. 3、如下图所示，三角形ABC的面积为1，E是AC的中点，O是BE的中点(连结AO，并延长交BC于D，连结CO并延长交AB于F(求四边形BDOF的面积( N PABQ O T M 4、如上图，AB是?O的直径，?O半径=R，AO的中垂线交AB于Q，交?O于M、N，以MN为直径作?Q交AB于P，直线NP交?O于T，则MT=, 5、已知，AB是半圆的直径，CA、CD是切线，D为切点，DE?AB，CB交DE于H，求证:DH=HE( B PA C M OO12 D N CQ DH A B E O 6、如上图，?O与?O相交于M、N，AB、CD为公切线，A、B、C、D为切点，直线12222MN交AB于P，交CD于Q，求证:PQ=AB+MN。 10