2012-2013高等数学第一学期期末考试(张家港校区理工类)试卷及答案

2012-2013高等数学第一学期期末考试(张家港校区理工类)试卷及答案 江苏科技大学张家港校区 2012, 2013学年第一学期期末 高等数学(理工类)课程试题 (B)卷 六 题号 一 二 三 四 五 七 总分 得分 阅卷 人 一 选择题(每小题3分，共15分) x,01. 下面函数中，在点连续的是 ( ) 1sinx,,,2,0x,x,,ex,0,(A) (B) ||x()x,fx(),,,密封线内不要答题,,0,0x,1,0x,,, 11,,xx,,(12),0,,xxex,0,fx(),(C) (D) fx(),,,2,ex,0,,0,0x,,, 1x,0yx,sin2.当时，曲线 ( ) x (A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线 (C)仅有铅直渐近线 (D)既有水平又有铅直渐近线 ,,,3. 若二阶可导，且f(x),,f(,x)，又当x,(0,，,)时，f(x),0,f(x),0， fx() 则曲线在(,,,0)内: ( ) yfx=() (A) 单调下降且凸 (B) 单调下降且凹 (C) 单调上升且凸 (D) 单调上升且凹 ,12Ifxdx,(sin)Ifxdx,()4. 已知在[0，1]上连续，，， fx()fx()0,,21,,00 ,4Ifxdx,(tan)，则 ( ) 3,0密封线内不要答题 III,,III,,III,,III,,(A) (B) (C)(D) 1233122311325(下列反常积分收敛的是 ( ) ，,，,lnx1 (A) (B) dxdx,,eexxlnx ，,，,11dxdx(C) (D) ,2,ee(ln)xxxlnx 学院 专业 班级 学号 姓名 第 1 页 共 7 页 二 填空题(每小题4分，共24分) 2,1x,,lim()fx1. ,则= fx(),,x,10,1x,, fxfx,,2,，，，，00,2. 若则 fx,1,lim_____________.,，，0,,03, 12n222n3. 极限，，，？, 。 limln(1)(1)(1),,nnnn ,42xxxdxsincos____________.，,，，4. ,,,2 3225. 计算曲线上从a到b的一段弧长是__________________ yx,3 yx,2,6. 方程满足所给初始条件的特解为 yey,01,,，， 三 计算题(每小题5分，共30分) 2xxxdxlim()1. 求极限 2.求 ftdt(a,0),,a,xa22,xaa,x ,1xx，sinx，12dx3. 计算定积分 4. dx,,0,3211cos，x1，x 第 2 页 共 7 页 sinx,5、已知是的原函数，求 xfxdx()fx(),x 22,dy,xt=ln1，6、求参数方程所确定的函数的二阶导数 ,2dxyt=arctan,, ,aacosx4fxdxfxfxdx()[()()],,，,四.证明:并求积分(8分) dx,,x,a,0,,，1e4 xxfxftdtxtfxtdt,，,fx五、设连续，且满足，求(8分) ，，，，，，，，,,00 第 3 页 共 7 页 2x=0六、已知曲边三角形由抛物线及直线，所围成，求: y=1yx=2 (1)曲边三角形的面积(3分) (2)该曲边三角形绕旋转所成旋转体的体积(4分) y=1 12,x13fefxdx(1)3(),七(设一阶连续可导，且 fx(),0 21,,(1) 用积分中值定理证明存在一点，使得 (2分) ,eff()(1),, (2) 证明存在一点，使得 (6分) ,,(,1),ff'()2(),,,, 第 4 页 共 7 页 江苏科技大学(张家港)2012,2013学年第一学期 高等数学1(理工类)期末试卷(B)答案及评分标准 一、A B C B D 332222二、1. 2 2. 3. 4. 2 5( -4ln2-2[(1+)-(1+)]ba33 111--2yx 6. ee=-+e22 三(计算题 xx1. 解: lim()ftdt,a,xa,xa x，，lim()ftdtxfx+(),............................................................................2 ,,,a,xa，， ................................ .........................................3 ,afa() ,,x,asint2t,(,,).解:令 ……………………………………….1 22 22asintdt 原式= ……………………………….………….1 , 1,cos2t2 =adt …………………………………….…….1 ,2 22atasin2t =,，c …………………………………….……….1 24 2axx22arcsin,a,x，c = ………………………..………………….1 22a ,,xdx(1cos)，22=3( 解:原式dxdx, ………………………..…………….1 ,,001cos1cos，，xx ,,xxdx(1cos)，222,,secdxdx ………………………..………………….1 ,,00221cos，x ,,,x2x22,,,，tan|tanln(1cos)|xx ………………………..…………………2 002,02 ,, ………………………..………………….1 2 11x1，4. 原式=………………………..………………….1 dxdx,,,,332211，，11xx 11， =………………………..………………….1 0dx,,321，1x 32xt,dxtdt,3令 则………………………..………………….1 第 5 页 共 7 页 2111261t,,原式=………………………..…………….1 dxdtdt,,,61,,,,,223200011，，tt,,1，x 3,= ………………………..………………….1 6,2 ,sincos-sinxxxx,,,5.解:由题意得. ........................................ 1 fx()==,,2xx,, , ........................................ 2 xfxdxxdfxxfxfxdx()=()=()-(),,, cos-sinsinxxxx, ........................................ 1 =-+xC,2xx 2sinx=. ....................................... 1 cos-+xCx 1 2,dy(arctant)11，t,,,6. 解:～ ........................................ 2 2tdxt,[ln1，t]21，t 11,,()222dy1，ttt,,,, , ..............................................................3 232tdxt,[ln1，t]21，t aa0fxdxfxdxfxdx()()(),，四、证明: ..................................................... 1 ,,,,,aa000aa令xtfxdxftdtftdtfxdx,,,,,,,,,,()()()()() ..................2 ,,,,,aa00 aa？，,fxdxfxfxdx()=()() ..................................................... 1 ,,-0a ,,coscoscosxxx44 ..................................................... 2 ,，dxdx(),xxx-,,0,，，，111eee4 ,4,cosxdx ..................................................... 1 ,0 2= ..................................................... 1 2 xtu,,五、解:令 xxxxtfxtdtxufuduxfuduufudu,,,,,.............................2 ，，，，，，，，，，,,,,0000 xxxftdtxxfuduufudu,，,所以 ，，，，，，,,,000 xxfxfuduxfxxfxfudu,，，,,，11求导得: .........................2 ，，，，，，，，，，,,00 第 6 页 共 7 页 ,求导: ............................ ................................. ......................................1 fxfx,，，，， x？,fxce............................ ................................. .....................................1 ，， xxfxfudu,，1？,fxe由等式得 则 ................2 c,1f01,，，，，，，，，,0 21y六、解:(1)................... ................................. ......................................2 Ady=,02 31y1= ................... ................................. ......................................1 066 122Vxdx=(1-2),(2) ................. ......................................2 ,0 13,4222=(-+)=xxx ................. ......................................2 ,23120 七、证明: 1,,，使得 由积分中值定理:,，,0,,,3,, 12221x,,1-1-1-3fefxdxefef,,,,,,, ......................................... 2 (1)3()3()(0)(),0321,x设 .................................................... 2 Fxefx()(), ,,1,,1则在上连续，在内可导 Fx()，，,, 且 .................................................... 2 FfF()(1)(1),,, 1,,,由罗尔定理，至少存在一点使 .................................. 2 ,,(0,1)F()0,,,0,,,3,, 即 .................................................... 1 ff'()2(),,,, 第 7 页 共 7 页