KVL方程独立性

KVL方程独立性 摘要：利用数学归纳法确定电路网孔数，再用分析共享网孔和外沿网孔确定网孔的KVL方程，证明KVL方程的独立性。 关键词：数学归纳法，网孔数公式，网孔方程，外沿网孔。 节点电压法和回路电流法是两种基本的电路分析法，可用于大规模电路分析。对很多电路这两种都适用，但是由于电路组成和结构不同，往往一种方法比另一种方法更有明显的优势。这两种方法的数学思想是选适合的电压或电流为未知量，通过列方程、解方程来求解电压、电流。 列方程依据两类约束：①元件或支路的电压---电流关系。②电路连接的约束方程：基尔霍夫电流、电压定律（KCL、KVL）。既然要列方程，涉及的一个数学问是：如何选取未知数量，如何保证所列方程为独立方程且方程数目最少。 下面我们就来证明KVL方程的独立性： 我们先给一个平面电路，该电路有b-(n-1) 个网孔。平面电路的网孔数m= b-(n-1) ,可以用数学归纳法证明。当m=1时，b=n无疑这一关系是正确的。下一步再证明：若对一个具有m个网孔的电路，该式正确，则当电路改为（m+1）个网孔时，该式仍然正确。如图所示，可以在现存的节点之间加上一条支路使网孔增加一个，也可以加上k条串联支路，这些支路经过（k-1）个节点与原来的电路相连，也能使网孔增加一个。若令新电路的网孔数为p，支路数为q，节点数为h，则显然有：p=m+1，q=b+k，h=n+(k-1)。    由于m=b-(n-1)，因而p=m+1=b-(n-1)+1=q-k-h+k+1=q-(h-1)，故可知网孔数的公式依然正确。 对b-(n-1)个网孔所列的KVL方程是独立的，其论证与KCL方程独立性问题论证相似。在平面电路中，每一支路要么为两网孔所共有，要么只属于电路的边界。如果把边界也看成一个包围外部“空间”的网孔，称为外沿网孔，则所有支路都将为两个网孔所共有。 设电路的网孔数为m，则包括外沿网孔在内的（m+1）个网孔的KVL方程之和为  [(+u)+(-u)]=0  其和恒为零，这是因为在列网孔的KVL方程时，每一支路电压出现两次，一次为正一次为负，互相抵消。因此（m+1）个KVL网孔方程是非独立的。但是若去掉一个网孔方程（外沿网孔）其余m个网孔方程是独立的，因为去掉一个网孔方程，则这方程中支路电压在其他网孔方程中就只可能出现一次，因而若把其余的b-(n-1)个网孔方程相加，这些支路电压就不可能与其他支路电压相消，相加结果不可能为零，即这b-（n-1）个方程是独立的。 参考文献：《电路分析》  《电路原理》 专业：热能与动力工程 班级：二班 学号：100282228 姓名：王勇 KVL方程的独立