[精彩]线性模型引论(王桂芬著)课后习题谜底

第五章 e~N(0,,I)y,x,，x,，en2125.5由模型 2SS,y,x,e示模型的残差 X,XXxx1212由和分别为n*(p-q)和n*q的矩阵 rk(I,P),tr(I,P),n,tr(P),n,pXXxrk(x)=p得 ˆ,,XX,,Xy,由为的解 2ˆˆˆˆ,,,,,,,,SS,y,x,,yy,,xy，,xx,,yy,,xy2e由(5.1.7)得 ˆ,,0y,x,，x,，e212此时则原模型可简化为如下模型: y,x,，ee~N(0,,I)12 ,,XXr,Xyy,x,，eˆHr,dˆ11r1因为为可知为模型的约束条件， 2,ˆˆ,,SSyXryyrxy,,,,y,x,，eHe11ˆHr,d1在约束条件下，模型的残差为 ,,11,,,ˆˆSSSS(Hr)(H(XX)X)(Hr),,Hee ,1,,rk(H(XX)H),q由于 (SS,SS)/qHeeF,SS/n,q,,0e2则的似然比检验 ˆˆ,,,,,,,,,ˆˆxy,rxyqxy,rxy()/n,p11F,,ˆˆq,,,,,,yy,,xyn,qyy,,xy()/可以写成 2e~N(0,,I)y,x,，einiiiii5.6两个线性模型 其中I =1,2为了导出所需要的经 验统计量，将两个模型写成矩阵形式 2e~N(0,,I)y,x,，e1n11111 2e~N(0,,I)2ny,x,，e212222 ,yX0ee,,,,,,,,，，111112,,,,,,,,,，~N，，0,,In1，n2,,,,,,,,,,y0X,ee22222,,,,,,,,，，将它们合并，得到如下模型 ˆ,,,,,,11,,,,H,I,I,0pP,,,,ˆ,,2,,2,,要检验的假设为 (2) ˆˆH,I,IpP,,12其中若记，为从模型(1)得到的LS估计 ,1,1,1,,,,,,,XX0X0yXX0Xy,,,,,,,,,,,,,,，，XXXy1111111111111,,,,,,,,,,,,,,,,,,1,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0XX0Xy0XXXy,,，，XXXy222222222,,,,,,,,,,,,,2222, 11,,ˆˆ,,,,，，，，,,,XXXy,XXXy1111122222于是有 (3) 2ˆˆˆ,,,,,,,,,,，,,,,SSyxyyyyxyxye1122111222由于 SSHe为求在约束条件(2)下的残差平方和，把约束条件下融入模型，当(2)成ˆˆ,,,12立时 ,记它们公共值为，代入模型得约简模型 yxe,,,,,,111,,,,,,,,，,,,,,,yxe222,,,,,, ,i原模型中在约束条件(2)下的LS估计，记为 1,ˆ,,,,，，,XXXX(XyXy),，，H11221122, ˆ,,,,,SS,yy，yy,,(xy，xy)He1122H1122故在约束条件的残差平方和 ˆˆˆˆˆ,,,,,,,,,SS,SS,xy，xy,,(xy，xy),,(,,)xy，(,,,)xyHee1122H11221H112H22 相应的检验统计量为 ˆˆˆˆ,,,,,,,,(SS,SS)/p(,)xy，(,)x/pn，n,2pFHee21H112H22121F,,,ˆSS/n，n,2ppF,,,,,,yy，yy,(xy，xy/n，n,2p1222e1122H112212 ˆˆˆˆ,,,,F(,,)xy(,,)xy,,，,11H112H22其中 ˆˆˆˆ,,,,F(,,)xy(,,)x,,，,21H112H2 5.7 设 i=1…..n 且相互独立，对一切 线性组合 ( 做出置信系数为1- 的同时置信区间 解:因为依题意: ,是n维向量，, i=1…..n,为一列独立向量，服从 分布，对一切线性组合 根据bonfrroni区间， P( F分布与t分布之间关系，= 记自由度为n-r的t分布 上侧分点。 上式中:var()=是 ，记: =，则区间为公式: ( , (1) 依据区间公式(1)， 可知，一切线性组合的置信系数为1-同时置信区间为: 第六章 6.2 (1) 因为 所以正则方程X 有 得 由因为 = 其中A= D= 所以 即证 (2) 又 所以cov()=cov()= 所以cov()=D= 6.3、(1) Hc:...,,,,,111p, 得到的约简模型: ycxcxe,，，，,...iiipi011, ,,,00Ic相当于约束条件为: ,，，p,,,1,I,, ,1ny,,,,ˆ,,,,此时 ,,,,RSSxycyc(),,,，，，，H00,,,,1,,～～xxy,,,, ,,～ nycxy,,，0 ,,11y,,,,ˆˆˆ,,,,～对于原模型:,,,,,,,RSSynyxy(),,,，，，，，000III,,,,,,～～xxy,,,, ˆˆ,,,,,,,～～～所以 RSSRSSxycxycxy,,,,,,,,,()()()HII1 ˆ,,,～,,,cxyp()/(1)Iˆ,,,～SSeyynyxy,,,,,所以 其中F,0ISSenp,/() (2) H:...,,,,201p, ,1ny,,,,,,,ˆˆˆ,,,,～同理可得:,,,,,,,RSSynyxy(),,,，，，HIII，000，,,,,2,,～～xxy,,,, ,,,1,,,ˆˆ,,～RSSnyxy,,,(),，同理: =,？？其中,,,0II1p-1,,,,,P,1,, ,ˆˆ,,,～,,xyP()/(1),,II此时: F=SSenp/(), (3)、 Hc:,,，，,？311P, ˆ,,～RSSnyxy,,,(),， 0I ,,,1,ˆˆ,,,～()/(1),,,,xyP,,,IIˆ,,,同理: ？其中,,，，,？cF=I11P,,,SSenp/(),,,,P1,,, 第三题 证明: 一、 二、 证: 一、由 可得， 二、由得 第四题 判断: 在定理6.7.1中，存在,使得(6.7.7)式对任给的向量都成立。 答:错误。使得命题正确的依赖于未知参数，且对于相对较小的，才会 存在使得命题成立。 第七章 7.3 解: 检验线性假设: H0 ,，,,，,,，,12a,,？, ccc12a 等价于检验线性假设: H0 ，，，，，，，，，，，，c,，,,c,，,,c,，,,c,，,,？,c,，,,c,，,a11aa22aaa,1a,1a 于是 ？c,cc00c,,a1a1,,？c,c0c0c,,a2a2 H,,rk(H),a,1,,,？？？？？？,,,,？c,c00ccaa,1aa,1,, 令 ,,,,,,，，，*a12？,,,,, ccca12 即有 *,,,,，,c11,*,,,c，,,22 ,？,*,,，,,c,aa, 若不拒绝，则模型可以简化为 H0 *y,c,，e,i,1,2,？a,j,1,2,？n, ijiiji 其矩阵形式为 y,X,，e, 其中， c1,,n11,,c1,,n2*2 X,,,,,,,,？,,,,c1ana,, TTXX,,Xy 它的正则方程为 c1c1,,,,nn1111,,,,c1c1,,,,nn22TTT*22？,，，c1,c1,c1,y, nnan12,,,,a12？？,,,,,,,,c1c1ananaa,,,, LSH, 于是在下的约束解为 0 cy,,11.,,^^cy1,,22.*,,,,,、 Ha,,？2cn,,,ii,,cyi,1.aa,, 则 ^^**TTTTRSS(),RSS(),Xy,Xy,,,,HH cy,,11.,,cy1,,22.,，，cy,cy,？cy11.22..aaa,,？2cn,,,ii,,cy,1i.aa,, a22cy,.iii,1,.a 2cn,iii,1 而 a2y,i.^TTi,1,,RSS(),Xy,,ni(上第一节已给出) 2na_i,,TSSyyRSS(,)yy.,,,,,,,,eiji.,,i,,11j F 由第五章的知识知道统计量具有以下形式 ,RSS()RSS()m，，,,H,F, ,SS(nr)e m,rk(H),r,rk(X) 其中。 F于是这里统计量为 *RSS,RSSa,(()())1,,F,, SSN,ae *RSS(,),RSS(,),SS其中以上已给出。 e 习题7.5 解:对于随机误差项相互独立的两向分类模型 2y,,，,，,，e;i,1,？,a;j,1,？,b;e~N，，0,, ijijijij可写为矩阵形式 2 y,,,1，X,，X,，e,e~N，，0,,Iab1122 显然，且对于和的X,I,1,X,1,I,,,[,,？,,]',,,[,,？,,]',,1ab2ab11a21b12 ab''''ˆˆc,,dy任意的可估函数和的BLU估计为c,,cy和，可求c,c,,,22j,j11,ii1122,1j,1i 得 abab,,''ˆˆ,,,,,,,,,CovccCovcydycdCovyy，，，，,,,,,,,,1122iijjijij,,,,,,i11ji11j,, ababcdcdijij2，，,,,,,0Covyy,,,,,,ijabab,,,,i11ji11j 故和正交。 ,,12 第七章第三题P232 ye,，，,,,,ijiij,(7.5.1) ,2诸相互独立，eeNiajn ？？(0,),=1,,,=1,,.,,ijijii, 222H:===,,,？ (7.5.2) a012 构造模型(7.5.1)在(7.5.2)原假设下的似然比。 *2*yN (,),,,解:由已知可得:其中,,, +iajn=1,,,=1,,.？？ijiiiii 依然函数为: *2*2*2(-)y,(-)(-)yy,,ajajj1122nnn---a12222111222222,,,a12 Leee,,,？？,,,(,,,)=,,,12a222,,,,,,jjj=1=1=112a nia*2(-)y,n,iji,iaa11=1j2i=1,lnLn=-ln2-ln ,,,,ii2222,ii=1=1i n1,*2(-)y,,11j,,ln11Lnj=11,=--(-)=02222,,22(),,,111,n2*2,(-)y,,12j,,ln11Ln,j=12=--(-)=0 ,2222,22()222,,,, ,？,na,*2(-)y,1ja,,n,ln11Lj=1a,=--(-)=02222,22(),aaa,,,, 222可得的MLE为: ,,,,,,？a12 nnna12111 222222？，，，,yy,yy,yy=(-)=(-)=(-),,,111.212.1a.jjajnnn=1=1=1jjj12a ***,=y,=y,=y？其中，，， a11.22.a. 2222222假设在下H:====,,,,？H:,,,,,,？不全相等,aa0120112 则检验问题的似然比统计量为 ani,nnaii=1i--1222((-))yye,,,iji. 222n,,,？L(,,,)ij=1=1i12a(y)== ,naia 2222(-)yyijiL(,,,)？.,,,,,n000i,ij=1=1i=1--2,202,e,0 nnaaaaii1222ln()=ln+(ln-1)+(-)-((-)),,ynnnyynyy,,,,,,,iiiijiiiji0..2,iiijij=1=1=1=1=1=10 aaaa1nMSnnMSnnn =(-1) -ln(-1)ln+ln+(ln-1),,,,,ieiieiii02iiiiii=1=1=1=1,0 ni2(-)yy,iji.=1jMS=其中: ein-1i 22ln(),y在原假设成立时，随着的增大而以分布收敛于。n,()ai 但是对照p234上(7.5.6)和(7.5.7)却没有发现陈老师说的结论，即代ni a 替，n代替。 ff,eieii=1 第八章 '*'''1',1.求证(8.3.3)式 以及可逆。ZQZSSyQyQZZQZZQy,-y()()eH ˆLS,,H,,0证明:(1)记为纯方差分析模型中参数在约束下的解，则对应H 的残差平方和为 ,''''ˆ SSyyXyyQy,,-=eHH 8.3.2) ( XH,,:0,Q 其中由于是在上的投影的平方和，故有是YSS,,eH ,XH,,:0,QH,,0上的正交投影阵，即为在约束下，列张成空X,, *间的子空间的正交补空间的正交投影阵，又记为协方差分析模型在约SSeH *LSH,,0,束下的参数和的约束解对应的残差平方和，则可知与,SSeH *的关系和与的关系完全一样，故由(8.3.1)式SSSSSSeHee *'''1',和(8.3.2)式知SSyNyyNZZNZZNy,-()()exxxx *'''1',成立。 SSyQyyQZZQZZQy,-()()eH 'Q(2)设，则由的幂等性得 ZQZa=0 ''''' ， aZQQZaaZQZa==0 ,'','',QZa=0 即。因而，这里。由于 ZbXXXZa=()ZaXXXXZaXb,()= 'a=0a=0的列与的列线性无关，此式意味着。由于从可以推出，所以XZQZa=0''的列线性无关，因此它是非奇异的，即可逆。 ZQZZQZ 8.4对于一个协变量的单项分类模型: y=+++,=1,2,...,;=1,2...,,,,zeiajn。ijiijij an2ssyy,,(),,eij其残差平方和: ij11,, an ZNYyyz`-z-;,，，，，,,Xijij ij=1=1 an2 相应地 ZNZz`z-;,，，,,Xij ij=1=1 由 式(8.2.2) an yyz-z-，，，，,,ijijZNY`=1=1,ijX,==an2 回归系数的LS估计为 。,ZNZ`Xz-z，，,,ij =1=1ij ,由定理8.1.1知，可估。又由定理4.1.2知，对于任意的可估函数，LS估计,,, 为其唯一的BLU估计。 an yyz-z-，，，，,,ijijZNY`=1=1,ijX,==an,2 所以，的BLU估计为 ,ZNZ`Xz-z，，,,ij =1=1ij ,,,,,,,,-=---yyzz,,，，，，由式8.2.4得的LS估计为 = 。,iiiziii ,,,,,,-=---yyzz,,-，，，，相应地 ， 的BLU估计为 。iuiiiu anan22 AyyAzz,,-;-，，，，,,,,yy..izziijij=1=1=1=1 an Ayyz,-z-;，，，，,,yzii..ij=1=1 an2 EYNZyyz,,`-z-;，，，，,,yzXijij ij=1=1 2EEyzzz,=0 , F,对于H:00 2，，,,,,111，，EEEan，，，，，，yyyzzz，，，， 对于:H1 ,,,==...=;12a 22，，EAEAEAEEEa，,，，,,,1，，，，，，，，，，yyyyyzyzzzzzyyyzzz ,,，，F,12EEEan,,,,，，，，，，111，，yyyzzz，，方差源自由度平方和与交叉乘积之和 因子a-1 A AAAyyyzzz因子b-1 B 误差() a-1(b-1) BBByyyzzz总和ab-1 EEEyyyzzz SSSyyyzzz因子误差 A+ EA，EA，EA， yyyyyzyzzzzz因子误差 B+ EEB，EB， yzyzzzzzzz协变量1 8.5 an2 EYNYyy,,`-;，，,,yyXijij=1=1 an EZNYyyz,,`-z-;，，，，,,yzXijij ij=1=1 an2 EZNZz,,`z-;，，zzXij,,ij=1=1 anan22 AyyAzz,,-;-，，，，,,,,yy..izziijij=1=1=1=1 an Ayyz,-z-;，，，，,,yzii..ij=1=1 an2EYNZyyz,,`-z-;，，，，,,yzXijij ij=1=1 对于H: 2EEyzzz,,,==....= , F,,1202，，,,,,111，，EEEan，，，，，，yyyzzz，，，， 第九章 9.1: ,yy=SS+SSSSSS，，eABU 2ba ,(y-y-y.+y)+(y-y)+,,,,iji.j..i...ijji=1=1(1) 2ab2(y.-y)+(y-y-y.+y),,,,j..iji.j..ijij=1=1 ,,,,yAyyAyyAyyAy+++ 0123 (2) ,EEyAy()()/(a-1),,11 222,,,E(yAy)=tr[P(x:u)-p](uu+uu+I),,,11x1112220 222,由可知，()9.4.10E(yAy)+a+a-a+r,,,1122312e ,a=tr[uu(I-p)]111x ,,IA？？？0011 1,,,,b,,,,,,,u=, u=,11 1？？？？？？？uA其中,11,,,,,,,,,,,,？？00IA1 ？11,,,,b,,(bb)， ？II11,,,,,,bb1,,,,,,1-1？？？？？？？P=[()]()=IIIIxbbbb,,,,,,ab,,,,,,？II11bb,,,,,,(ab,ab) ,,,a=tr[uu(I-p)]=truu-truup=ab-b=a-1b 故()()()111x1111x a=0 r=rkx-(x)=a-1同理(u)rk22i1 22,E(yAy)=ba-1故(),,+a-1()12e 222a=b+E() ,,,112e 9.4.1094119412根据()、(..)、(..)，可证得如下结果: 2222=a+=aE(); E(),,,,,2be33e 22E()a+,,,也可由第一问得出，因为、是对称的。2beij,,,, (3) 2,()a-1=y[P(x:)],u,py1x1 由于P(x:)rkP(x:)u,,pp为对称幂等阵，(u)11xx =trP(x:)=rkxu-rkx=a-1(u,p)(:)()1x1 2,有定理343y[P(x:)]x..u,py ，21x()a-1a1 2,故y[P(x:)]xu,py 1x()a-1 22即()以下同理得证。a-1/ax, 11a-1(),