应用高斯--波涅公式所能处理的题目[整理版]

应用高斯--波涅公式所能处理的题目[整理版] 高斯—波涅公式的应用 邢家省～王拥军 (北京航空航天大学数学与系统科学学院，数学、信息与行为教育部重点实验室,北京100191) 摘 要: 考虑曲面上高斯—波涅公式的应用问题，对有关结果给予直接的， 并列举了一些实例. 关键词: 高斯—波涅公式，高斯曲率，测地曲率 中图分类号: O186. 11 文献标识码: A The Application of the Gauss–Bonnet Formula Xing Jiasheng Wang Yongjun (Department of Mathematics, LMIB of the Ministry of Education, Beihang University ,Beijing 100191，China) Abstract: Using the Gauss–Bonnet theorem， we give a direct proof of some relevant results and listed some examples. Keywords: Gauss–Bonnet formula , Gauss curvature, geodesic curvature [14], 高斯—波涅公式是微分几何中的重要定理，它描述了曲面上多边形的内角和与曲面的高斯曲率及边界曲线上的测地曲率之间的关系.对该定理的证明和推广引起了 [14], 人们持续不断的兴趣，定理结果的应用也被人们发掘出来.我们对常见的能解决的问题结果给出整理，给予直接的证明，列举了一些实例，丰富高斯—波涅公式的应用.微分几何中其它相关问题的研究可见文献[5-12]. 收稿日期: 基金项目:国家自然科学基金资助项目(11171013)， 北京航空航天大学教改项目基金资助 作者简介:邢家省(1964--)男，河南泌阳人,博士，副教授,研究方向:偏微分方程、微分几何. 1. 光滑边界单连通区域上的Gauss-Bonnet公式的应用 ,,3Srruv:(,),设曲面 是类正则曲面. 曲面上的高斯曲率为，曲面上KCS dsdA的曲线的测地曲率为，曲面上的面积微元为，曲线的弧长微分为.区域kg ,DD的边界记为. [14],,DS定理1(Gauss-Bonnet 公式) 设区域是曲面上的一个单连通区域，如果D 是一条光滑曲线， 则有 KdAkds，,2,， (1)g,,,,DD [14],,DDS 推论1 设区域是曲面上的一个单连通区域，如果是一条光滑曲 ,D,Dk,0线，并且是曲面上的测地线，即曲线上的测地曲率， g KdA,2,则有 . ,,D [14],S推论2 设曲面是一个单连通的封闭曲面，则有 KdA,4, . ,,S SSCS证明 用一条光滑的封闭曲线把曲面分成两个部分和，12 利用定理1，有 ， KdAkds，,2,g,,,,SS11 ， KdAkds，,2,g,,,,SS22 ,S,Skk||,,由于和的定向相反，， 12gSgS12 KdA,4,把上两式相加后，得到. ,,S [14],1SR例1 设是半径为的球面，此时有， K,2R KdA,4,自然成立 . ,,S 222xyzS，，,1KdAK例2 设是椭球面 ，曲面上的高斯曲率为，求.,,222Sabc SKdA,4,解 由于椭球面是一个封闭地曲面，利用推论2，则有 . ,,S [14],推论3 在高斯曲率非正的单连通曲面上, 不存在光滑的闭测地线. S证明 设曲面 是一高斯曲率非正的单连通曲面, 若其上存在一条光滑的闭测地线 SCCD, 则的测地曲率, 设在曲面所围的区域为， k,0Cg SK,0KdA,2,由Gauss-Bonnet 公式(1)，知，这与 上的高斯曲率 矛盾.,,D C注 推论3 中必须要求所围成的区域是单连通的, 否则命题不成立. 例如在旋转单 K,0叶双曲面上(它的高斯曲率 )存在着一条光滑闭测地线, 即曲面上的最小纬圆. 2 分段光滑边界单连通区域上的Gauss-Bonnet公式的应用 [14],CSn定理2 (Gauss-Bonnet公式) 设是有向曲面上的一条由 段光滑的曲线 nCC,,？组成的简单封闭曲线, 它由段光滑曲线 所组成, 而这些光滑曲线段在交接处1n SD,(1,,)in,？C的外角为， 曲线所包围的区域是曲面上的一个单连通区域， i 那么成立 nn ， KdAkds，，,,,2,,gi,,,DCi,,11ii n , (2)KdAkds，，,,,2,gi,,,,DD1,i ,(1,,)in,？若用示这些光滑曲线段在交接处的内角，则有 i n ， (3)KdAkds，，,,()2,,,,gi,,,,DD1,i [14],C推论4 如果曲线 中每段光滑曲线 是测地线, 则在由测地线段所围成Ci n的单连通测地边形区域中, 成立如下公式 D n ; (4)KdA，,,,2,i,,D,1i n若用表示测地边形的外角 所对应的内角, 则有 ,,ii n ， (5 ),,,,，(2)nKdA,i,,D,1i SK,0例3 当曲面是平面时, 因为 , 于是(5 )式即平面几何中多边形内角之和的公 n,3式. 如当 时就得到: 三角形三内角之和等于. , [14],S,D推论5 如果是曲面上的一个测地三角形, 即三条测地线所围成的三角 形， 3 则有 ， (6),,,，KdA,i,,D,i1 [14],SSK,例4 若曲面上的高斯曲率是常数，则曲面上的一个测地三角形三内 角之和为 ,,,,,，，,，,，KdAKA， 123,,, ,其中A是这个测地三角形的面积. SK,0进而, 当是正常曲率曲面(如球面) 时, , 所在正常曲率曲面上的测地三角形三 SK,0,内角之和大于; 而当 是负常曲率曲面(如伪球面) 时, , 所以在负常曲率曲面 上的测地三角形三内角之和小于. , [14],例5 在单位球面上若两条大圆相交于南北极且相交处的内角为, 试求其所围,区域的面积. K,1 解 由，利用(5)式，得 2(22)(),,,,,，,KdAD， ,,D 2,于是所围面积为 [14],SD 推论6 设是曲面上的一个四边形区域，其内角为，边界,(1,2,3,4)i,i,D由光滑四边构成， Ci(1,2,3,4),i 44 则有 KdAkds，,,,,2,,gi,,,DCi,,ii11 [14], 定理3 设有定了向的封闭曲面，且 能被剖分成几个四边形，而且各顶点正SS KdA,0. 好聚集四个四边形，则成立 ,,S 证明 设曲面S被剖分成个四边形，曲面四边形的边界由四边Din(1,2,,),？DniiCj(1,2,3,4),,(1,2,3,4)j,组成，内角为，利用推论6，可得 ijij 44 KdAkds，,,,,2 ，， (1,2,,)in,？,,gij,,,DCiij,,jj11 n4n4 kds,0,,,2n由条件可知，， ,,,,gij,Cij,,,,ij11ij11 n KdA,0 于是有，即成立 . KdA,0,,,,,SDi,1i ,rbabaa,，，((sin)cos,(sin)sin,cos),,,,,, 例6 设环面:， 0,2,,,,,ab,其中是正常数，参数。 直接计算知 ,,2||||(sin)rrEGFaba，,,,，,， ,, 2LNM,sin,K,,， 2EGFaba,，(sin), LGMFNEba,，，22sin,， H,,22()2(sin)EGFaba,，, KdA,0 对环面具有定理上的条件， 利用定理3，可得到， ,,,, 2222,,,,2 直接验证 .KdAKEGFdddd,,,,,,,,,sin0,,,,,,,0000 [14],例7 证明:在高斯曲率非正的单连通曲面上, 不能有两条测地线交于两点. S证明 设曲面 是一高斯曲率非正的单连通曲面, 若其上存在两条测地线交于两点，设内角为D，所围区域为，,,,12 n n,2，当时， 利用公式,,,,，(2)nKdA,i,,D,1i KdA,，,,,0则有， 12,,D (若，这与过一点及一个方向的测地线的唯一性矛盾.),,,0=0或12 SK,0这与上的高斯曲率 矛盾. S注:在曲面的高斯曲率为正的单连通曲面, 可以存在两条测地线交于两点.例如 球面 上的任两个大圆，都是测地线，相交于两点. [4]SSS. 例8 设曲面上的高斯曲率是正函数，且单连通的封闭曲面，证明曲面上的任何 两个闭测地线至少有一个交点. CSC证明 用反证法.假若曲面上的存在两条不相交的封闭测地线和，12 DCCCCC设和所围曲面上的区域为，用一条曲线段将曲线和连接起来，11232 C可看成一个四边形，其中被正向、方向各利用一次，利用推论6的结果，可得3 4 ， KdA,,,,,,,,,2220,i,,D,i1 K,0而这与高斯曲率矛盾，所以原结论成立. [13],例9 利用高斯—波涅公式证明:若曲面上存在两族夹角为定角的测地线，则它的S 高斯曲率处处为零，从而曲面为可展曲面. D 证明 在曲面上任取由两组测地线所围的曲边四边形，由条件知，此种四边形的内角 4n 和为利用公式， ,,,2,,,,,，(2)nKdA,,ii,,D,,1i1i K,0n,4KdA,0当时，则得，于是必有. ,,D PKP()0, 假若存在某点，有， KP()0,GGK,0P不妨设，存在的一个邻域，在上，; GD在内取一个四边是测地线弧段四边形， KdA,0显然，矛盾. ,,D 故此曲面上的高斯曲率处处为零. ,,[3]rrs,()定理4 ( Jacobi, 1842 ) 设 是曲率处处不为零的空间正则闭曲线, ,,, rrss,,()(),S其中为弧长参数,如果它的主法线球面标线是单位球面上的一s11 S条简单光滑闭曲线. 则这条主法线的球面标线必定平分的面积. ,,skCSD证明 设 是Crrs:(),的弧长参数, 是作为上曲线的测地曲率, 是1g111 SC上由围成的区域之一. dds, ,(arctan)kg 我们首先证明 . dskds1 由Frenet 公式, 得 ,,,,,drdddsds,,1,,,,，()k， ,,,dsdsdsdsds1111 ds1,故有， 22ds,，k1 ,,,,nrss,,()(),SCSrs()因为 在球面 上, 故沿 , 的单位法向量，111 于是 ,,2,,,,dsds,,()(),,,knrsrs,(,(),()),((),,)s, g11112dsds11 dsdds,3,,， ,,，(()())(),,ksks,(arctan)dsdskds11 dds,因此 ,(arctan)kdsdsg11,,CCdskds1 d,C，( 因为是闭曲线). ,,(arctan)0ds,Cdsk S再由Gauss-Bonnet 公式得( 因为球面 的总曲率 ) K,1 ， SDdAKdAkds()22,,,,,,,g1,,,,,DDC 2,S4,即区域D的面积为, 又因为的面积为 ， CS故 平分的面积. 参考文献: [1]梅向明，黄敬之.微分几何[M].第4版.北京:高等教育出版社出版， 2008，158-171. [2]陈维桓.微分几何[M].北京:北京大学出版社,2006,284-293. [3] 彭家贵，陈卿.微分几何[M].北京:高等教育出版社，2002,129-133.169-179. 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