风险值VaR的极值估计（可编辑）

风险值VaR的极值估计（可编辑） 风险值VaR的极值估计 华中科技大学 硕士学位论文 风险值VaR的极值估计 姓名:杨智勤 申请学位级别:硕士 专业:力学 指导教师:司继文;龚朴 20040428摘要近年来 金融市场的波动日益剧烈 一些金融危机事件接连发生 这些都对风险 管理提出了挑战 需要更加适合的模型方法来处理这些情况 实际研究明传统的正 态分布模型假设严重低估了风险 为了更加精确的度量风险 很多学者提出用在工程 上得到广泛使用的极值理论来度量市场风险 极值分布不需要对整个回报分布做任何 假设 而是让数据说话 仅仅拟合分布的尾部 很适合度量风险 由于采用基于极值 理论的广义 分布来研究市场风险在最近得到了广泛讨论 所以本文拟采用它来 研究中国股市 同时由于各种风险因子之间是相互耦合的 如何度量多风险因子的风 险也日益成为人们关心的问题 本文主要通过在前人对极值理论研究的基础上 探讨 怎样用极值理论来更加精确的估计中国股市所面临的金融风险 其中核心的部分就是 对于众多选择域值U的方法 结合实际情况选择了与 和 相似的 方法来选择域值U 在对广义 分布的参数进行估计时 并没有采用被普遍使用 的最大似然法进行估计 而是对几种估计方法进行了比较 选择了最适合的概率权重 矩法 进行估计 同时在单风险因子的基础上探讨了怎样通过采用 函数 进行 模拟来对多因子风险的风险值进行预测 最后通过对上证指数和深 成指数进行数值模拟研究 并将使用极值理论的模型和传统的正态假设模型进行了比 较 取得了比较理想的研究成果文章组织如下 第一章是总论 给出了本课题的来源 目的和研究的意义 以及 要使用的研究方法和研究的 在第二章给出了 的定义以及计算 常用的方 法 在第三章对极值理论进行了介绍 并着重给出了极值理论的 模型 说明了极 值理论在实际使用中的优点和缺陷 第四章对一维极值的 模型中广义 分布 的域值U的选取问题 将几种不同的方法进行了比较 并使用几种不同的方 法对广义 分布的参数进行了估计 选择了比较好的一种方法进行了数值模拟分析 在 第 五章扩展到多元极值的情况 以 函数和极值理论为基础 采用 模拟对多元风险因子的 进行了估算 并且进行了数值模拟研究 最后一章是 结论 和 指出了未来的研究方向 关键词 极值理论 广义 分布 风险值 函数 模拟 ABSTRACTRecently, with the daily volatility of financial market and some financial catastrophic events happened one by one, which put a challenge for risk management, we have been long for some more appropriate models to deal with such events. Because the conventional method to measure is based on normal distribution assumption which has been proved to underestimate risk, in order to measure the risk more accurate, more and more researchers put forward using extreme-value-theory to measure market risk which has been used in engineering field widely. Because extreme-value-distribution need not to put any hypothesis on the whole distribution of return but only by data themselves, fitting the tail of distribution, which is fitted to measure risk. Currently, the Generalized Pareto distribution based on extreme-value-theory was widely used to study market risk. In the paper, we prepare to use Generalized Pareto distribution based on extreme-value-theory to study Chinese stock market. At the same time, because various risk factors is dependent, how to measure multi-risk factors has been concerned increasingly. Based on the study of extreme-value-theory by forefathers, we will discuss how to use extreme-value-theory to estimate financial risk precisely faced by Chinese stock market. The center of this paper is using the method similar to those used in McNeil and Frey to select the threshold, and adopted the method of probability weighted momentPWM but not the imum likelihood methodMLM which is widely used in the last years to estimate the parameters of Generalized Pareto distribution after make an comparative analysis between several methods. The paper discuss how to make a Monte Carlo simulation to forecast the value-at-risk of multi-risk factors by using copula function based on the theory of single risk factor. In the end, the paper make a numerical simulation study for ShangHai stock market and Shenzhen stock market and conducted the back comparative analysis with the assumption of multi-norm distribution. A satisfactory result is taken out in the end of the paper The paper organized as follow. Chapter one is the summary of the paper that gives the origin, aim and meanings as well as the technique and content. In the chapter two describe the definition of VaR and methods used to calculate VaR. Chapter three introduce extreme value theory emphasizing on POT model and illuminate the advantages and disadvantagesWhich method should be adopted to select the threshold value U of generalized Pareto distribution is discussed and we have numerical simulation study based on selecting a good method among several methods to estimate parameters of generalized Pareto distribution in chapter four. The chapter five extend to multi-variable risk factors, adopting Monte Carlo simulation estimate the VaR of multi-variable risk factors based on Copula function and extreme value theory, and has a numerical simulation study. The last chapter is our results and conclusions, and in the end I provide some suggestions for farther researchKey words: Extreme-Value-TheoryGeneralized Pareto distributionValue-at-Risk Copula functionMonte Carlo simulation 1 绪 论 1.1 课题的来源 目的和意义 1.1.1 课题的来源课题来源于龚朴教授负责的国家自然科学基金项目 VaR 风险耦合理论模型/数 值模拟及实证研究 项目编号 70271028 1.1.2 课题的研究目的和意义 [1] 极值通常解释为稀少 重大 在一般情况下很少出现或发生的事件 虽然它在 正常情况下很少出现 但是在实际应用中 人们常常对这些事件的出现特别 关注 因 为这些事件的发生对人类社会 经济生活发生了重大的影响 例如在实际生 活中 日 复一日的气象预报中 气温或雨量的预报常常以其最大估计值和最小估计值为报道依 [2] 据 即不得不研究极值 在水文学中研究洪水泛滥的规律 常常是在确定临界值之 [2],[3] 上研究洪水的最高洪峰 最大流量及其最长持续时间所形成的三维随机变量 在 建筑过程中 许多原则不得不基于极值的考虑 尤其是在现代化建筑的安全性与 可靠性的发展过程中 最大负载压力分析与最小持续阻抗分析都涉及极值的分布模型 [4],[5] 其中还常常涉及到多方向的最大风力研究以及地震风险研究的极值模型在以上的几个领域 人们已经取得了许多实际的科研成果 例如在灾害性气象和 地震预报领域 人们试图用数学模型对自然灾害 如洪水 地震 风速进行预测 更 好的为人类服务 科学工作者已经将极值理论应用于水文观测领域 灾害性干旱 台 风 气象预测领域 在交通过程领域中 由于许多高速公路设计的基本思想是 在一 段时间内 出现车辆极端数目 K时发生交通堵塞 因此 交通设计与改时间段内交通 流密度的第 K个最大值有关 利用极值顺序统计量估计 K的累计分布函数可以进行交 通系统状况的评估 在工程设计项目的抗灾害领域中 经常需要预测某些量的最大值 如使用寿命期内作用在某建筑物上的最大风速影响 环境工程 空气污染 海洋工程 建筑设计中波高的推算研究 结构工程和材料强度设计 也考虑极值风速载荷对建筑 结构的影响 当设计载荷较小时 可能产生结构塌陷 损坏 反之 当载荷较大时 导致财力 物力 人力资源的浪费 利用极值理论可以很好的推算最大载荷分布特征 1对极值风速 载荷 地震的估算都为安全经济的结构设计提供了重要的依据 在海洋 气候环境中 各种海洋工程项目经常面临海浪波高 波期 风速载荷的共同作用 在 设计中 就要考虑工程寿命期限内多元变量极值载荷作用在社会经济环境中 极值事件的发生 如股市的崩盘 经济危机 重大保险损失 [6] 等 使得极值理论走进了金融风险管理领域 金融风险是指金融机构 非金融 企业 [7],[8] 和个人未来收益的不确定性 精确来讲 是未来损失的可能性 金融结构面临很 [9] 多的金融风险 主要有市场风险 信用风险 流动性风险 操作风险以及法律风险等 本世纪 80年代 在储蓄和贷款机构主要因信用风险而大量倒闭的情况下 银行普遍开 始注重对信用风险的防范与管理 其结果是产生了 巴塞尔协议 对资本充足性管理 [10],[11] 的理论与实践 该协议对加强银行资本充足率 保护银行安全起到了巨大作用 但是 随着金融市场的迅猛发展 它并不能解决不同的金融机构面临的所有风险 90 年代以来随着衍生金融工具及交易的迅猛发展 市场风险日益突出 90年代发生了几 起震惊世界的银行和金融机构危机大案 如巴林银行的破产 大和银行的假帐丑闻等 使得人们对市场风险更加关注 在今日的金融创新环境下 市场风险成为现代金融机 构管理和监管的重点 一些著名的国际大银行和投资机构开始研究 建立自己的内部 风险测量资本配置模型以弥补巴塞尔协议的不足从而使得风险值 VaRvalue at risk 方法成为市场风险测量方法的主流方法 最具有代表性的如 RiskMetrics系统等 风险 测量的主要任务包括 估计收益分布的尾部概率 组合利润与损失分布的分位点 确 定尾部事件发生的条件概率方法 假设所面临的损失超过风险值 VaR 究竟超过的限 度有多大 如何更好的描述金融数据的厚尾性 摩根银行提供的基于 RiskMetrics风险 [12] 测量框架的风险值 VaR方法有很大的缺陷 由于它基于金融资产价格变化服从正态 分布 导致计算风险值 VaR时 常常低估风险 各个金融机构纷纷依据自己的具体情 况开发自己的内部风险值 VaR模型 由于极值理论在工程领域的应用日益成熟 同时 理论本身的发展也越来越完善 以及经济金融领域发生日益频繁的危机 灾难性损失 这些极端事件的发生对人们的生活和社会造成了重大的影响 人们也开始应 用极值理 论研究金融市场风险 外汇市场投资定价和银行脆弱性 在应用中 主要利用极值理 论拟合金融风险因子的分布特征 对持有资产利润和损失分布的极值区域 尾部区域 进行估计 以界定面临最大风险损失 极值方法的优点在于能够利用有限的样本数据 挖掘有关变量的精确分布特征 描述金融收益数据的厚尾性在风险值中 对一个极值运动概率的精确预测是很重要的 因为就风险值的本质 2而言 它和原始数据分布的尾部是相关的 对于风险值的精确预测有很多方法 近年 来极值理论用于风险值的防范得到了很大的发展 极值理论不需要强迫整个样本为一 个简单的分布 而仅仅对样本数据分布的尾部进行建模 在实际的风险防范中 也 仅仅尾部分位数是很重要的 所以极值理论和风险管理之间的联系就是 对于肥尾分 布的数据 极值理论方法拟合极值分位数要比传统的方法好 如今 随着中国加入 WTO 越来越多的境外投资机构把目光瞄准了中国 这使中 国处于一个崭新的金融全球化体系中 中国作为一个新兴金融市场中的发展中国家 怎样分析和处理所面对的金融市场风险具有重大意义 本课题研究的目的是为了总结 国外和国内学者在极值理论探讨研究中的经验 利用学者们的研究成果 对实际过程 中如何运用极值理论来防范中国股票指数的风险进行数值模拟研究 研究的目的不是 为了对极值理论进行理论上的突破和创新 而是探讨如何使用不同的估计方法来估计 极值理论的参数 找到相对来讲最适合中国市场的估计方法 从而使用极值理论更加 精确的估计中国股票市场的市场风险 单风险因子市场风险和多风险因子市场风 险 为风险防范提供参考 1.2 国内外研究现状 1.2.1 极值理论的发展 [13] 极值理论最开始起源于 20世纪 30年代 Fisher和 Tippett 1928 曾对独立同 分布概率变量的最大值极值统计量的渐近分布极值分布进行过理论研究 发现了在 [14]~[16] 极值分布中有 Weibull分布 Gumbel分布 Frecher分布等三种形式 以及观 察 到了属于正态分布的极值统计量向极值分布的收敛相当缓慢 其后由 von [17] Mises1936 给出了分布函数属于极值分布吸引区域的充分条件 由此得知统计学教 科书中常出现的连续型分布几乎都属于极值分布的吸引区域 比如均匀分布 贝塔分 布属于 Weibull分布的吸引区域 正态分布 咖码分布 对数正态分布等属于 Gumbel 分布的吸引区域 而 t分布 Pareto分布等则属于 Frechet分布吸引区域50年代极值理论的研究有了很大的进展 通常是选取一年中某时期或某领域的最 大值进行研究 将取得的极值数据按照上述三种极值分布模式拟合 推测其参数 但 极值数据适合于何种形式的极值分布事先很难确定 因此在 1950年以英国的统计学者 为主展开了以一种形式表现三种类型极值分布的广义极值分布的数据解析研究 60年 代开始了两变量的极值分布研究以及对具有从属性概率过程的极值统计量的渐进分布 3研究但是 从大量数据中仅选用极值会舍弃掉其他数据所具有的有价值的信息 因此 在水文学中出现了不是使用极值而是选取某界限以上的数据分析的方法 此 方法称为 POTpeaks over threshold方法 根据指数分布可近似知道某界限值以上的数据分布 [18],[19] 对此加以理论证明的是由巴克曼与哈曼Balkeman Haan 1974 还有皮堪德 [20] Pickands 1975 所发现的广义 Pareto分布 即分布函数之所以属于一般极值分布 Weibull分布 Gumbel分布 Frechet分布的吸引区域 就在于分布两侧的山脚部分 的数值可用一般 Pareto分布来近似取得 以后 根据一般 Pareto分布所进行的数据解 析就成为极值理论的主流 在 70年代末期至 80年代中期 一般多变量极值分布的结 [21],[22] [23] 构也得以明确 另外 由 Galambos1978 1987 与 Leadbetter等1983 的著作 对极值理论的概率论方面作了介绍 后来 基于极值理论的广义 Pareto分布理论得到 了广大学者的普遍认可 极值理论研究在理论方面的成果引人注目 同时在数值模拟 研究中也得到了广泛的应用 1.2.2 极值理论用于风险值VaR的国内外研究1987年 10月发生的美国股 票市场的崩盘 1992年 9月欧洲货币体系的瓦解和 1997 年开始的亚洲金融危机成了金融业和风险管理中的中心议题 因此如何处理象这样的 极端事件在风险管理中及其重要 基于这一点 最近学术界开始将关于 VaR的研究转 [24],[25] [26] 向了极端事件的风险建模 Gencay等 1996 考察了美国股票市场的极端变 动 用到了超过一个世纪之久 1885 1990 日股票观察值 用统计学中的极值理论 给市场回报的极端运动建模 开辟了将极值理论用于风险管理的先河 从那以后 一 些学者将这一方法用于其它的股票市场研究 取得了很好的结果 例如 Duffee 等人 [27] 1999 应用 EVT方法研究了世界新兴金融市场 阿根廷 巴西 香港 印尼 韩国 墨西哥 新加坡 台湾和土耳其 的日常股票市场数据 对于日回报分布不 同尾部提前一期的风险值 VaR预测 将 EVT模型和具有正态分布的方差 协方差 方法 具有学生 t分布的方差 协方差方法 历史模拟法 GARCH模型进行了比较 结果表明基于 EVT的 GPD方法在 99 或者更高分位数上的表现要优于别的 模型 并 [28]~[30] 且认为极值理论是风险价值计算不可缺少的一部分 Hall1990 提出了怎么求解 关于广义 Pareto分布中域值 U的问题 试算法的基本思想就是找到使形状参数的渐进 4均方误差最小的排序后的第 个最大值 并以这个最大值作为临界值来估算形状参数 但是 所提出的方法是依分布收敛的 而不是依概率收敛 造成的偏差很大 后来 [31]~[33] 为了克服 试算法的缺陷 提出了改进的试算法来估计尾 部指数 这就是 二次子样试算法 [34]~[36] 在国内也有一些这方面的研究 例如天津大学管理学院的田宏伟等人 利用极值理论方法中估计参数域值 U的两种不同方法 二次子样本试算法和极大似然 法对风险值 进行了计算 并且把这两类方法与正态分布和经验分布的结果进行了 比较 同时将这几种方法对日元回报 英镑回报 马克回报和加元回报这四种汇率历 史数据进行了数值模拟计算 最好得到了在极端条件下 用极值理论估计风 险值 具有很高的准确性 同时二次子样试算法的结果又优于极大似然法 朱国庆 张维等 [37]~[40] 人 给出了关于极值理论进展的一篇综合文献 介绍了极值的概念和极 值理论研究的历史进展 评述了极值理论在工程领域中的应用 然后侧重于对极值理 论在金融风险管理领域的应用进行了阐述 描述了极值理论用于风险值 的基本分 析和应用框架 并在最后对极值理论应用的发展方向进行了分析 1.3 本文的主要研究内容虽然从极值理论的诞生到现在已经有几十年了 很多学者对极值理论的理论部分 进行了系统的研究 但是极值理论在实际中的应用还是近二十年来的事情 特别是在 最近极值理论才开始用于金融风险的研究 本文拟采用极 值理论研究中国股市 通过 对前人对极值理论的研究 估计参数的选择 性能比较的基础上 探讨怎样用极值理 论来更加精确的估计中国股市所面临的金融风险 然后运用极值理论对上海股市和深 圳股市进行了数值模拟研究本文的主要研究内容包括以下几个问题结合中国股市数据 采用一种最切实可行的方法来选取 POT模型的域值 采用概率权重矩法来估计广义 Pareto分布的参数而不是普遍采用的最大似然 法 用基于极值理论的 POT模型来估算单变量风险值 VaR 用基于极值理论和 Copula函数的Monte Carlo方法估算多变量风险值 VaR 并将结果和传统的多元正态分布模型进行了后验分析比较 52 风险值 VaR的理论体系 2.1 风险值 VaR的产生和发展 2.1.1 风险管理工具的发展如何度量风险是风险管理中最基本的问题 由于在进行管理和控制风险之前 首 先要对风险有一个量的认识 才可能采取一定的措施和运用某些工具如衍生证券去控 制风险造成的后果 传统地 人们用变量的方差或标准差来测量风险 因为从统计上 来讲 方差提供了变量的真实值偏离期望值的程度的相关信息 使得人对风险大小有 了一定的认识 但是由于这个度量对好的或者坏的偏差都是对称的度量 所以很粗糙 对风险的衡量不完全 随着计算机技术的不断进步 人们用于管理风险的工具得到了 很大的改进 2.1.2 风险值VaR概念的产生在风险值 概念出现之前 国际上银行业普遍采用资产负债管理方法来进行风 险管理 但是随着衍生债券的飞速发展并在金融机构中使用越来越广 银行的表外业 务越来越多 衍生证券的头寸在整个银行的资产中所占的比例也越来越大 然而衍生 证券业务并不反应在银行的资产负债表上 因此传统的资产负债表管理方法不能管理 衍生证券的风险 但是 由于衍生证券的潜在风险巨大 不容忽视 于是银行界希望 能够寻求一种被行业普遍认可的度量全局风险的方法 这就导致了风险值 概念的 提出 2.2 风险值 VaR的定义 2.2.1 风险值VaR的定义 [41]~[42] P.Jorion 在 1997年出版了第一本系统介绍风险值 VaR的书 在他的书中给出 了风险值 VaR被学者们所普遍认可的定义 风险值 VaR是在给定的置信水平下 在一 定的时期内最坏情况的损失 更确切的是指 在一定概率水平下 置信度 某一金融 资产或证券组合在未来特定的一段时间内的最大可能损失 可以表示为 Pr obDP VaR 1- c 2.16其中DP为证券组合在持有期Dt内的损失风险 值 VaR为置信水平 c下处于风险中的 价值 为了形象的说明上面的等式所给出的实际意义 我们可以举一个例子 对于标 准正态分布 在 95 的置信水平下 风险值 VaR 95 对应于频率分布上累积分布 不超过 5 的那一点 图 2.1 风险值 VaR的示意图从上面风险值 VaR的定义可以看到 要想计算风险值 VaR的值 有几个重要的参 数是必须注意的1 时间范围 对时间范围的选择是一种主观行为 可以是一天 可以是一个月 在本文的研究中 为了充分的考虑数据的利用性 所以采用日回报进行了日风险值 VaR 的预测 巴塞尔协议规定置信水平取为 99 时间长度是 10天 不同的风险管理者 可以根据自己的需要选择合适的置信水平和时间长度 对于监管者来说 时间长度体 现了频繁监督的成本与及早发现潜在问题的获益之间的替代关系 而从公司的角度来 看 这一时间间隔的选择应由投资组合本身的特性决定 一般国外的商业银行现在以 每日间隔分布其交易 是由于其投资组合变动频繁 相比之下 诸如养老金之类的投 资组合由于调整缓慢 而一般选取一个月的时间间隔2 置信水平 置信水平的选择几乎没有什么可遵循的原则 所以对置信水平的 选择也具有随意性 主要取决于风险管理系统如何解释风险值 VaR值 使用风险值 VaR的不同金融机构使用了不同的置信水平 有时非金融机构用风险值 VaR系统度量 和管理金融风险时也采用了不同的置信水平 巴塞尔委员会选取 99 的置信水平 因 为这一水平体现了确保金融系统的安全有效和对银行风险资本要求过高的不利影响的 替代关系 由于拟决定采用极值理论来计算风险值 VaR 而极值理论一般的适用范围 是置信水平大于等于 0.99的情况 所以本文选取的置信水平都不小于 0.993 损益的概率分布 密度 函数 要计算风险值 必须知道损益的概率密度 7函数或者假设一个 最常用的假设是正态分布 虽然大量的数值模拟研究表明资产收 益率的分布与正态分布相差甚远 但是由于利用正态分布的假设确实大大简化了计算 风险值 的繁重负担 所以正态分布假设几乎成了所有推论性统计方法的出发点 风险值 VaR的计算方法 一般来讲 风险值 VaR的计算方法可以分为两大类 非参数方法和参数方法 非 参数方法在计算过程中不需要估计参数 而参数方法必须在计算过程中或者估计样本 母体的分布参数或者估计其他参数 需要把所有方法都估计出来的方法称为完全参数 法 而仅仅需要估计部分参数的方法称为半参数法 下面分别给出这两类方法中被广 泛使用的几种方法 2.3.1 非参数法非参数方法中最简单 使用最多的就是历史模拟法 历史模拟法 Historical simulation 缩写为 HS 的主要思想就是假设资产收益率的历史分布在以后的时间段 内不会改变 因此资产组合的经验分布可以用来估计风险值 VaR值 换句话说 这种 方法用历史收益率序列的经验分布取对应于一定置信水平下的分位数点来估计风险值 [42] VaR Jorion1997 在他的书中详细的介绍了这种方法 用模拟方法计算风险值 VaR 的程序可以归纳如下 1 首先确定组合中的所有单个资产和相应的比重 明确影响单个资产价值变化的市场 因素 并收集过去一定时期内的收益率数据 2 用收益率样本及权重来产生资产组合的收益率 3 形成资产组合收益率的经验分布 并直接从经验分布中例如对 99 置信度水平 读出 1 下分位点 这就是风险值 VaR 通常所用的历史模拟法来计算风险值 VaR除了上面所介绍的直接模拟 也就是所谓的 次序统计量方法之外 还有克服了次序统计量存在间断缺陷的二次插值法 核估计方 法等历史模拟方法的最大优点就是不需要对收益率的分布做任何假设 完全体现了市 场因素的实际变化情况 利用经验分布 市场研究人员可以规避那些在为市场价格波 动建模时遇到的问题 如市场价格市场分布呈现厚尾 不是通常假定的正态分布 还 有波动性和相关性等问题 另外 利用经验分布 可以随时调整资产组合的分布 只 要利用不同时期的样本 这样总能做到随时反映市场波形的真实状况 第二个优点是 历史模拟法容易处理 只需要足够的数据 第三是不需要计算任务量巨大的方差 协 8方差矩阵 第四个优点就是这种方法适用于任何类型的头寸和任何类型的市场风险但是正如所提到的 为了更好的预测市场风险 必须需要足够的数据 而 且由于 历史模拟法依赖于特定的数据集 一旦数据集发生大的结构变化 则风险值 VaR表现 不稳定 也有较大的波动 换句话说 基于历史模拟的风险值 VaR计算方法对历史样 本数据的选择很敏感 再者 历史数据并不能预测未来比历史可能更大的风险情况 所以历史模拟法对未来的难以预料的风险没有警示作用 这是这一方法的最大弊端 2.3.2 参数法对于参数法的分类方法虽然很多 但是现在仅仅从最一般的角度进行分类 这种 方法使得参数法包含方差 协方差方法 蒙特卡罗方法和基于极值理论这三种方法 下面分别对这三种方法的基本思路和特点作简单的介绍方差 协方差法 用方差 协方差法计算市场风险风险值 VaR是最标准的方法也是最早使用的方 [12] 法 现在仍然被广大金融机构广泛采用 如著名的 //.gan 开发的软件 RiskMetrics 就是采用的这种方法 在这种方法中 资产头寸 或组合 的价值变 化 收益率 假设服从正态分布 当只有一种资产时 就不存在协方差 只需要使用 方差 所以这时又被称为方差方法 记资产一天时间内的收益率为 r 假设服从均值 为 0 标准差为s的正态分布 V是资产的当前价格 置信水平为 c 则由统计学的知 识很容易得到 在置信水平 c下 资产收益率最大可能波动值等于标准正态分布的 1 - c 下分位点a与标准差的乘积 于是 在c置信水平下 资产的最大可能损失为a s V三者的乘积 这就是单个资产一天内的风险值 VaR 可以用下式计算 VaRV as2.2 t 例如对于 95 的置信水平 a的值是 1.65 对于 99 置信水平a对应于 2.33以上计算出来的是单个资产一天内的风险值 VaR值 如果要计算 n天内的风险值 VaR 只需乘上一个调整因子 n即可 那么n天内的风险值 VaR可以表示为VaR? VaRn2.3 nt 这个简单的关系基于如下的假设 1 资产的日变化是一个随机过程且服从随机 游动 2 日变化不可积累现代投资组合理论认为 资产组合的风险不简单是组合间单个资产风险的求和 还包括资产之间价格波动的协方差 因为要计算多个资产构成的资产组合的 风险值 9VaR 必须考虑到不同资产面临的风险因子之间的相关性 当仍然假设资产收益率服 从正态分布时 而且假设风险因子之间存在线性相关 那么资产组合的方差以下式计 算 mm ' s wwssr ww 2.4 p ijij ij ij 其中 s 是由m个资产构成的组合的价值波动性 标准差 w w分别是组合中资 p i j 产 i和资产 j所占的权重 s s 分别是资产 i和资产 j的价值波动性 r 是资产 i和 i j ij S 资产 j的价值变化的相关系数 是相关矩阵 在这里一般假定组合的价值变化与其 构成成分的价值变化是线性相关的从上面的公式可以看到 在计算投资组合 的风险值 VaR 必须估算单个资产的价 值波动性 标准差 还必须估计组合中任意两项单个资产的价值变化相关系数 方 差 协方差 因此得名 标准差可以用多种方法来估计 如常用的有简单的滑动平均 模型 指数加权滑动平均模型 EWMA 自回归条件异方差ARCH模型等用方差 协方差模型的优点是计算风险值 VaR时很简单 因为其原理容易理解 但是这个方法也存在一个很大的问题就是这个方法是基于正态假设的 然而很多数值 模拟研究表明资产的价格变化并不服从正态分布 而是一个不对称 具有一定偏度 峰度的肥尾分布 这就意味着所用的方差 协方差方法计算出来的风险值 VaR会低估 真正的风险值 另外 如果资产组合由大量的单个资产组成 则要求计算的协方差非 常庞大 计算量也大得惊人 这就会给计算风险值 VaR造成很大的负担蒙特卡罗模拟法 蒙特卡罗模拟法能够很好的处理实际金融市场数据的厚尾性以及大幅度波动的非 线性问题 其主要思路是 反复模拟决定金融工具价格的随机过程 每次模拟都可以 得到组合在持有期的一个可能值 如果进行大量的模拟 那么组合价值的模拟分布将 收敛于组合的真实分布 根据最后的模拟分布计算就可以得到风险值 VaR值蒙特卡罗模拟和历史模拟法十分类似 区别是前者利用统计方法估计历史上市场 因子运动的参数之后来模拟市场因子未来的变化 而后者直接根据历史数据来模拟市 场因子的未来变化情景 一般来讲 基于蒙特卡罗模拟的风险值 VaR计算可以分成以 下三步 1 情景产生 选择市场因子变化遵循的随机过程和分布 如多元正态分布等 估计分布的参数 如方差 协方差矩阵 利用蒙特卡罗方法模拟市场因子的 10变化途径 建立市场因子未来变化的情景 2 组合价值 对市场因子的每个情景 利用定价公司或其他方法计算投资组合未 来的盯市价值及未来的潜在损益 3 估计风险值VaR 根据潜在损益分布的模拟结果 计算出在给定置信度下的风 险值 VaR值在蒙特卡罗模拟中 情景的产生是基础和关键 即选择适当的随机过程和统计 分布 可以用不同的统计分布和随机过程来计算风险值 VaR 不同的随机过程就会导 致不同的风险值 VaR值 如果把不真实的假设加入到模型中 就会产生严重的模型风 险 这也是 Monte Carlo最大的缺点之一极值方法 风险管理主要关注的是发生概率小但是会导致灾难性损失的事件的风险 但是前 面几种计算风险值 VaR的方法都忽略了极端事件而将整个收益率分布同等对待 然而 在风险管理中 这些极端事件的观测值可以用来给分布的尾部建模 这正是极值理论 所研究的内容 极值理论虽然是统计学研究的范畴 但是最近几年来 极值理论已经 开始被用到风险管理领域 而且体现了它的价值和优越性 由于基于极值理论来计算 资产的风险值 VaR是我们研究的重点 将在下面详给出其介绍 2.3.3 上述方法的比较上面部分简单介绍了历史模拟法 方差 协方差方法和蒙特卡罗模拟法的主要思 路和各自的计算步骤 下面对这三种方法进行简单的评价历史模拟法 历史模拟法的优点是不需要对样本母体作出任何分布形式的假设 只是假定收益分布在整个样本期内固定不变 这种方法简单 直观 易于操作 很适 合做一些初步的分析 它是以使用者获取或保存了大量的实际历史数据为前提的 它 的缺点是缺乏灵活性 而且它不能提供比样本点中最大损失还要坏的预期损失 同时 该方法对样本点的大小比较敏感 使用者所选用的样本长短对预测结果会造成很大的 影响 首先由于该方法需要大量的历史数据 通常认为样本容量不能小于 1500 然而 太长的历史数据又无法反应未来的真实情景 存在严重的滞后效应 尤其对含有一个 样本数据时更是如此 此外 运用历史模拟法无法做特殊情况下的敏感性测试方差 协方差法 该方法计算简便 只需要估计每种资产的标准差和它们之间的 相关系数就可以得到任意组合的风险值 VaR值 然而 一般的正态性假设 实际应用 中一般还包含了零均值假设 有研究结果表明 1 实际的收益率数据分布并不关于 零点对称 2 实际收益率数据分布尾部概率分布要比正态大 同时也存在峰度和偏 度 也就是存在厚尾和尖峰现象 所以这种方法会低估风险 3 无法处理非线性问 11题 蒙特卡罗模拟法 由于蒙特卡罗方法是全值估计 无分布假定并且能较好地处理 非线性问题 估算精度好 特别是随着计算机软硬件技术的飞速发展 该方法已经逐 渐成为计算风险值 VaR值的主流方法 但是蒙特卡罗模拟法存在几个缺点 一是计算 量太大 一般来说 复杂证券组合往往包含不同币种的各种债券 股票 远期和期权 等多种证券 其基础市场因子包括多种比重不同 期限不同的利率 汇率 股指等 构成了一个庞大的因子集合 二是维数高 静态性 传统的蒙特卡罗模拟法由于采用 抽样方法产生随机序列 均值和协方差不变 而经济问题中的变量都随着事件而变化 在静态方法处理时变型变量必然会产生一定的偏差 而且传统的蒙特卡罗方法难以从 高维的概率分布函数中抽样 同时由于蒙特卡罗模拟必须预先假设一个随机过程 所 以如果把不真实的假设加入到模型中 那么可能产生严重的模型风险 表 对历史模拟法 一般方差 协方差方法和蒙特卡罗方法的比较分布假定 未来与历史同分布 正态分布 无分布假设 处理非线性能力 强 弱 强 数据收集难易程度 难 样本大小难确定 容易 容易 方法实现难易度 较容易 较容易 很难 计算量 较少 较少 很大 估算精度 较差 较好 好 解释难易度 很容易 较容易 难 从上面的表中可以清楚的看出各种方法的优缺点 从而有利于结合实际的情况使用一 种最适合对实际样本数据进行计算的方法123 极值理论从市场研究者的角度来看 他们感兴趣的一个问题就是 什么是金融市场中可以 被期望的极端运动 我们已经看到了最大的一个极端运动还是未来将要经受更大的一 个极端运动 这些理论模型可以模型化实证研究中的肥尾现象吗 这些问题的答案对 怎样更好的管理金融风险是很重要的 这些表明了可以在极值理论的框架下来回答这 些问题 一旦知道了尾部指数 就可以扩展到样本外去分析 考虑那些还没有被历史 观察到的可能的极端运动 实践表明极值理论是很强有力的 同时也是在一个稳健框架体系中来研究一个分 布的尾部性能 一般来讲极值理论包括两类模型 传统的分块样本极大值模型BMM 和近年来发展起来的超域值分布模型 POT 其中分块样本极大值模型是指一个极大 值序列的渐进分布在一定条件下收敛于 Gumbel Frechet Weibull分布 这三种分布 可以用一个标准形式来表示 这就是广义极值分布 超域值模型的一个重要结论就是 超过一个合适的给定域值的超额数的分布可以用广义 Pareto分布来逼近 下面分别对 这两种模型进行介绍 3.1 传统极值理论 BMM [43] 在介绍经典极值理论之前 必须知道关于次序统计量的概念 设 X ,in 1,2,, i 是取自分布函数为 Fx的总体的一个样本 将其按大小排列为 XX…X 1 2 n 称XX ,, 为次序统计量 其中X XX ,, X MinXX ,, 1 n 1 1 n nn 1 分别称为样本Fx 的极大值 样本极小值 它们统称为样本极值 文献表明 由极值 1 构成的样本数据具有独立同分布 iid 的特点 为了研究极端数据的统计特性 需要研究极值的分布 设Fx 为总体的分布函数 Fx 为极大值的分布函数 Fx 为极小值的分布函数 则总体分布与它们之间有如 1 2 下的关系 n FxPX x Fx 3.1 1 1 n FxPX x1-- 1 Fx 3.2 2 n 13因此如果总体分布已知 可由总体分布得到极值的分布 但是一般情况下 总体分布是 未知的 所以很难得到极值的精确分布 这样 通常讨论的是极值的渐进分布 为了 简单起见 一般只考虑极大值分布 极小值的情况可相应得到 假定一个独立同分布的随机变量序列为XX, ,,它们来自于同一个未知分布 1 2 F 用M XX ,,表示前 n个观测值的最大值 进一步假定能找到实数序列 nn 1 a 0 b 0使得正规化的最大值序列Mba - / 是依分布收敛的 即对某个非 退 n n nnn 化的分布函数Hx ,当n时有 n d PMbax - / ?Fax+b ? Hx 3.3 nnn nn 则称Hx 为一个极大值分布 简称极值分布 同时称 F处于Hx 的最大吸引场中 记为FMDAH极值分布可以分为极值 型 型 型 研究极值分布的理论统称为极值理论 Extreme value Theory 它是概率论的一个重要分支 主要研究随机样本以及随机过 程中极值的概率值以及统计推断 极值分布的三型的方程分别为 - x Gumbel jxx exp-? exp , 3.4 -a exp[--xx ], 0,0 a Frechet f x 3.5 a 00 x a exp[--xx ] 0,a 0, Weilbull y x 3.6 a 10 x 其中a是极值分布的尾部指数 定义 ksea 1/ 为形状参数 由于 e的不同取值范围 决定了三种类型极值分布的形状 从上面三个分布的形式可以看到可以通过一个参数a对他们进行分类 为了便于 [44] 统计应用 Jenkinson1955 通过设置ea 1/ 将上面的三个分布统一成一个分布形 式 这就是广义极值分布模型 GEV -1/ e exp-1+ex, ifx ee ?+ 0,10 Gx 3.7 exp-exp- x0 if e 14极值分布 型和 型分别对应于 e 0和 e 0的情况 类型 则是 e0时的极限 一 般的 分布函数 F可以写成Fx - Fx [ ms /] 其中 e是形状参数 m是位置 参数 ms , 完整的 GEV 模型可以通过添加形状参数 m 0和位置参数s 0 来获得 这样就有 H xHx - [ ms /] em,,se 下面给出三类极值分布的形状和广义极值模型取不同参数时的图形 分别对应于 前面给出的三个分布 图 三种类型极值分布的概率密度图形 图 的形状参数 e取不同值时的图形 在图 中设 和 分布的尾部指数 a 1 从图中可以看到 分布从 开始 同时有一个有限的右尾部 所以是一个薄尾分布 而 分布也 从 开始 但是它的尾部无限 而 分布的尾部特征在 和 分布 之间 同时广义极值分布的尾部特征确实包含了前面三类极值分布的尾部特征 在极值理论中 Fisher-Tippett定理是极值理论的基本结果 它在极值理论中的重 要性就如中心极限定理在抽样分布中的地位一样重要 Fisher-Tippett定理描述了标准 化样本极大值的极限行为 定理如下 Fisher-Tippett定理 F? MDAHH是 H 的某种形式 e Fisher-Tippett定理虽然简单 但是它说明了 如果已知适当标准化的极大值序列依分 布收敛 那么其极限分布一定是参数ems ,, 取某个特定值的广义极值分布 H 满足 ems ,, 上面定理的分布有很多 几乎所有的统计上常用的连续分布都处于 e取某个值的广义 极值分布 H 的最大吸引场中 e 当 e 0时 H 对应于 Gumbel分布 属于 Gumbel分布吸引场的分布有正态分布 0 15指数分布 Gamma分布 对数正态分布等 这类分布都是薄尾分布 当 e 0时 H e 对应的是 Weibull分布 属于 Weibull分布吸引场的分布是尾部较短的分布 例如均匀 分布 Beta分布 这类分布在实际应用中极少涉及 当 e 0时