面积与代数恒等式

面积与代数恒等式 课题分析 本课题学习安排在第十三章整式乘除之后，以第十三章学过的计算公式为出发点，联系其几何意义，把数学代数式与几何图形紧密结合起来，充分体现了数形结合的数学思想。 选题分析 第十三章内容有许多法则和公式的推导都用到了几何图形的面积，这为本节学习奠定了基础，所以在本节课题学习中，我精心选题，对于第十三章涉及到的一些公式的几何意义就不再重复，只用到了(ɑ，b)?,ɑ?，2ɑb，b?与(m，n)(ɑ，b) ,ma，mb，na，nb，使学生意识到第十三章法则公式的学习中为本节奠定了基础就行了。另外，没有必要选择特别复杂的代数恒等式，因为本节课题主要是让学生探究学习，从中获取经验，体现数形结合的思想，特别复杂的代数恒等式只会加重学生负担，没有实际意义，所以选题时我主要由简到繁，符合学生认知规律，选取有代表性的代数恒等式，如:(ɑ，b)?,(ɑ,b)?，4ɑb和勾股定理的验证。 流程设计 首先明确目标，提出自学。在学生自学活动后，与学生一起总结学习经验、叙述思考方法，使学生学会学习方法，提高其分析问题、解释问题的能力。 教学目标 1.写出代数恒等式，会利用图形的面积来说明它的正确性;体会数量关系与图形之间的内在联系，了解一些代数恒等式的几何背景，体会它们的几何意义; 2.通过对几何图形的面积关系的观察、分析、研究，从中抽象、归纳出一些代数恒等式; 3.经历探索、讨论、交流、应用数学知识解释有关问题的过程，从中体会数学的应用价值，发展自己的思维能力，获得一些研究问题、解决问题的经验和方法，并尝试用语言叙述出来; 4.通过成功的体验获得和克服困难的经历，增进应用数学的意识以及学好数学的信心。 教学重点、难点 1.引导学生利用几何图形的面积关系归纳出代数恒等式;用几何图形的面积关系说明代数恒等式的正确性。 2.培养学生协作精神与合作意识，激发学生创新意识。 教具学具 长方形、正方形和三角形硬纸片 教学流程 一、创设问题情境，激发探究兴趣。 1.请大家把预先准备好的长方形、正方形和三角形的硬纸片拿出来，摆在桌子上。 2.你们知道用这些硬纸片我们要学习什么内容吗,(学生联系刚学过的内容猜测:《面积与代数恒等式》) 3.对这个课题的学习你准备好了吗,出示问题: ?你如何理解“恒等式”,(板书) ?这是“恒等式”吗,板书: ?(2ɑ)?,4ɑ? ?ɑ(b，c),ɑb，ɑc ?(ɑ，b)?,ɑ?，2ɑb，b? ?你怎么知道它们是恒等式,如何验证其正确性呢, 引入课题，板书:面积与代数恒等式 二、自主探究问题，总结方法经验。 1.动手做一做。 ?出示自学要求: ?观察代数恒等式的特点，体会它们的几何意义。 ?用硬纸片摆一摆，或用笔画一画，说明其正确性。 学生自学，通过动手操作，说明恒等式的正确性。 ?总结构图经验，在构图过程中有没有技巧,请你尝试把你的思考过程用语言表达出来。 (设计意图:三个代数恒等式由简到繁，符合学生认知规律，发展学生数学思维能力，培养学生数学语言表达能力，总结学习经验，完成学习目标1) 2.看图想一想，出示图(一)图(二) 图(一) 图(二) ɑ b b ɑ ɑ ɑ ɑ b ɑ(ɑ，b),ɑ?，ɑb (ɑ，b)?,(ɑ,b)?，4ɑb ?提出自学要求:通过对几何图形的面积关系的观察、分析、研究，从中抽象、归纳出代数恒等式。(目标2) 学生自学，根据图形面积的不同表示方法归纳代数恒等式。 利用图形的面积总结出来的等式正确吗,利用我们学过的公式进行计算，能验证它的正确性吗,(学生动手计算) ?总结学习经验，怎样利用图形写出代数恒等式。 (设计意图:学生自学，根据面积的不同表示方法归纳代数恒等式，完成学习目标2;图(二)又为后面用直角三角形拼正方形奠定了基础。) 3.延伸拓展，培养学生协作精神，激发学生创新意识。 出示问题: ?你能用四个大小完全相同的直角三角形拼成一个正方形吗,动手试一试。 ?利用你所拼的图形的面积，你能写出一个代数恒等式吗, ?观察你写的代数恒等式，你有什么新的发现吗,总结你的结论。 (设计意图:提出更深层次问题情境和问题，培养学生发现问题、归纳问题的能力，增强合作意识，鼓励学生发散思维、创新意识，多种方法说明恒等式的正确性，从中获得一些研究问题、解决问题的经验和方法。) 三、当堂训练 1.说明下列代数恒等式的正确性。 ? 2ɑ,3b,6ɑb ? (2ɑ，b)(ɑ，b),2ɑ?，3ɑb，b?) 2.看图，归纳代数恒等式。 (m，n)(ɑ，b) ,ma，mb，na，nb 2ɑ(2ɑ,b),4ɑ?,2ɑb 四、学生总结本节课题学习的收获与体会。 有时间让学生自己写一些代数恒等式，并用面积说明其正确性，或先动手摆一个大的矩形或正方形并归纳代数恒等式。 本章总结提升 一、 知识结构 幂的运算 mnm，nmnm,n?a,a a?a,a a mnmnnnn(a),a (ab),ab 单项式乘以单项式 单项式除以单项式 单项式乘以多项式 提公因式法 多项式除以单项式 因式分解 多项式乘以多项式 公式法 22乘法公式(a，b)(a,b),a,b 222(a，b),a，2ab，b 二、 【方法指导与教材延伸】 (一)同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方这三个幂运算，特别是同底数幂相乘的法则是学习整式乘法的基础，其他的如:后面的多项式乘以多项式是转化变成单项式乘以多项式，再转化为单项式乘以单项式，最后转化为同底数幂相乘，所以我们要熟练掌握其法则: mnm，n1(同底数幂的相乘的法则是:底数不变，指数相加.即a?a,a， mnm n 幂的乘方法则是:底数不变，指数相乘.即 (a),a， nn n积的乘方法则是:积的乘方等于乘方的积.即 (a b),ab， mnm-n同底数幂的相除的法则是:底数不变，指数相减.即a?a,a 2(其中m、n为正整数，底数a不仅代表具体的数，也可以代表单项式、多项式或其他代数式. 3(幂的乘方法则与同底数幂的相乘的法则有共同之处，即运算中底数不变，但不同之处一个是指数相乘，一个是指数相加 4(这三个幂运算相互容易混淆，出现错误，在初学时要注意辨明“同底数幂”、“幂的乘方”、“积的乘方”等基本概念，对公式的记忆要联系相应的文字表述，运用法则计算时，要注意识别是同底数幂的相乘、幂的乘方还是积的乘方，法则中各字母分别代表什么,再对照法则运算. (二)整式的乘法 1(单项式与单项式相乘: 由单项式与单项式法则可知，单项式与单项式相乘实为完成三项工作:(1)系数相乘的积作为积的系数;(2)同字母的指数相加的和作为积中这个字母的指数;(3)只在一个单项式中出现的字母连同它的指数一起作为积中的一个因式. 单项式乘法法则对两个以上单项式相乘同样成立. 2(单项式与多项式相乘: 单项式与多项式相乘，实际上是转化为单项式与单项式相乘:用单项式去乘以多项式中的每一项，再把所得的积相加，即m(a，b，c),ma，m b，mc 单项式与多项式相乘，结果是多项式，积的项数与因式中多项式的项数相同. 3(多项式与多项式相乘: 多项式与多项式相乘，实际上是先转化为单项式与多项式相乘，即将一个多项式看成一个整体，即(m，n)(a，b),a(m，n)，b(m，n)，再用一次单项式与多项式相乘，得(m，n)(a，b),ma，n a，m b，b n. 多项式乘以多项式其积仍是多项式，积的次数等于两个多项式的次数之和，积的项数在末合并同类项之前等于两个多项式项数之和. (三)乘法公式 221(“两数和乘以它们的差等于这两个数的平方差”即(a，b)(a,b),a,b，应用这个乘法公式计算时，应掌握公式的特征:? 公式的左边是两个二项式相乘;并且这两个二项 2式中有一项是完全相同的项a，另一项是相反数项b;? 公式的右边是相同项的平方a减 2去相反数项的平方b. 公式中的a和b，可以是单项式，也可以是多项式或具体数字. 2222(“两数和的平方等于它们的平方和加上它们乘积的2倍”.即(a，b),a，2ab，b.要理解公式的特征:? 公式的左边是一个二项式的平方，右边是一个二次三项式.公式的适用范围:公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式;任何形式的两数和(或差)的平方都可以运用这个公式计算. (四)整式的除法 整式的除法关键是掌握好同底数幂的除法和单项式与单项式相除的法则。 1、单项式除以单项式的一般步骤是:将单项式的系数相除作为商的系数，同底数幂相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母连同它的指数一起作为商的因式。 2、多项式除以单项式应转化为单项式除以单项式，运算时要注意确定商的符号和杜绝漏项现象。 (五) 因式分解 因式分解与因数分解类似，它与整式乘法的过程恰好相反，我们可以运用整式的乘法得 到因式分解的方法，也可以运用整式乘法来检验因式分解的正确性( 1.在运用提取公因式法分解因式时，系数要取多项式的各项系数的最大公约数;字母要 取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂; 2(多项式的第一项系数是负数时，一般要提出 “,”号，使括号的第一项是正的， 在 提出“,”号时，多项式的各项都变号. 3.在因式分解时一般步骤: ?如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式; ?如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解; ?如果用上述方法都不能分解，那么可以用分组分解法来分解; ?分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止. 【例题选讲】 例1、计算下列各式: 23243532 (1) (,2)?(,2) ;(2) a?a?a ;(3) x?x?(,x) ;(4) (a，b,c)?(c 3 ,a,b) n，1n,1n,1n，12n(5) 100?10?10 ;(6) (x，2)?(2，x),(x，2) 解题方法:熟记公式是解这类题的前提，当题中幂的底数不同时，必须利用乘法和乘方的意义变形，化成同底数幂;当题目中有加、减、乘混合运算时，应计算同底数幂的乘法，然后再合并同类项. 例2、计算下列各式: 26344nn,14223(1) [(,2)] ;(2) [(x，y)] ;(3) (a) ;(4) ,(y)?(y) ; 3223243244224(5) (,a)，(,a),(,a)?(,a) ;(6) x?x?x，(,x)，4(,x) 例3、计算下列各式: 4323m5 m，2 2n,12(1) (,3a) ;(2) (ab) ;(3) [(x，y)(x,y)] ;(4) (x?y) ; 2825nn，1 (5) (,0.125)×2 ;(6) (1990)?(); 39802x，1x例4、已知2，4,48，求x的值. 2x，1x2x2x2x 解:?2，4,2×2，2,3×2 2x，1x且2，4,48 2x2x2x 4?3×2,48，?2,16，?2,2，?2x,4，?x,2. 解题方法:解这种有关指数方程的基本方法是，将左右两边变形为两个幂相等的等式，且左右两边幂的底数相同，再根据两个底数相同的幂相等，其指数必定相等列出方程，解这个方程即可. 例5、计算: 2323221(1) 3xy?(,2xy) (2) (,5ab)?(,4bc)?ab 2 2232223223(3) [2(a,b)][,3(a,b)][,(a,b)] (4) (,3xy)(,xy)?(,yz) 334 33232222311(5) (,4xy)(,xy),(xy) (6) (2xyz)?(,xyz),(,xyz)?(5yz)(,3z) 22 例6、计算: 5223222313(1) (,2a)?(3ab,5ab) (2) (,2xy)(,y，xy，x) 428n,1nn，1n，32(3) x(2x,4x，5x) (4) 2a(,ab,b),3ab(4a,2b) 131(5) x,2x[x,3(x,1)] 32 例7、已知x，y,4，x,y,6， 22 求代数式xy(y，y),y(xy，2x),3xy的值 例8、计算: 2222(1) (3x,2x,5)(,2x，3)(2) (2x,y)(4x，2xy，y) (3) (3a，2b)(4) (x,1)(2x,3)(3x，1) 2232例9、已知(a，pa，8)与(a,3a，q)的乘积中不含a和a项，求p、q的值. 232分析:不含有这个项，即为此项的系数为零，又(a，pa，8)与(a,3a，q)的乘积中的a项 33322222是,3a，pa,(,3，p)a， a项是qa,3pa，8a,(q,3 p，8)a ,，,30pp,3,,由题意得: 得: ,,q,1qp,，,380,, 例10、下列计算是否正确,为什么 2222(1) (5x，2y)(5x,2y),(5x),(2y),25x,4y 222(2) (,1，3a)(,1,3a),(,1)，(3a),1，9a 2222(3) (,2x,3y)(3y,2x),(3y),(2x),9y,4x 例11、计算: 323353434352(1) (3，x)(3,x)(2) (x,y)(x，y)(3) (ab，cd)(cd,ab) 24(4) (,a,3ab)(,3ab，a)(5) (1,2x)(1，2x)(1，4x)(1，16x)(6) 98×102 22221(7) (x，y)(x,y),(x,y)(x，y)(x，y)(8) (3，9a)(a,),3(a,2)(3a，6) 3 2(9) x(x，2x)(x,2) 例12、计算: 2xyy22mn222(1) (,0.5a,0.2)(2) ()(3) (a,b)(4) 98(5) (1,y),(1，y)(,1，32 ,y) 222(6) (x,2y)(x，2y),(x，2y)(7) (m，2)(m,2)(8) (a，b,c)(a,b，c)(9) (2x 2，3y,z) 222例13、已知 a，b,2，a b,1 求a，b、(a,b)的值 222解:由完全平方公式(a，b),a，2ab，b得 2222a，b,(a，b),2ab,2,2×1,2 222(a,b),a，b,2ab,2,2×1,0 例14、先化简，再求值 42622322，其中a=-5 [5a(a,4a),(,3a),(a)],(,2a) 思路点拨:对于这个混合运算，先算乘方，再算除，后算加减，有括号的先算括号里的 例15、对下列多项式进行因式分解: 3223(1)4xy，4xy，xy; 32(2)3x,12xy 例16、分解因式:新 课标第 一网 32221mmm，4(1)2(1)qpp,，,abxyabxyabxy()()(),，,,,? ? (1),p(1)p,与是一对相反数，首先要将其底变换成相同，再提取公因式法注意:?中 ()xy,()xy,分解因式;?中项的指数是含字母m多项式，在提取公因式法时剩余的的指 数是相减得到的差. 例17、把下列各式分解因式: 122,，nm2222222()4xyxy，,()2()1abab，，，，2 ? ? ? 2266(2)6(2)()9()mnnmmnmn,,,，，，ab,? ? 2(4)mn， , 例18、分解下列因式: 24xy2xy，，122229()4()xabyba,，,4()12()9abbacc,,,，4? ? ? 2222()4()4()xyxyxy，，,,,? 例19、把下列各式分解因式: 3333338xy,()()abab，,,xyy(1)(1),，,x，1? ? ? ? 222bcabc，,，,20例20、已知:a,b,c 分别为?ABC的三条边长.求证: 22222()bca,,()()bcabca，，，,bcabc，,，2证明:?,, ()0,()0bcabca，，,，,, 又?a,b,c 分别为?ABC的三条边长? nn，422,例21、 已知:n为正整数，求证:能被30整除. n4nn，4n2(21),22,2 证明:,,15× nn，4n,1nn，422,222, ?n为正整数， ,30×，?能被30整除. 例21、分解下列因式: 22222()4()3abab，,，，412925xxyy,，,aabacbc,，,xx,，1342? ?(3) (4)