康托洛维奇不等式的概率证明

康托洛维奇不等式的概率 康托洛维奇不等式的概率证明 第27卷第2期 2007年4月 河池学院 JOURNALOFHECHIUN?ERSITY V01.27N0.2 Apr.2007 康托洛维奇不等式的概率证明 赵培信 (河池学院数学系,广西宜州5463o0) [摘要]利用概率方法,通过定义合适的随机变量,证明了康托洛维奇不等式.该证明方法比已有的证明 方法简洁. [关键词]康托洛雏奇不等式;概率方法;随机变量 [中图分类号]0151.2[文献标识码]A[文章编号]1672—9021(2007)02—0020—02 [作者简介]赵培信(1981一),男,山东曹县人,河池学院数学系讲师,主要研究方向为数理统计. 0引言 设矩阵A正定,其特征根为.<A?A?…?A..则对任意?.有?. 这就是着名的康托洛维奇不等式,对于此不等式的证明已有大量文献讨论.文献分别用初等的方法给 出此不等式的一个证明,文献[3]对此不等式给出了一个构造性证明.但这些证明都比较繁琐.本文利用 概率的方法,给出了一个较为简洁的证明. 1主要结果 定理1:设矩阵A正定,其特征根为0<A?A?…?A1.则对任意X#O有 (:lA2(:lA::)!?: (xrx)4AlA 证明:令A的正交分解为 r,Al1 A=,f'.1J1 Aj 其中J1为正交阵.令Y=(Y.,…,Y)=则 (2(::)一圣圣:茎 (xrx)一(曼),): ^,^ i=1 2 令=},则.=1. J:l,, 2 令为一随机变量,其概率分布为P(=A)=,i=I,2,…,m则 .(互Ai),)(.)E()E() =生—_=_一 (五),2) 所以我们只须证E()E(-1)?又因为-1(—A.)(—A)?.,所以 E(一(—A.)(—A))=E(一(一(A.+A)+A.A))=E()一(A.+A)+AtA(一.)?o 即E()+AlAE(一)?Al+A.进而有. .()?()2?(): 所)?御? 此不等式可以推广为更一般的形式,即康托洛维奇不等式的极限形式. 定理2:设(F,)为一可测空问,且(F)=1.f为一可测函数,且0<A2??A若,关于的积 分 存在.则『,.『,专?击 证明:因为(F)=1,所以(F,)为一概率空间,进而厂为此空间上的随机变量.所以 E??E()=?71.再由定理l得?手?. 从以上可以看出,根据待证不等式的特点灵活地构造出一个适当的随机变量 的分布列是证明的关 键.通过运用概率方法,构造一个适当的概率分布密度,去证明不等式,比运用代数 方法证明要简单明了, 并且它使数学的不同分支之间架起了桥梁.用研究随机现象的概率方法去处理非 随机性数学问对于学生 的创造性思维的训练是十分有益的. 参考文献: [1]钱照平.康托洛维奇不等式的一个简证及其极限形式[J].高等数学研 究,2003,(4):17—18. [2]丁遵标.康托洛维奇不等式的初等证法[J].中学数学.2005,(6):22—23. [3]李军庄.康托洛维奇积分不等式的构造性证明[J].商洛师范专科学校,2002.(4):4 —5. [4]YuanShihChow,HenryTelcher.Probabilitytheory[M].NewYork:Springer..Verlag.Inc. 1988. [5]SongguiWang.HuYang.Kantorovich— typeinequalitiesandthemeasul'esofinefficiencyofthe8e[J].ActaMathematicaeApplicata eSinica (EnshSeries).1989,(4):372-381. [6]JKB幽m蛔,SPuntanen.GeneralizedmatrixversionsoftheCauchy— SchwarzandKantorovichinequalities[J].Aequat[onesMathematicae. 1991.(1):1o3—110. AProofofKantorovichInequalitywithProbablityMethod ZHAOPei.xin (DepartmentofMathematics,HechiUIIiversity,Yizhou,Guangxi546300,China) [Abstract]Inthispaper,basedonProbablitymethod,whichismoreconciser,KantorovichIne qualityis provedbyingeniouslychoosingrandomvariable. [Keywords]KantomvichInequality;Probablitymethod;randomvariable 收稿日期2007一O1—28 [责任编辑刘景平] 21