第七版 卫生统计学 重要定理证明

第七版卫生统计学重要定理证明附录六重要定理推导与证明1.多个独立随机变量和或差的方差等于各变量方差的和。设、为两个独立随机变量XY2VarXYEXYEXY()[()()],,,,,2,,,,EXEXYEY{[()][()]}22,,，,,,,EXEXEYEYEXEXYEY[()][()]2[()][()],，,,,VarXVarYEXEXYEY()()2[()][()]而对于独立变量，EXEXYEY[()][()]0,,,故VarXYVarXVarY()()(),,，推广到多个独立变量，同样有:VarXXXVarXVarXVarX()()()(),,,,，，，？？1212nn2(非零常数与随机变量乘积的方差等于该常数平方与变量方差之积。c,0X设常数，随机变量的方差为VarX()2VarcXEcXEcX()[()],,2,,EcXcEX[()]2,,EcXEX{[()]}22,,cEXEX[()]2,cVarX()122,,,3(，即。VarXVarX()(),nXnXXX，，，？12nX,由于n1VarXVarXXX,，，，？()()根据定理2，12n2n2X又由于各独立同分布，VarXVarXVarX()()(),,,,？,in122根据定理1，VarXXXn()，，，,？,n12于是有:1()()VarXVarXXX,，，，？12n2n12(),n,2n2,,n22,,2124(。,,，nn,XX1112，222根据定理1，,,,,，,XXXX1212，22,,212再根据定理3，,,，nn,XX1112，由此可以看到两样本均数比较的统计量分母由来。n21225(为总体方差的无偏估计。,SXX,,，，,in,1,1i22ˆˆ,一般地，若，则称是的一个无偏估计，则需证明,ES(),,,,,E()由于nn222()(2)XXXXXX,,,，,,iii,,ii11nn22,,，XXXnX2,,ii,,ii11n22,,XnX,i,1i故n122()[()]ESEXX,,,iin,1i1,n1n22,,EXX(),i11nn,,i1,nn22,,EXEX()()nn,,11n22[()()],,EXEXn,1又由于22,,,EXEX[()]22,,，EXXEXEX[2()()]222,,，EXEXEX()2()()22,,EXEX()()所以222EXEX()(),，,122222EXEXEX,，,，,,()()()Xn故有n222ESEXEX()[()()],,n,1n12222,,,，,,[()()]EXEXnn,1n12,,[(1)],nn,12,,n2122因此，为总体方差的无偏估计。,SXX,,，，,in,1,1i6(二项分布参数的总体均数和方差。01,,,设X服从二项分布，，其概率函数为:B;,kn,，，kknk,(k,0,1,？,n)PXkC()(1),,,,,n则nEXkPXk,,，，，，,k,0nkn,!knk,,,(1),,,knk!!,，，k,1nnn,1!，，，，,knk,,1,,(1),,,knk,,1!!，，，，k,1nkknk,,,11,,nC(1),n,1,,,k,1n,1mmnm,,1,,nC(1),n,1,,,m,0n,1,，,n1，，,,,,n,2VarXEXEX()[()],,22,,,，EXXEXEX(2()()]222,,，EXEXEX()2()()22,,EXEX()()n22EXkPXk(),,，，,k,02nkn,!knk,,,,,(1),knk!!,，，k,1nkn,，11!，，knk,,,(1),,,knk,,1!!，，，，k,1nnkn,1!，，n!knkknk,,,,，,(1)(1),,,,,,knkknk,,,,1!!1!!，，，，，，，，kk,,11nn!knk,,,，(1)EX，，,,,knk,,2!!，，，，k,2nn,2!，，22knk,,,,,，nnEX1(1)，，，，,,,,knk,,2!!，，，，k,2n,222mmnm,,,nnCEX,,，1(1),,,，，，，,n,2m,02,,，nnEX1，，，，,22VarXEXEX()()(),,22,,,,,，,nnnn1，，，，，，,,n1,,X(1)X,,,Var()E(),,推论:,，nnn7.Poisson分布是二项分布的极限分布。在独立试验中，以代表阳性事件在试验中出现的概率，若试验总数为，阳性事件发生次,nk,,,n,,,Bkne(;,),B;,kn,数服从二项分布。，如果，则当时，n,,,，，nk!记,,,n，则nnnk,kkBknC(;,)1,,,,,，，nnnnknk,nnnk,,,,,，11，，，，,,,,,,nn,,1,,,,knn!,,,,nk,k121k,,,,,,,,,,,nn,,,,,,,,1111,,,,,,,,knnnn!,,,,,,,,k由于对固定有nk,121k,,,,,,,,,,kk,,nlim,,,，，lim1e,,,,,,,lim1111,,n,,,,,,,,n,,n,,n,,nnnn,,,,,,,,limn,,,所以，当时有n,,nk,,,lim(;,)0,1,2,Bknek,,,,,,，，n,,nk!8.Poisson分布的总体均数和方差。设服从Poisson分布，则Xk,,,,,0PXkek,,,,,,,0,1,2,，，k!kk,1,,,,,,,,,,,,EXkPXkkeeee,,,,,,,,,，，，，,,,!1!kk,，，kkk,,,011,22EXkPXk(),,，，,,0kk,,,2,,ke,k!,1kk,,,,,,，ke11，，,k,1!，，,1k,,21kk,,,,2,,,,,，ee,,,,kk,,2!1!，，，，,,21kk2,，,,2222VarXEXEX()()(),,,，,,,,,,9.简单回归方程回归系数的最小二乘估计。已知:简单线性回归方程为:yxin,，，,,,,,,,1,2,,，，iii012,,~0,,1,2,,Nin,,,,其中。求回归系数,和,的最小二乘估计。，，i01根据最小二乘法的思想，即求使得误差平方和n2Qyx,,，，，,,，，,ii01，，,i1,,达到最小时的和作为其估计值。01xy,,,,,观测已知，把看做和的函数，分别对和求一阶偏导，并令之为0Q，，ii0011得:n20yx,，,,,，，，，,01ii，，,1in20xyx,，,，，，，,,,01iii，，,1i整理后得:nn，,nxy,,,,01iiii11,,nnn2xxxy，,,,,,,01iiiiiii111,,,消去法解关于和方程组得:,,01nnnnn2xynxynxynxyxxyy,,,,l，，，，,,,,,iiiiiiiixy,,,,,11111iiiiiˆ,,,,,12nn2222nn2lnxnxxx,,，，xx,,iixnx,,,ii11，，,,ii,,ii11nnˆ1,1ˆˆ,,,,yxyx,,,,01iinn,,11ii即为和的最小二乘估计值。,,0110.配对秩和检验T界值表的制作。n,4n,4以为例说明，假定配对的有效对子数，总体秩可取值为1、2、3、4(不考虑持平值)。计算正秩和或负秩和，总秩和,，,，TTnn12，即当n固定时，TT，，，,，,总秩和是恒定的，因此与的分布是等价的，只需计算和中任意一个。TTTT，,，,和均从总体秩中取值，可取0、1、2、3、4个秩，因此可得到的(或)有TTTT，,，,01234416种()情况，可能组合及秩和值(或)见下表:TTCCCCC，，，，,2，,44444取秩-12341,21,31,401234345T取秩2,32,43,41,2,31,2,41,3,42,3,41,2,3,4567678910T1/160.0625,n,4TT每种组合情况所对应的秩和的概率为，归纳成时秩和的概率分布见下表:012345678910TPT()0.06250.06250.06250.1250.1250.1250.1250.1250.06250.06250.06250.06250.1250.18750.31250.43750.56250.43750.31250.18750.1250.0625单侧P值TTnn，12的概率分布为对称的非连续分布，的最小值为0，最大值为，均数为，，n,4nn，14，对于，最大值为10，均数为5。，，TP根据的概率分布可计算样本值对应的单侧和双侧累计概率，得到相应单侧或双侧n,4值如上表第三行所示。从中可见，由于的最小单侧累计概率大于0.05，按通常的检验Tn水准得不到有统计学意义的推断结论，因此配对秩和检验界值从5开始取值。由于正秩和与负秩和具有对应关系，因此，两者中小者小于或等于下侧界，则大者大于或等于上侧界值。计算时只需要计算其中任意一个，然后查界值表。nn改变，重复以上步骤可得到不同对应的界值表。11.似然函数的概念及正态分布参数的似然估计。,设样本的概率函数为，其中为参数，在参数XXXX,,,,,,,fxxx,,,;,,,,，，，，12n12n,,空间内取值，当固定而把看成的函数，则称为似然函数(likelihoodXfxxx,,,;,,,,，，12nfunction)。其中，若是连续型的，则是其概率密度函数;若是离散型的，XXfxxx,,,;,,,,，，12n,则，表示有关概率是在参数值为时计算fxxxPXxXx,,,;,,,,,,,,,,,,P，，，，1211nnn,,的。,,xxx,,,,,,,的极大似然估计，就是在已得样本的情况下，似然性(likelihood)X，，12n,,,最大的那个值，即使得最大的那个值，的确定要解决一个极值问fxxx,,,;,,,,,，，12n题。对于简单随机样本，总体分布有概率函数fx时，有一个抽自该总体的大小为的独n，，,立同分布样本，则样本联合概率函数为fxfxfx,,,，则样本XXX,,,,,,，，，，，，,,,12n12nXXXX,,,,,,,的似然函数为，，12nnfxfx;,,，，，，,,i,1ifx;,这时的对数，，nln;lnfxfx,,，，，，,,i,1i称为对数似然函数。,,x,由于对数函数是单调递增函数，的极大似然估计，也是在已得样本的情况下，x，，,ln;fx,使得最大的那个值。，，2,,,,,,XXXN,,,~,,,,,,对于正态简单随机样本，设，参数，求的极大，，，，n12似然估计。XXX,,,,,,解:有联合概率密度函数，，12nn11，，2fxx,,,;,exp,,,，，，，,in2,,2,,1，，i2,,，，对数似然函数为n112fxnnx,,,,,,,,ln;,lnln，，，，,i2,2,2,1i分别对和求一阶偏导并令之为0，得如下似然方程:,,n1x,,,0，，,i2,,1inn12,，,,,x0，，,i2,,,1i求得唯一解:nn2112ˆˆ,,,,,,XxXX,，，,,iinn,,11ii可验证它确是极大似然估计。12.logistic回归系数的极大似然估计解:假设exp，，,,,，XX,,,，，1011iimmiP,,i1exp，，，,,,，XX1exp，,，，,,,，XX，，，，,,,，，,,,011iimmi011iimmi，，1,,P1i,,,，，，,,,，XX1exp，，011iimmi似然函数为:Yinnexp,,,，，,,,，XX，，，，1,Y011iimmiY，，iiLPP,,,1，，,,ii1exp，，，,,,，XX，，,,,,,11ii011iimmi对数似然函数为:nlnln1ln1LYPYP,，,,，，，，，，,iiii，，,1in,,,,,,,，，,,,，,，，，,,,，YXXXXln1exp，，，，，，,,,011011iiimmiiimmi，，,1im，1分别对,,,,,,,,,求一阶偏导并令之为0，得如下个似然方程:01mn,，，exp,,,，，,,,，XX，，011iimmiYj,,,0,0,,,,i1exp，，，,,,，XX，，,,,,1i011iimmi,，，,n，，XXX,，，,,,，exp，，,,,,011jiiimmiYXjm,,,,,,0,1,,,,,iji,1expXX，，，,,,，，，,1i,,,011iimmi，，,m，1通常这个方程不能采用消元法或矩阵变换的方法求得精确解，只能采用数值方法lnL求近似解。常采用Newton-Raphson迭代法计算的极大值，迭代收敛时得到的参数值bbb,,,,,,,,,,,,,,,即为的极大似然估计值。01m01m(王彤)