【最新精选】《点集拓扑学》第5章 §5.1 第一与第二可数性公理

【最新精选】《点集拓扑学》第5章 §5.1 第一与第二可数性公理 第5章 有关可数性的公理 ?5.1 第一与第二可数性公理 本节重点: 掌握满足第一与第二可数性公理的空间的定义及相互间的关系; 掌握满足第一与第二可数性公理的空间有关连续映射的不变性、有限可积性、可遗传性等问题; 掌握满足第一可数性公理的空间中在一点邻近的性质及序列的性质; 掌握常见的空间哪些空间是第一可数性公理空间,哪些是第二可数性公理空间( 从?2.6节的讨论可知，基和邻域基对于确定拓扑空间的拓扑和验证映射的连续性都有着重要的意义，它们的元素的“个数”越少，讨论起来越是方便(因此我们试图对拓扑空间的基或邻域基的元素“个数”加以限制，但又希望加了限制的拓扑空间仍能包容绝大多数常见的拓扑空间，如:欧氏空间、度量空间等(以下的讨论表明，将基或邻域基的元素的“个数”限定为可数是恰当的( 某拓扑空间的一个基或在某一点处的一个邻域基，如果是一个可数族，我们则分别称之为一个可数基和一个可数邻域基( 定义5.1.1 一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间，或简称为空间( 定理5.1.1 实数空间R满足第二可数性公理 证明 令B为所有以有理数为它的两个端点的开区间构成的族(显然B是一个可数族( 设U是R中的一个开集，对于每一个x?U，存在实数>0，使得以x为中心以为半径的球形邻域 B(x,)=(x-,x+)U 选取有理数，使得 于是我们有(这也就是说U可以表示为B中某些成员之并(这证明了B是R的一个基( R有可数基B，所以R满足第二可数性公理( 由于离散空间中的每一个单点子集都是开集，而一个单点集不能表为异于自身的非空集合的并，因此离散空间的每一个基必定包含着它的所有单点子集(所以包含着不可数多个点的离散空间是不满足第二可数性公理的空间( 定义5.1.2 一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间或简称为空间( 定理5.1.2 每一个度量空间都满足第一可数性公理( 证明 设X是一个度量空间，x?X则所有以x为中心以有理数为半径的球形邻域构成x处的一个可数邻域基( 例5.1.1 不满足第一可数性公理的空间的例子( 设X是包含着不可数多个点的可数补空间(我们证明X在它的任一点处都没有可数邻域基(因此X不满足第一可数性公理( 用反证法来证明这一点(设X在点x?X处有一个可数邻域基ψ(则对于任何y?X,y?x，?，，因此 ,将这个包含关系式的两边分别对于X中所有的异于x的点求并，可见 由于X是一个不可数集，因此上式的左边是一个不可数集;由于ψ中只有可数个元素，并且每一个元素的补集都是可数集，因此上式的右边是一个可数集(矛盾( 定理5.1.3 每一个满足第二可数性公理的空间都满足第一可数性公理( 证明 设X是一个满足第二可数性公理的空间，B是它的一个可数基(对于每一个x?X，根据定理2.6.7， ={B?B|x?B} 是点x处的一个邻域基，它是B的一个子族所以是可数族(于是X在点x处有可数邻域基B( 定理5.1.3的逆命题不成立(因为任何一个离散空间显然满足第一可数性公理，而前面已经说过包含着不可数多个点的离散空间不满足第二可数性公理( 定理5.1.4 设X和Y是两个拓扑空间，f:X?Y是一个满的连续开映射(如果X满足第二可数性公理(满足第一可数性公理)，则Y也满足第二可数性公理(满足第一可数性公理)((这是关于连续映射下是否保持的性质) 证明 设X满足第二可数性公理，是它的一个可数基(由于f是一个开映射，={f(B)|B?}是由Y中开集构成的一个可数族(只需证明是Y的一个基(设U是Y中的一个开集，则(U)是X中的一个开集(因此存在 由于f是一个满射，我们有 即U是中某些元素的并(这完成是Y的一个基的证明( 本定理关于满足第一可数性公理的情形证明类似，请读者自己补证( 根据定理5.1.4可见，拓扑空间满足第一可数性公理和满足第二可数性公理的性质都是拓扑不变性质( 拓扑空间的某种性质称为可遗传性质，如果一个拓扑空间具有这个性质那么它的任何一个子空间也都具有这个性质( 例如离散性，平庸性都是可遗传的性质，但连通性却明显是不可遗传的( 拓扑空间的某种性质称为对于开子空间(或闭子空间)可遗传的性质，如果一个拓扑空间具有这个性质那么它的任何一个开子空间(闭于空间)也都具有这个性质( 例如，局部连通性虽然不是可遗传的性质，但对于开子空间却是可遗传的((参见?4.4习题第3题)将来我们会接触到一些对闭子空间可遗传的性质( 紧接着的两个定理表明拓扑空间满足第一(或第二)可数性公理的性质是可遗传的，也是有限可积的( 定理5.1.5 满足第二可数性公理(满足第一可数性公理)的空间的任何一个子空间是满足第二可数性公理(满足第一可数性公理)的空间( 证明 设X是一个满足第二可数性公理的空间，B是它的一个可数基(如果Y是X的一个子集，根据定理3.1.7，集族={B?Y|B?B}是子空间Y的一个基，它明显是可数族( 本定理关于满足第一可数性公理的情形证明类似，请读者自己补证( 定理5.1.6 设是n个满足第二可数性公理(满足第一可数性公理)的空间(则积空间满足第二可数性公理(满足第一可数性公理)( 证明 我们只要证明n,2的情形( 设都是满足第二可数性公理的空间，分别是它们的可数基(根据定理3(2(4，集族 是积空间的一个基，它明显是一个可数族( 本定理当n,2时关于满足第一可数性公理的情形证明类似，请读者自己补证( 根据定理5.1.l，定理5.1.5和定理5.1.6，我们立即可知:(事实上，这个推论也容易直接证明(参见习题1)() 推论5.1.7 n维欧氏空间的每一个子空间都满足第二可数性公理( 本节的余下部分我们讨论满足第一可数性公理的空间中序列的性质(读者将会看到在这种拓扑空间中序列的性质与我们在数学分析中见到过的有着较多的类似之处，特别是定理2.7.2和定理2.7.3的逆命题对于这类拓扑空间成立( 定理5.1.8 设X是一个拓扑空间(如果在x?X处有一个可数邻域基，则在点x处有一个可数邻域基使得对于任何i?有 ，即 证明 设{}是点x?X处的一个可数邻域基(对于每一个i?，令 容易直接验证便是点x处的满足定理要求的一个可数邻域基( (即是个邻域基套,一个套一个的(这个定理常用来选取趋向于x的序列中的点() 定理5.1.9 设X是一个满足第一可数性公理的空间，AX(则点x?X是集合A的一个凝聚点的充分必要条件是在集合A,{x}中有一个序列收敛于x( 证明 定理的充分性部分的证明已见于第二章定理2.7.2，以下完成必要性部分的证明( 设x?X是集合A的一个凝聚点，并且根据定理5.1.8可设是点x处的一个可数邻域基套，满足条件:对于每一个，i?，,由于，可选取(序列{}是在A一{x}中的(我们证明lim =x(x??)如下: 如果U是x的一个邻域，则由于是x处的一个邻域基套，所以存在N,O使得 (于是当i?N时，我们有 定理5.1.10 设X和Y是两个拓扑空间，其中X满足第一可数性公理;x?X(则映射f:X?Y在点x?X处连续的充分必要条件是:如果X中的序列{}收敛于x，则Y中的序列{f()}收敛于f(x)( 证明 定理的必要性部分的证明已见于定理2.7.3，以下完成充分性部分的证明( 假设定理中陈述的条件成立，我们要证明映射f:X?Y在点x处连续(用反证法(假设映射f在点x处不连续，这也就是说f(x)有一个邻域V,使得(V)不是x的邻域(而这又意味着，x的任何一个邻域U都不能包含在(V)中，即对于x的任何一个邻域U，包含关系 不成立，也就是说 总括上一段的论证可见:f(x)有一个邻域V使得对于x的任何一个邻域U有 现在设是点x处的一个可数邻域基，满足条件:对于每一个i?， (选取使得f()?f(U)?，即(明显地，序列{}收敛于x(然而序列{f()}在f(x)的邻域V中却没有任何一个点，所以不收敛于f(x)(这与反证假设矛盾(因此反证假设不成立，所以映射f在点x处连续( 定理 5.1.11 设X和Y是两个拓扑空间，其中X满足第一可数性公理(则映射f:X?Y是一个连续映射的充分必要条件是:如果X中的序列{}收敛于x?X，则Y中的序列{f()}收敛于f(x)( 证明 这是因为一个映射是一个连续映射当且仅当这个映射在它的定义域的每一个点处连续((参见定理2.3.5() 作业: P139 1( 6( 附加总结类文档一篇，不需要的朋友可以下载后编辑删除，谢谢(中学生感恩节主题教育5篇)中学感恩节活动总结范文1一、活动目的如今虽然很多人注意到生活礼仪，谢谢常挂在嘴边，但是大家或许是因为羞于表达或许出于缺少机会而省略了对于身边亲人、朋友和老师的感谢。随着这次感恩节的到来，我们中文系学生会外联部为提高我校学生的感恩意识，唤起大家感恩的心，特举办此次感恩节 免费发放明信片的活动。 二、活动之前的准备 1、根据活动的要求，我们做出了这次活动的策划书; 2、在感恩节前一周，我们外联部到校外寻找有意向的厂商，拉得赞助; 3、在感恩节前几天，我们外联部与邮局协商并买到明信片，然后在饰品店买到红丝带等部分活动用品，并制作感恩信箱; 4、在感恩节前一天晚上，在中文楼贴了海报。 三、活动基本情况 我们外联部与青协共同举办这次活动，我们分为三组，分别在二餐，三餐，四餐设点，我们这组在二餐，我们在11点二十完成了所有准备活动，包括桌子，所有物品的摆放及气球的充气。活动开始后，青协的同学负责给路过的同学解说我们这次的活动，参与活动的同学自由选择通过明信片来实现感恩之情的传达，并当场填写完，投入我们自制的“感恩信箱”里，1点20活动结束。24号我部将明信片寄出。 五、活动的效果 此次活动同学们都踊跃参加，寄出了他们对自己的亲人，朋友的牵挂，并对我们这次活动一致好评，活动圆满结束 四、存在问题及建议 (一)问题 1、活动的前期准备不够齐全，考虑到的问题欠缺(活动快结束时，电脑没电了;活动所需的红丝带不够) 2、活动进行时，对明信片的填写的讲解不够清楚，造成明信片的填写过程中出现了一些问题。 (二)建议 1、完善策划书的细节，增强活动的逻辑连接; 2、在活动进行时，各组人员应团结，保证活动的顺利进行; 3、活动进行时及之前的准备，分工应明确，做事用积极。 中学感恩节活动总结范文2 感恩是一种文明，感恩是一种品德。拥有一颗感恩之心，才懂得去孝敬父母;拥有一颗感恩之心，才懂得去尊敬师长;拥有一颗感恩之心，才懂得去关心、帮助他人;拥有一颗感恩之心，就能学会宽容，赢得友谊;拥有一颗感恩之心，就会拥有快乐，拥有幸福。通过感恩教育，让学生学会“图报”，知道如何去报答父母、老师、朋友、学校和社会。根据感恩节活动，开展了一系列感恩教育活动，注重将感恩教育落实到实际行动上。 一、积极宣传感恩月活动。少先队大部出了一期《知恩、感恩》的黑板报，每班级在黑板的左边开辟温馨提示栏，告诉同学们11月份是学校的感恩教育月，提醒同学们用自己的实际行动做到感恩父母，感恩师长，感恩社会。 二、感恩社会。学校组织学生为双中过世的学生颜鹏飞的家长爱心捐款，爱心捐款共计1611元。本次献爱心活动，全体同学都积极响应学校少先队的号召，纷纷伸出援助之手，在这次活动中，涌现了许多“爱心小天使”，孩子们把自己的零花钱，自觉自愿地捐了出来，献出了自己的一片爱心，特别是五(1)的学生，捐款钱数再多，其中彭柳青同学就捐款100元整，吴杏林同学捐款20元。 三、11月24日各班开展了以“感恩”为主题的班会，通过感恩教育使学生“知恩”。在这个社会里，谁都没有只索取而不付出的权 力，人人每时每刻都在享受着父母、老师、朋友、他人、学校和社会的恩惠，人人都需要拥有一颗感恩的心来对待这一切。 四、感恩父母。让同学们知道我们在妈妈的肚子里怀胎十月，来到这个世界很不容易，父母为我们的健康成长付出了很多心血。在感恩节期间，各班开展了给妈妈、奶奶倒一杯水，拿一双拖鞋，捶捶背、揉揉肩，洗一次脚，做一件家务事的活动，要求三、四年级的同学每人写一篇感恩日记，要求五年级同学每人写一篇感恩父母的信，在父母生日的那一天祝福他们生日快乐，身体健康。 五、感恩师长。感恩节当天的辅导员讲话中，我在广播里建议孩子们全体对老师深深的敬一个礼，并对老师说了一声“老师，您辛苦了，老师，我们感谢您!”以此来教育孩子们尊敬老师是最重要的，是尊重老师的劳动，教学是一种艰苦细致的脑力劳动，老师为此付出了大量的时间和精力。老师要精心设计每一个教学，认真上好每一节课，仔细批改每一份作业，老师的工作是辛苦而繁重的。 11月感恩月马上就要过去了，但我们感恩教育的活动不会结束，我们还会通过身边的一件件小事，抓住有利时机对学生进行感恩教育，树立身边的好榜样，让同学们从小拥有一颗感恩的心，将来拥有幸福快乐的人生。 中学感恩节活动总结范文3 经过系列活动的开展，学生进一步懂得了“感恩”不仅是一种情感，更是一种人生境界的体现。一个人对社会、对父母、对亲朋好友， 要永存感恩之情，永怀感恩之心，才能从各个方面获得更大的情感回报。 在“学雷锋”、“妇女节问候”这些丰富多彩的团队活动中，学生不仅学会了感恩的实际行动，更体会到感恩他人的快乐，从而能更乐于奉献，乐于感恩。 在周末我当家开展的“为父母做一件力所能及的事”等环节，通过学生用实际行动、或者给父母写一封传递爱意的信件、或者给父母亲手制作的小礼物等活动。家长们体会到了孩子们对自己浓浓的爱，孩子长大了。从许多的家长再给老师或孩子的回信中可以看出他们的满意欣喜之情。 如:宋XX家长在给孩子的回信中写到:亲爱的孩子，你懂得为家人分担家庭的责任，懂得孝顺父母了，懂得改变自己身上不良行为习惯了，你爸高兴的一夜未眠，你的行动我和你爸感到惭愧，因为我们很久未对你的爷爷奶奶这样照顾过，你是我们的好儿子，是我和你爸学习的榜样。张XX的家长再给老师的回信中这样写到:孙老师，X老师，很感谢你们学校，和你们两位老师，张XX自从进入东方国际以来，爱干净了、不好骂人了、也不像以前那么自私，总欺负妹妹及别人家的孩子了，带他出门也不觉得不好意思了，两位老师不知怎么说好，就是觉得我的孩子懂事了长大了。谢谢你们学校的领导，谢谢你们的好的育人理念，谢谢你们两位老师。而且许多家长纷纷用来电，对面交流等方式殷切的希望此类活动可以长期开展下去，也很愿意参 加此类活动，希望通过这个平台与孩子交流。看到这些我们当老师的真的感到很欣慰。 在征文活动这一环节，学生体悟到来自父母慷慨无私的爱，知道父母给他们的各种爱背后，原来都隐藏着那么多的辛酸。从而树立了学生的责任意识、自立意识，同时克服奢侈、攀比、享乐等毛病。 刘XX同学这样写到:我亲爱的爸爸妈妈我知道:您只是一个普普通通的人，您虽没有令人艳羡的事业，你虽没有腰缠万贯的财富，您虽穿着赶不上潮流，您甚至连电脑都不会用。但是您仍然是我最爱的人。您是我生命的创造者，是我人生的领路人。是我遇到风浪时平静的港湾，是我遇到挫折时的坚强后盾。千言万语说不尽儿女对您的感激之情。看着吧爸爸妈妈，我会用我用我优异的学习成绩来报答您们的! 李XX同学这样写到:亲爱的老师，很抱歉这次的成绩考的不是很理想，不过你放心我会谨记你常给我及全班同学讲的:“只要你向前进，没有人能阻止你前进的步伐”，我会寻找自己在学习中的不足，笨鸟先飞，做四一班那位里好的榜样。不负你和爸爸妈妈对我的期望与栽培。 总之，感恩是一种文明、一种品德、更是一种责任。感恩的主题是永恒的，作为祖国的下一代培育者的我们，肩负着重担。新时代不仅需要技术人才，社会更需要懂得感恩、懂得合作、懂得生活的素质人才，就让我们一起努力，让每一孩子都怀有一颗感恩的心，积极地 去面对生活，让人文的光彩照亮校园，让真情充溢在师生之间、生生之间，让可爱的校园奏响和谐的强音! 中学感恩节活动总结范文4 为了更好的在学生中间开展关于感恩的教育，促进学生良好性格的养成，11月9日下午，职教集团邀请“强国之音”演讲团为我校学生进行了一场演讲，职教集团杨校长、培智中学李校长等有关领导出席了这次活动。我校实习生也积极的投入到了这次活动的准备当中，从组织学生到布置场地，从接待家长到维持秩序，到处闪现着我们实习生的身影。 演讲活动由王磊副教授主讲，共分两个环节进行啊:感恩老师和感恩父母。一开场，王教授那特有的声音便吸引住了同学们。从细微处开讲，从内心发觉感情，再加上那具有感染力的声音，很快便使同学进入了一个“自省”的状态，在感恩老师的环节中，王教授声情并茂的为同学们讲述着关于老师的感人的，再从这些老师的身上联系到现实生活中，从平时的小事说起，娓娓道来，给同学们的们的心灵一个强烈的震撼，那一个个的拥抱便是对老师的一个忏悔，一声感谢„„ 随着感恩父母环节的进行，活动的气氛达到了高潮，此时此刻，学生们的心里一定在一次次的对自己责问，对自己曾经的幼稚和荒唐而感到惭愧，对面前的父母亲道歉，俯身的一个鞠躬，屈膝的一次下 跪，在此时，他们的灵魂得到了一次升华;在此时，他们每个人都显得那么成熟、懂事。 演讲活动共持续了约两个小时，结束时，全场对王教授的精彩演讲报以长时间的、热烈的掌。在维持秩序的同时，我们也听了一堂非常重要的课，王教授的一些演讲的技巧和调动能力对我们来说都是值得去学习的，可以对以后的工作有帮助，同时，这次演讲对同学来说是一次心灵上的洗礼，对以后自己在认识问题上有一定的帮助，同时，也增强了和老师之间的感情，对于家长来说，这是自身了解学校的一个机会，对以后双方的交流提供了一定的帮助，希望能够通过此次活动的影响，在各方面的工作上都能有一个大的进步。 中学感恩节活动总结范文5 为教育引导青少年学生学会感恩父母、感恩师长、感恩他人、感恩社会、感恩自然，进一步明确社会责任感，强化道德实践，全面提高青少年学生的思想道德素质，我校政教处在团委、关工委、艺体中心的大力协助下深入开展了“以感恩从心开始，让爱温暖艺高”的系列活动。 活动分为三个阶段:第一阶段是前期宣传阶段，通过升旗仪式、黑板报、班会、校园网等阵地全方位地营造感恩主题教育氛围，激发学生参与活动的兴趣，引发学生对感恩问题的思考，提升校园人文素养;第二阶段是全面实施阶段，活动分为三部分;第三阶段是总结表彰反思阶段。 活动三部分内容:一是“感谢父母养育我”，要求学生利用周末协助父母做三小时家务后，写一篇心得，然后请父母看完心得后写一句感受;二是“感谢老师教育我”，在全校开展“尊师重教”活动，要求所有学生讲文明用语，遇到老师自觉向老师点头问好，语言是“老师早”、“老师好”，同时开展了学生向老师献真情活动，做一张爱心小卡片来表达对老师的感激之情，并把学生的心意卡片贴在班级文化建设墙上，可以在小卡片上写上你的建议、你的决心、你的祝福等;三是“感谢社会关爱我”，在此部分我校专门开展了“感恩社会，做知法、守法好公民”系列活动，制订了“xx市艺术高级中学法制教育活动实施方案”，并且将感恩系列活动在“法制伴我成长”大合唱比赛中推向高潮。 通过这一系列的活动学生懂得了“感恩”是一种生活态度，是一种美德，是做人的起码修养和道德准则;懂得了“感恩”不仅是一种美德，更是一种责任。通过活动学生学会了感谢、珍惜和感恩，包含对父母对家庭的感恩，对其他亲人的感恩，对同学老师和朋友的感恩，对国家与社会的感恩，对大自然的感恩等等。 我相信，只要我们人人都有一颗感恩的心，我们的校园，我们的社会也将会更加和谐。