【doc】应力主方向的计算公式

【doc】应力主方向的计算公式 应力主方向的计算公式 应力主方向的计算公式 王俊彪 (西北工业大学100I教研室,7too72) i.引言 主应力是固体力学中示应力状态的重要物理 量.变形体任一点处有三个主应力和三个主方向.主 应力的值是一元三次应力特征方程的根,可利用三角 函数关系变换成计算显式".应力主方向的计算,针 对平面问题已提出多种方法.对于一般的三维问题, 在【2]中作了一些讨论,但未给出计算显式,其它国内 外着作大部分只是指出求出主应力后代入下文的 方程式(1)和(2),即可解出主方向的方向余弦,,,,,和 .的值",然而没有给出具体算式. (l—,)f+f",,l+t.?:=01 f.,l+(,一p)mt-z,;==0(1) f.f+f,,,l+(a一口,)一0j 1+,,l.十一1(2) 作者在教学过程中发现,由式(1)和(2)求f,m和 一的数学计算过程甚为繁烦,学生往往要花费很多无 意义的重复劳动.文中给出作者推导的一组公式,可 以较为简便地计算出应力主方向的方向余弦值. 2.应力主方向的计算公式 我们知道,式(1)中只有两个是独立的,现取前两 式,并改写为 (l一)+',一一ltl(3) "f+(,一,),,l#--7,j 根据克莱姆法则,有 = 号? = i,:, 口=一 r c= r,=,l 由于式(1)的系数行列式为 l'三,,三盯,.三盯,l (5) (6) (7) 所以,B和C三个量实际上是其第三行(也就是前面 式(3)未考虑的式子)三个元素的代数余子式. 又式(2)可改写为 ,,, 】[二卜t一 囊},=——:==一^=—————————————————一I (8) 最后把1, (9) l一一—_:::::一, +8+CI BI 一再}Oo)BC++.f ;一 B Jl+l+c 式(9)和(10)就是应力主方向的方向余弦计算 式.两组解分别对应于单元体两个相对平行面(主平 面)的外法线方向.实际计算时择其一即可. 利用式(9)或(10)确定某一主应力的方向时,用主 应力值代替式(5),(6)和(7)中的口,,求出,B和C 三个值,再把它们代入式(9)或(10),即可求得该主应 力方向的方向余弦.由于式(5),(6),(7),(9)和(10) 均是显式,所以计算过程很简便. 参考文献 【1]Johnson.W.Mellor.P.B..EngineeringPlasti- city.LoNDoN(1973). [2]徐芝纶,弹性力学(上),第二版,人民教育出版社 (1982). [3]李寿萱,钣金成形原理与工艺,西北工业大学出版拄 (1985). 第14卷(1992年)第4期