关于等周问
级数解法的一些改进
关于等周问题级数解法的一些改进 2006仨
第3期
青海师范大学(自然科学版)
JournalofQinghaiNormalUniversity(NaturalScience)
20o6
No.3
关于等周问题级数解法的一些改进
已渊
(青海卫生职业技术学院,青海西宁810000)
摘要:对苏步青教授在文[1]中介绍的改良后的Hurwitz方法再作一些改进,先对Wirtinger引理进行推广,再用推广后的
Wirtinger不等式很自然而简洁地推出了等周不等式.
关键词:等周问题;等周不等式;级数;解法;改进
中图分类号:0173文献标识码:B文章编号:1(301—7542(2006)o3—0015一o3 1引言
等周问题最早是由着名数学家JohamBeynoulli在1697年提出的,即在具有定长的一切平面单纯闭
曲线中,圆是最大面积的曲线.在随后的300多年间,人们围绕等周问题开展了深入的研究与讨论,并将
其称之为等周定理(等周不等式),等周定理的证明方法可谓层出不穷,日新月异.在等周定理(等周不等
式)证明方法中,比较有代
性的三种证明方法分别是1902年Hurwitz给出的第一个解析证明,1939年
E.Schmidt的证明和1978年苏步青教授在文[1]中介绍的改良后的Hurwitz方法(即用Fourier级数的方
法).近年来,国内学者在等周问题的研究和拓广方面取得了一些新的进展如文
[2],[8].本文对苏步
青教授介绍的改良后的Hurwitz方法再作一些改进,先对Wirtinger引理进行推广,
再用推广后的
Wirtinger不等式很自然地推出了等周不等式. 2Wirtinger引理的推广
Wirtinger引理设)是周期为2rr的C类周期函数,如果Ix)dx=o,那么 r21rr21r
J.[()J.[)]d
. 式中等号仅当)=acosx+bsinx时成立
现在将其推广为:
引理设f(x)是周期为T的C类周期函数,如果Ix)dx=o,那么 I[()]dx4rrI[)]dxJnJn 式中等号仅当):acos下27rx+bsin时成立.
证明将厂()展开为Fourier级数
f(x),+高(.s+6nSin)
因为)是周期为的c类周期函数,逐项求导可得()的Fourier级数 ),高(6nc.s一in)
收稿日期:2OO6—03—16
作者简介:姚渊(1964一),女(汉族),上海人,青海卫生职业技术学院副教授
,,,,,
0
16青海师范大学(自然科学版)2006年
而根据假设有口0=J.)d=o,利用Parseval公式可得 2IT[)]d:
奎(口2+6)(5)
)]2砉(下4n27r224下n27r2=筝荟2
即TJ0[Td=高2(6)
(6)式减去(5)式可得
TJ0[T[圳d=蓥(1)(".
畏?』[厂()]d47r2I[[f()]d(7) 当且仅当‰:6:o(n>1)时即厂():acos+bsin时等式成立,证毕. 3等周问题(等周不等式)的新解法
关于等周问题亦可表述为下列的等周定理(等周不等式),本节给出等周定理(等周
不等式)的直接
比较式证明.
等周定理(等周不等式)在具有定长的一切平面单纯闭曲线C中,圆是最大面积的
曲线.换言之,设
A是一条长为的单纯闭曲线围成的平面图形的面积,~g/z, L2—4rrA>0(8)
式中等号当且仅当曲线c是圆时成立.
证明假设曲线C的自然参数方程为(c):{
LY
轴),曲线c的周长和其围成的平面图形的面积分别为 L:fds:f([,()]+[Y,()])dL=I=I([(s)]2+[(s)]2)dsJ0J0
A=I(s)Y(s)ds
;,.s,s为自然参数(适当选取坐标
(9)
(10)
于是一4以=J.([(s)]+Iy(s)])ds一47rJ.(s)),(s)dsr,.r, =
{[[(s)]ds一4不[(s)]ds]+[(s)一2(s)]dso
等式成立当且仅当(s)=口c.s2-2邢--+6sin孕,),(s)=(s),解之得 …sin孕
1.y—sin孕一+.
可见.这时曲线是一个圆+(v—c):口+b2.等周不等式证毕. 参考文献:
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[2]汪遐昌.均值不等式的重要应用——等周问题的一个简洁证明[J].I~lJJl师范大
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第3期姚渊:关于等周问题级数解法的一些改进
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OntheIsoperimetricProblemSeriesSolutionModification YA0Yuan
(Qingh~,HygieneTechnologyAcademy,Xining810000,China) Abstract:ThepaperimprovesagainOnthebaseoftheimprovementoftheHurwitz'sMeansby
SuBuqing.By
spreadingWirdnger'slemmaearlier,Weearlcertainlyandterselyputoutawaitaweekinequal
ity.
Keywords:Isoperimetricproblem;Awaitaweekinequality;Series;Solution;Moaify
(上接第l2页)
证明若拓扑空间(t,1)与(,)同胚,即存在一一的满的序同态厂:t一且厂,广
均连续.(-,1)是正规空间,A与B分别是中的任意两个闭集,且A圭B.因为广也是一
一的满的
连续的序同态,所以厂(A),厂(是(-,1)中的闭集,且厂(A)圭厂(.由(t,1)是正规空
间,存在P?叩一(广(A))使厂(B)P.,这时广(A)圭P,即AP).Y-f是同胚映射,则P)?
叩一(A).由保序,故Bf(P.)(f(P)).,因此(,)也是正规空间.
推论I设(,)是LF拓扑空间,则T3T】7'o.
参考文献:
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ANewNormalinL——fuzzyTopologicalSpace
4_,Xue.mei
(DepartmentofMathematics,QinghalNormalUniversity,Xining810008,China)
Abstract:Inthispaper,anewnormalinL—
fuzzytopologicalspaceisgiver,.Moreover.someofitsbasicprop. ertiesarealsoexamined.Weobtainsomeofitsbasicproperties,suchasmuhiplicative,L—
goodextend,and
hereditary.
Keywords:L—-fuzzytopologicalspace;remoteneighborhood;normal