三棱锥体积1
棱锥的体积
教学目标:
1、使学生掌握锥体的体积
及其初步应用;
2、通过三棱锥体积公式的探求,教学生学习观察、类比、归纳、猜想等合理推理方法,培养学生
、综合、抽象、概括等逻辑推理能力;
3、通过三棱锥体积公式的探求,培养学生独立思考、刻苦钻研、孜孜以求的毅力及勇于探索创新的精神等良好的个性品质(
教学重点
三棱锥体积公式及其探求(
教学难点:
三棱锥体积公式的探求(
教学过程:
一、传授新课 (问
式教学)
师:(开门见山)前两节课我们研究了柱体的体积,今天这节课我们就来研究另一个重要的多面体——棱锥的体积公式。这里我们首先需要思考一个问题:对于一个一般的棱锥,我n们如何研究其体积,(可以借鉴棱柱公式的推导)让同学们分组讨论。
一:
生:可以先研究三棱锥的体积。
师:为什么,
生:因为棱锥的底面是一个边形,在它的底面上作条对角线,每条对角线和棱锥n,3nnn的顶点可确定一个平面,这个平面将棱锥分割成个三棱锥,显然这个三On,3n,2n,2n
棱锥的体积之和等于原棱锥的体积。因此,只要解决了三棱锥的体积问题,就解决了棱nn锥的体积问题。(ppt展示)
师:非常好~现在我们要研究的问题已经转化成求三棱锥的体积,那么三棱锥的体积如何求呢,
生:思考。。。。。。
师:现在我们已有的是棱柱的体积公式,能否用这已知的结论来解决未知的问题, 生:讨论。。。。。。
生:叫学生代表回答:这里要用到补形法。把三棱锥补成一个与其等底面积等高的三棱柱。 师:那么如何把一个一般的三棱锥补形成一个三棱柱呢,同学们思考一下。(如果学生回答不上来,这可适当提醒棱柱上下底面及侧棱的关系)
等学生回答好以后,再用ppt 展示一下两者的关系。
师:我们已经把一个三棱锥补成了一个三棱柱,而且同学们可以发现在补形的过程中,我们补上了一个四棱锥,因此在这三棱柱可以看作是由一个三棱锥和一个四棱锥组成。这里我们不仅没有解决三棱锥的体积公式,在补形过程中又出现了一个新的锥体——四棱锥。这样的处理过程是不是离我们的目标——解决三棱锥的体积越来越远了呢,这里我们对四棱锥先如何处理,
生:连接对角线,把其分成两个三棱锥。(ppt)
师:很好,这样我们已经将一个三棱柱成功分割成三个三棱锥了。而棱柱的体积公式上几节课我们已经得到解决了,所以现在我们剩下来要解决的问题变成了什么, 生:猜测一下三个三棱锥的体积有何关系,
师:非常好,那同学们思考一下三个三棱锥的体积是什么关系,能否简单证明, 生:相等
师:如何证明,
师:前面证明棱柱体积相等时,由祖暅原理得,只要两棱柱底面积及高相等即可。那么我们能否这样的结论类比到棱锥中呢,
生:能。
师:在棱锥中,应有怎样的结论,
生:等底面积等高的三棱锥体积相等。
师:请同学们证明(ppt)
师:证明好等底等高的三棱锥的体积相等后,可以让学生再看刚才的分割图(ppt),请同学们简单地说明刚才分割出来的三个三棱锥体积相等。
1师:于是我们就得到三棱锥的体积为。进一步,对于棱锥,如果其底面积为,SnVSh,三棱锥3
1VSh,高为,则它的体积公式为 h棱锥3
问题就得到解决,总结思路。
这里分别用了割、补两种方法。把棱锥转化成三棱锥问题用了割的思想方法。在利用棱柱n
体积公式推导棱锥体积公式时用的的补的思想方法。
二、棱锥体积公式的应用
例1( 已知正方体ABCDABCD,'''',且棱长为, a
(1) 求三棱锥CBCD',与正方体体积之比。
11,,,aaaV1三棱锥32,解: ,Vaaa,,6正方体
思考:若没有已知棱长,此题应该如何解决,
(2)求三棱锥与正方体体积之比 ABCD'',
解一:直接求三棱锥的体积和正方体的体ABCD'',
积,再进行比较。
解二:利用割补方法,间接求三棱锥的体积,ABCD'',
(正方体的体积,4个角(三棱锥)的体积)
133aa,,4,VV4V1CBCD,'长方体ABCD,6'' ,,,3VVa3长方体长方体
说明:对于解法二,适用性更广,如果把“正方体”改
为“长方体”,解法一求三棱锥的体积就比较困难了,这时,解法二的优越性体ABCD'',
现的更明显了。
,例2(已知正四棱锥的底面边长为,且它的侧棱与底面所成的角为,求这个1OABCD,3四棱锥的体积。
师:(开门见山)今天这节课我们要来研究棱锥的体积公式。对于一个一般的棱锥,我们n如何研究其体积,(可以借鉴棱柱公式的推导)让同学们分组讨论。 方案二:
生:我们先来证明等底面积等高的棱锥体积相等。(理由是:祖暅原理,体积可看成是由面积叠加而成,用一组平行平面截两个空间图形,若在任意等高处的截面面积都对应相等,则两空间图形的体积必然相等。)于是要解决棱锥的体积问题,只要解决三棱锥的体积即可。n
(只要找一个与棱锥等底面积等高的三棱锥即可) n
师:如何解决三棱锥的体积呢,
生:思考。。。。。。
师:现在我们已有的是棱柱的体积公式,能否用这已知的结论来解决未知的问题, 生:讨论。。。。。。
师:叫学生代表回答:这里要用到补形法。把三棱锥补成一个与其等底面积等高的三棱柱。 (问题:对于一个一般的三棱锥如何补成一个三棱柱,)
这里用ppt 展示一下两者的关系。
师:对于三棱柱的体积我们上节课已经解决了,怎么把现在我们要解决的问题与棱柱体积联系起来呢,
生:补形。把三棱柱分割成三棱锥。
师:那么补上去了部分,是一个怎样的几何体,与三棱锥有何关系, 生:一个四棱锥。
师:那么又出了一个新的几何体,四棱锥,是不是我们讨论的问题更加复杂了呢, 生:不是
师:那么我们该怎么办,
生:对四棱锥进行研究,把四棱锥分割成两个三棱锥。
师:好,我们已经得到三个三棱锥,那么我们先猜测一下三个三棱锥的体积有何关系, 生:相等
师:如何证明,
师:前面证明棱柱体积相等时,由祖暅原理得,只要两棱柱底面积及高相等即可。那么我们能否类比到棱锥中呢,
生:能。
师:在棱锥中,应有怎样的结论,
生:等底面积等高的三棱锥体积相等。
师:请同学们证明
1师:于是我们就得到三棱锥的体积为。那么棱锥体积如何呢, nVSh,三棱锥3
1生:两种想法:1)个三棱锥体积和,它的形式也是。 n,2SSh,棱锥3