2009年美国中学生九年级数学建模竞赛

2009年美国中学生九年级数学建模竞赛 卷面分值:满分120分,考试时间:100分钟 一、填空题(本大题共有12小题，每小题2分，满分24分) 1(化简:4, ? . 2(一元二次方程 的解是 ? . 3(已知关于x的方程 的一个根为2,则m= ?__ . 4(使 有意义的 的取值范围是 ? ( 5(计算: ,_____? ____. 6(数据70、71、72、73、69的差是_____? _____. 7(如右图，?ABC内接于圆，D为弧BC的中点，?BAC=50?,则?DBC是 ? 度. 8(某小区2011年屋顶绿化面积为2000平方米，2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米(如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是__?___( 9(如图，任意四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，当四边形ABCD满足条件 ? 时(填一个即可)，四边形EGFH是菱形( 10(如图，AB是?O的直径，点C，D都在?O上，连结CA，CB，DC，DB(已知?D=30?，BC,3，则AB的长是 ? ( 11(小红的衣服被一个铁钉划了一个呈直角三角形的一个洞，其中三角形两边长分别为1c和2cm，若要用同色圆形布将此洞全部覆盖，那么这个圆布的直径最小应等于 ? ( 12(如图，直线 与x轴、y分别相交于A、B两点，圆心P的坐标为(1，0)，圆P与y轴相切于点O。若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，横坐标为整数的点P′的个数是 ? ( 二、选择题(本大题共有5小题，每小题3分，满分15分) 13(与 是同类二次根式的是 ( ? ) A( B( C( D( 14. 如图，半径为10的?O中，弦AB的长为16，则这条弦的弦心距为( ? ) A(6 B(8 C(10 D(12 15(如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为( ? ) A. B. C. D.6 16(如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是( ? ) A( B( C( D(3 17(已知?O1与?O2相切，?O1的半径为4 cm，?O2的直径为2 cm，则O1O2的长是(?) A(5cm B(6cm C(6cm或2cm D(5cm或3cm 三、解答题(本大题共有9小题，满分81分) 18. (每题5分，满分10分) 解方程: ? x2 + 4x ? 2 = 0; ? 19. (每题5分，满分10分) 计算: ? ? 20.(本题满分6分)如图，AB是?O的直径，AC是?O的弦，过点C作?O切线与AB延长线交于点D， 若?CAB =30?，AB =30，求BD长. 21. (本题满分8分) 甲、乙两名同学进行射击训练，在相同条件下各射靶5次，成绩统计如下: 命中环数 7 8 9 10 甲命中相应环数的次数 2 2 0 1 乙命中相应环数的次数 1 3 1 0 若从甲、乙两人射击成绩方差的角度两人的射击水平，则谁的射击成绩更稳定些,请用你所学知识. 22.(本题满分10分):如图，已知AB是?O的直径，弦CD?AB，垂足为E，?AOC=60?，OC=2( ? 求OE和CD的长; ? 求图中阴影部分的面积( 23.(本题满分10分):已知?O直径AB=4，?ABC = 30?，BC = .D是线段BC中点， ? 试判断点D与?O的位置关系,并说明理由; ? 过点D作DE?AC，垂足为E，求证:直线DE是?O切线. 24. (本题满分8分):已知: 一元二次方程方程 的两个根为 、 , 则方程的根与系数的关系为: ;请阅读下列解题过程: 题目:已知方程 的两个根为 、 ,求 的值. 解: ??=32-4×1×1=5,0, ? ? 由一元二次方程的根与系数的关系,得 , . ? ? = ? 阅读后回答问题: 上面的解题过程是否正确?若不正确,指出错在哪一步,并写出正确的解题过程. 25. (本题满分9分):如图,要把破残的圆片复制完整, 已知弧上的三点A、B、C， ? 用尺规作图法，找出弧ABC所在圆的圆心O(保留作图痕迹，不写作法); ? 设?ABC是等腰三角形，底边BC = 10cm，腰AB = 6 cm， 求圆片的半径R(结果保留根号); ? 若在?题中的R的值满足n〈R〈m，且m、n为正整数， 试估算m和n的值. 26((本题满分10分):如图，在平面直角坐标系中，以点A(-1，0)为圆心，AO为半径的圆交x轴负半轴于另一点B，点F在?A上，过点F的切线交y轴正半轴于点E，交x轴正半轴于点C，且CF= . ? 求点C的坐标; ? 求证:AE?BF; ?延长BF交y轴于点D，求点D的坐标 及直线BD的解析式.