数学物理方法讲义(常晋德)
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2009 7 21
. ―― Hadamard J.
. ―― Joseph Fourier
. ―― Halmos P. R.
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?. ―― Pringsheim A.
. ―― Halmos P. R.
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―― Hilbert D.
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?. ?. ―― Bell E. T.
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. ―― Todhunter I.
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―― Chrystal G.
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―― Thomson W.
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―― Bacon F.
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3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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iii
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4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
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4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
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4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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v
6.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8.3 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8.4
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8.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8.6
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8.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
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9.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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10.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
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10.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
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10.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11.1
δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
173
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11.2 Lu
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11.3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11.4 . . . . . . . . . . . . . .
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201
1.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
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. . 201
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. . 201
1.2
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203
2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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205
207
viii
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|x| ? |z |, |y | ? |z |, |z | ? |x| + |y |. 1.1
?
|z + z | ? |z | + |z | 1.2
1 2 1 2
||z | ? |z || ? |z ? z | .
1 2 1 2
1.3 , |z ? z | z z . ?:
1 2 1 2
2 2
|z ? z | | x + iy ? x ? iy | x ? x + y ? y .
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
1.
. . n
.
1.1
5
, 2π . ?π θ ? π θ
Arg z , z , arg z.
Arg z arg z + 2kπ, k 0, ?1, ?2, .
z 0 , ; z x + iy 0 , z x y z ,
:
? y
? arctan , x 0 ;
?
?
?
x
?
?
? y
?
? arctan + π, x 0, y ? 0 ;
?
?
?
x
arg z arctan y ? π, x 0, y 0 ;
?
? x
?
?
π
?
? , x 0, y 0 ;
?
? 2
?
?
π
?
?
? , x 0, y 0 ,
2
π y π
? arctan .
2 x 2
, z, 1.1
z r cos θ + i sin θ . 1.3
, r 1
z cos θ + i sin θ,
?.
?2
eiθ cos θ + i sin θ, 1.4
1.3
z reiθ . 1.5
1.3 1.5 z , z x + iy z
?. ?, .
1.1.
? π π ? π i
1 + i 2 cos + i sin 2e 4 ;
4 4
π π π i
i 1 cos + i sin e 2 ;
2 2
1 1 cos 0 + i sin 0 e0i ;
?2 2 cos π + i sin π 2eπi ;
π π ? π i
?3i 3 cos ? + i sin ? 3e 2 .
2 2
z r eiθ1 , z r eiθ2 ,
1 1 2 2
z z r r , θ θ + 2kπ, k 0, ?1, ?2, .
1 2 1 2 1 2
eiθ1 eiθ2 cos θ + i sin θ cos θ + i sin θ
1 1 2 2
cos θ cos θ ? sin θ sin θ + i sin θ cos θ + cos θ sin θ
1 2 1 2 1 2 1 2
cos θ + θ + i sin θ + θ ei θ1+θ2 .
1 2 1 2
2 , .
, eiθ .
6
iθ1
e i θ1 ?θ2
e .
eiθ2
? , ,
iθ1 iθ2 i θ1+θ2
z z r e r e r r e ,
1 2 1 2 1 2
iθ1
z r e r
1 1 1 i θ1 ?θ2
e .
z r eiθ2 r
2 2 2
:
? 1.4. , .
? 1.4
z1 |z |
1
|z z | |z ||z |, z 0 ,
1 2 1 2 2
z |z |
2 2
z1
Arg z z Arg z + Arg z , Arg Arg z ? Arg z .
1 2 1 2 1 2
z2
?
n
iθ
, z z , n z . z
re ,
n n inθ n
z r e r cos nθ + i sin nθ .
r 1 , ?
cos θ + i sin θ n cos nθ + i sin nθ.
z 0, w
wn z n ? 2 ,
?
1
w z n ?, w n z z n . w, z reiθ , w ρei? ,
n in? iθ
ρ e re .
ρn r, n? θ + 2kπ, k 0, ?1, ?2, ,
?
n θ + 2kπ
ρ r, ? , k 0, ?1, ?2, .
n
z n
?
n i θ+2kπ
wk re n , k 0, ?1, ?2, .
?, z n , ? n ,
?
n i θ+2kπ
wk re n , k 0, 1, , n ? 1.
1.6
? , ? ? 1.4.
i 2π
wk wk?1e n , k 0, ?1, ?2, .
1.1
7
2π
, wk wk?1 .
n
?
θ 2π
n i
, w re n , w w ,
0 0 1
n
2π
, , w , w , . n
2 3
n
2π , wn w0 ,
n . w0 .
1.5
?
3
1.2. ?8.
?8 8 cos π + i sin π 8eiπ , 1.6 ?8 3
? π+2kπ
3 i
wk 8e 3 , k 0, 1, 2.
i π π π ?
w0 2e 3 2 cos + i sin 1 + 3i;
3 3
w1 2eiπ 2 cos π + i sin π ?2;
?
5π 5π 5π
i
w2 2e 3 2 cos + i sin 1 ? 3i.
3 3
1.1. , ?8 3 , ?2. , ?
n .
z x + iy, x ? iy z , z x ? iy.
|z | |z |, Arg z ?Arg z.
?, z z . ?i 2 ?1, ?i i ,
i ?i .
z ? z z ? z , z z z z , z1 z1 z 0 .
1 2 1 2 1 2 1 2 2
z2 z2
z + z z ? z
z z, |z |2 zz, Re z , Im z .
2 2i
? , .
1.3. z1 z2 ,
|z + z |2 |z |2 + |z |2 + 2Re z z ,
1 2 1 2 1 2
? 1.2 .
|z + z |2 z + z z + z z + z z + z z z + z z + z z + z z
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
|z |2 + |z |2 + z z + z z |z |2 + |z |2 + 2Re z z .
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
Re z z ? |z z | |z ||z |,
1 2 1 2 1 2
? 1.2 .
8
,
.
1.4. z1 z2 ?
z z + z ? z t, 0 ? t ? 1.
1 2 1
z1 z2 ? 1.6
z z + z ? z t, ?? ? t ? +?.
1 2 1
1.5. z z0 , R
|z ? z | R.
0
z z0 , R ? 1.7
|z ? z | R.
0
1.8
1.6 1.7
1.6. π .
z , z , z ; α, β, γ? 1.8.
1 2 3
z2 ? z1 z3 ? z2 z1 ? z3
α arg , β arg , γ arg .
z3 ? z1 z1 ? z2 z2 ? z3
z2 ? z1 z3 ? z2 z1 ? z3
?1,
z3 ? z1 z1 ? z2 z2 ? z3
z2 ? z1 z3 ? z2 z1 ? z3
arg + arg + arg arg ?1 + 2kπ π + 2kπ k .
z3 ? z1 z1 ? z2 z2 ? z3
0 α π, 0 β π, 0 γ π, 0 α + β + γ 3π, k 0.
α + β + γ π.
1.2 9
..c