新人教版八年级数学上册培优资料中考题型全解附期末培优检测卷

新人教版八年级数学上册培优资料中考型全解附期末培优检测卷 新人教版八年级数学上册培优资料(中考题型) 第16讲 认识三角形 【例,】如图AD是?ABC的中线，DE是?ADC的中线，EF是?DEC的中线，FG是?EFC的2S,1cm，则S,______________. 中线，若?GFC?ABC经典?考题?赏析 A【例,】若的三边分别为4，x，9，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是 ______________ ;当周长为奇数时，x,______________. E G【解法指导】运用三角形三边关系，即第三边小于两边之和而大于两边之差故5,x,13，18 BC,l,26;周长为19时，x ,6，周长为21时，x ,8，周长为23时，x ,10，周长为25时，x ,DF 12， 【变式题组】 【解法指导】中线将原三角形面积一分为二，由FG为?EFC的中线，知S,2S,2.又由?EFC?GFC EF为01(若?ABC的三边分别为4，x，9，且9为最长边，则x的取值范围是______________，周长l?DEC中线，S,2S,4.同理S,8，S,16. ?DEC?EFC?ADC?ABC 的取值范围是______________. 【变式题组】 02(设?ABC三边为a，b，c的长度均为正整数，且a,b,c，a+b+c,13，则以a，b，c为边的01(如图，已知点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，S,4，则S,______________. ?ABC?EFC 三角形，共有______________个. AA03(用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形(不许折断)并全部用完，能摆出不同形状的AD 三角形个数是( ). EEFA(1 B(2 C(3 D(4 F FBC BCDBCDE【例,】已知等腰三角形的一边长为18cm，周长为58cm，试求三角形三边的长. (第1题图)(第2题图)(第3题图) 【解法指导】对等腰三角形，题目没有交代底边和腰，要给予讨论.当18cm为腰时，底边为 5818,02(如图，点D是等腰?ABC底边BC上任意一点，DE?AB于E，DF?AC于F，若一腰上的高为58,18×2,22，则三边为18，18，22. 当18cm为底边时，腰为,20，则三边为20，20，4cm，则DE+DF,______________. 2 18.此两种情况都符合两边之和大于第三边. 03(如图，已知四边形ABCD是矩形(AD,AB) ，点E在BC上，且AE,AD，DF?AE于F，则DF 解:18cm，18cm，22cm或18cm， 20，20cm. 与AB的数量关系是______________. 【变式题组】 【例,】已知，如图，则?A+?B+?C+?D+?E ,______________. 01(已知等腰三角形两边长分别为6cm，12cm，则这个三角形的周长是( ) AE A(24cm B(30cm C(24cm或30cm D(18cm 02(已知三角形的两边长分别是4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是( ) BDA(13cm B(6cm C(5cm D(4cm C03(等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的(例4题图)腰长为______________. 【解法指导】这是本章的一个基本图形，其基本为构造三角形或四边形内角和，结合八AAA ABPPOOO CBDCBCBC字形角的关系即，?A+?B,?C+?D(故连结BC有?A+?D,?DBC+?ACB，(第2题图)(第1题图)(第3题图)??A+?B+?C+?D+?E ,180? 【变式题组】 ?，点P、O分别是?ABC、?ACB的三等分线的交点，则?OPC,______________. 01(如图，则?A+?B+?C+?D+?E ,______________. 03(如图，?O,140?，?P,100?，BP、CP分别平分?ABO、?ACO，则?A,______________. 02(如图，则?A+?B+?C+?D+?E +?F,______________. 【例,】如图，已知?B,35?，?C,47?，AD?BC，AE平分?BAC，则?EAD,______________. 【解法指导】??EAD,90?,?AED,90?,(?B+?BAE)A03(如图，则?A+?B+?C+?D+?E +?F ,______________. 1, 90?,?B,(180?,?B,?C), 90?,?B,A2AAB11190?+?B+ ?C, (?C,?B) ，故?EAD,6?. E222EBCDEDDE D(例6题图)FC CBBFC (第1题图)(第3题图)A(第2题图)变式题组】 【 DF01.(改)如图，已知?B,39?，?C,61?，BD?AC，AE平分?BAC，【例,】如图，已知?A,70?，BO、CO分别平分?ABC、?ACB(则?BOC , ______________. 则?BFE,__________. A CBE98?, BD?AC，则点D(说明:原题题、图不符.由已知得?A,(第1题图)O在CA的延长线上.) A02(如图，在?ABC中，?ACB,40?，AD平分?BAC，?ACB的外BC角平分线交AD的延长线于点P，点F是BC上一动点(F、D不 1重合) ，过点F作EF?BC交于点E，下列结论:??P+?DEF为【解法指导】这是本章另一个基本图形，其结论为?BOC,?A+90?.证法如下: ?BOC,180?FC定值，??P,?DEF为定值中，有且只有一个答案正确，请你2BD1111作出判断，并说明理由. ,?OBC,?OCB,180?,?ABC,?ACB,180?,(180?,?A), 90?+?A(所以?BOC,GE 2222 P125?. (第2题图)【变式题组】 01(如图，?A,70?，?B,40?，?C,20?，则?BOC,______________. B'【例,】如图，在平面内将?ABC绕点A逆时针旋转至 ?AB′C′，使CC′?AB，若?BAC,70?，则旋转角α,CC' AB ______________. B(三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和 【解法指导】利用平移、旋转不改变图形的形状这条性质来解题.?CC′?AB，??C′CA,C(三角形的外角中，至少有两个钝角 ?CAB ,70?，又AC,AC′，??C′AC,180?,2×70?,40? D(三角形的外角中，至少有一个钝角 【变式题组】 05(若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( ) 01如图，用等腰直角三角形板画?AOB,45?，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线后绕A(直角三角形 B(锐角三角形 C(钝角三角形 D(无法确定 点M逆时针方向旋转22?，则三角板的斜边与射线OA的直角α,______________. 06(若一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角，则这个三角形是( ) A(直角三角形 B(锐角三角形 C(钝角三角形 D(无法确定 07(如果等腰三角形的一边长是5cm，另一边长是9cm，则这个三角形的周长是______________. AE08(三角形三条边长是三个连续的自然数，且三角形的周长不大于18，则这个三角形的三条边长 BDα分别是______________. α09(如图，在?ABC中，?A,42?，?B与?C的三等分线，分别交于点D、E，则?BDC的度数是 B'______________. A'A22?BCA(第3题图)AAAOOBM2?D(第2题图)β(第1题图)E EFγ02(如图，在平面内将?AOB绕点O顺时针旋转α角度得到?OA′B′，若点A′在AB上时，则α13B4BCC?BDC旋转角α,______________.(?AOB,90?，?B,30?) D(第9题图)(第10题图)(第11题图)(第12题图) ABE和?ACD是?ABC沿着AB边，AC边翻折180?形成的，若?BAC,130?，则?α10(如图，光线l照射到平面镜上，然后在平面镜?、?之间来回反射，已知?α,55，?γ,75?，3(如图，? ,______________. ?β,______________. 11(如图，点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，且S,1，则S,______________. ?EFC?ABC 12(如图，已知: ?1,?2，?3,?4，?BAC,63?，则?DAC,______________. 13(如图，已知点D、E是BC上的点，且BE,AB，CD,CA，A1?DAE,?BAC，求?BAC的度数 演练巩固?反馈提高 3A01(如图，图中三角形的个数为( ) BCDEA(5个 B(6个 C(7个 D(8个 (第13题图)02(如果三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么 BC这个三角形是( ) DE A(锐角三角形 B(钝角三角形 GF C(直角三角形 D(不确定 03(有4条线段，长度分别是4cm，8cm，10cm，12cm，选其中三条组成三角形，可以组成三角 形的个数是( ) A(1个 B(2个 C(3个 D(4个 第17讲 认识多边形 04(下列语句中，正确的是( ) A(三角形的一个外角大于任何一个内角 经典?考题?赏析 【例,】如图所示是一个六边形. 04(如图，?1、?2、?3、?4是五边形ABCDE的外角，且?1,?2,?3 0(1)从顶点A出发画这个多边形的所有对角线，这样的对角线有几条,它们将六边形分成几个,?4,70，则?AED的度数为( ) 0000三角形, A(110 B(108 C(105 D(100 (2)画出此六边形的所有对角线，数一数共有几条, 5.当多边形的边数增加1时，它的内角和与外角和( ) 0【解法指导】本题主要考查多边形对角线的定义，对于n边形，从n边形的一个顶点出发，A(都不变 B(内角和增加180，外角和不变 000C(内角和增加180，外角和减少180 D(都增加180 nn(3),可引(n,3)条对角线，它们将这n边形分成(n,2)个三角形，n边形一共有条对角线， 0【例,】一只蚂蚁从点A出发，每爬行5cm便左转60，则这只蚂蚁需要爬行多少路程才能回2 到点A, 解:(1)从顶点A出发，共可画三条对角线，如图所示，它们分别是AC、AD、AE.将六边形分成 四个三角形:?ABC、?ACD、?ADE、?AEF; 解:蚂蚁爬行的路程构成一个正多边形，其路程就是这个正多边形的周长，根据已知可得这 (2)六边形共有9条对角线. 03600【变式题组】 个正多边形的每个外角均为60，则这个多边形的边数为,6.所以这只蚂蚁需要爬行5×6,06001(下列图形中，凸多边形有( ) 30(cm)才能回到点A( 0【解法指导】多边形的外角和为360. 0(1)多边形的外角和恒等于360，它与边数的多少无关. (2)多边形的外角和的推导方法:由于多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n边 0000形内角和加外角和等于180?n，外角和等于n?180,(n,2)?180,360. 0A(1个 B(2个 C(3个 D(4个 (3)多边的外角和为什么等于360，还可以这样理解:从多边形的一个顶点A出发，沿多边形 02(过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形对角线条数等于边数，则m,的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发点时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边 0______，n,______，k,________. 形的外角和，由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360. 003(已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍，则此多边形的(4) 多边形的外角和为360的作用:?已知各相等外角度数求多边形边数;?已知多边形边数，边数是 . 求各相等外角的度数. 【例,】(1)八边形的内角和是多少度, 【变式题组】 (2)几边形的内角和是八边形内角和的2倍, 01((无锡)八边形的内角和为_____.度. 0【解法指导】(1)多边形的内角和公式的推导:从n边形一个顶点作对角线，可以作(n,3)条对02((永州)如图所示，已知?ABC中，?A,40，剪去?A后成 角线，并且将n边形分成(n,2)个三角形，这(n,2)个三角形内角和恰好是多边形内角和，等于(n四边形，则?1+?2,_____ 0,2)?180; 03((资阳)n(n为整数，且n?3)边形的内角和比(n+1)边形的(2)内角和定理的应用:?已知多边形的边数，求其内角和;?已知多边形内角和，求其边数. 内角和少____度. 000解:(1)八边形的内角和为(8,2)×180,1080; 04((株洲)如图所示，小明在操场上从点A出发，沿直线前进10米后向左转40，再沿直线前进 0(2)设n边形的内角和是八边形内角和的2倍， 10米后，又向左转40，……，照这样下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了_____米. 000则有(n,2)×180,1080×2，解得n,14. 故十四边形的内角和是八边形内角和的2倍. 【例,】已知两个多边形的内角和为1800，且两多边形的边数之比为2:5，求这两个多边形【变式题组】 的边数. 001(已知n边形的内角和为2160，求n边形的边数. 【解法指导】因为两个多边形的边数之比为2:5，可设两个多边形的边数为2x和5x，利用多 002(如果一个正多边的一个内角是108，则这个多边形是( ) 边形的内角可列出方程. A(正方形 B(正五边形 C( 正六边形 D(正七边形 解:设这两个多边形的边数分别是2x和5x，则由多边形内角和定理可得: 000003(已知一个多边形的内角和为1080，则这个多边形的边数是( ) (2x,2)?180+(5x,2)?180,1800，解得x,2，?2x,4，5x,10， A(8 B(7 C(6 D(5 故这两个多边形的边数分别为4和10. 000000 ×11,1620,150×11，所以这个十一边形的内角只有120和150两种.设120的角因为120 0000【变式题组】 有m个，150的角有n个，则有120m+150n,1620，即4m+5n,54 001(一个多边形除去一个角后，其余各内角的和为2210，这个多边形是___________ m,1,此方程有唯一正整数解，所以这个十一边形内角中有1个角为2,02(若一个多边形的外角和是其内角和的，则此多边形的边数为_____ n,10,500120，10个角为150，此十一边形如图所示. 203(每一个内角都相等的多边形，它的一个外角等于一个内角的，则这个多边形是( ) 【变式题组】 3 01(如图是某广场地面的一部分，地面的中央是一块正六边形的地砖，周围用正三角形和正方形A(三角形 B(四边形 C(五边形 D(六边形 04(内角和与其外角和相等的多边形是___________ 的大理石砖镶嵌，从里向外共铺了12层(不包括中央的正六边形地砖)，每一层的外边界都【例,】某人到瓷砖商店去购买一种多边形瓷砖，用来铺设无缝地面，他购买的瓷砖不可以围成一个正多边形，若中央正六边形的地砖边长为0.5m，则第12层的外边界所围成的多边形 的周长是___________. 是( ) 02((黄冈)小明的书房地面为210A(正三角形 B(长方形 C(正八边形 D(正六边形 cm×300cm的长方形，若仅从方便平面镶嵌的角度出发，最适0【解法指导】根据平面镶嵌的定义可知:在一个顶点处各多边形的内角和为360，由于正三宜选用的地砖规格为( ) 0角形、长方形、正六边形的内角都是360的约数，因此它们可以用来完成平面镶嵌，而正八边形A(30cm×30cm的正方形， B(50cm×50cm的正方形， 00的每个内角为135，不是360的约数，所以正八边形不能把平面镶嵌. C(60cm×60cm的正方形， D(120cm×120cm的正方形， 解:选C( 111003(正m边形、正n边形及正p边形各取一个内角，其和为360，求的值. ，，【变式题组】 mnp01(用一种如下形状的地砖，不能把地面铺成既无缝隙，又不重叠的是( ) A(正三角形 B(正方形 C(长方形 D(正五边形 02(小明家装修房屋，用同样的正多边形瓷砖铺地，顶点连着顶点，要铺满地面而不重叠，瓷砖 的形状可能有( ) A(正三角形、正方形、正六边形 B(正三角形、正方形、正五边形 C(正方形、正五边形 D(正三角形、正方形、正五边形、正六边形 03(只用下列正多边形•能作平面镶嵌的是( ) A(正五边形 B(正六边形 C(正八边形 D(正十边形 04((晋江市)如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，演练巩固?反馈提高 称为第一次操作;然后将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得7 个小正方形，称为第二次操作;再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小01(在一个顶点处，若正n边形的几个内角的和为______，则此正n边形可铺满地面，没有空隙. 正方形，称为第三次操作;……，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次02((宜昌市)如图，用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜想填空: 2当黑色瓷砖为20块时，白色瓷砖为______块，当白色瓷砖为n数是( ) (n为正整数)块时，黑色瓷A(669 B(670 C(671 D(672 砖为______块. 【例,】有一个十一边形，它由若干个边长为1的等边三角形和边长为1的正方形无重叠、 无间隙地拼成，求此十一边形各内角的大小，并画出图形. 00【解法指导】正三角形的每个内角为60，正方形的每个内角为90，它们无重叠、无间隙可 0000拼成60、90、120、150四种角度，根据十一边形内角和即可判断每种角的个数. 03((嘉峪关)用黑白两种颜色的正六边形地板砖按图所示的规律拼成如下若干地板图案:则第n 000000解:因为正三角形和正方形的内角分别为60、90，由此可拼成60、90、120、150四种角个图案中白色的地板砖有______块. 000度，十一边形内角和为(n,2)×180,(11,2)×180,1620. 22+n+2，2n+1 B(2n+2，2n+1 C(4n，n,n+3 D(4n，2n+1 04(如图所示的图案是由正六边形密铺而成，黑色正六边形周围的第一层有六A(n 个白色正六边形，则第n层有______个白色正六边形. 05(如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一个正多边形的每一个顶点 第01讲 全等三角形的性质与判定 周围都有6个正多边形，则该正多边形的边数为( ) A(3 B( 4 C(5 D(6 考点?方法?破译 06(下列不能镶嵌的正多边组合是( ) 1(能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同; A(正三角形与正六边形 B(正方形与正六边形 2(全等三角形性质:?全等三角形对应边相等，对应角相等;?全等三角形对应高、角平分C(正三角形与正方形 D(正五边形与正十边形 线、中线相等;?全等三角形对应周长相等，面积相等; 07(用两种以上的正多边形镶嵌必须具备的条件是( ) 3(全等三角形判定方法有:SAS,ASA,AAS,SSS，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上A(边长相同 0 述方法外，还有HL法; B(在每一点的交接处各多边形的内角和为180 C(边长之间互为整数倍 4(证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析 0步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的D(在每一点的交接处各多边形的内角和为360，且边长相等 边或角，再设法对它们进行证明; 08((荆门市)用三块正多边形的木板铺地，拼在一起且相交于一点的各边完全吻合，其中两块木 板的边数都是8，则第三块木板的边数是( ) 5((证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全 4 B(5 C(6 D(8 等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有:平移、翻折、旋转、A( 09([自贡(课改)]张珊的父母打算购买形状和大小都相同的正多边形瓷砖来铺卫生间的地面，张珊等倍延长线中线、截取等等. 特意提醒父母，为了保证铺地面时既没缝隙、又不重叠，所购瓷砖形状不能是( ) 经典?考题?赏析 A(正三角形 B(正方形 C(正六边形 D(正八边形 10(我们常常见到如图所示那样图案的地板，它们分别是由正方形、等边三角形的材料铺成的， 【例,】如图，AB?EF?DC,?ABC,90?,AB,CD，那么图中有全等三角形( ) A(5对 B(4对 C(3对 D(2对 D A 【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一E 对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出 第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到. (1)为什么用这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地板, 解:??AB?EF?DC,?ABC,90. ??DCB,90. B C F (2)你想一想能否用一些全等的任意四边形或不等边三角形镶嵌成地板，请画出图形. 在?ABC和?DCB中 11(某单位的地板由三种各角相等、各边也相等的多边形铺成，假设它们的边数为x、y、z，你能ABDC,, ,找出x、y、z之间有何种数量关系吗,请说明理由. ??ABCDCB, ??ABC???DCB(SAS ) ??A,?D ,12(黑色正三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图案，方法如下:白色正六边形分上,BCCB,,下两行，上面一行的正六边形个数比下面一行少一个，正六边形之间的空隙用黑色的正三角 形嵌满，按第1,2,3个图案[如图(1)、(2)、(3)]规律依次下去，则第n个图案中黑色正三角形和?在?ABE和?DCE中 白色正六边形的个数分别是( ) ??AD,,【例,】已知AB,DC，AE,DF，CF,FB. 求证:AF,DE. ,??AEDDEC, ??ABE???DCE ?BE,CE ,【解法指导】想证AF,DE，首先要找出AF和DE所在的三角形.AF在?AFB和?AEF中，而,ABDC,,DE在?CDE和?DEF中，因而只需证明?ABF??DCE或?AEF??DFE即可.然后再根据已知条件 ?在Rt?EFB和Rt?EFC中 找出证明它们全等的条件. 证明:?FB,CE ?FB，EF,CE，EF，即BE,CF A D BECE,, ,ABDC,,EFEF,,,AEDF,在?ABE和?DCF中, ,?Rt?EFB?Rt?EFC(HL)故选C. ,BECF,,【变式题组】 C B 01((天津)下列判断中错误的是( ) ??ABE??DCF(SSS) ??B,?C E F A(有两角和一边对应相等的两个三角形全等 ABDC,,B(有两边和一角对应相等的两个三角形全等 ,??BC,在?ABF和?DCE中, ??ABF??DCE ?AF,DE ,C(有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 ,BFCE,,D(有一边对应相等的两个等边三角形全等 02((丽水)已知命题:如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且AD,BE，?A,?FDE，则?ABC【变式题组】 ??DEF.01(如图，AD、BE是锐角?ABC的高，相交于点O，若BO,判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明;如果是假命题，AC，BC,7，CD,2，则AO的长为( ) 请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明. A(2 B(3 C(4 D(5 C A A B D A E E O D B C C F B D 03((上海)已知线段AC与BD相交于点O, 连接AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连接E 第2题图 第1题图 EF(如图所示). ?添加条件?A,?D，?OEF,?OFE，求证:AB,DC; 02.如图，在?ABC中，AB,AC，?BAC,90?，AE是过A点的一条直线，AE?CE于E，BD?AE于?分别将“?A,?D”记为?，“?OEF,?OFE”记为?，“AB,DC”记为?，添加?、?，D，DE,4cm，CE,2cm，则BD,__________. 以?为结论构成命题1;添加条件?、?，以?为结论构\ A D 03((北京)已知:如图，在?ABC中，? ACB,90?，CD?AB于点D，点E在AC上，CE,BC，过成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题(选 择“真”或“假”填入空格). 点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F. 求证:AB,FC. O E F C B C( AC,DF D(EC,CF F C D A B E D G D A F B E B C P A E C 第2题图 第1题图 【例,】如图?，?ABC??DEF，将?ABC和?DEF的顶点B和顶点E重合，把?DEF绕点B 顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O. 03(一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形 ?当?DEF旋转至如图?位置，点B(E)、C、D在同一直线上时，?AFD与?DCA的数量关系式，使点B、F、C、D在同一条直线上. 是________________; ?求证:AB?ED; ?当?DEF继续旋转至如图?位置时，?中的结论成立吗,请说明理由_____________. ?若PB,BC，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明. A A A A C A C E F E E B F O P N D M F B(E) C C D B(E) 图? 图? D 图? B F D B F C D 【解法指导】??AFD,?DCA ??AFD,?DCA理由如下:由?ABC??DEF，?AB,DE，BC,EF, ?ABC,?DEF, ?BAC,例,】(第21届江苏竞赛试题)已知，如图，BD、CE分别是?ABC的边A C和AB边上的高，【 ?EDF ??ABC,?FBC,?DEF,?CBF, ??ABF,?DEC 点P在BD的延长线，BP,AC，点Q在CE上，CQ,AB. 求证:? AP,AQ;?AP?AQ 【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP,AQ,ABDE,, ,也就是证?APD和?AQE，或?APB和?QAC全等,由已知条件BP,AC，CQ,AB，应该证?APB???ABFDEC,在?ABF和?DEC中, ,?QAC，已具备两组边对应相等，于是再证夹角?1,?2即可. 证AP?AQ，即证?PAQ,90?，?,BFEC,,PAD，?QAC,90?就可以. ??ABF??DEC ?BAF,?DEC ??BAC,?BAF,?EDF,?EDC, ??FAC,?CDF ?? A P AOD,?FAC，?AFD,?CDF，?DCA 证明:??BD、CE分别是?ABC的两边上的高， E ??AFD,?DCA ??BDA,?CEA,90?, D 【变式题组】 ??1，?BAD,90?，?2，?BAD,90?，??1,?2. F 1 01((绍兴)如图，D、E分别为?ABC的AC、BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在Q ABQC,,B ,AB边上的点P处.若?CDE,48?，则?APD等于( ) ?1,?2 在?APB和?QAC中, ??APB??QAC， ,A(42? B(48? C(52? D(58? ,2 BPCA,,02(如图，Rt?ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到?DEF，下列结论中错误的是( ) A(?ABC??DEF B(?DEF,90? ?AP,AQ C /////CB，? BCB,30?，则?ACA的度数是( ) ???APB??QAC，??P,?CAQ, ??P，?PAD,90? 02(如图，?ACB??A A(20? B(30? C(35? D(40? ??CAQ，?PAD,90?，?AP?AQ 03((牡丹江)尺规作图作?AOB的平分线方法如下:以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB【变式题组】 01(如图，已知AB,AE，?B,?E，BA,ED，点F是CD的中点，求证:AF?CD. 1于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，CDA 2 由作法得?OCP??ODP的根据是( ) E B A(SAS B(ASA C(AAS D(SSS 04((江西)如图，已知AB, AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定?ABC??ADC的是( ) A. CB,CD B.?BAC,?DAC D C. ?BCA,?DCA D.?B,?D,90? C F 02((湖州市竞赛试题)如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离B D A MA为am，此时梯子的倾斜角为75?，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶1 C E 端距地面的垂直距离NB为bm，梯子倾斜角为45?，这间房子的宽度是( ) M 2 A C ab，ab,D D mmA( B( C(bm D(am 22A N B B C 第5题图 第4题图 C B M E 第6题图 N 05(有两块不同大小的等腰直角三角板?ABC和?BDE，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们D 的一个锐角顶点放在一起，如图，当A、B、D不在一条直线上时，下面的结论不正确的是( ) A. ?ABE??CBD B. ?ABE,?CBD 45? 75? A B A C E C. ?ABC,?EBD,45? D. AC?BE 第3题图 第2题图 06(如图，?ABC和共顶点A，AB,AE，?1,?2，?B,?E. BC交AD于M，DE交AC于N，小 (如图，已知五边形ABCDE中，? ABC,?AED,90?，AB,CD,AE,BC，DE,2，则五边形ABCDE华说:“一定有?ABC??AED.”小明说:“?ABM??AEN.”那么( ) 03 的面积为__________ A. 小华、小明都对 B. 小华、小明都不对 C. 小华对、小明不对 D.小华不对、小明对 演练巩固?反馈提高 07(如图，已知AC,EC, BC,CD, AB,ED,如果?BCA,119?，?ACD,98?,那么?ECA的度数是01((海南)已知图中的两个三角形全等，则?α度数是( ) ___________. A(72? B(60? C(58? D(50? 08(如图，?ABC??ADE，BC延长线交DE于F，?B,25?,?ACB,105?，?DAC,10?，则? DFB的度数为_______. 09(如图，在Rt?ABC中，?C,90?, DE?AB于D, BC,BD. AC,3，那么AE，DE,______ /50? A A A a c a C P B 72? α O B D /58? B C c b 第3题图 第2题图 第1题图 D E D 15(如图，AC?BC, AD?BD, AD,BC，CE?AB，DF?AB，垂足分别是E、F.求证:CE,DF. A B F C D E C D B O C A C E D E C A A B 第9题图 第8题图 第7题图 第10题图 B A 16(我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三E F B 10(如图，BA?AC, CD?AB. BC,DE，且BC?DE，若AB,2, CD,6，则AE,_____. 角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等, 11(如图, AB,CD, AB?CD. BC,12cm，同时有P、Q两只蚂蚁从点C出发，沿CB方向爬行，P的?阅读与证明: 速度是0.1cm/s, Q的速度是0.2cm/s. 求爬行时间t为多少时，?APB??QDC. 对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等; 对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等(证明略); A B 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下; . 已知?ABC、?ABC均为锐角三角形，AB,AB，BC,BC，?C,?C.求证:?ABC??ABC.Q 11111111111P . (请你将下列证明过程补充完整) D C B B1 12(如图, ?ABC中，?BCA,90?，AC,BC，AE是BC边上的中线，过C作CF?AE，垂足为F， 过B作BD?BC交CF的延长线于D. A ?求证:AE,CD; C C 1A A 1D D 1D ?若AC,12cm, 求BD的长. ?归纳与叙述:由?可得一个正确结论，请你写出这个结论. F B C E 13((吉林)如图，AB,AC，AD?BC于点D，AD等于AE，AB平分?DAE交DE于点F, 请你写出 第02讲 角平分线的性质与判定 图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明. E 经典?考题?赏析 A 【例,】如图，已知OD平分?AOB，在OA、OB边上截取OA,OB，PM?BD，PN?AD.求证:F PM,PN B C D 【解法指导】由于PM?BD，PN?AD.欲证PM,PN只需?3,?4，证?3,?4，只需?3和 14(如图，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C放在直线l上，从另两个顶点A、B分别作l的垂?4所在的?OBD与?OAD全等即可. 线，垂足分别为D、E. 证明:?OD平分?AOB ??1,?2 MDB3?找出图中的全等三角形，并加以证明; E 4C D l P 1?若DE,a，求梯形DABE的面积.(温馨提示:补形法) N2OA A B 1OBOA,, 又?AE,(AE，BE，AF,DF)，2AE,AE，AF，BE,DF，?BE,DF ,2，,，12 在?OBD与?OAD中， ??OBD??OAD ,F ?CF?AD，CE?AB，??F,?CEB,90? ,ODOD,C,DCECF,, ??3,?4 ?PM?BD，PN?AD 所以PM,PN ,1，,，FCEB 在?CEB和?CFD中，，??CEB??CFD ,【变式题组】 2,DFBE,BA E,01(如图，CP、BP分别平分?ABC的外角?BCM、?CBN.求证:点P在?BAC的平分线上. ??B,?CDF 又??ADC,120?，??CDF,60?，即?B,60?. M PC 【变式题组】 CS,ACD01(如图，在?ABC中，CD平分?ACB，AC,5，BC,3.求 S,CBD ABN BAD 02((河北竞赛)在四边形ABCD中，已知AB,a，AD,b.且BC,DC，对角线AC平分?BAD，问a 与b的大小符合什么条件时，有?B，?D,180?，请画图并证明你的结论. 02 (如图，BD平分?ABC，AB,BC，点P是BD延长线上的一点，PM?AD，PN?CD.求证:PM, PN 1 【例,】如图，在?ABC中，?BAC,90?,AB,AC，BE平分?ABC，CE?BE.求证:CE,BD A 2PM【解法指导】由于BE平分?ABC，因而可以考虑过点D作BC的垂线或延长CE从而构造全等 三角形. DN证明:延长CE交BA的延长线于F，??1,?2，BE,BE，?BEF,?BEC BC 1 ??BEF??BEC(ASA) ?CE,EF，?CE,CF ??1，?F,?3，?F,90?， 2F【例,】(天津竞赛题)如图，已知四边形ABCD中，AC平分?BAD，CE?AB于点E，且AE??1,?3 A，,，131,E,(AB，AD)，如果?D,120?，求?B的度数 ,在?ABD和?ACF中，，??ABD??ACF ABAC,3,D21,2，,，BADCAF【解法指导】由已知?1,?2，CE?AB，联想到可作CF?AD于F，得CE,CF，AF,AE，又由,CB11AE,(AB，AD)得DF,EB，于是可证?CFD??CEB，则?B,?CDF,60?.或者在AE ?BD,CF ?CE,BD 22CD上截取AM,AD从而构造全等三角形. 【变式题组】 解:过点C作CF?AD于点F.?AC平分?BAD，CE?AB，点C是AC上一点， 01(如图，已知AC?BD，EA、EB分别平分?CAB、?DBA，CD过点E，求证:AB,AC，BD. ?CE,CF D EA EBC CFCE,, 在Rt?CFA和Rt?CEA中， ?Rt?ACF?Rt?ACE ?AF,AE , ACAC,,AB 02(如图，在?ABC中，?B,60?，AD、CE分别是?BAC、?BCA的平分线，AD、CE相交于点A(???? B(??? C(??? D(??? F. 07(如图，点P是?ABC两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是( ) ?请你判断FE和FD之间的数量关系，并说明理由; A(点P到?ABC三边的距离相等 B(点P在?ABC的平分线上 B ?求证:AE，CD,AC. 11C(?B,90? D(?P与?B的关系是:?B,?P ?P与?B的关系是:?P， 22EDF A A KEA AC DDAAFP QPE NCBEDBC演练巩固?反馈提高 EC B BCFMBC第7题图第8题图第10题图第9题图第6题图 08(如图，BD平分?ABC，CD平分?ACE，BD与CD相交于D.给出下列结论:?点D到AB、AC01(如图，在Rt?ABC中，?C,90?，BD平分?ABC交AC于D，若CD,n，AB,m，则?ABD 的距离相等;??BAC,2?BDC;?DA,DC;?DB平分?ADC.其中正确的个数是( ) 的面积是( ) A(1个 B(2个 C(3个 D(4个 11A(mn B(mn C( mn D(2 mn 09(如图，?ABC中，?C,90?AD是?ABC的角平分线，DE?AB于E，下列结论中:?AD平分32 ?CDE;??BAC,?BDE;? DE平分?ADB;?AB,AC，BE.其中正确的个数有( ) 02(如图，已知AB,AC，BE,CE，下面四个结论:?BP,CP;?AD?BC;?AE平分?BAC;?? 3个 B(2个 C(1个 D(4个 A(PBC,?PCB.其中正确的结论个数有( )个 10(如图，已知BQ是?ABC的内角平分线，CQ是?ACB的外角平分线，由Q出发，作点Q到BC、A( 1 B(2 C(3 D(4 AC和AB的垂线QM、QN和QK，垂足分别为M、N、K，则QM、QN、QK的关系是_________ 03(如图，在?ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR?AB，PS?AC，垂足分别是R、S.若 11(如图，AD是?BAC的平分线，DE?AB于E，DF?AC于F，且DB,DC.求证:BE,CF AQ,PQ，PR,PS，下列结论:?AS,AR;?PQ?AR;??BRP??CSP.其中正确的是( ) A( ?? B(?? C(?? D(??? E AA E BD RA BPA PFCA CBE FDD C04(如图，?BAQSCCEBDCB第5题图第1题图 第3题图第2题图第4题图ABC中，AB 12(如图，在?ABC中，AD是?BAC的平分线，DE?AB于点E，DF?AC于点F.求证:AD?EF. ,AC，AD平分?BAC，DE?AB，DF?AC，垂足分别是E、F，则下列四个结论中:?AD上任 意一点到B、C的距离相等;?AD上任意一点到AB、AC的距离相等;?AD?BC且BD,CD;A ??BDE,?CDF.其中正确的是( ) A(?? B(?? C(??? D(???? E 05(如图，在Rt?ABC中，?ACB,90?，?CAB,30?，?ACB的平分线与?ABC的外角平分线OF 交于E点，则?AEB的度数为( ) CDB A(50? B(45? C(40? D(35? 06(如图，P是?ABC内一点，PD?AB于D，PE?BC于E，PF?AC于F，且PD,PE,PF，给出下 列结论:?AD,AF;?AB，EC,AC，BE;?BC，CF,AB，AF;?点P是?ABC三条角平分线 的交点.其中正确的序号是( ) 【解法指导】在?ABC中，点B的坐标为(,1，1)，将?ABC向右平移两个单位长度得到?A’B’C’， 第3讲 轴对称及轴对称变换 由点的坐标平移规律可得B’(,1，2，1)，即B’(1，1).由关于x轴对称的点的坐标的规律 可得点B’关于x轴对称的点的坐标是(1，,1)，故应选D. 【变式题组】 经典?考题?赏析 01(若点P(,2，3)与点Q(a，b)关于x轴对称，则a、b的值分别是( ) 【例,】(兰州)如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开A(,2，3 B(2，3 C(,2，,3 D(2，,3 后是( ) 02(在直角坐标系中，已知点P(,3，2)，点Q是点P关于x轴的对称点，将点Q向右平移4个 单位得到点R，则点R的坐标是___________. 03((荆州)已知点P(a，1，2a,1)关于x轴的对称点在第一象限， 则a的取值范围为___________. 【例3】如图，将一个直角三角形纸片ABC(?ACB,90?)，沿线 段CD折叠，使点B落在B处，若?ACB,70?，则?ACD,( ) 11 【解法指导】对折问题即是轴对称问题，折痕就是对称轴.故选D. A(30? B(20? C(15? D(10? 【变式题组】 【解法指导】由折叠知?BCD,?BCD.设?ACD,x，则?BCD,?BCD,?ACB，?ACD,111 01(将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是( ) 70?，x.又?ACD，?BCD,?ACB，即x，(70?，x),90?，故x,10?.故选D. 【变式题组】 01((东营)如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D’、C’的位置.若?EFB ,65?，则?AED’等于( ) A(70? B(65? C(50? D(25? 02(如图，?ABC中，?A,30?，以BE为边，将此三角形对折，其次，又以BA为边，再一次对 02((荆州)如图，将矩形纸片ABCD沿虚线EF折叠，使点A落在点G上，点D落在点H上;然折，C点落在BE上，此时?CDB,82?，则原三角形中?B,___________. 后再沿虚线GH折叠，使B落在点E上，点C落在点F上，叠完后，剪一个直径在BC上的半 圆，再展开，则展开后的图形为( ) 03((江苏)?观察与发现:小明将三角形纸片ABC(AB,AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落 在AB边上，折痕为AD，展平纸片(如图?);再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合， 折痕为EF，展平纸片后得到?AEF(如图?).小明认为?AEF是等腰三角形，你同意吗,请 说明理由. 【例2】(襄樊)如图，在边长为1的正方形网格中，将?ABC向右平移两个单位长度得到??实践与运用: A’B’C’，则与点B’关于x轴对称的点的坐标是( ) 将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE(如图 ?);再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D’处，折痕为EG(如图?);再展平纸A((0，,1) B((1，1) C((2，,1) D((1， ,1) 片(如图?).求图?中?α的大小. 以图案居中的斜线为对称轴，所作的?DEF如图??所示( 【例4】如图，在?ABC中，AD为?BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，E为垂足，EF【变式题组】 交BC的延长线于点F，求证:?B,?01CAF( ((泰州)如图，在2?2的正方形格点图中，有一个以格点为顶点的?ABC，请你找出格点 【解法指导】?EF是AD的中垂线，则可得?AEF图中所有与?ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有___________个( ??DEF，??EAF,?EDF(从而利用角平分线的定义02((绍兴)如图甲，正方形被划分成16个 全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满与三角形的外角转化即可( 足下列条件: 证明:?EF是AD的中垂线，?AE,DE，?AEF,?涂黑部分的面积是原正方形面积的一半; ?DEF，EF,EF，??AEF??DEF，??2，?4,?3，?涂黑部分成轴对称图形( ??3,?B，?1，??2，?4,?B，?1，??1,?如图乙是一种涂法，请在图1,3中分别设计另外三种涂法((在所2，??B,?4 设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种不同涂法，如 【变式题组】 图乙与图丙) 01(如图，点D在?ABC的BC边上，且BC,BD，AD，则点D在__________的垂直平分线上( 【例6】如图，牧童在A处放牛，其家在B处，若牧童从A处出发牵牛到河岸CD处饮水后回 家，试问在何处饮水，所求路程最短, 02(如图，?ABC中，?ABC,90?，?C,15?，DE?AC于E，且AE,EC，若AB,3cm，则DC解法指导】?所求问题可转化为CD上取一点M，使其AM，BM【 ,___________cm( 为最小;?本题利用轴对称知识进行解答( 03(如图，?ABC中，?BAC,126?，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则?EAG,___________( 解:先作点A关于直线CD的对称点A’，连接A’B交CD于点M，04.?ABC中，AB,AC，AB边的垂直平分线交AC于F，若AB,12cm，?BCF的周长为20cm，则则点M为所求，下面证明此时的AM，BM最小( ?ABC的周长是___________cm( 证明:在CD上任取与M不重合的点M’， 【例5】(眉山)如图，在3?3的正方形格点图中，有格点?ABC和?DEF，且?ABC和?DEF?AA’关于CD对称，?CD为线段AA’的中垂线， 关于某直线成轴对称，请在下面的备用图中画出所有这样的?DEF( ?AM,A’M，M’,A’M’,在?A’M’B中，有A’B, A’M’，BM’， ?A’M，BM,A’M’，BM’，?AM，BM,AM’，BM’， 即AM，BM最小( 【变式题组】 【解法指导】在正方形格点图中，如果已知条件中没有给对称轴，在找对称轴时，通常找图01((山西)设直线l是一条河，P、Q两地相距8千米，P、Q两地到l地距离分别为2千米、5千案居中的水平直线、居中的竖直直线或者斜线作为对称轴(若以图案居中的水平直线为对称轴，米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站向P、Q两地供水(现在如下四种铺设管道，图所作的?DEF如图???所示;若以图案居中的竖直直线为对称轴，所作的?DEF如图?所示;若中的实线表示辅设的管道，则铺设的管道最短的是( ) 02(若点A、B是锐角?MON内两点，请在OM、ON上确定点C、点D，使四边形ABCD周长最小，04(如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于y轴成轴对称的图形，若点写出你作图的主要步骤并标明你确定的点( A的坐标是(1，3)，则点M和点N的坐标分别是( ) A(M(1，,3)，N(,1，,3) B(M(,1，,3)，N(,1，3) C(M(,1，,3)，N(1，,3) D(M(,1，3)，N(1，,3) 05(点P关于x轴对称的对称点P’的坐标是(,3，5)，则点P关于y轴对称的对称点的坐标是 ( ) A((3，,5) B((,5，3) C((3，5) D((5，3) 06(已知M(1,a，2a，2)关于y轴对称的点在第二象限，则a的取值范围是( ) 演练巩固?反馈提高 A(,1,a,1 B(,1?a?1 C(a,1 D(a,,1 01((黄冈)如图，?ABC与?A’B’C’关于直线l对称，且?A,78?，?C’,48?，则?B的07((杭州)如图，镜子中号码的实际号码是___________( 2度数是( 08((贵阳)如图，正方形ABCD的边长为4)( cm，则图中阴影部分的面积为___________cm. A(48? B(54? C(74? D(78? 09(已知点A(2a，3b，,2)和B(8，3a，2b)关于x轴对称，则a，b,___________. 10(如图，在?ABC中，OE、OF分别是AB、AC中垂线，且?ABO,20?， ?ABC,45?，求?BAC和?ACB的度数( 11(如图，C、D、E、F是一个长方形台球桌的4个顶点，A、B是桌面上的两个球，怎样击打A球， 才能使A球撞击桌面边缘CF后反弹能够撞击B球,请画出A球经过的路线，并写出作法( 02((泰州)如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点把平角?AOB三 等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪 出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是( ) A(正三角形 B(正方形 C(正五边形 D(正六边形 03(图1是四边形纸片ABCD，其中?B,120?，?D,50?，若将其右下角向内折出?PCR，恰使 CP?AB，RC?AD，如图2所示，则?C,( ) 12(如图，P为?ABC的平分线与AC的垂直平分线的交点，PM?BC于M，PN?BA的延长线于N(求A(80? B(85? C(95? D(110? 证:AN,MC( 122 3112 (4)(3)(1)(2) 经典?考题?赏析 13((荆州)有如图“”的8张纸条，用每4张拼成一个正方形图案，拼成的正方形的每 0一行和每一列中，同色的小正方形仅为2个 ，且使每个正方形图案都是轴对称图形，在网格【例,】 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为40，则这个等腰三角形的底角为中画出你拼成的图((画出的两个图案不能全等) ________________. 【解法指导】 若问题中涉及到三角形的高，则要分别考虑三角形的高是在三角形的外，三 角形内的情况( 00 解:如图1，当一腰上的高在三角形内时，?ACD,40，??A,50 ??B,?ACB, 00 如图2，当一腰上的高在三角形外时，?ACD,40，?DAC,50 ??DAC,?B，?ACB,2?B 000 ??B,?ACB,25，故填65或25. A D A D 第4讲 等腰三角形 BCBC图2图1 考点?方法?破译 【变式题组】 1(等腰三角形及其性质 01((呼和浩特)在等腰?ABC中，AB,AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形，因此它的性质有:?等两个部分，则这个等腰三角形的底边长为( ) 腰三角形的两个底角相等(即等边对等角);?等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上A.7 B.11 C.7或11 D(7或10 0的高互相重合(即等腰三角形三线合一) 02.(黄冈)在?ABC中，AB,AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50，则?B2(等腰三角形的判定 ,___________度( 证明一个三角形是等腰三角形的基本方法是:?从定义入手，证明一个三角形有两条边相等;03.(襄樊)在?ABC中，AB,AC,12cm，BC,6cm,D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒 ?从角入手，证明一个三角形有两个角相等，依据是等腰三角形判定定理;等角对等边( 1cm的速度沿B?A?C的方向运动(设运动时间为t，那么当t,_________秒时，过D、P两3(构造等腰三角形的常用方法 点的直线将?ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍( ?角平分线，平行线,等腰三角形 ?角平分线，垂线(或高),等腰三角形 ?线段中垂线构造等腰三角形 ?将2倍角转化为相等角构造等腰三角形 【例,】 如图，在?ABC中，AB,AC，点D在AC上，AD,BD,BC，求?A的度数( 【解法指导】 图中的等腰三角形多，可利用等腰三角形的性质，用 方程的思想求角的度数( A D BC 解:设?A,x, ?BD,AD，??A,?ABD,x， ??BDC,?A，?ABD,2x， ?BD,BC，??C,?BDC,2x， ?AB,AC，?? C,?ABC,2x， ?在?ABC中, ?A，?ABC，?ACB,180? ?x，2x，2x,180?， x,36?，??A,36?( 【变式题组】 01(如图，在?ABC中，AB,AC，BD,BC,AD,DE,EB，求?A的度数( 【变式题组】 01((海南竞赛试题)在平面直角坐标系xOy内，已知A(3，,3)，点P是y轴上一点，则使?AOP 为等腰三角形的点P共有( ) A(2个 B(3个 C(4个 D(5个 02(如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(1，0),点B的坐标是(0，)，点C在坐标平面内(若 _________以A、B、C为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30度，则满足条件的点C有 个( 02(如图，在?ABC中，AB,AC，BC,BD, ED,EA，求?A的大小( E A D P 已知坐标原点O和点A(2，,2)，B是坐标轴上的一点(若?AOB是等腰三角形，【例,】 B C 则这样的点B一共有( )个 第3题图 第4题图 第2题图 A(4 B(5 C(6 D(8 003.(南昌)如图，已知长方形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上一点，?BEG,60，【解法指导】 ?AOB是等腰三角形，但不能确定哪条边是等腰三角形的底，因而要分三种 情况进行说明?AO,OB,?OA,AB,?BA,BO,又?B是坐标轴上的点(要考虑x轴与y轴两种情况( 现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片中的点H处，连接AH，则与?BEG相等的角的个 解:?如图1，当OA是底边时，B在OA的中垂线上，又B在坐标轴上，因而B是OA中垂线数为( ) A(4 B(3 C(2 D(1 与坐标轴的交点; 04((济南)如图所示，矩形ABCD中，AB,4，BC,，点E是折线段A,D,C上的一个动点(点E?如图2，当OA为腰时，若O为顶点，则B在以O为圆心，OA为半径的圆上，又B在坐标 与点A不重合)，点P是点A关于BE的对称点(在点E运动的过程中，使?PCB为等腰三角轴上，因而B是圆与坐标轴的交点; ?如图3，当OA为腰时，若A为顶点，则B在以A为圆心，OA为半径的圆上，又B在坐标形的点E的位置共有( ) 轴上，因而B是A(2个 B(3个 C(4个 D(5个 B yy【例,】 (枣庄)两个全等的含30?，60?角的三角板ADEM 圆与坐标轴的交yB4D 和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连结点.故选D. B7BD，取BD的中点M，连结ME，MC(试判断?EMC的形状，并O B1x xBBOx53OE A C B2A(例4题图) AAB8B6 图1图2图3 0说明理由( ，AC,BC,CO为中线(现将一直角03(如图，?ABC中，?ACB,90 0【解法指导】 判断?MEC为等腰直角三角形，M为直角顶点，即想证?EMC,90，而?ABD三角板顶点放在点O上并绕点O旋转，若三角板的两直角边分别0为等腰三角形，M是BD的中点，若连接AM则有?AMD,90,因而只需证?DME,?AMC,利用全交AC、CB的延长线于点G、H( 等三角形即可( ?试写出图中除AC,BC,OA,OB,OC外其他所有相等的线段; ?请选一组你写出的相等线段给予证明( ?EMC解:的形状是等腰直角三角形，理由如下: 连接，由题意得: AM DEACDAEBAC,，,:，??90 ( ？,:?DAB90 ( 又？DMMB,， 【例,】 我们知道:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形(类似地，我们定义:至少有 一组对边相等的四边形叫做等对边四边形( 1 ( ？,,,,:MADBDMMADMAB，??45?请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称; 2 ？,,:,:???MDEMACDMA10590， ( O?ABCDE，ABAC，CDBE，，,A60??如图，在中，点分别在上，设相交于点，若， 1？???EDMCAM ( (请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边，,，,，DCBEBCA，A？,,??DMEAMCEMMC，( 2 四边形; ??DMEEMA，,:90 又， 60?？，,:??EMAAMC90?ABCDE，ABAC， ( ?在中，如果是不等于的锐角，点分别在上，且，A 1？,CMEM( ，,，,，DCBEBCA(探究:满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结?ECM 所以的形状是等腰直角三角形( 2 A【变式题组】 论( 01(如图，在等腰直角三角形ABC中，P是斜边BC的中点,以P为直角顶点的两边分别与边AB、 AC交于点E、F，当?EPF绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)，?PEF也始终是等腰三角形， E D请你说明理由( O C B 【解法指导】 证明两条线段相等时，若两条线段在同一三角形中，可证明它们所对的角相 等(若两条线段在不同的三角形中，则证它们所在的两个三角形全等，若三角形不全等，即可通002(如图，在等腰三角形ABC中，?ACB,90，D是BC的中点，DE?AB垂足为E，过点B作BF?AC过构造全等三角形或等腰三角形解决问题( 交DE的延长线于点F，连接CF交AD于G( 解:?如:平行四边形、等腰梯形等 ?求证:AD?CF; ?答:与?A相等的角是?BOD(或?COE)，四边形DBCE是等对边四边形; ?连接AF，试判断?ACF的形状，并说明理由( ?答:此时存在等对边四边形，是四边形DBCE( A 证法一:如图1，作CG?BE于G点，作BF?CD交CD延长线于F点( ??DCB,?EBC,?A，BC为公共边， E F??BCF??CBG， G D?BF,CG， O D ??BDF,?ABE，?EBC，?DCB，?BEC,?ABE，?A， B??BDF,?BEC， C 图1 可证?BDF??CEG， 01((重庆)已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为( ) 00000?BD,CE B(120 C(20或120 D(360 A(20 ?四边形DBCE是等边四边形( 证法二:如图2，以C为顶点作?FCB,?DBC，CF交BE于F点( 02((云南)已知等腰三角形的两边分别为6和3，则此等腰三角形周长为A ??DCB,?EBC,?A，BC为公共边， ( ) ??BDC??CFB， A(9 B(15 C(15 D(12或15 ED?BD,CF，?BDC,?CFB， 03.(云南)如图，等腰ABC的周长为21，底边BC,5，AB的垂直平分线DE F ??ADC,交AB于点D，交AC于点E，则BEC的周长为( ) ?CFE， O ??ADC,?DCB，?EBC，?ABE，?FEC,?A，?ABE， A(13 B(14 C(15 D(16 D BC ??ADC,?FEC， 图2 ??FEC,?CFE， ?CF,CE，?BD,CE， ?四边形DBCE是等边四边形( 【变式题组】 004(01(如图，在ABC中，?B,2?C，AD为?BAC的平分线(求证:AC,AB，BD. 如图，C、E和B、D、F分别在?GAH的两边上，且AB,BC,CD,DE,EF，若?A,18，则 ?GEF的度数是( ) 0000 A(80 B(90 C(100 D(108 0002((天津初赛试题)如图，在四边形ABCD中，?ACB,?BAD,105，?ABC,?ADC,45，若AB05(如图，RtABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF?AB于F，则下列结论中,2，求CD的长( 不正确的是( ) A(?ACD,?B B.CH,CE,EF C.CH,HD D.AC,AF 06(如图，ABC中，?ABC与?ACB的平分线交于点F，过点F作DE?BC交AB于点D,交AC于点 E,那么下列结论:?BDF和CEF都是等腰三角形;?DE,BD，CE;?ADE的周长等于AB与AC 的和;?BF,CF.其中正确的有( ) A(??? B(???? C(?? D(? 03(如图，在ABC中，AB,AC，D在AB上，F在AC延长线上，BD,CF(求证DE,EF. 007.(武汉)如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA,OB,OC, ?ABC,?ADC,70,则?DAO， ?DCO的大小是( ) 0000A(70 B(110 C(140 D(150 【变式题组】 08((滨州)已知等腰ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是____________. 009(如图所示，在ABC中，已知AB,AC，?A,36，BC,2，BD是ABC的角平分线，则AD,?ABCABAC,,10BC,8中，厘米，厘米，点为的中点( 13.(包头)如图，已知DAB ?如果点P在线段BC上以3厘米___________. /秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C 点向A点运动( ?BPD?若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请?CQP 说明理由; ?BPD?若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使 与全等, ?CQP 010((威海)如图，AB,AC，BD,BC,若?A,40，则?ABD的度数是_________. ?若点Q以?中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针11((乌鲁木齐) 在一次数学课上，王老师在黑板上画出图6，并写下了四个等式: ?ABC?ABC沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇, ABDC,BECE,，,，BC，,，BAECDE?，?，?，?( A ?AED要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出是等腰三角形(请你试着完成 王老师提出的要求，并说明理由((写出一种即可) 已知: D Q ?AEDA D 求证:是等腰三角形( E B C 证明: P B C ,,?ABCABBC,,130?ABC,9014.(临沂)如图1，已知中，，，把一块含角的直角三角 ACDEFDEDF板的直角顶点放在的中点上(直角三角板的短直角边为，长直角边为)，D DEF 将直角三角板绕点按逆时针方向旋转( D 12((泰安) 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何BCNDEDF?在图1中，交于，交于( ABM DCBCE，，DMDN,图形，在同一条直线上，连结( ?证明; ?ABCDMBNDEF?在这一旋转过程中，直角三角板与的重叠部分为四边形，请说明四?请找出图2中的全等三角形，并给予证明(说明:结论中不得含有未标识的字母); DMBN边形的面积是否发生变化,若发生变化，请说明是如何变化的,若不发生变化， 求出其面积; DCBE,?证明:( BCNDMDN,DEDF?继续旋转至如图2的位置，延长交于，延长交于，是ABMD 否仍然成立,若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由; BCNDMDN,?继续旋转至如图3的位置，延长交于，延长交于，是否FDEDABM A 仍然成立,请写出结论，不用证明( F A AB E C D D图1 图2 M ACN B E D EN CB M F M E C B图2 N F图1 图3 第五讲 等边三角形 经典 考题 赏析 【例1】如图，?DAC和?EBC均是等边三角形，AC、B三点在一条直线上(AE、BD分别与、 CD、CE交于点M、N( (1)求证:?ACE??DCB; (2)求?AFD的度数; (3)判断?CMN的形状 【解法指导】根据等边三角形的性质，利用全等三角形中边角的关系可解决问题( 解:(1)?等边三角形DAC与等边三角形EBC ?AC,DC，CE,CB，?ACD,?BCE,60? ? ?ACE,?DCB E AC,DC,FD ,，ACE,，DCB ?在?ACE和?DCB中，，??ACE??DCB 1, ,CE,CBNM, 2BA (2) ??ACE??DCB, ??1,?2 C 又??1，?DFA,,?2，?ACD ??AFD,?ACD,60? ，2,，1, ,AC,DC在?ACM和?DCN中, (3) , ,，ACM,，DCN,60:, A ??ACM??DCN ?CM,CN 又??DCN ,60???CMN是等边三角形( 【变式题组】 01((天津)如图，P、Q是?ABC的边BC上的两点，且BP,PQCBPQ ,QC,AP,AQ， 则?BAC的大小等于__________ 度 AE 02((荆州)如图，D是等边?ABC的边AB上的一动点，以CD为一边 向上作等边?EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说 D 明理由( BC 03(如图，在正?ABC中，D,E分别是BC、AC上的一点，且AE,CD (AD与BE相交于点P，且 A BQ?AD于Q(求证BP,2PQ EP QBCD 02(如图(D是?ABC外一点(AB,AC,BD，CD，?ABD,60?求?ACDA 的度数( 04((黄冈)如图，过边长为1的等边?ABC的边AB上一点P，作PE?AC于E，Q是BC延长线上一 点，当PA,CQ时，连接PQ交AC于D，求DE的长( A EDP 【例3】如图(1)，?ABC等边三角形，?BDC是顶角120?的等腰DBC 三角形，以D为顶点作60?的角，它的两边分别与AB、AC交于点M ，连接MN( 和NQBC (1)探究:MN、NC之间的关系，并加以证明; 【例2】P是?ABC内一点，?PBC,30?，?PBA,8?，且?PAB,?PAC,22?，求?APC(2)若点M、N分别在射线AB、CA上，其他条件不变，再探究线段BM、MN、NC之间的关系，的度数 在图(2)中画出相应的图形(并就结论说明理由 【解法指导】 由于?PAB ,?PAC,因而PA平分?BAC,根据角平分线的特点可构造全等三角NAAA形，其方法一:在AB边上截取;方法二:延长AC边，又由于?BPA,150?是特殊角，考虑? ABPA的完整性，因而取方法二的可能性更大( N解:延长AC到D，使AD,AB，连接PD、BD,??PBA,8??PAB ,22? ANMMGAB,AD,CB,CCBBCB，BAP,，DAP??BPA,150?，在?ABP和?ADP中，??ABP??,PGDM,D(4)AP,AP(2)(3)DD,(1)BCADP ??APB,?APD , 150?，BP,DP ,?PBA,?APD ,8? ??BPD,60?, ??BPD是正三角形 【解法指导】对于(1)，这时在?DMB中，有?DBM,?DBC，?CBA,30?，60?,90? A ??PBC,30? ??PBC,?DBC 为了把BM，MN，NC集中到一个三角形中去，将?DMB 绕D点顺时针旋转120?得到? DGC(如图(3)(从而有MB,GC(而此时恰又有?MND??GND?得MN,NG,NC，CG,NC，BP,BD,P,BM(对于(2)，此时的图形(4)，仍作(1)中的旋转，类似地可以推得MN,CN一BM ，PBC,，DBC在?PBC和?DBC中， , 解(1)关系为MN,BM，NC ,BC,BCBC, 证明:延长AC到G，使CG,BM，连接DG，如图(3) ??PBC??DBC , ?PC,CD ??CPD,?CDP,8? ?ABD,?ABC，?CBD,60?十30?,90?同理也有?ACD,90? ??APC,?APD一?CPD,150?一8?,142? 在?DMB和?DGC中; DB,DC(BM,CG D【变式题组】 ??DMB??DGC ?DM,DG(?MDB,?GDC( 01(如图，D是等边三角形ABC内一点，E为ABC外部一点，满 在?MND和?GND中，ND公用，DM,DG，?MDN,60? A足DA,DB，BE,BA，?DBE,?DBC(求?BED的度数( ?GDN,?GDC，?DCN,?MDB，?CDN,60? E ??MND??GND ? MN,GN,GC十NC,BM，NC DCB (2)此时(图形如图(4)，有关系式MN,CN—BM理由如下: 在CN上截取GG,BM(连接DG，如图(4)与(1)中情况类似(可推得 ?ABD,?ACD,90?(且Rt?DMB??DGC ，得DM,DG(?MDB,?GDC 仍与(1)中情况娄似，可推得?MND??GND(就有MN,GN,NC—CG,NC—BM( 【变式题组】 巩固练习 反馈提高 01(用两个全等的等边三角形?ABC和?ACD拼成四边形ABCD，把一个含60?角的三角尺与这个 四边形叠合，使三角尺的60?角的顶点与点A重合(两边分别与AB、AC重合，将三角尺绕01(如图(?ABC是等边三角形，AD?BC，点E在AC上，且AE,AD，则?DEC,( ) 点A按逆时针方向旋转 A 105? B 85? C 95? D 75? A A(1)当三角尺的两边分别与四边形的两边BC、CD相交于点E，F时，(如图1)，通过观察或测量 BE，CF的长度，你能得出什么结论,并证明你的结论; D E CDBE CB 第1题图 第2题图 02(如图，等边?ABC，D在AC上，延长BC到E(使CE,CD，若BD,DE，给出下列结论:? BD(2)当三角尺的两边分别与四边形的两边BC、CD的延长线相交于点F时(如图2)，你在(1)中得11平分?ABC ? AD , AB ? CE, BC ??A,2?E，其中正确结论的个数是( ) 到的结论还成立吗，简要说明理22 由( A(4个 B 3个 C 2个 D 1个 03((河北)如图，等边?ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC 上的点，将?ABC沿直线DE折 叠，点A落在A’处，且A’在?ABC外部，则阴影部分图形的周长为__________ cm CA D D FO C BBAEP 第3题图 第4题图 第5题图 02(如图(四边形ABCD中，AB,AD，?BAD,60?，?BCD,120? 04(在等边?ABC中，AC,9，点O在AC上，且AO,3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段求证:AC,BC，DC( OP绕点O逆时针旋转60?，得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP,__________( A 05(如图，?ABC是等边三角形，D、E、F分别在AB、BC、AC上，且DE?BC，EF?AC，FD?AB， 试判断?DEF是否为等边三角形，并说明理由( DB C 06(请你用三种不同的分割方法，将图中的三个正三角形分别分割成四个等腰三角形(在图中画出 分割线，并标出必要的角的度数) ( 10((常德)如图1，若?ABC与?ADE为等边三角形，M、N分别是EB、CD的中点，易证:CD,BE， ?AMN是等边三角形( (1)当把?ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD, BE是否仍然成立? 若成立请证明，若不成立请 说明理由; (2) 当?ADE绕A点旋转到图3的位置时，?AMN是否还是等边三角形? 若成立请证明，若不成 立请说明理由( C07(如图，点D是等边?ABC边AB上的一点(AB,3AD，DE?BC于点E，AE、CD相交于点F N(1)求证:?ACD??BAE: A (2)过点C作CG?AE，垂足为点G，探究CF与FG之间的数量关系，并证明( DDFE M C(2)EBB(1)A 08(如图:?ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将线段DB绕点D顺时针旋转60?得到线段 DE，延长ED交AC于点F，连接DC，AE( A求证:?ADE??DFC FED CB 09(如图:?ABC是等边三角形，点D、E分别在CA、AB的延长线上， AD,BE(DB的延长线 第11讲 幂的运算 交EC于F( D 求证:(1)DB,EC;(2) ?BFC,60? 考点?方法?破译 A B CEF 幂的运算性质(其中m、n、p都为正整数): 2n+1n2n+12n222nnn24n，?，，， 解:?2448，,2248，,22232,，,,3232,,, mnmn，1( aaa,, ? 24,2nn,, mnmn2( ()aa,【变式题组】 nnnnm2mn，3( ()abab,01(若，，求的值 216,24,2 mnmn,4( aaa,, 10,p3n2332nn5(aaaa,,,,， 1(0)(0)02(若，求代数式的值 x,5(2)4(),，xxpa 经典?考题?赏析 【例1】下列算式，正确的个数是( ) mn32mn,03(若x,3，x,6，则x,________. 34125510336236?aaa,, ?aaa，, ? ? ()aa,(2)6,,aa A(0个 B(1个 C(2个 D(3个 3m3n233242mnmnmn75a,3b,204(已知，，求的值 ()()ababab，,,,,a2a【解法指导】?同底数幂相乘，底数不变，指数相加，结果应为;?合并同类项，结果为; 9a?幂的乘方，底数不变，指数相乘，即过位;?积的乘方，等于积的每一个因式分别乘方，结 62321mm，，,8a22192,,果为，故选A. 05(已知，求的值 m【变式题组】 212nn，01.计算的结果是( ) ()()cc, 55443322a,,2b,,3c,,5d,,6【例,】(希望杯)，，，，那么a、b、c、d的大小关系 42n，22n，34n，44n，ccccA( B( C( D( 为( ) A(a>b>c>d B(a>b>d>c C(b>a>c>d D(a>d>b>c 10010102(计算,_______________ (2)(2),，, mnmn【解法指导】逆用幂的乘方公式，将a、b、c、d变为指数相同的幂的形式. aa,() nm391503(如果，则m,_________，n,____________ ()abbab,, 111解:?，，， a,,,,,,2(2)32b,,,,,,3(3)81c,,,,,,5(5)1252323nn04(计算,_______________ ()()()xyxy，,,, 2221111，?a>d>b>c.故选D. d,,,,,,6(6)36 2n+1n2448，,【例,】若，求n的值. 【变式题组】 【解法指导】将等式的左右两边变形为同底数幂的形式. 314161a,81b,27c,901(已知，，，则a、b、c的大小关系是( ) A(a>b>c B(a>c>b C(ac>a 34623A( B( xx,,12(6)(2)3,,,,xxx 50403002(已知，，，则a、b、c的大小关系为( ) a,3b,4c,523623aaa,,,C( D( (2)6,,,xxA(a配方

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