成人高考数学公式大全另附高中三角公式大全 (成人高考和高中数学几乎一样).doc

成人高考数学大全另附高中三角公式大全 (成人高考和高中数学几乎一样).doc 成人高考数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 xAxCA,,,xCAxA,,,,. UU 2.德摩根公式 CABCACBCABCACB();(),,. UUUUUU 3.包含关系 ABAABB,,,,,,,ABCBCA UU ,,CABR,,,ACB UU 4.容斥原理 cardABcardAcardBcardAB()(),，, cardABCcardAcardBcardCcardAB()(),，，, ,,,，cardABcardBCcardCAcardABC()()()(). nnn222{,,,}aaa 5(集合的子集个数共有 个;真子集有–1个;非空子集有 –112n n2个;非空的真子集有–2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 2fxaxbxca()(0),，，,(1)一般式; 2fxaxhka()()(0),,，,(2)顶点式; fxaxxxxa()()()(0),,,,(3)零点式. 12 NfxM,,()7.解连不等式常有以下转化形式 ,NfxM,,()[()][()]0fxMfxN,,, MNMN，,fxN(),,, |()|fx,,,022Mfx,() 11,. ,fxNMN(),, f(x),0(k,k)f(k)f(k),08.方程在上有且只有一个实根,与不等价,前者是后12122ax，bx，c,0(a,0)者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程有且只有一个实根在 k，kb12(k,k)f(k)f(k),0f(k),0f(k),0内,等价于,或且,或且k,,,121212122a k，kb12,,,k. 222a 9.闭区间上的二次函数的最值 b2,,f(x),ax，bx，c(a,0)p,qx,, 二次函数在闭区间上的最值只能在处及区2a 间的两端点处取得，具体如下: bb(1)当a>0时，若，则; x,,,,,p,qfxffxfpfq()(),,,,()(),(),,nmamixmax2a2a bfxfpfq()(),(),fxfpfq()(),(),，，. x,,,,,p,q,,,,maxmaxminmin2a bfxfpfq()min(),(),(2)当a<0时，若，则，若x,,,,,p,q,,min2a bfxfpfq()max(),(),fxfpfq()min(),(),，则，. x,,,,,p,q,,,,maxmin2a .一元二次方程的实根分布 10 fmfn()()0,f(x),0(,)mn依据:若，则方程在区间内至少有一个实根 . f(x),x，px，q 设，则 2 2,pq,,40,f(x),0(m,，,)f(m),0(1)方程在区间内有根的充要条件为或; ,p,,m,,2 fm()0,, ,fn()0,,,2f(x),0(,)mnfmfn()()0,(2)方程在区间内有根的充要条件为或,pq,,40 ,p,mn,,,,,2fm()0,fn()0,,,或或; ,,afn()0,afm()0,,, 2,pq,,40,f(x),0(,),,nfm()0,(3)方程在区间内有根的充要条件为或 . ,p,,m,,211.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 L(,,,，,),,，,,，,,,,,,,,,，,(1)在给定区间的子区间(形如，，不同)上含参数 tfxt(,)0,fxtxL(,)0(),,的二次不等式(为参数)恒成立的充要条件是. min (,,,，,)fxt(,)0,t(2)在给定区间的子区间上含参数的二次不等式(为参数)恒成立 fxtxL(,)0(),,的充要条件是. man a,0,a,0,,42f(x),ax，bx，c,0(3)恒成立的充要条件是或. b,0,,2bac,,40,,c,0, 12.真值 , ？ 非, ,或？ ,且？ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 13.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有个 n,1n至多有()个 小于 不小于 至多有个 n，1n至少有()个 对所有， 存在某， xx pq，p，q成立 不成立 或 且 对任何， 存在某， xx pq，p，q不成立 成立 且 或 14.四种命的相互关系 原命题 互逆 逆命题 若,则？ 若？则, 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非,则非？ 互逆 若非？则非, 15.充要条件 pq,pq (1)充分条件:若，则是充分条件. qp,pq(2)必要条件:若，则是必要条件. pq,qp,pq(3)充要条件:若，且，则是充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件～则乙是甲的必要条件,反之亦然. 16.函数的单调性 ,,x,x,a,b,x,x(1)设那么 1212 f(x),f(x)12,()()()0xxfxfx,,,上是增函数; ,,,0,f(x)在a,b,,1212x,x12 f(x),f(x)12()()()0xxfxfx,,,,上是减函数. ,,,0,f(x)在a,b,,1212x,x12 ,y,f(x)f(x),0f(x)(2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数;如果,f(x),0f(x)，则为减函数. f(x)g(x)f(x)，g(x)17.如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减 y,f(u)u,g(x)函数; 如果函数和在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y,f[g(x)]是增函数. 18(奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数( y,f(x)f(x，a),f(,x,a)y,f(x，a)19.若函数是偶函数，则;若函数是偶函 f(x，a),f(,x，a)数，则. y,f(x)f(x，a),f(b,x)f(x)x,R20.对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是 a，ba，by,f(x，a)y,f(b,x)x,x,函数;两个函数与 的图象关于直线对称. 22 af(x),,f(,x，a)y,f(x)21.若,则函数的图象关于点对称; 若(,0)2f(x),,f(x，a)y,f(x)2a,则函数为周期为的周期函数. nn,1Pxaxaxa(),，，，22(多项式函数的奇偶性 nn,10 Px(),Px()多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零. ,Px()Px()多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零. yfx,()23.函数的图象的对称性 yfx,(),，,,faxfax()()(1)函数的图象关于直线对称 xa, ,,,faxfx(2)(). ab，yfx,(),，,,famxfbmx()()(2)函数的图象关于直线x,对称 2 ,，,,fabmxfmx()(). 24.两个函数图象的对称性 yfx,()yfx,,()yx,0(1)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称. ab，yfmxa,,()yfbmx,,()(2)函数与函数的图象关于直线x,对称. 2m,1y,f(x)y,f(x)(3)函数和的图象关于直线y=x对称. y,f(x)y,f(x,a)，bb25.若将函数的图象右移、上移个单位，得到函数的图a f(x,y),0f(x,a,y,b),0b象;若将曲线的图象右移、上移个单位，得到曲线的图a 象. 26(互为反函数的两个函数的关系 ,1f(a),b,f(b),a. 1,1y,f(kx，b)27.若函数存在反函数,则其反函数为,并不是y,[f(x),b]k 1,1,1y,[f(kx，b)y,[f(kx，b),而函数是的反函数. y,[f(x),b]k 28.几个常见的函数方程 fxcx(),fxyfxfyfc()()(),(1)，,，, (1)正比例函数,. xfxyfxfyfa()()(),(1)0，,,,fxa(),(2)指数函数,. fxyfxfyfaaa()()(),()1(0,1),，,,,fxx()log,(3)对数函数,. a ,'fxx(),fxyfxfyf()()(),(1),,,(4)幂函数,. fxx()cos,gxx()sin,fxyfxfygxgy()()()()(),,，(5)余弦函数,正弦函数，， gx(). ,,f(0)1,lim1x,0x 29.几个函数方程的周期(约定a>0) f(x),f(x，a)f(x)(1)，则的周期T=a; f(x),f(x，a),0(2)， 1或， f(x，a),(f(x),0)f(x) 1(()0)fx,或fxa()，,,, fx() 12f(x)或,则的周期T=2a; ，,,，,fxfxfxafx()()(),(()0,1),,2 1f(x)(3)，则的周期T=3a; f(x),1,(f(x),0)f(x，a) f(x)，f(x)12fafxfxxxa()1(()()1,0||2),,,,,,f(x，x),(4)且，则1212121,f(x)f(x)12 f(x)的周期T=4a; fxfxafxafxafxa()()(2)(3)(4)，，，，，，，(5) f(x),，，，，fxfxafxafxafxa()()(2)(3)(4),则的周期T=5a; f(x，a),f(x),f(x，a)f(x)(6)，则的周期T=6a. 30.分数指数幂 m1,namnN,,0,,n,1(1)(，且). a,nma m,1,na,amnN,,0,,n,1(2)(，且). mna 31(根式的性质 nn()aa,(1). nn(2)当为奇数时，aa,; n aa,0,,nn当为偶数时，. naa,,||,,,aa,0,32(有理指数幂的运算性质 rsrs，aaaarsQ,,,,(0,,)(1) . rsrs()(0,,)aaarsQ,,,(2) . rrr()(0,0,)abababrQ,,,,(3). p注: 若a,0～p是一个无理数～则a表示一个确定的实数(上述有理指数幂的运算性 质～对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式 b (0,1,0)aaN,,,logNbaN,,, .a 34.对数的换底公式 logNm (,且,,且,). a,0a,1m,0m,1N,0logN, alogam nn推论 (,且,,且,,). logloga,0a,1mn,0,m,1n,1N,0bb, maam 35(对数的四则运算法则 若a,0，a?1，M,0，N,0，则 log()loglogMNMN,，(1); aaa M(2) ; logloglog,,MNaaaNnloglog()MnMnR,,(3). aa 22f(x),,b,4acf(x),log(ax，bx，c)(a,0)36.设函数,记.若的定义域为m RRa,0,,0f(x)a,0,,0a,0,则，且;若的值域为,则，且.对于的情形,需要 单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广 1ybx,log() 若,,,,则函数 a,0b,0x,0x,axa 11ybx,log() (1)当时,在和上为增函数. ab,(0,)(,)，,axaa 11ybx,log() (2)当时,在和上为减函数. ab,，(0,)(,)，,axaa推论:设，，，且，则 nm,,1p,0a,0a,1 log()lognpn，,(1). mpm， mn，2(2). logloglogmn,aaa2 平均增长率的问题 38. py如果原来产值的基础数为N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有x xyNp,，(1). 39.数列的同项公式与前n项的和的关系 sn,1,,1saaa,，，，{}a( 数列的前n项的和为). a,,nn12nnssn,,,2,nn1, 40.等差数列的通项公式 *aanddnadnN,，,,，,,(1)(); n11 其前n项和公式为 naa()，nn(1),1n s,,，nad1n22d12. ,，,nadn()122 41.等比数列的通项公式 ann,1*1; ,,,,()aaqqnNn1q 其前n项的和公式为 n,aq(1),1,1q,, s,1,q,n ,naq,1,1, aaq,,1n,1q,,1,q或. s,,n ,,1naq,1, ,,aaqadabq,，,,,(0)42.等比差数列:的通项公式为 nnn，11 bndq，,,(1),1, ,nn,1; a,bqdbqd，,,(),n,1q,,q,1, 其前n项和公式为 nbnndq，,,(1),(1), ,n. s,dqd1,,n(),(1)bnq,，,,111,,,qqq, 43.分期付款(按揭贷款) nabb(1)，b每次还款元(贷款元,次还清,每期利率为). x,ann(1)1，,b 44(常见三角不等式 ,sintanxxx,,(1)若，则. x,(0,)2 ,(2) 若，则1sincos2,，,xx. x,(0,)2 |sin||cos|1xx，,(3) . 45.同角三角函数的基本关系式 ,sin22tan,tan1,,,,cotsincos1,,，,，=，. cos, 46.正弦、余弦的诱导公式 n,2(1)sin,,,n(n为偶数) ,, sin()，,,,,1n 2,2(1)s,co,,,(n为奇数) (n为偶数) n,2 (1)s,co,,n,, cos(),，,,，(n为奇数) 1n2,2(1)sin,,,, 47.和角与差角公式 sin()sincoscossin,,,,,,,,, ; cos()coscossinsin,,,,,,,,; tantan,,,. tan(),,,,1tantan,, 22sin()sin()sinsin，,,,,,,,,,(平方正弦公式); 22cos()cos()cossin，,,,,,,,,,. 22absincos,,，,(,)abab，，sin(),,=(辅助角所在象限由点的象限决 b定, ). tan,,a 48.二倍角公式 sin2sincos,,,,. 2222cos2cossin2cos112sin,,,,,,,,,,,. 2tan,. ,tan2,2,1tan, 49. 三倍角公式 ,,3. sin33sin4sin4sinsin()sin(),,,,，,,,,,,33 ,,3.cos34cos3cos4coscos()cos(),,,,，,,,,,,33 33tantan,,,,,. tan3tantan()tan(),,,，,,,,213tan33,, 50.三角函数的周期公式 yx,，sin(),,yx,，cos(),,,函数，x?R及函数，x?R(A,ω,为常数，且A?0， 2,,yx,，tan(),,,ω,0)的周期;函数，(A,ω,为常数，且A,xkkZ,，,,T,2, ,?0，ω,0)的周期. T, , 51.正弦定理 abc. ,,,2RsinsinsinABC 52.余弦定理 222abcbcA,，,2cos; 222bcacaB,，,2cos; 222cababC,，,2cos. 53.面积定理 111hhh、、(1)(分别表示a、b、c边上的高). Sahbhch,,,abcabc222 111(2). SabCbcAcaB,,,sinsinsin222 122. (3)SOAOBOAOB,,,,(||||)(),OAB2 54.三角形内角和定理 ABCCAB，，,,,,，,,()在?ABC中，有 CAB,，,,,，222()CAB,. ,,,222 55. 简单的三角方程的通解 ksin(1)arcsin(,||1)xaxkakZa,,,，,,,, . coxaxkakZas2arccos(,||1),,,,,,, . tanarctan(,)xaxkakZaR,,,，,,,. 特别地,有 ksinsin(1)(),,,，,,kkZ,,,,,. cokkZscos2(),,,,,,,,,, . tantan(),,,,,,,,，,kkZ. 56.最简单的三角不等式及其解集 sin(||1)(2arcsin,2arcsin),xaaxkakakZ,,,,，，,,,,, . sin(||1)(2arcsin,2arcsin),xaaxkakakZ,,,,,,，,,,,. cos(||1)(2arccos,2arccos),xaaxkakakZ,,,,,，,,, . cos(||1)(2arccos,22arccos),xaaxkakakZ,,,,，，,,,,, . , . tan()(arctan,),xaaRxkakkZ,,,,，，,,,2 ,. tan()(,arctan),xaaRxkkakZ,,,,,，,,,2 57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么 (1) 结合律:λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律:λ(a+b)=λa+λb. 58.向量的数量积的运算律: (1) a?b= b?a (交换律); ,,,,(2)(a)?b= (a?b)=a?b= a?(b); (3)(a+b)?c= a ?c +b?c. 59.平面向量基本定理 如果e、e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且12 只有一对实数λ、λ，使得a=λe+λe( 121122不共线的向量e、e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底( 12 60(向量平行的坐标表示 (,)xy,,,xyxy0(,)xy 设a=,b=，且b0，则ab(b0). ,,11122122 53. a与b的数量积(或内积) ?b=|||b|cosθ( aa 61. a?b的几何意义 数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积( 62.平面向量的坐标运算 (,)xy(,)xy(,)xxyy，，(1)设a=,b=，则a+b=. 11221212 (,)xy(,)xy(,)xxyy,,(2)设a=,b=，则a-b=. 11221212 (,)xy(,)xyABOBOAxxyy,,,,,(,) (3)设A，B,则. 11222121 (,),xyR,,(,),,xy,(4)设a=，则a=. (,)xy()xxyy，(,)xy(5)设a=,b=，则a?b=. 11121222 .两向量的夹角公式 63 xxyy，1212(,)xy(,)xy(=,b=). acos,,11222222xyxy，,，1122 64.平面两点间的距离公式 d||ABABAB,, = AB, 22(,)xy(,)xy,,，,()()xxyy(A，B). 11222121 65.向量的平行与垂直 (,)xy(,)xy设a=,b=，且b0，则 ,1122 ,,,,xyxy0A||bb=λa . 1221 ,,,，,xxyy0ab(a0)a?b=0. ,1212 66.线段的定比分公式 Pxy(,)PPPxy(,)Pxy(,),PPPP,,设，，是线段的分点,是实数，且，则 1211122212 ，,xx,12,x,OPOP，,,，1,12,OP ,,，yy1，,,12,,y,，1,, 1,OPtOPtOP,，,(1)(). ,t12,，1 67.三角形的重心坐标公式 B(x,y)C(x,y)A(x,y)?ABC三个顶点的坐标分别为、、,则?ABC的重心的坐223311 xxxyyy，，，，123123标是. G(,)33 68.点的平移公式 '',,xxhxxh,，,,,,'',,,，OPOPPP . ,,''yykyyk,，,,,,,, '''''FPPPxy(,)注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形上的对应点为，且的 (,)hk坐标为. 69.“按向量平移”的几个结论 'Pxy(,)(,)hkPxhyk(,)，，(1)点按向量a=平移后得到点. ''yfx,()(,)hkCCC(2) 函数的图象按向量a=平移后得到图象,则的函数解析式 yfxhk,,，()为. ''(,)hkCCyfx,()CC(3) 图象按向量a=平移后得到图象,若的解析式,则的函数 yfxhk,，,()解析式为. ''fxy(,)0,(,)hkCCC(4)曲线:按向量a=平移后得到图象,则的方程为 fxhyk(,)0,,,. (,)xy(,)hk(,)xy(5) 向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然为m=. 三角形五“心”向量形式的充要条件 70. ABC,,abc,,O,ABC设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则 222O,ABC,,,OAOBOC(1)为的外心. O,ABC,，，,OAOBOC0(2)为的重心. O,ABC,,,,,,OAOBOBOCOCOA(3)为的垂心. O,ABC,，，,aOAbOBcOC0(4)为的内心. ，AO,ABC,,，aOAbOBcOC(5)为的的旁心. 71.常用不等式: 22abR,,abab，,2(1)(当且仅当a,b时取“=”号)( , ab，，abR,,,ab(2)(当且仅当a,b时取“=”号)( ,2333abcabcabc，，,,,,3(0,0,0).(3) (4)柯西不等式 22222()()(),,,,.abcdacbdabcdR，，,，, a,b,a，b,a，b(5). 72.极值定理 x,y已知都是正数，则有 xypx,yx，y2p(1)若积是定值，则当时和有最小值; 12x,yxyx，ys(2)若和是定值，则当时积有最大值. s4 22x,y,R(x，y),(x,y)，2xy推广 已知，则有 xy|x,y||x，y|(1)若积是定值,则当最大时,最大; |x,y||x，y|当最小时,最小. |x，y||x,y||xy|(2)若和是定值,则当最大时, 最小; |x,y||xy|当最小时, 最大. 22axbxc，，,,0(0)或(0,40)abac,,,,,73.一元二次不等式，如果与a 22axbxc，，axbxc，，同号，则其解集在两根之外;如果与异号，则其解集在两根之a 间.简言之:同号两根之外，异号两根之间. xxxxxxxxx,,,,,,,()()0(); 121212 xxxxxxxxxx,,,,,,,,()()0()或. 121212 74.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有 22xaxaaxa,,,,,,,. 22xaxaxa,,,,,或. xa,,75.无理不等式 fx()0,, ,(1) . fxgx()(),,gx()0,, ,fxgx()(),, fx()0,,fx()0,,,(2). fxgx()(),,或gx()0,,,gx()0,,2,fxgx()[()],, fx()0,, ,(3). fxgx()(),,gx()0,, 2,fxgx()[()],, 76.指数不等式与对数不等式 a,1(1)当时, fxgx()()aafxgx,,,()(); fx()0,, ,. log()log()()0fxgxgx,,,,aa ,fxgx()(),, 01,,a(2)当时, fxgx()()aafxgx,,,()(); fx()0,, , log()log()()0fxgxgx,,,,aa ,fxgx()(),,77.斜率公式 yy,21Pxy(,)Pxy(,)(、). k,111222xx,21 78.直线的五种方程 yykxx,,,()lPxy(,)k(1)点斜式 (直线过点，且斜率为)( 11111 ykxb,，l(2)斜截式 (b为直线在y轴上的截距). yyxx,,11yy,Pxy(,)Pxy(,)xx,(3)两点式 ()(、 ()). ,1211122212yyxx,,2121 xyab、ab、,0(4)截距式 (分别为直线的横、纵截距，) ，,1ab AxByC，，,0(5)一般式 (其中A、B不同时为0). 79.两条直线的平行和垂直 lykxb:,，lykxb:,，(1)若， 111222 ?llkkbb||,,,,; 121212 ?. llkk,,,,11212 lAxByC:0，，,lAxByC:0，，,(2)若,,且A、A、B、B都不为零, 121211112222 ABC111?; ll||,,,12ABC222 ?; llAABB,,，,0121212 80.夹角公式 kk,21(1). tan||,,1kk，21 lykxb:,，lykxb:,，(，,) kk,,111122212 ABAB,1221(2). tan||,,AABB，1212 lAxByC:0，，,lAxByC:0，，,(,,). AABB，,0111122221212 ,ll,直线时，直线l与l的夹角是. 12122 ll81. 到的角公式 12 kk,21(1). tan,,1kk，21 lykxb:,，lykxb:,，(，,) kk,,111122212 ABAB,1221(2). tan,,AABB，1212 lAxByC:0，，,lAxByC:0，，,(,,). AABB，,0111122221212 ,ll,直线时，直线l到l的角是. 12122 82(四种常用直线系方程 Pxy(,)yykxx,,,() (1)定点直线系方程:经过定点的直线系方程为(除直线00000 xx,kPxy(,)),其中是待定的系数; 经过定点的直线系方程为0000 AxxByy()()0,，,,AB,,其中是待定的系数( 00 lAxByC:0，，,lAxByC:0，，,(2)共点直线系方程:经过两直线,的交点11112222 ()()0AxByCAxByC，，，，，,,l的直线系方程为(除)，其中λ是待定的系数( 1112222 ykxb,，(3)平行直线系方程:直线中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线 AxByC，，,0AxBy，，,,0,,0系方程(与直线平行的直线系方程是()，λ是 参变量( AxByC，，,0(4)垂直直线系方程:与直线 (A?0，B?0)垂直的直线系方程是 BxAy,，,,0,λ是参变量( 83.点到直线的距离 ||AxByC，，00AxByC，，,0Pxy(,)l(点,直线:). d,0022AB， AxByC，，,0,084. 或所表示的平面区域 lAxByC:0，，,AxByC，，,0,0设直线，则或所表示的平面区域是: BBAxByC，，AxByC，，B,0l若，当与同号时，表示直线的上方的区域;当与 l异号时，表示直线的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. AAAxByC，，AxByC，，B,0l若，当与同号时，表示直线的右方的区域;当与 l异号时，表示直线的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. ()()0AxByCAxByC，，，，,,085. 或所表示的平面区域 111222 CAxByCAxByC:()()0，，，，,AABB,0设曲线()，则 1112221212()()0AxByCAxByC，，，，,,0或所表示的平面区域是: 111222 ()()0AxByCAxByC，，，，,所表示的平面区域上下两部分; 111222 ()()0AxByCAxByC，，，，,所表示的平面区域上下两部分. 111222 86. 圆的四种方程 222()()xaybr,，,,(1)圆的方程 . 2222DEF，,4xyDxEyF，，，，,0(2)圆的一般方程 (,0). xar,，cos,,(3)圆的参数方程 . ,ybr,，sin,, ()()()()0xxxxyyyy,,，,,,(4)圆的直径式方程 (圆的直径的端点是1212 Axy(,)Bxy(,)、). 1122 87. 圆系方程 Axy(,)Bxy(,)(1)过点,的圆系方程是 1122 ()()()()[()()()()]0xxxxyyyyxxyyyyxx,,，,,，,,,,,,, 1212112112 ,,,，,,，，，,()()()()()0xxxxyyyyaxbycaxbyc，，,0,,其中是直线1212 AB的方程,λ是待定的系数( 22AxByC，，,0ClxyDxEyF，，，，,0(2)过直线:与圆:的交点的圆系方程 22xyDxEyFAxByC，，，，，，，,()0,是,λ是待定的系数( 2222CCxyDxEyF，，，，,0(3) 过圆:xyDxEyF，，，，,0与圆:的交21222111 2222xyDxEyFxyDxEyF，，，，，，，，，,,()0点的圆系方程是,λ是待定的111222 系数( 88.点与圆的位置关系 222(x,a)，(y,b),rPxy(,)点与圆的位置关系有三种 00 22daxby,,，,()()若，则 00 PPPdr,,dr,,dr,,点在圆外;点在圆上;点在圆内. 89.直线与圆的位置关系 222Ax，By，C,0(x,a)，(y,b),r直线与圆的位置关系有三种: d,r,相离,,,0; d,r,相切,,,0; d,r,相交,,,0. Aa，Bb，Cd,其中. 22A，B 90.两圆位置关系的判定方法 OO,d设两圆圆心分别为O，O，半径分别为r，r， 121212d,r，r,外离,4条公切线; 12 d,r，r,外切,3条公切线; 12 r,r,d,r，r,相交,2条公切线; 1212 d,r,r,内切,1条公切线; 12 0,d,r,r,内含,无公切线. 12 91.圆的切线方程 22xyDxEyF，，，，,0(1)已知圆( (,)xy?若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是 00 DxxEyy()()，，00 . xxyyF，，，，,00022 DxxEyy()()，，00(,)xy当圆外时, 表示过两个切点xxyyF，，，，,0000022 的切点弦方程( yykxx,,,()?过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必00 有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线( ykxb,，?斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线( 222xyr，,(2)已知圆( 2Pxy(,)xxyyr，,?过圆上的点的切线方程为; 00000 2kykxrk,,，1?斜率为的圆的切线方程为. 22xa,cos,xy,92.椭圆的参数方程是. ，,,,1(0)ab,22abyb,sin,, 22xy93.椭圆焦半径公式 ，,,,1(0)ab22ab 22aaPF,ex，，. ()PF,e(,x)12cc 94(椭圆的的内外部 2222xyxy00Pxy(,)(1)点在椭圆的内部. ，,,,1(0)ab,，,1002222abab 2222xyxy00Pxy(,)(2)点在椭圆的外部. ，,,,1(0)ab,，,1002222abab95. 椭圆的切线方程 22xxyyxy00Pxy(,)(1)椭圆上一点处的切线方程是. ，,,,1(0)ab，,1002222abab 22xyPxy(,) (2)过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是 ，,,,1(0)ab0022ab xxyy00. ，,122ab 22xyAxByC，，,0 (3)椭圆与直线相切的条件是，,,,1(0)ab22ab22222AaBbc，,. 22xy96.双曲线的焦半径公式 ,,,,1(0,0)ab22ab 22aa，. PFex,，|()|PFex,,|()|21cc 97.双曲线的内外部 2222xyxy00Pxy(,)(1)点在双曲线的内部. ,,,,1(0,0)ab,,,1002222abab 2222xyxy00Pxy(,)(2)点在双曲线的外部. ,,,,1(0,0)ab,,,1002222abab98.双曲线的方程与渐近线方程的关系 2222xyxyb(1)若双曲线方程为渐近线方程:. ,,1,,,0,y,,x2222ababa22xyxyb, (2)若渐近线方程为双曲线可设为. ,,0,,,,y,,x22ababa2222xyxy,,0 (3)若双曲线与有公共渐近线，可设为(，焦点在x,,1,,,2222abab ,,0轴上，，焦点在y轴上). 99. 双曲线的切线方程 22xxyyxy00Pxy(,) (1)双曲线上一点处的切线方程是. ,,,,1(0,0)ab,,1002222abab 22xyPxy(,) (2)过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是 ,,,,1(0,0)ab0022ab xxyy00. ,,122ab 22xyAxByC，，,0 (3)双曲线与直线相切的条件是,,,,1(0,0)ab22ab22222AaBbc,,. 2y,2px100. 抛物线的焦半径公式 p2ypxp,,2(0)CFx,，抛物线焦半径. 02 pp过焦点弦长. CD,x，，x，,x，x，p121222 2y22,(,)xyy,2pxP(2pt,2pt)或101.抛物线上的动点可设为P或 P，其中 (,y),2p2ypx,2. 2bacb4,22(0)a,102.二次函数的图象是抛物线:(1)顶yaxbxcax,，，,，，()24aa 22bacb4,bacb41,，点坐标为;(2)焦点的坐标为;(3)准线方程是(,),(,),24aa24aa241acb,,. y,4a 103.抛物线的内外部 22Pxy(,)ypxp,,2(0),,,ypxp2(0)(1)点在抛物线的内部. 00 22Pxy(,)ypxp,,2(0),,,ypxp2(0)点在抛物线的外部. 00 22ypxp,,,2(0),,,,ypxp2(0)Pxy(,)(2)点在抛物线的内部. 00 22Pxy(,)ypxp,,,2(0),,,,ypxp2(0)点在抛物线的外部. 00 22Pxy(,)xpyp,,2(0),,,xpyp2(0)(3)点在抛物线的内部. 00 22Pxy(,)xpyp,,2(0),,,xpyp2(0)点在抛物线的外部. 00 22Pxy(,)xpyp,,2(0),,,xpyp2(0)(4) 点在抛物线的内部. 00 22Pxy(,)xpyp,,,2(0),,,,xpyp2(0)点在抛物线的外部. 00 104. 抛物线的切线方程 2yypxx,，()y,2pxPxy(,)(1)抛物线上一点处的切线方程是. 0000 2yypxx,，()y,2pxPxy(,) (2)过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是. 0000 22AxByC，，,0ypxp,,2(0)pBAC,2 (3)抛物线与直线相切的条件是. 105.两个常见的曲线系方程 fxy(,)0,fxy(,)0,(1)过曲线,的交点的曲线系方程是 21 fxyfxy(,)(,)0，,,,(为参数). 12 22xy22kab,max{,}(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程,其中.当，,122akbk,,222222kab,min{,}min{,}max{,}abkab,,时,表示椭圆; 当时,表示双曲线. 22ABxxyy,,，,()()106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或 1212 2222ABkxxxxyyco,，,,,，,,，(1)()||1tan||1t,,(弦端点211212 y,kx，b,2,,0(x,y),B(x,y)ax，bx，c,0A，由方程 消去y得到，,为直线,,1122F(x,y),0, ABk的倾斜角，为直线的斜率). 107.圆锥曲线的两类对称问题 Fxy(,)0,Fxxyy(2-,2)0,,Pxy(,)(1)曲线关于点成中心对称的曲线是. 0000 Fxy(,)0,AxByC，，,0(2)曲线关于直线成轴对称的曲线是 2()2()AAxByCBAxByC，，，，. Fxy(,)0,,,2222ABAB，， 108.“四线”一方程 2222AxBxyCyDxEyF，，，，，,0xxxyyy对于一般的二次曲线，用代，用代，00 xyxy，xx，yy，0000xyy用代，用代，用代即得方程 x222 xyxyxxyy，，，0000，曲线的切线，切点弦，中点AxxBCyyDEF，,，，,，,，,000222 弦，弦中点方程均是此方程得到. 109(证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行. 110(证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行. 111(证明平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直. 112(证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; (3)转化为线与另一线的射影垂直; (4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 113(证明直线与平面垂直的思考途径 (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114(证明平面与平面的垂直的思考途径 (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直. 115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律:a，b=b，a( (2)加法结合律:(a，b)，c=a，(b，c)( (3)数乘分配律:λ(a，b)=λa，λb( 平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 116. 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的 以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 117.共线向量定理 ,对空间任意两个向量a、b(b?0 )，a?b存在实数λ使a=λb( ,,,PAB、、APAB||APtAB,OPtOAtOB,,，(1)三点共线. AB,,ABCD||ABCD、ABCD、CDABtCD,、共线且不共线且不共线. 118.共面向量定理 ,xy,paxby,，向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对,使( ,xy,MPxMAyMB,，推论 空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对,使， xy,OPOMxMAyMB,，，或对空间任一定点O，有序实数对，使. OOPxOAyOBzOC,，，119.对空间任一点和不共线的三点A、B、C，满足 xyzk，，,k,1Ok,1()，则当时，对于空间任一点，总有P、A、B、C四点共面;当O,O,时，若平面ABC，则P、A、B、C四点共面;若平面ABC，则P、A、B、C四点不共 面( ADAB,,,AB、、、 C DACADxAByAC,，四点共面与、共面 O,ODxyOAxOByOC,,,，，(1)(平面ABC). 120.空间向量基本定理 如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x， y，z，使p,xa，yb，zc( 推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实 OPxOAyOBzOC,，，数x，y，z，使. 121.射影公式 'AABllll已知向量=和轴，e是上与同方向的单位向量.作A点在上的射影，作Ba 'Bl点在上的射影，则 ''ABAB,||cos〈a，e〉=a?e 122.向量的直角坐标运算 (,,)aaa(,,)bbb设,，b,则 a123123 (,,)ababab，，，(1)，b,; a112233 (,,)ababab,,,(2),b,; a112233 (,,)aaa,,,(3)λa, (λ?R); 123 ababab，，(4)a?b,; 112233 (,,)xyz(,,)xyz123.设A，B，则 111222 (,,)xxyyzz,,,ABOBOA,,= . 212121 124(空间的线线平行或垂直 rr axyz,(,,)bxyz,(,,)设，，则 111222 xx,,,12rrrrrr,,,abPabb,,(0),; yy,,,12 ,zz,,12,rrrr ,,xxyyzz，，,0ab,ab,,0. 121212 125.夹角公式 (,,)aaa(,,)bbb设a,，b,，则 123123 ababab，，112233cos〈a，b〉=. 222222aaabbb，，，，1231232222222()()()abababaaabbb，，,，，，，推论 ，此即三维柯西不等式. 112233123123 126. 四面体的对棱所成的角 BDABCDAC,四面体中, 与所成的角为,则 2222|()()|ABCDBCDA，,，. ,cos,2ACBD, 127(异面直线所成角 rr cos|cos,|,,ab rr ||ab,||xxyyzz，，121212rr,= 222222||||ab,xyzxyz，，,，，111222rrooab,ab,,090,,,ab,(其中()为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量) AB128.直线与平面所成角 ABm,m(为平面的法向量). ,arcsin,, ||||ABm AB,ABC,ACBC,129.若所在平面若与过若的平面成的角,另两边,与平面, AB、,ABC,,成的角分别是、,为的两个内角，则 ,12 22222sinsin(sinsin)sin,,,，,，AB. 12 ，,ACB90特别地,当时,有 222sinsinsin,,,，,. 12 AB,,ABCACBC,130.若所在平面若与过若的平面成的角,另两边,与平面,, '',,,ABOAB、成的角分别是、,为的两个内角，则 12 222'2'2tantan(sinsin)tan,,,，,，AB. 12 ，,AOB90特别地,当时,有 222sinsinsin,,,，,. 12 ,,,,l131.二面角的平面角 mnmn,,,mn或(，为平面，的法向量). ,arccos,arccos,,, ||||mn||||mn .三余弦定理 132 ,设AC是α内的任一条直线，且BC?AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为，AB与1 coscoscos,,,,,,AC所成的角为，AO与AC所成的角为(则. 122 133. 三射线定理 ,,,若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是,,与二面12 2222sinsinsinsin2sinsincos,,,,,,,,，,角的棱所成的角是θ，则有 ; 1212 ,,90||180(),,,,,,,,,，(当且仅当时等号成立). 1212 134.空间两点间的距离公式 (,,)xyz(,,)xyz若A，B，则 111222 222d,,，,，,()()()xxyyzz||ABABAB,, =. AB,212121 Ql135.点到直线距离 122PPAll(点在直线上，直线的方向向量a=，向量habab,,,(||||)()||a PQb=). 136.异面直线间的距离 ||CDn,ll,CD、ll,dn(是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为d,1212||n ll,间的距离). 12 B137.点到平面的距离 , ||ABn,ABA,,n(为平面的法向量，是经过面的一条斜线，). ,,d, ||n 138.异面直线上两点距离公式 222dhmnmn,，，2cos,. 222'. dhmnmnEAAF,，，,2cos, 222',,,EAAFdhmnmn,，，,2cos,,(). 'AA (两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段的长度为h.在直线a、b上分别取两 'AFn,EFd,AEm,点E、F，,,). 139.三个向量和的平方公式 2222()222abcabcabbcca，，,，，，,，,，, 222 ,，，，,，,，,abcababbcbccaca2||||cos,2||||cos,2||||cos, llll、、140. 长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分123 、、,,,别为,则有 123 2222222222,，，,sinsinsin2,,,,，，,coscoscos1,,,llll,，，. 123123123 (立体几何中长方体对角线长的公式是其特例). 141. 面积射影定理 'SS. ,cos, 'SS,(平面多边形及其射影的面积分别是、，它们所在平面所成锐二面角的为). 142. 斜棱柱的直截面 lSV已知斜棱柱的侧棱长是,侧面积和体积分别是和,它的直截面的周长和斜棱柱侧斜棱柱 cS面积分别是和,则 11 Scl,?. 1斜棱柱侧 VSl,?. 1斜棱柱 143(作截面的依据 三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144(棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比(对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方);相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比( 145.欧拉定理(欧拉公式) VFE，,,2(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F). E(1)=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为的多边形，则面数Fn 1与棱数E的关系:; EnF,2 1(2)若每个顶点引出的棱数为，则顶点数V与棱数E的关系:. mEmV,2 146.球的半径是R，则 43其体积, ,,VR32SR,4,其表面积( 147.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 66棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为. aaa124 148(柱体、锥体的体积 1Sh(是柱体的底面积、是柱体的高). VSh,柱体3 1Sh(是锥体的底面积、是锥体的高). VSh,锥体3 149.分类计数原理(加法原理) Nmmm,，，，. 12n 150.分步计数原理(乘法原理) Nmmm,，，，. 12n 151.排列数公式 n～m*n(n,1)？(n,m，1)mn,A==.(，?N，且)( nmn(n,m)～ 0!,1注:规定. 152.排列恒等式 mm,1AnmA,,，(1)(1); nn nmm(2); ,AAnn,1,nmmm,1AnA,(3); nn,1 nnn，1nAAA,,(4); nnn，1 mmm,1AAmA,，(5). nnn，1 1!22!33!!(1)!1，,，,，，,,，,nnn(6) . 153.组合数公式 mn～n(n,1)？(n,m，1)A*mnmN,mn,C===(?N，，且). nnmm～,(n,m)～1，2，？，mAm 154.组合数的两个性质 mn,mCC(1)= ; nn mm,1mCCC(2) +=. n，1nn 0C,1注:规定. n 155.组合恒等式 nm,，1mm,1(1); CC,nnm nmm(2); ,CCnn,1,nm nmm,1(3); ,CCnn,1mnnr2 (4)=; C,nr,0rrrrr，1C，C，C，？，C,C(5). rr，1r，2nn，1 012rnnC，C，C，？，C，？，C,2(6). nnnnn 135024n,1C，C，C，？,C，C，C，？2(7). nnnnnn 123nn,1C，2C，3C，？，nC,n2 (8). nnnn ,r0r110rrrCC，CC，？，CC,C(9). ，mnmnmnmn 0212222nn(C)，(C)，(C)，？，(C),C(10). 2nnnnn 156.排列数与组合数的关系 mmAmC,,～ . nn 157(单条件排列 以下各条的大前提是从个元素中取个元素的排列. nm(1)“在位”与“不在位” m,1mm,1AA,A?某(特)元必在某位有种;?某(特)元不在某位有(补集思想)n,1nn,1 1m,1m1m,1,AA,A，AA(着眼位置)(着眼元素)种. n,1n,1n,1m,1n,1(2)紧贴与插空(即相邻与不相邻) km,kk(k,m,n)AA?定位紧贴:个元在固定位的排列有种. kn,k n,k，1kAA?浮动紧贴:个元素的全排列把k个元排在一起的排法有种.注:此类问题nn,k，1k 常用捆绑法; k,h，1?插空:两组元素分别有k、h个()，把它们合在一起来作全排列，k个的一 hkAA组互不能挨近的所有排列数有种. ，1hh (3)两组元素各相同的插空 个大球个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法, mn nAn，1mn,m，1n,m，1当时，无解;当时，有种排法. ,C，1mnAnnC(4)两组相同元素的排列:两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为. ，mn158(分配问题 (1)(平均分组有归属问题)将相异的、个物件等分给个人，各得件，其分配mnmn (mn)!nnnnn. 方法数共有NCCCCC,,,,？,,,mnmn,nmn,2n2nnm(n!) (2)(平均分组无归属问题)将相异的?个物体等分为无记号或无顺序的堆，其mnm 分配方法数共有 nnnnnCCC...CC(mn)!,,,,mnmnnmnnnn,,22N. ,,mm!m!(n!) P(P=n+n++n)(3)(非平均分组有归属问题)将相异的个物体分给个人，物件m12m nnnnnn必须被分完，分别得到，，„，件，且，，„，这个数彼此不相等，则mmm1212 p!m!nnnm12其分配方法数共有. NCC...Cm!,,,,ppnn,1mn!n!...n!12m P(P=n+n++n)(4)(非完全平均分组有归属问题)将相异的个物体分给个人，m12m nnnnnn物件必须被分完，分别得到，，„，件，且，，„，这个数中分别有a、mmm1212 nnnm12CC...Cm!,,pm!!,ppnn1mb、c、„个相等，则其分配方法数有N . ,,a!b!c!...nnnabc!!...!(!!!...)12m P(P=n+n++n)n(5)(非平均分组无归属问题)将相异的个物体分为任意的，12m1 nnnnn，„，件无记号的堆，且，，„，这个数彼此不相等，则其分配方法数mmmm212 p!有. N,n!n!...n!12m P(P=n+n++n)n(6)(非完全平均分组无归属问题)将相异的个物体分为任意的，12m1 nnnnn，„，件无记号的堆，且，，„，这个数中分别有a、b、c、„个相等，mmmm212 p!N则其分配方法数有. ,n!n!...n!(a!b!c!...)12m ppnnn,+++(7)(限定分组有归属问题)将相异的()个物体分给甲、乙、丙，„„12m nnnn等个人，物体必须被分完，如果指定甲得件，乙得件，丙得件，„时，则无论，m1231 nn，„，等个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有 mm2 p!nnnm12NCC...C. ,,,ppnn,1mn!n!...n!12m 159(“错位问题”及其推广 贝努利装错笺问题:信封信与个信封全部错位的组合数为 nn 1111n. fnn,,，,，,()![(1)]n2!3!4!! 推广: 个元素与个位置,其中至少有个元素错位的不同组合总数为 nnm 1234fnmnCnCnCnCn(,)!(1)!(2)!(3)!(4)!,,,，,,,，,mmmm ppmm,，,,，，,,(1)()!(1)()!CnpCnmmm 1234pmCCCCCCpmmmmmmm. ![1(1)(1)],,，,，,，,，，,n1224pmAAAAAAnnnnnn xxxm+++,160(不定方程的解的个数 12n ,n,1xxxm+++,nmN,,C(1)方程()的正整数解有个. 12nm,1,n,1xxxm+++,nmN,,C(2) 方程()的非负整数解有 个. 12nnm，,1 ,,xxxm+++,21,,,innmN,,xk,kN,(3) 方程()满足条件(,)12ni n,1C的非负整数解有个. ,,,(2)(1)nkm，1,,xxxm+++,nmN,,xk,21,,,inkN,(4) 方程()满足条件(,)12ni nnnnnn,,,,,,11121221CCCCCCC,，,，,(1)的正整数解有个. nmnmnknmnknmnk，,,，,,,，,,,，,,12222321(2) 161.二项式定理 n0n1n,12n,22rn,rrnn(a，b),Ca，Cab，Cab，？，Cab，？，Cb ; nnnnn 二项展开式的通项公式 rn,rr(r,0，1，2？，n)T,Cab. 1r，n 162.等可能性事件的概率 m. PA(),n 163.互斥事件A，B分别发生的概率的和 P(A，B)=P(A)，P(B)( 164.个互斥事件分别发生的概率的和 n P(A，A，„，A)=P(A)，P(A)，„，P(A)( 12n12n165.独立事件A，B同时发生的概率 P(A?B)= P(A)?P(B). 166.n个独立事件同时发生的概率 P(A? A?„? A)=P(A)? P(A)?„? P(A)( 12n12n167.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率 kknk,PkCPP()(1).,, nn 168.离散型随机变量的分布列的两个性质 Pi,,0(1,2,)(1); i PP，，,1(2). 12 169.数学期望 ExPxPxP,，，，，, 1122nn 170.数学期望的性质 EabaEb()(),,，,，(1). ,Bnp(,)Enp,,(2)若,,则. 1k,1,Pkgkpqp()(,),,,,(3) 若服从几何分布,且，则. ,,Ep 171.方差 222DxEpxEpxEp,,,,,,,，,,，，,,， ，，，，，，1122nn172.标准差 ,,D,=. 173.方差的性质 2DabaD,,，,(1); ，， ,Bnp(,)Dnpp,,,(1)(2)若,，则. qk,1,Pkgkpqp()(,),,,,(3) 若服从几何分布,且，则. ,,D2p 174.方差与期望的关系 22DEE,,,,,. ，， 175.正态分布密度函数 2x,,，，,1226fxex,,,,，,,,，式中的实数μ，(>0)是参数，分别表，，，，,,,26 示个体的平均数与标准差. 176.标准正态分布密度函数 2x,12. fxex,,,,，,,,，，，，,26 2N(,),,177.对于，取值小于x的概率 x,,,,. Fx,,，，,,,,, P，，，，，，x,x,x,Px,x,Px,x 10221 ,,FxFx ，，，，21 xx,,,,,,,,21. ,,,,,,,,,,,,,, 178.回归直线方程 nn,xxyyxynxy,,,，，，，,,iiii,ii,,11,b,,nnyabx,，，其中. 222,xxxnx,,，，,,ii,ii,,11,aybx,,, 179.相关系数 nn xxyy,,xxyy,,，，，，，，，，,,iiiii,1,1ir,, . nnnn222222xxyy,,xnxyny,,()()()(),,ii,,iiii,,11,,11ii |r|?1，且|r|越接近于1，相关程度越大;|r|越接近于0，相关程度越小. 180.特殊数列的极限 0||1q,, ,n(1). lim11qq,,,,,n,不存在或||11qq,,,, ,0()kt, ,kk,1ananaa，，，,kkt,10(2). lim(),,kt,tt,1n,,bnbnbb，，，ttk,10, ,不存在 ()kt,, naq1,，，a1n,11S,,limS||1q,(3)(无穷等比数列 ()的和). aq,,1n,,11,,qq 181. 函数的极限定理 ,lim()lim()fxfxa,,. lim()fxa,,，xx,xxxx,,000 182.函数的夹逼性定理 如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x的附近满足: 0 gxfxhx()()(),,(1); (2)lim(),lim()gxahxa,,(常数), xxxx,,00 则lim()fxa,. xx,0 本定理对于单侧极限和的情况仍然成立. x,,183.几个常用极限 1n||1a,(1)，lim0a,(); ,lim0,,n,,nn 11(limxx,2)，. ,lim0xx,xx,00xx0184.两个重要的极限 sinx(1); ,lim1x,0x x1,,(2)(e=2.718281845„). e，,lim1,,,,xx,, 185.函数极限的四则运算法则 lim()fxa,lim()gxb,若，，则 xx,xx,00 (1)limfxgxab,,,; ，，，，，，，，xx,0 (2)limfxgxab,,,; ，，，，，，，，xx,0 fx，，a(3). lim0,,b，，xx,0gxb，， 186.数列极限的四则运算法则 lim,limaabb,,若，则 nn,,,,nn limabab,,,(1); ，，nn,,n limabab,,,(2); ，，nn,,n aan(3) lim0,,b，，,,nbbn (4)( c是常数). limlimlimcacaca,,,,,，，nn,,,,,,nnn f(x)x187.在处的导数(或变化率或微商) 0 fxxfx()()，,,,y00,,. fxy()limlim,,,xx,00,,,,xx00,,xx188.瞬时速度 ,，,,ssttst()(),. ,,,,st()limlim,,,,tt00,,tt 189.瞬时加速度 ,，,,vvttvt()(),. avt,,,()limlim,,,,tt00,,tt f(x)(a,b)190.在的导数 dydf,，,,yfxxfx()(),,. fxy(),,,,,limlim,,,,xx00dxdx,,xx y,f(x)x191. 函数在点处的导数的几何意义 0 y,f(x)y,f(x)P(x,f(x))x函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率000 ,,y,y,f(x)(x,x)f(x)，相应的切线方程是. 0000 192.几种常见函数的导数 ,C,0(1) (C为常数). '1n,()()xnxnQ,,(2) . n ,(sinx),cosx(3) . ,(cosx),,sinx(4) . 11ex,,(loga),log(lnx), (5) ;. axx xxxx,,(e),e(a),alna(6) ; . 导数的运算法则 193. '''()uvuv,,,(1). '''()uvuvuv,，(2). ''uuvuv,'(3). ()(0),,v2vv 194.复合函数的求导法则 ''ux,,()y,f(u)ux,,()设函数在点处有导数，函数在点处的对应点U处有xxx'''''yfx,(()),yfu,()yyu,,导数，则复合函数在点处有导数，且，或写作xuxux '''fxfux(())()(),,,. x x195.常用的近似计算公式(当充小时) 11n(1);; 1，x,1，xxx1，,1，2n 1,(1)1()，,，,xxR,,(2); ; ,1,x1，xxe,1，x(3); l(1，x),x(4); n sinx,x(5)(为弧度); x tanx,x(6)(为弧度); x arctanx,x(7)(为弧度) x f(x)196.判别是极大(小)值的方法 0 f(x)x当函数在点处连续时， 0 ,,f(x),0f(x),0xf(x)(1)如果在附近的左侧，右侧，则是极大值; 00 ,,f(x),0f(x),0xf(x)(2)如果在附近的左侧，右侧，则是极小值. 00 197.复数的相等 abicdiacbd，,，,,,,abcdR,,,,.() zabi,，198.复数的模(或绝对值) 22||z||abi，ab，==. 199.复数的四则运算法则 ()()()()abicdiacbdi，，，,，，， (1); ()()()()abicdiacbdi，,，,,，,(2); ()()()()abicdiacbdbcadi，，,,，，(3); acbdbcad，,(4). ()()(0)abicdiicdi，,，,，，,2222cdcd，， 200.复数的乘法的运算律 zzzC,,,对于任何，有 123 zzzz,,,交换律:. 1221 ()()zzzzzz,,,,,结合律:. 123123 zzzzzzz,，,,，,()分配律: . 1231213 201.复平面上的两点间的距离公式 22zxyi,，zxyi,，dzzxxyy,,,,，,||()()(，). 111222122121 202.向量的垂直 zabi,，zcdi,，OZOZ非零复数，对应的向量分别是，，则 1212 z2222,,,||||||zzzz，,，OZOZ,zz, 的实部为零为纯虚数 12121212z1222,,,,acbd，,0||||||zzzz,,，||||zzzz，,,ziz,,(λ为非 1212121212 零实数). .实系数一元二次方程的解 203 2axbxc，，,0实系数一元二次方程， 2,,,bbac42,,,,bac40?若,则; x,1,22a b2,,,,bac40xx,,,?若,则; 122a2RC,,,,bac40?若，它在实数集内没有实数根;在复数集内有且仅有两个共轭 2,,,,bbaci(4)2复数根. xbac,,,(40)2a 高中的三角函数公式大全 高中三角函数公式大全 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tanA，tanBtan(A+B) = 1-tanAtanB tanA,tanBtan(A-B) = 1，tanAtanB cotAcotB-1cot(A+B) = cotB，cotA cotAcotB，1cot(A-B) = cotB,cotA 倍角公式 2tanAtan2A = 21,tanA Sin2A=2SinA•CosA 2222Cos2A = CosA-SinA=2CosA-1=1-2sinA 三倍角公式 3sin3A = 3sinA-4(sinA) 3cos3A = 4(cosA)-3cosA ,,tan3a = tana?tan(+a)?tan(-a) 33 半角公式 1,cosAAsin()= 22 1，cosAAcos()= 22 1,cosAAtan()= 21，cosA 1，cosAAcot()= 21,cosA 1,cosAsinAAtan()== sinA1，cosA2 和差化积 a，ba,bsina+sinb=2sincos 22 a，ba,bsina-sinb=2cossin 22 a，ba,bcosa+cosb = 2coscos 22 a，ba,bcosa-cosb = -2sinsin 22 sin(a，b)tana+tanb= cosacosb 积化和差 1sinasinb = -[cos(a+b)-cos(a-b)] 2 1cosacosb = [cos(a+b)+cos(a-b)] 2 1sinacosb = [sin(a+b)+sin(a-b)] 2 1cosasinb = [sin(a+b)-sin(a-b)] 2 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa ,sin(-a) = cosa 2 ,cos(-a) = sina 2 ,sin(+a) = cosa 2 ,cos(+a) = -sina 2 sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa sinatgA=tanA = cosa 万能公式 a2tan2sina= a21，(tan)2 a21,(tan)2cosa= a21，(tan)2 a2tan2tana= a21,(tan)2 其它公式 b22(a，b)a•sina+b•cosa=×sin(a+c) [其中tanc=] a a22(a，b)a•sin(a)-b•cos(a) = ×cos(a-c) [其中tan(c)=] b aa21+sin(a) =(sin+cos) 22 aa21-sin(a) = (sin-cos) 22其他非重点三角函数 1csc(a) = sina 1sec(a) = cosa 双曲函数 a-ae-esinh(a)= 2 a-aee，cosh(a)= 2 sinh(a)tg h(a)= cosh(a) 公式一: 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ，α)= sinα cos(2kπ，α)= cosα tan(2kπ，α)= tanα cot(2kπ，α)= cotα 公式二: 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sin(π，α)= -sinα cos(π，α)= -cosα tan(π，α)= tanα cot(π，α)= cotα 公式三: 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: sin(-α)= -sinα cos(-α)= cosα tan(-α)= -tanα cot(-α)= -cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(π-α)= sinα cos(π-α)= -cosα tan(π-α)= -tanα cot(π-α)= -cotα 公式五: 利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(2π-α)= -sinα cos(2π-α)= cosα tan(2π-α)= -tanα 2π-α)= -cotα cot( 公式六: 3,,?α及?α与α的三角函数值之间的关系: 22 ,sin(+α)= cosα 2 ,cos(+α)= -sinα 2 ,tan(+α)= -cotα 2 ,cot(+α)= -tanα 2 ,sin(-α)= cosα 2 ,cos(-α)= sinα 2 ,tan(-α)= cotα 2 ,cot(-α)= tanα 2 3,sin(+α)= -cosα 2 3,cos(+α)= sinα 2 3,tan(+α)= -cotα 2 3,cot(+α)= -tanα 2 3,sin(-α)= -cosα 2 3,cos(-α)= -sinα 2 3,tan(-α)= cotα 2 3,cot(-α)= tanα 2 (以上k?Z) 这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 22A，B，2ABcos(,,,)A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) =×,,,t，arcsin[(Asin，Bsin)sin 22A，B，2ABcos(,,,) 三角函数公式证明(全部) 2009-07-08 16:13 公式表达式 乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|?|a|+|b| |a-b|?|a|+|b| |a|?b<=>-b?a?b |a-b|?|a|-|b| -|a|?a?|a| 一元二次方程的解 -b+?(b2-4ac)/2a -b-b+?(b2-4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注:韦达定理 判别式 b2-4a=0 注:方程有相等的两实根 b2-4ac>0 注:方程有一个实根 b2-4ac<0 注:方程有共轭复数根 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(A/2)=?((1-cosA)/2) sin(A/2)=-?((1-cosA)/2) cos(A/2)=?((1+cosA)/2) cos(A/2)=-?((1+cosA)/2) tan(A/2)=?((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-?((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=?((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-?((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注:角B是边a和边c的夹角 正切定理: [(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]} 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0 抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h' 圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=S'L 注:其中,S'是直截面面积， L是侧棱长 柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h -----------------------三角函数 积化和差 和差化积公式 记不住就自己推，用两角和差的正余弦: cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB 这两式相加或相减，可以得到2组积化和差: 相加:cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2 相减:sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2 sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA 这两式相加或相减，可以得到2组积化和差: 相加:sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2 相减:sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2 这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了 不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下 正加正 正在前 正减正 余在前 余加余 都是余 余减余 没有余还负 正余正加 余正正减 余余余加 正正余减还负 . 3.三角形中的一些结论:(不要求记忆) (1)tanA+tanB+tanC=tanA?tanB?tanC (2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) (3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)?sin(B/2)?sin(C/2)+1 (4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA?sinB?sinC (5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1 ........................... 已知sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求证tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ 解:sinα=m sin(α+2β) sin(a+β-β)=msin(a+β+β) sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβ sin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1) tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ