小学数学典型应用题

小学数学典型应用题 小学数学中把含有数量关系的实际问题用语言或文字叙述出来，这样所形成的题目叫做应用题。任何一道应用题都由两部分构成。第一部分是已知条件(简称条件)，第二部分是所求问题(简称问题)。应用题的条件和问题，组成了应用题的结构。 应用题可分为一般应用题与典型应用题。 1)没有特定的解答规律的两步以上运算的应用题，叫做一般应用题。( (2) 题目中有特殊的数量关系，可以用特定的步骤和来解答的应用题，叫做典型应用题。这本资料主要研究以下30类典型应用题: 1、归一问题 11、行船问题 21、方阵问题 2、归总问题 12、列车问题 22、商品利润问题 3、和差问题 13、时钟问题 23、存款利率问题 4、和倍问题 14、盈亏问题 24、溶液浓度问题 5、差倍问题 15、工程问题 25、构图布数问题 6、倍比问题 16、正反比例问题 26、幻方问题 7、相遇问题 17、按比例分配 27、抽屉原则问题 8、追及问题 18、百分数问题 28、公约公倍问题 9、植树问题 19、“牛吃草”问题 29、最值问题 10、年龄问题 20、鸡兔同笼问题 30、列方程问题 1 归一问题 【含义】 在解题时，先求出一份是多少(即单一量)，然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。 共1第55页 【数量关系】 总量?份数,1份数量 1份数量×所占份数,所求几份的数量 另一总量?(总量?份数),所求份数 【解题思路和方法】 先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。 例1 买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱, 解,1,买1支铅笔多少钱, 0.6?5,0.12,元, ,2,买16支铅笔需要多少钱,0.12×16,1.92,元, 列成综合算式 0.6?5×16,0.12×16,1.92,元, 答:需要1.92元。 例2 3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6 天耕地多少公顷, 解,1,1台拖拉机1天耕地多少公顷, 90?3?3,10,公顷, ,2,5台拖拉机6天耕地多少公顷, 10×5×6,300,公顷, 列成综合算式 90?3?3×5×6,10×30,300,公顷, 答:5台拖拉机6 天耕地300公顷。 例3 5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次, 解 ,1,1辆汽车1次能运多少吨钢材, 100?5?4,5,吨, ,2,7辆汽车1次能运多少吨钢材, 5×7,35,吨, ,3,105吨钢材7辆汽车需要运几次, 105?35,3,次, 列成综合算式 105?,100?5?4×7,,3,次, 答:需要运3次。 共2第55页 2 归总问题 【含义】 解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时(几天)的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。 【数量关系】 1份数量×份数,总量 总量?1份数量,份数 总量?另一份数,另一每份数量 【解题思路和方法】 先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。 例1 服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布，现在可以做多少套, 解 ,1,这批布总共有多少米, 3.2×791,2531.2,米, ,2,现在可以做多少套, 2531.2?2.8,904,套, 列成综合算式 3.2×791?2.8,904,套, 答:现在可以做904套。 例2 小华每天读24页，12天读完了《红岩》一书。小明每天读36页书，几天可以读完《红岩》, 解 ,1,《红岩》这本书总共多少页, 24×12,288,页, ,2,小明几天可以读完《红岩》, 288?36,8,天, 列成综合算式 24×12?36,8,天, 答:小明8天可以读完《红岩》。 例3 食堂运来一批蔬菜，原每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天, 解 ,1,这批蔬菜共有多少千克, 50×30,1500,千克, 共3第55页 ,2,这批蔬菜可以吃多少天, 1500?,50，10,,25,天, 列成综合算式 50×30?,50，10,,1500?60,25,天, 答:这批蔬菜可以吃25天。 3 和差问题 【含义】 已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。 【数量关系】 大数,(和，差)? 2 小数,(和,差)? 2 【解题思路和方法】 简单的题目可以直接套用公式;复杂的题目变通后再用公式。 例1 甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人, 解 甲班人数,,98，6,?2,52,人, 乙班人数,,98,6,?2,46,人, 答:甲班有52人～乙班有46人。 例2 长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积。 解 长,,18，2,?2,10,厘米, 宽,,18,2,?2,8,厘米, 长方形的面积 ,10×8,80,平方厘米, 答:长方形的面积为80平方厘米。 例3 有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。 解 甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙～从中可以看出甲比丙多,32,30,,2千克～且甲是大数～丙是小数。由此可知 共4第55页 甲袋化肥重量,,22，2,?2,12,千克, 丙袋化肥重量,,22,2,?2,10,千克, 乙袋化肥重量,32,12,20,千克, 答:甲袋化肥重12千克～乙袋化肥重20千克～丙袋化肥重10千克。 例4 甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐, 解 “从甲车取下14筐放到乙车上～结果甲车比乙车还多3筐”～这说明甲车是大数～乙车是小数～甲与乙的差是,14×2，3,～甲与乙的和是97～因此 甲车筐数,,97，14×2，3,?2,64,筐, 乙车筐数,97,64,33,筐, 答:甲车原来装苹果64筐～乙车原来装苹果33筐。 4 和倍问题 【含义】 已知两个数的和及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几)，要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。 【数量关系】 总和 ?(几倍，1),较小的数 总和 , 较小的数 , 较大的数 较小的数 ×几倍 , 较大的数 【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。 例1 果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵, 解 ,1,杏树有多少棵, 248?,3，1,,62,棵, ,2,桃树有多少棵, 62×3,186,棵, 共5第55页 答:杏树有62棵～桃树有186棵。 例2 东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求两库各存粮多少吨, 解 ,1,西库存粮数,480?,1.4，1,,200,吨, ,2,东库存粮数,480,200,280,吨, 答:东库存粮280吨～西库存粮200吨。 例3 甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍, 解 每天从甲站开往乙站28辆～从乙站开往甲站24辆～相当于每天从甲站开往乙站,28,24,辆。把几天以后甲站的车辆数当作1倍量～这时乙站的车辆数就是2倍量～两站的车辆总数,52，32,就相当于,2，1,倍～ 那么～几天以后甲站的车辆数减少为 ,52，32,?,2，1,,28,辆, 所求天数为 ,52,28,?,28,24,,6,天, 答:6天以后乙站车辆数是甲站的2倍。 例4 甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少, 解 乙丙两数都与甲数有直接关系～因此把甲数作为1倍量。 因为乙比甲的2倍少4～所以给乙加上4～乙数就变成甲数的2倍, 又因为丙比甲的3倍多6～所以丙数减去6就变为甲数的3倍, 这时,170，4,6,就相当于,1，2，3,倍。那么～ 甲数,,170，4,6,?,1，2，3,,28 乙数,28×2,4,52 共6第55页 丙数,28×3，6,90 答:甲数是28～乙数是52～丙数是90。 5 差倍问题 (1)已知两个数的差及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几)，要求 各是多少，这类应用题叫做差倍问题。 这两个数 (2)差倍问题是较大数、较小数、倍数以及较大、较小数之差四者之间发生的问题，所有的问题都离不开三个基本知识: 两数之差?(倍数-1)=较小数(1倍数) 较大数(几倍数) 较小数×倍数= 或较小数+两数之差=较大数 解决差倍问题的关键是要确定两个数量的差，以及与数量差相对应的倍数差，由此求出1倍量是多少。同样“数量差”与“倍数差”在题目中往往不直接给出，需要经过调整、转化才能得到。 对于差倍应用题，为了理解题意，弄清两种量之间的关系，也常采用画线段图的方法来示两种量间的这种关系。 例1 甲袋米的重量是乙袋米的6倍～如果从甲袋中取出30千克倒入乙袋～两袋米的重量正好相等～两袋米原来各重多少千克, 甲袋米的重量是乙袋米的6倍～这两袋米重量之间的倍数关系很明确～但是甲袋比乙袋多多少千克～也就是他们之间的差是多少～条件没有直接给出～只是说“如果从甲袋中取出30千克倒入乙袋中～两袋米的重量正好相等”。从中我们可以分析出:甲袋必须比乙袋多2个30千克～才能给乙袋1个30千克后～本身仍有1个30千克～就是说只有这样～才能使本身与乙袋重量相等～因此～甲袋比乙袋不是多30千克～而是多60千克。 共7第55页 解 答 乙袋=,30×2,?,6-1, =60?5 =12,千克, 甲袋:12×6=72,千克, 答:甲袋米重72千克～乙袋米重12千克。 例2 学校图书馆新购进一批图书～有文艺书、故事书两种～每本文艺书比故事书贵6元～两种书各买了300本～买文艺书的钱是买故事书的4倍。两种书各花了多少钱, 思路剖析 买一本文艺书就比一本故事书贵6元，那么各买300本的话，文艺书的总价就比故事书的总价贵6×300=1800(元)。将故事书的总价看作1份，文艺书的总价就是4份，文艺书比故事书多的1800元对应的正好是4-1=3(份)。所以，买故事书共用了1800?3=600(元)，买文艺书共用了600×4=2400(元)。 解 答 解法一:故事书的总价: 6×300?,4-1,=1800?3 =600,元, 文艺书的总价600×4=2400,元, 解法一:一本故事书的价钱:6?,4-1,=6?3=2,元, 300本故事书的总价2×300=600,元, 文艺书的总价600×4=2400,元, 答:买故事书用了600元～买文艺书用了2400元。 共8第55页 例3 育红小学原来参加室外活动的人数比室内的人数多480人～现在把室内活动的50人改为室外活动～这样室外活动的人数正好是室内人数的5倍～参加室内、室外活动的一共有多少人, 思路剖析 原来室外人数比室内人数多480人～现在把室内活动的50人改为室外活动～这样室外活动人数比室内活动人数多480+50×2=580,人,。现在室外人数是室内人数的5倍～也就是现在室内人数为1份～室外人数为5份～室外人数与室内人数差相当于5-1=4,份,～4份是580人～从而求出1份及室内、室外一共的人数。 解 答 ,1,现在室外比室内多 480+50×2=480+100 =580,人, ,2,现在室内有 580?,5-1,=580?4 =145,人, ,3,室内室外一共有 145×,1+5,=145×6 =870,人, 综合算式=,480+50×2,?,5-1,×,5+1, =580?4×6 =145×6 =870,人, 共9第55页 答:参加室内、室外活动的一共有870人。 例4 小华在读一本长篇小说～第二天比第一天多读了30页～第三天比第二天多读了45页～而第三天是第一天读的页数的2倍～问三天各读了多少页, 思路剖析 这是一道关于三个数的差倍问题～具体解法和两个数的差倍问题基本一样～我们先从第三天与第一天入手。第二天比第一天多读了30页～第三天比第二天多读了45页～所以第三天就比第一天多读了75页。又第三天所读的页数是第一天的2倍～由差倍公式即可求解。 解 答 第一天读的页数: ,30+45,?,2-1,=75?1 =75,页, 第二天读的页数:75+30=105,页, 第三天读的页数:105+45=150,页, 答:小华第一天读了75页～第二天读了105页～第三天读了150页。 例5 甲、乙两桶油重量相等～甲桶取走52千克油～乙桶加入28千克油～这时～乙桶油的重量是甲桶油的重量的3倍。两桶油原来各有多少千克, 思路剖析 画如图1所示的线段图。 共10第55页 从图1可知～当甲桶取走52千克～乙桶加入28千克后～乙桶里的油就是甲桶里的油的3倍～所以～“1倍”数是甲桶里剩下的油。“差”是什么呢,从图1中可知～“1倍”与“3倍”之间的差52+28=80,千克,就是我们要找的“差”。所以～由差倍公式知: “1倍”数=,52+28,?,3-1,=40,千克,～由此我们就可以求出甲乙两桶原来有多少千克油。 解 答 原来每桶里的油重量为: ,52+28,?,3-1,+52=80?2+52=40+52 =92,千克, 答:原来两桶各有92千克油。 例1 果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵, 解 ,1,杏树有多少棵, 124?,3,1,,62,棵, ,2,桃树有多少棵, 62×3,186,棵, 答:果园里杏树是62棵～桃树是186棵。 例2 爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今年各是多少岁, 解 ,1,儿子年龄,27?,4,1,,9,岁, ,2,爸爸年龄,9×4,36,岁, 答:父子二人今年的年龄分别是36岁和9岁。 例3 商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元，求这两个月盈利各是多少万元, 共11第55页 解 如果把上月盈利作为1倍量～则,30,12,万元就相当于上月盈利的,2,1,倍～因此 上月盈利,,30,12,?,2,1,,18,万元, 本月盈利,18，30,48,万元, 答:上月盈利是18万元～本月盈利是48万元。 例4 粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是9吨，问几天后剩下的玉米是小麦的3倍, 解 由于每天运出的小麦和玉米的数量相等～所以剩下的数量差等于原来的数量差,138,94,。把几天后剩下的小麦看作1倍量～则几天后剩下的玉米就是3倍量～那么～,138,94,就相当于,3,1,倍～因此 剩下的小麦数量,,138,94,?,3,1,,22,吨, 运出的小麦数量,94,22,72,吨, 运粮的天数,72?9,8,天, 答:8天以后剩下的玉米是小麦的3倍。 6 倍比问题 【含义】 有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。 【数量关系】 总量?一个数量,倍数 另一个数量×倍数,另一总量 【解题思路和方法】 先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。 例1 100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少, 解 ,1,3700千克是100千克的多少倍, 3700?100,37,倍, 共12第55页 ,2,可以榨油多少千克, 40×37,1480,千克, 列成综合算式 40×,3700?100,,1480,千克, 答:可以榨油1480千克。 例2 今年植树节这天，某小学300名师生共植树400棵，照这样计算，全 县48000名师生共植树多少棵, 解 ,1,48000名是300名的多少倍, 48000?300,160,倍, ,2,共植树多少棵, 400×160,64000,棵, 列成综合算式 400×,48000?300,,64000,棵, 答:全县48000名师生共植树64000棵。 例3 凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4亩果园收入11111元，照 这样计算，全乡800亩果园共收入多少元,全县16000亩果园共收入多少元, 解 ,1,800亩是4亩的几倍, 800?4,200,倍, ,2,800亩收入多少元, 11111×200,2222200,元, ,3,16000亩是800亩的几倍, 16000?800,20,倍, ,4,16000亩收入多少元, 2222200×20,44444000,元, 答:全乡800亩果园共收入2222200元～ 全县16000亩果园共收入44444000元。 7 相遇问题 【含义】 两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类 应用题叫做相遇问题。 【数量关系】 相遇时间,总路程?(甲速，乙速) 总路程,(甲速，乙速)×相遇时间 共13第55页 【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。 例1 南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇, 解 392?,28，21,,8,小时, 答:经过8小时两船相遇。 例2 小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间, 解 “第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。 因此总路程为400×2 相遇时间,,400×2,?,5，3,,100,秒, 答:二人从出发到第二次相遇需100秒时间。 8 追及问题 【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发(或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发)作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。 【数量关系】 追及时间,追及路程?(快速,慢速) 追及路程,(快速,慢速)×追及时间 【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。 共14第55页 例1 好马每天走120千米～劣马每天走75千米～劣马先走12天～好马几天能追上劣马, 解 ,1,劣马先走12天能走多少千米, 75×12,900,千米, ,2,好马几天追上劣马, 900?,120,75,,20,天, 列成综合算式 75×12?,120,75,,900?45,20,天, 答:好马20天能追上劣马。 例2 小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。 解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈～即200米～此时小亮跑了,500,200,米～要知小亮的速度～须知追及时间～即小明跑500米所用的时间。又知小明跑200米用40秒～则跑500米用,40×,500?200,,秒～所以小亮的速度是 ,500,200,?,40×,500?200,, ,300?100,3,米, 答:小亮的速度是每秒3米。 例3 我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米，问解放军几个小时可以追上敌人, 解 敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是,22,16,小时～这段时间敌人逃跑的路程是,10×,22,16,,千米～甲乙两地相距60千米。由此推知 追及时间,,10×,22,16,，60,?,30,10, 共15第55页 ,120?20 ,6,小时, 答:解放军在6小时后可以追上敌人。 例4 一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米;一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。 解 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车,16×2,千米～客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间～ 这个时间为 16×2?,48,40,,4,小时, 所以两站间的距离为 ,48，40,×4,352,千米, 列成综合算式 ,48，40,×,16×2?,48,40,, ,88×4 ,352,千米, 答:甲乙两站的距离是352千米。 例5 兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远, 解 要求距离～速度已知～所以关键是求出相遇时间。从题中可知～在相同时间,从出发到相遇,内哥哥比妹妹多走,180×2,米～这是因为哥哥比妹妹每分钟多走,90,60,米～ 那么～二人从家出走到相遇所用时间为 180×2?,90,60,,12,分钟, 家离学校的距离为 90×12,180,900,米, 共16第55页 答:家离学校有900米远。 例6 孙亮打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校，当他走了1千米时，发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早9分钟到学校。求孙亮跑步的速度。 解 手表慢了10分钟～就等于晚出发10分钟～如果按原速走下去～就要迟到,10,5,分钟～后段路程跑步恰准时到学校～说明后段路程跑比走少用了,10,5,分钟。如果从家一开始就跑步～可比步行少9分钟～由此可知～行1千米～跑步比步行少用,9,,10,5,,分钟。 所以 步行1千米所用时间为 1?,9,,10,5,, ,0.25,小时, ,15,分钟, 跑步1千米所用时间为 15,,9,,10,5,,,11,分钟, 跑步速度为每小时 1?11,60,5.5,千米, 答:孙亮跑步速度为每小时 5.5千米。 例3 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。 解 “两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快～乙骑得慢～甲过了中点3千米～乙距中点3千米～就是说甲比乙多走的路程是,3×2,千米～因此～ 相遇时间,,3×2,?,15,13,,3,小时, 两地距离,,15，13,×3,84,千米, 答:两地距离是84千米。 共17第55页 9 植树问题 【含义】 按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。 【数量关系】 线形植树 棵数,距离?棵距，1 环形植树 棵数,距离?棵距 方形植树 棵数,距离?棵距,4 三角形植树 棵数,距离?棵距,3 面积植树 棵数,面积?(棵距×行距) 【解题思路和方法】 先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。 例1 一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳, 解 136?2，1,68，1,69,棵, 答:一共要栽69棵垂柳。 例2 一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树, 解 400?4,100,棵, 答:一共能栽100棵白杨树。 例3 一个正方形的运动场，每边长220米，每隔8米安装一个照明灯，一共可以安装多少个照明灯, 解 220×4?8,4,110,4,106,个, 答:一共可以安装106个照明灯。 例4 给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是60厘米和40厘米，问至少需要多少块地板砖, 共18第55页 解 96?,0.6×0.4,,96?0.24,400,块, 答:至少需要400块地板砖。 例5 一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯, 解 ,1,桥的一边有多少个电杆, 500?50，1,11,个, ,2,桥的两边有多少个电杆, 11×2,22,个, ,3,大桥两边可安装多少盏路灯,22×2,44,盏, 答:大桥两边一共可以安装44盏路灯。 10 年龄问题 【含义】 这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。 【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。 【解题思路和方法】 可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。 例1 爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍,明年呢, 解 35?5,7,倍, ,35+1,?,5+1,,6,倍, 答:今年爸爸的年龄是亮亮的7倍～ 明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。 例2 母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍, 解 ,1,母亲比女儿的年龄大多少岁, 37,7,30,岁, ,2,几年后母亲的年龄是女儿的4倍,30?,4,1,,7,3,年, 共19第55页 列成综合算式 ,37,7,?,4,1,,7,3,年, 答:3年后母亲的年龄是女儿的4倍。 例3 3年前父子的年龄和是49岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍，父子今年各多少岁, 解 今年父子的年龄和应该比3年前增加,3×2,岁～ 今年二人的年龄和为 49，3×2,55,岁, 把今年儿子年龄作为1倍量～则今年父子年龄和相当于,4，1,倍～因此～今年儿子年龄为 55?,4，1,,11,岁, 今年父亲年龄为 11×4,44,岁, 答:今年父亲年龄是44岁～儿子年龄是11岁。 例4 甲对乙说:“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁”。乙对甲说:“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁”。求甲乙现在的岁数各是多少, 解 这里涉及到三个年份:过去某一年、今年、将来某一年。列表分析: 过去某一年 今 年 将来某一年 甲 ?岁 ?岁 61岁 乙 4岁 ?岁 ?岁 表中两个“?”表示同一个数～两个“?”表示同一个数。 因为两个人的年龄差总相等:?,4,?,?,61,?～也就是4～?～?～61成等差数列～所以～61应该比4大3个年龄差～ 因此二人年龄差为 ,61,4,?3,19,岁, 共20第55页 甲今年的岁数为 ?,61,19,42,岁, 乙今年的岁数为 ?,42,19,23,岁, 答:甲今年的岁数是42岁～乙今年的岁数是23岁。 11 行船问题 【含义】 行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度;水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和;船只逆水航行的速度是船速与水速之差。 【数量关系】 (顺水速度，逆水速度)?2,船速 (顺水速度,逆水速度)?2,水速 顺水速,船速×2,逆水速,逆水速，水速×2 逆水速,船速×2,顺水速,顺水速,水速×2 【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。 例1 一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行这段路程需用几小时, 解 由条件知～顺水速,船速，水速,320?8～而水速为每小时15千米～所以～船速为每小时 320?8,15,25,千米, 船的逆水速为 25,15,10,千米, 船逆水行这段路程的时间为 320?10,32,小时, 答:这只船逆水行这段路程需用32小时。 例2 甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10小时;乙船逆水行同样一段距离需15小时，返回原地需多少时间, 解由题意得 甲船速，水速,360?10,36 共21第55页 甲船速,水速,360?18,20 可见 ,36,20,相当于水速的2倍～ 所以～ 水速为每小时 ,36,20,?2,8,千米, 又因为～ 乙船速,水速,360?15～ 所以～ 乙船速为 360?15，8,32,千米, 乙船顺水速为 32，8,40,千米, 所以～ 乙船顺水航行360千米需要 360?40,9,小时, 答:乙船返回原地需要9小时。 例3 一架飞机飞行在两个城市之间，飞机的速度是每小时576千米，风 速为每小时24千米，飞机逆风飞行3小时到达，顺风飞回需要几小时, 解 这道题可以按照流水问题来解答。 ,1,两城相距多少千米, ,576,24,×3,1656,千米, ,2,顺风飞回需要多少小时, 1656?,576，24,,2.76,小时, 列成综合算式 ,,576,24,×3,?,576，24, ,2.76,小时, 答:飞机顺风飞回需要2.76小时。 12 列车问题 【含义】 这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长 度。 共22第55页 【数量关系】 火车过桥:过桥时间,(车长，桥长)?车速 火车追及: 追及时间,(甲车长，乙车长，距离) ?(甲车速,乙车速) 火车相遇: 相遇时间,(甲车长，乙车长，距离) ?(甲车速，乙车速) 【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。 例1 一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米, 解 火车3分钟所行的路程～就是桥长与火车车身长度的和。 ,1,火车3分钟行多少米, 900×3,2700,米, ,2,这列火车长多少米, 2700,2400,300,米, 列成综合算式 900×3,2400,300,米, 答:这列火车长300米。 例2 一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥，用了2分5秒钟时间，求大桥的长度是多少米, 解 火车过桥所用的时间是2分5秒,125秒～所走的路程是,8×125,米～这段路程就是,200米，桥长,～所以～桥长为 8×125,200,800,米, 答:大桥的长度是800米。 例3 一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶，一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间, 解 从追上到追过～快车比慢车要多行,225，140,米～而快车比慢车每秒多行,22,17,米～因此～所求的时间为 共23第55页 ,225，140,?,22,17,,73,秒, 答:需要73秒。 例4 一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶，有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来，那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间, 解 如果把人看作一列长度为零的火车～原题就相当于火车相遇问题。 150?,22，3,,6,秒, 答:火车从工人身旁驶过需要6秒钟。 例5 一列火车穿越一条长2000米的隧道用了88秒，以同样的速度通过一条长1250米的大桥用了58秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少, 解 车速和车长都没有变～但通过隧道和大桥所用的时间不同～是因为隧道比大桥长。可知火车在,88,58,秒的时间内行驶了,2000,1250,米的路程～因此～火车的车速为每秒 ,2000,1250,?,88,58,,25,米, 进而可知～车长和桥长的和为,25×58,米～ 因此～车长为 25×58,1250,200,米, 答:这列火车的车速是每秒25米～车身长200米。 13 时钟问题 【含义】 就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。 【数量关系】 分针的速度是时针的12倍， 二者的速度差为11/12。 通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。 【解题思路和方法】 变通为“追及问题”后可以直接利用公式。 共24第55页 例1 从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合, 解 钟面的一周分为60格～分针每分钟走一格～每小时走60格,时针每小时走5格～每分钟走5/60,1/12格。每分钟分针比时针多走,1,1/12,,11/12格。4点整～时针在前～分针在后～两针相距20格。所以 分针追上时针的时间为 20?,1,1/12,? 22,分, 答:再经过22分钟时针正好与分针重合。 例2 四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角, 解 钟面上有60格～它的1/4是15格～因而两针成直角的时候相差15格,包括分针在时针的前或后15格两种情况,。四点整的时候～分针在时针后,5×4,格～如果分针在时针后与它成直角～那么分针就要比时针多走 ,5×4,15,格～如果分针在时针前与它成直角～那么分针就要比时针多走,5×4，15,格。再根据1分钟分针比时针多走,1,1/12,格就可以求出二针成直角的时间。 ,5×4,15,?,1,1/12,? 6,分, ,5×4，15,?,1,1/12,? 38,分, 答:4点06分及4点38分时两针成直角。 例3 六点与七点之间什么时候时针与分针重合, 解 六点整的时候～分针在时针后,5×6,格～分针要与时针重合～就得追上时针。这实际上是一个追及问题。 ,5×6,?,1,1/12,? 33,分, 答:6点33分的时候分针与时针重合。 共25第55页 14 盈亏问题 【含义】 根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余(盈)，一次不足(亏)，或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。 【数量关系】 一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有: 参加分配总人数,(盈，亏)?分配差 如果两次都盈或都亏，则有: 参加分配总人数,(大盈,小盈)?分配差 参加分配总人数,(大亏,小亏)?分配差 【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。 例1 给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个;若每人分4个就少1个。问有多少小朋友,有多少个苹果, 解 按照“参加分配的总人数,(盈，亏)?分配差”的数量关系: ,1,有小朋友多少人, ,11，1,?,4,3,,12,人, ,2,有多少个苹果, 3×12，11,47,个, 答:有小朋友12人～有47个苹果。 例2 修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天;如果每天修300米，修完全长仍得延长4天。这条路全长多少米, 解 题中原定完成任务的天数～就相当于“参加分配的总人数”～按照“参加分配的总人数,,大亏,小亏,?分配差”的数量关系～可以得知 原定完成任务的天数为 ,260×8,300×4,?,300,260,,22,天, 这条路全长为 300×,22，4,,7800,米, 答:这条路全长7800米。 例3 学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人;如果每辆车坐45人，就刚好坐完。问有多少车,多少人, 共26第55页 解 本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”～于是就有 ,1,有多少车, ,30,0,?,45,40,,6,辆, ,2,有多少人, 40×6，30,270,人, 答:有6 辆车～有270人。 15 工程问题 【含义】 工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。 【数量关系】 解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数(它表示单位时间内完成工作总量的几分之几)，进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。 工作量,工作效率×工作时间 工作时间,工作量?工作效率 工作时间,总工作量?(甲工作效率，乙工作效率) 【解题思路和方法】 变通后可以利用上述数量关系的公式。 例1 一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成, 解 题中的“一项工程”是工作总量～由于没有给出这项工程的具体数量～因此～把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需10天完成～那么每天完成这项工程的1/10,乙队单独做需15天完成～每天完成这项工程的1/15,两队合做～每天可以完成这项工程的,1/10，1/15,。 由此可以列出算式: 1?,1/10，1/15,,1?1/6,6,天, 答:两队合做需要6天完成。 例2 一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个, 共27第55页 解 设总工作量为1～则甲每小时完成1/6～乙每小时完成1/8～甲比乙每小时多完成,1/6,1/8,～二人合做时每小时完成,1/6，1/8,。因为二人合做需要,1?,1/6，1/8,,小时～这个时间内～甲比乙多做24个零件～所以 ,1,每小时甲比乙多做多少零件, 24?,1?,1/6，1/8,,,7,个, ,2,这批零件共有多少个, 7?,1/6,1/8,,168,个, 答:这批零件共有168个。 解二 上面这道题还可以用另一种方法计算: 两人合做～完成任务时甲乙的工作量之比为 1/6?1/8,4?3 由此可知～甲比乙多完成总工作量的 4,3 / 4，3 ,1/7 所以～这批零件共有 24?1/7,168,个, 例3 一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成, 解 必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示～就会给计算带来方便～因此～我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数～例如最小公倍数60～则甲乙丙三人的工作效率分别是 60?12,5 60?10,6 60?15,4 因此余下的工作量由乙丙合做还需要 ,60,5×2,?,6，4,,5,小时, 答:还需要5小时才能完成。 例4 一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池;当打开2个进水管 共28第55页 时，需要15小时才能注满水池;现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管, 解 注,排,水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程～水的流量就是工作量～单位时间内水的流量就是工作效率。 要2小时内将水池注满～即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量,一池水,。只要设某一个量为单位1～其余两个量便可由条件推出。 我们设每个同样的进水管每小时注水量为1～则4个进水管5小时注水量为,1×4×5,～2个进水管15小时注水量为,1×2×15,～从而可知 每小时的排水量为 ,1×2×15,1×4×5,?,15,5,,1 即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知 一池水的总工作量为 1×4×5,1×5,15 又因为在2小时内～每个进水管的注水量为 1×2～ 所以～2小时内注满一池水 至少需要多少个进水管, ,15，1×2,?,1×2, ,8.5?9,个, 答:至少需要9个进水管。 16 正反比例问题 【含义】 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定(即商一定)，那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。 共29第55页 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。 【数量关系】 判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。 【解题思路和方法】 解决这类问题的重要方法是:把分率(倍数)转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。 正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。 例1 修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米, 解 由条件知～公路总长不变。 原已修长度?总长度,1?,1，3,,1?4,3?12 现已修长度?总长度,1?,1，2,,1?3,4?12 比较以上两式可知～把总长度当作12份～则300米相当于,4,3,份～从而知公路总长为 300?,4,3,×12,3600,米, 答: 这条公路总长3600米。 例2 张晗做4道应用题用了28分钟，照这样计算，91分钟可以做几道应用题, 解 做题效率一定～做题数量与做题时间成正比例关系 设91分钟可以做X应用题 则有 28?4,91?X 28X,91×4 X,91×4?28 X,13 答:91分钟可以做13道应用题。 共30第55页 例3 孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看24页，15天看完，如果每天看36页，几天就可以看完, 解 书的页数一定～每天看的页数与需要的天数成反比例关系 设X天可以看完～就有 24?36,X?15 36X,24×15 X,10 答:10天就可以看完。 例4 一个大矩形被分成六个小矩形，其中四个小矩形的面积如图所示，求大矩形的面积。 A 25 20 36 B 16 解 由面积?宽,长可知～当长一定时～面积与宽成正比～所以每一上下两个小矩形面积之比就等于它们的宽的正比。又因为第一行三个小矩形的宽相等～第二行三个小矩形的宽也相等。因此～ A?36,20?16 25?B,20?16 解这两个比例～得 A,45 B,20 所以～大矩形面积为 45，36，25，20，20，16,162 答:大矩形的面积是162 17 按比例分配问题 【含义】 所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式:一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。 【数量关系】 从条件看，已知总量和几个部分量的比;从问题看，求几个部分量各是多少。 总份数,比的前后项之和 共31第55页 【解题思路和方法】 先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几(以总份数作分母，比的前后项分别作分子)，再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。 例1 学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵, 解 总份数为 47，48，45,140 一班植树 560×47/140,188,棵, 二班植树 560×48/140,192,棵, 三班植树 560×45/140,180,棵, 答:一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。 例2 用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3?4?5。三条边的长各是多少厘米, 解 3，4，5,12 60×3/12,15,厘米, 60×4/12,20,厘米, 60×5/12,25,厘米, 答:三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25厘米。 例3 从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的1/2，二儿子分总数的1/3，三儿子分总数的1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。 解 如果用总数乘以分率的方法解答～显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法解～则很容易得到 1/2?1/3?1/9,9?6?2 共32第55页 9，6，2,17 17×9/17,9 17×6/17,6 17×2/17,2 答:大儿子分得9只羊～二儿子分得6只羊～三儿子分得2只羊。 例4 某工厂第一、二、三车间人数之比为8?12?21，第一车间比第二车间少80人，三个车间共多少人, 人 数 80人 一共多少 人, 对应的份数 12,8 8，12，21 解 80?,12,8,×,8，12，21,,820,人, 答:三个车间一共820人。 18 百分数问题 【含义】 百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需;分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示“率”;分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数;百分数有一个专门的记号“%”。 在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。 【数量关系】 掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系: 百分数,比较量?标准量 标准量,比较量?百分数 【解题思路和方法】 一般有三种基本类型: (1) 求一个数是另一个数的百分之几; 共33第55页 (2) 已知一个数，求它的百分之几是多少; (3) 已知一个数的百分之几是多少，求这个数。 例1 仓库里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的与剩下的各占原重量的百分之几, 解 ,1,用去的占 720?,720，6480,,10% ,2,剩下的占 6480?,720，6480,,90% 答:用去了10%～剩下90%。 例2 红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，男职工人数比女职工少百分之几, 解 本题中女职工人数为标准量～男职工比女职工少的人数是比较 量 所以 ,525,420,?525,0.2,20% 或者 1,420?525,0.2,20% 答:男职工人数比女职工少20%。 例3 红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，女职工比男职工人数多百分之几, 解 本题中以男职工人数为标准量～女职工比男职工多的人数为比较量～因此 ,525,420,?420,0.25,25% 或者 525?420,1,0.25,25% 答:女职工人数比男职工多25%。 例4 红旗化工厂有男职工420人，有女职工525人，男、女职工各占全厂职工总数的百分之几, 解 ,1,男职工占 420?,420，525,,0.444,44.4% 共34第55页 ,2,女职工占 525?,420，525,,0.556,55.6% 答:男职工占全厂职工总数的44.4%～女职工占55.6%。 例5 百分数又叫百分率，百分率在工农业生产中应用很广泛，常见的百 分率有: 增长率,增长数?原来基数×100% 合格率,合格产品数?产品总数×100% 出勤率,实际出勤人数?应出勤人数×100% 出勤率,实际出勤天数?应出勤天数×100% 缺席率,缺席人数?实有总人数×100% 发芽率,发芽种子数?试验种子总数×100% 成活率,成活棵数?种植总棵数×100% 出粉率,面粉重量?小麦重量×100% 出油率,油的重量?油料重量×100% 废品率,废品数量?全部产品数量×100% 命中率,命中次数?总次数×100% 烘干率,烘干后重量?烘前重量×100% 及格率,及格人数?参加考试人数×100% 19 “牛吃草”问题 【含义】 “牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。 这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。 【数量关系】 草总量,原有草量，草每天生长量×天数 【解题思路和方法】 解这类题的关键是求出草每天的生长量。 共35第55页 例1 一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完, 解 草是均匀生长的～所以～草总量,原有草量，草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”～就是说5 天内的草总量要5 天吃完的话～得有多少头牛, 设每头牛每天吃草量为1～按以下步骤解答: ,1,求草每天的生长量 因为～一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草～ 即,1×10×20,,另一方面～20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量～所以 1×10×20,原有草量，20天内生长量 同理 1×15×10,原有草量，10天内生长量 由此可知 ,20,10,天内草的生长量为 1×10×20,1×15×10,50 因此～草每天的生长量为 50?,20,10,,5 ,2,求原有草量 原有草量,10天内总草量,10内生长量,1×15×10,5×10,100 ,3,求5 天内草总量 5 天内草总量,原有草量，5天内生长量,100，5×5,125 ,4,求多少头牛5 天吃完草 因为每头牛每天吃草量为1～所以每头牛5天吃草量为5。 因此5天吃完草需要牛的头数 125?5,25,头, 答:需要5头牛5天可以把草吃完。 共36第55页 例2 一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，3小时可以淘完;如果只有5人淘水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完, 解 这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是～最后一问给出了人数,相当于“牛数”,～求时间。设每人每小时淘水量为1～按以下步骤计算: ,1,求每小时进水量 因为～3小时内的总水量,1×12×3,原有水量，3小时进水量 10小时内的总水量,1×5×10,原有水量，10小时进水量 所以～,10,3,小时内的进水量为 1×5×10,1×12×3,14 因此～每小时的进水量为 14?,10,3,,2 ,2,求淘水前原有水量 原有水量,1×12×3,3小时进水量,36,2×3,30 ,3,求17人几小时淘完 17人每小时淘水量为17～因为每小时漏进水为2～所以实际上船中每小时减少的水量为,17,2,～所以17人淘完水的时间是 30?,17,2,,2,小时, 答:17人2小时可以淘完水。 20 鸡兔同笼问题 【含义】 这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。 【数量关系】第一鸡兔同笼问题: 假设全都是鸡，则有 : 兔数,(实际脚数,2×鸡兔总数)?(4,2) 共37第55页 假设全都是兔，则有 :鸡数,(4×鸡兔总数,实际脚数)?(4,2) 第二鸡兔同笼问题: 假设全都是鸡，则有:兔数,(2×鸡兔总数,鸡与兔脚之差)?(4，2) 假设全都是兔，则有:鸡数,(4×鸡兔总数，鸡与兔脚之差)?(4，2) 【解题思路和方法】 解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡;如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。 例1 长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡, 解 假设35只全为兔～则 鸡数,,4×35,94,?,4,2,,23,只, 兔数,35,23,12,只, 也可以先假设35只全为鸡～则 兔数,,94,2×35,?,4,2,,12,只, 鸡数,35,12,23,只, 答:有鸡23只～有兔12只。 例2 2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩, 解 此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥,1?2,千克”与“每只鸡有两个脚”相对应～“每亩白菜施肥,3?5,千克”与“每只兔有4只脚”相对应～“16亩”与“鸡兔总数”相对应～“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。假设16亩全都是菠菜～则有 共38第55页 白菜亩数,,9,1?2×16,?,3?5,1?2,,10,亩, 答:白菜地有10亩。 例3 李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本 3 .20元，日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本, 解 此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设45本全都是日记本～则有 作业本数,,69,0.70×45,?,3.20,0.70,,15,本, 日记本数,45,15,30,本, 答:作业本有15本～日记本有30本。 例4 (第二鸡兔同笼问题)鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只, 解 假设100只全都是鸡～则有 兔数,,2×100,80,?,4，2,,20,只, 鸡数,100,20,80,只, 答:有鸡80只～有兔20只。 例5 有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大小和尚各多少人, 解 假设全为大和尚～则共吃馍,3×100,个～比实际多吃,3×100,100,个～这是因为把小和尚也算成了大和尚～因此我们在保证和尚总数100不变的情况下～以“小”换“大”～一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍,3,1/3,个。因此～共有小和尚 ,3×100,100,?,3,1/3,,75,人, 共有大和尚 100,75,25,人, 答:共有大和尚25人～有小和尚75人 共39第55页 21 方阵问题 【含义】 将若干人或物依一定条件排成正方形(简称方阵)，根据已知 条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。 【数量关系】 (1)方阵每边人数与四周人数的关系: 四周人数,(每边人数,1)×4 每边人数,四周人数?4，1 (2)方阵总人数的求法: 实心方阵:总人数,每边人数×每边人数 空心方阵:总人数,(外边人数),(内边人数) 内边人数,外边人数,层数×2 (3)若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则: 总人数,(每边人数,层数)×层数×4 【解题思路和方法】 方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以 每边的数自乘;空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。 例1 在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人， 参加体操表演的同学一共有多少人, 解 22×22,484,人, 答:参加体操表演的同学一共有484人。 例2 有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。 解 10,,10,3×2, ,84,人, 答:全方阵84人。 共40第55页 例3 有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数是28人，这队学生共多少人, 解 ,1,中空方阵外层每边人数,52?4，1,14,人, ,2,中空方阵内层每边人数,28?4,1,6,人, ,3,中空方阵的总人数,14×14,6×6,160,人, 答:这队学生共160人。 例4 一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少个, 解 ,1,纵横方向各增加一层所需棋子数,4，9,13,只, ,2,纵横增加一层后正方形每边棋子数,,13，1,?2,7,只, ,3,原有棋子数,7×7,9,40,只, 答:棋子有40只。 例5 有一个三角形树林，顶点上有1棵树，以下每排的树都比前一排多1棵，最下面一排有5棵树。这个树林一共有多少棵树, 解 第一种方法: 1，2，3，4，5,15,棵, 第二种方法: ,5，1,×5?2,15,棵, 答:这个三角形树林一共有15棵树。 22 商品利润问题 【含义】 这是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。 【数量关系】 利润,售价,进货价 利润率,(售价,进货价)?进货价×100% 售价,进货价×(1，利润率) 共41第55页 亏损,进货价,售价 亏损率,(进货价,售价)?进货价×100% 【解题思路和方法】 简单的题目可以直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。 例1 某商品的平均价格在一月份上调了10%，到二月份又下调了10%，这种商品从原价到二月份的价格变动情况如何, 解 设这种商品的原价为1～则一月份售价为,1，10%,～二月份的售价为,1，10%,×,1,10%,～所以二月份售价比原价下降了 1,,1，10%,×,1,10%,,1% 答:二月份比原价下降了1%。 例2 某服装店因搬迁，店内商品八折销售。苗苗买了一件衣服用去52元，已知衣服原来按期望盈利30%定价，那么该店是亏本还是盈利,亏(盈)率是多少, 解 要知亏还是盈～得知实际售价52元比成本少多少或多多少元～进而需知成本。因为52元是原价的80%～所以原价为,52?80%,元,又因为原价是按期望盈利30%定的～所以成本为 52?80%?,1，30%,,50,元, 可以看出该店是盈利的～盈利率为 ,52,50,?50,4% 答:该店是盈利的～盈利率是4%。 例3 成本0.25元的作业本1200册，按期望获得40%的利润定价出售，当销售出80%后，剩下的作业本打折扣，结果获得的利润是预定的86%。问剩下的作业本出售时按定价打了多少折扣, 解 问题是要计算剩下的作业本每册实际售价是原定价的百分之几。从题意可知～每册的原定价是0.25×,1，40%,～所以关键是求出剩下的每册的实际 共42第55页 售价～为此要知道剩下的每册盈利多少元。剩下的作业本售出后的盈利额等于实际总盈利与先售出的80%的盈利额之差～即 0.25×1200×40%×86%,0.25×1200×40%×80%,7.20,元, 剩下的作业本每册盈利 7.20?,1200×,1,80%,,,0.03,元, 又可知 ,0.25，0.03,?,0.25×,1，40%,,,80% 答:剩下的作业本是按原定价的八折出售的。 例4 某种商品，甲店的进货价比乙店的进货价便宜10%，甲店按30%的利润定价，乙店按20%的利润定价，结果乙店的定价比甲店的定价贵6元，求乙店的定价。 解 设乙店的进货价为1～则甲店的进货价为 1,10%,0.9 甲店定价为 0.9×,1，30%,,1.17 乙店定价为 1×,1，20%,,1.20 由此可得 乙店进货价为 6?,1.20,1.17,,200,元, 乙店定价为 200×1.2,240,元, 答:乙店的定价是240元。 23 存款利率问题 【含义】 把钱存入银行是有一定利息的，利息的多少，与本金、利率、存期这三个因素有关。利率一般有年利率和月利率两种。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数;月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。 【数量关系】 年(月)利率,利息?本金?存款年(月)数×100% 利息,本金×存款年(月)数×年(月)利率 本利和,本金，利息 共43第55页 ,本金×,1，年(月)利率×存款年(月)数, 【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。 例1 李大强存入银行1200元，月利率0.8%，到期后连本带利共取出1488元，求存款期多长。 解 因为存款期内的总利息是,1488,1200,元～ 所以总利率为 ,1488,1200,?1200 又因为已知月利率～ 所以存款月数为 ,1488,1200,?1200?0.8%,30,月, 答:李大强的存款期是30月即两年半。 例2 银行定期整存整取的年利率是:二年期7.92%，三年期8.28%，五年期9%。如果甲乙二人同时各存入1万元，甲先存二年期，到期后连本带利改存三年期;乙直存五年期。五年后二人同时取出，那么，谁的收益多,多多少元, 解 甲的总利息 ,10000×7.92%×2，,10000×,1，7.92%×2,,×8.28%×3 ,1584，11584×8.28%×3,4461.47,元, 乙的总利息 10000×9%×5,4500,元, 4500,4461.47,38.53,元, 答:乙的收益较多～乙比甲多38.53元。 24 溶液浓度问题 【含义】 在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂(水或其它液体)、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液。溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。 共44第55页 【数量关系】 溶液,溶剂，溶质 浓度,溶质?溶液×100% 【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。 例1 爷爷有16%的糖水50克，(1)要把它稀释成10%的糖水，需加水多少克,(2)若要把它变成30%的糖水，需加糖多少克, 解 ,1,需要加水多少克, 50×16%?10%,50,30,克, ,2,需要加糖多少克, 50×,1,16%,?,1,30%,,50 ,10,克, 答:,1,需要加水30克～,2,需要加糖10克。 例2 要把30%的糖水与15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克, 解 假设全用30%的糖水溶液～那么含糖量就会多出 600×,30%,25%,,30,克, 这是因为30%的糖水多用了。于是～我们设想在保证总重量600克不变的情况下～用15%的溶液来“换掉”一部分30%的溶液。这样～每“换掉”100克～就会减少糖 100×,30%,15%,,15,克, 所以需要“换掉”30%的溶液,即“换上”15%的溶液, 100×,30?15,,200,克, 由此可知～需要15%的溶液200克。 需要30%的溶液 600,200,400,克, 答:需要15%的糖水溶液200克～需要30%的糖水400克。 例3 甲容器有浓度为12%的盐水500克，乙容器有500克水。把甲中盐水的一半倒入乙中，混合后再把乙中现有盐水的一半倒入甲中，混合后又把甲中 共45第55页 的一部分盐水倒入乙中，使甲乙两容器中的盐水同样多。求最后乙中盐水的百分比浓度。 解 由条件知～倒了三次后～甲乙两容器中溶液重量相等～各为500克～因此～只要算出乙容器中最后的含盐量～便会知所求的浓度。下面列表推算: 甲容器 乙容器 原 有 盐水500 水500 盐500×12%,60 第一次把甲中一盐水500?2,250 盐水500，250,750 半倒入乙中后 盐60?2,30 盐30 第而次把乙中一盐水250，375,625 盐水750?2,375 半倒入甲中后 盐30，15,45 盐30?2,15 第三次使甲乙中 盐水500 盐水500 盐水同样多 盐45,9,36 盐45,36，15,24 由以上推算可知～ 乙容器中最后盐水的百分比浓度为 24?500,4.8% 答:乙容器中最后的百分比浓度是4.8%。 25 构图布数问题 【含义】 这是一种数学游戏，也是现实生活中常用的数学问题。所谓“构图”，就是设计出一种图形;所谓“布数”，就是把一定的数字填入图中。“构图布数”问题的关键是要符合所给的条件。 【数量关系】 根据不同题目的要求而定。 共46第55页 【解题思路和方法】 通常多从三角形、正方形、圆形和五角星等图形方面考虑。按照题意来构图布数，符合题目所给的条件。 例1 十棵树苗子，要栽五行子，每行四棵子，请你想法子。 解 符合题目要求的图形应是一个五角星。 4×5?2,10 因为五角星的5条边交叉重复～应减去一半。 例2 九棵树苗子，要栽十行子，每行三棵子，请你想法子。 解 符合题目要求的图形是两个倒立交叉的等腰三角形～ 一个三角形的顶点在另一个三角形底边的中线上。 例3 九棵树苗子，要栽三行子，每行四棵子，请你想法子。 解 符合题目要求的图形是一个三角形～每边栽4棵树～三个顶点上重复应减去～正好9棵。 4×3,3,9 例4 把12拆成1到7这七个数中三个不同数的和，有几种写法,请设计一种图形，填入这七个数，每个数只填一处，且每条线上三个数的和都等于12。 解 共有五种写法～即 12,1，4，7 12,1，5，6 12,2，3，7 12,2，4，6 12,3，4，5 在这五个算式中～4出现三次～其余的1、2、3、5、6、7各出现两次～因此～4应位于三条线的交点处～其余数都位于两条线的交点处。据此～我们可以设计出以下三种图形: 26 幻方问题 【含义】 把n×n个自然数排在正方形的格子中，使各行、各列以及对角线上的各数之和都相等，这样的图叫做幻方。最简单的幻方是三级幻方。 共47第55页 【数量关系】 每行、每列、每条对角线上各数的和都相等，这个“和”叫做“幻和”。 三级幻方的幻和,45?3,15 五级幻方的幻和,325?5,65 【解题思路和方法】首先要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和(即幻和)，其次是确定正中间方格的数，然后再确定其它方格中的数。 例1 把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入九个方格中，使每行、每列、每条对角线上三个数的和相等。 解 幻和的3倍正好等于这九个数的和～所以幻和为 ,1，2，3，4，5，6，7，8，9,?3,45?3,15 九个数在这八条线上反复出现构成幻和时～每个数用到的次数不全相同～最中心的那个数要用到四次,即出现在中行、中列、和两条对角线这四条线上,～四角的四个数各用到三次～其余的四个数各用到两次。看来～用到四次的“中心数”地位重要～宜优先考虑。 设“中心数”为Χ～因为Χ出现在四条线上～而每条线上三个数之和等于15～所以 ,1，2，3，4，5，6，7，8，9,，,4,1,Χ,15×4 即 45，3Χ,60 所以 Χ,5 2 7 6 接着用奇偶分析法寻找其余四个偶数的位置～它们 9 5 1 分别在四个角～再确定其余四个奇数的位置～它们分别 4 3 8 在中行、中列～进一步尝试～容易得到正确的结果。 例2 把2，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数填到九个方格中， 使每行、每列、以及对角线上的各数之和都相等。 解 只有三行～三行用完了所给的9个数～所以每行三数之和为 共48第55页 ,2，3，4，5，6，7，8，9，10,?3,18 假设符合要求的数都已经填好～那么三行、三列、两条对角线共8行上的三个数之和都等于18～我们看18能写成哪三个数之和: 最大数是10:18,10，6，2,10，5，3 最大数是9: 18,9，7，2,9，6，3,9，5，4 最大数是8: 18,8，7，3,8，6，4 最大数是7: 18,7，6，5 刚好写成8个算式。 首先确定正中间方格的数。第二横行、第二竖行、两个斜行都用到正中间方格的数～共用了四次。观察上述8个算式～只有6被用了4次～所以正中间方格中应填6。 然后确定四个角的数。四个角的数都用了三次～而上述8个算式中9 2 7 只有9、7、5、3被用了三次～所以9、7、5、3应填在四个角上。4 6 8 但还应兼顾两条对角线上三个数的和都为18。 5 10 3 最后确定其它方格中的数。如图。 27 抽屉原则问题 【含义】 把3只苹果放进两个抽屉中，会出现哪些结果呢,要么把2只苹果放进一个抽屉，剩下的一个放进另一个抽屉;要么把3只苹果都放进同一个抽屉中。这两种情况可用一句话表示:一定有一个抽屉中放了2只或2只以上的苹果。这就是数学中的抽屉原则问题。 【数量关系】 基本的抽屉原则是:如果把n，1个物体(也叫元素)放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体(元素)。 抽屉原则可以推广为:如果有m个抽屉，有k×m，r(0,r?m)个元素那么至少有一个抽屉中要放(k，1)个或更多的元素。 共49第55页 通俗地说，如果元素的个数是抽屉个数的k倍多一些，那么至少有一个抽屉要放(k，1)个或更多的元素。 【解题思路和方法】 (1)改造抽屉，指出元素; (2)把元素放入(或取出)抽屉; (3)说明理由，得出结论。 例1 育才小学有367个1999年出生的学生，那么其中至少有几个学生的生日是同 一天的, 解 由于1999年是润年～全年共有366天～可以看作366个“抽屉”～把367个1999年出生的学生看作367个“元素”。367个“元素”放进366个“抽屉”中～至少有一个“抽屉”中放有2个或更多的“元素”。 这说明至少有2个学生的生日是同一天的。 例2 据说人的头发不超过20万跟，如果陕西省有3645万人，根据这些数据，你知道陕西省至少有多少人头发根数一样多吗, 解 人的头发不超过20万根～可看作20万个“抽屉”～3645万人可看作3645万个“元素”～把3645万个“元素”放到20万个“抽屉”中～得到 3645?20,182……5 根据抽屉原则的推广规律～可知k，1,183 答:陕西省至少有183人的头发根数一样多。 例3 一个袋子里有一些球，这些球仅只有颜色不同。其中红球10个，白球9个，黄球8个，蓝球2个。某人闭着眼睛从中取出若干个，试问他至少要取多少个球，才能保证至少有4个球颜色相同, 解 把四种颜色的球的总数,3，3，3，2,,11 看作11个“抽屉”～那么～至少要取,11，1,个球才能保证至少有4个球的颜色相同。 答,他至少要取12个球才能保证至少有4个球的颜色相同。 共50第55页 28 公约公倍问题 【含义】 需要用公约数、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题。 【数量关系】 绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。 【解题思路和方法】 先确定题目中要用最大公约数或者最小公倍数，再求出答案。最大公约数和最小公倍数的求法，最常用的是“短除法”。 例1 一张硬纸板长60厘米，宽56厘米，现在需要把它剪成若干个大小相同的最大的正方形，不许有剩余。问正方形的边长是多少, 解 硬纸板的长和宽的最大公约数就是所求的边长。 60和56的最大公约数是4。 答:正方形的边长是4厘米。 例2 甲、乙、丙三辆汽车在环形马路上同向行驶，甲车行一周要36分钟，乙车行一周要30分钟，丙车行一周要48分钟，三辆汽车同时从同一个起点出发，问至少要多少时间这三辆汽车才能同时又在起点相遇, 解 要求多少时间才能在同一起点相遇～这个时间必定同时是36、30、48的倍数。因为问至少要多少时间～所以应是36、30、48的最小公倍数。 36、30、48的最小公倍数是720。 答:至少要720分钟,即12小时,这三辆汽车才能同时又在起点相遇。 例3 一个四边形广场，边长分别为60米，72米，96米，84米，现要在四角和四边植树，若四边上每两棵树间距相等，至少要植多少棵树, 解 相邻两树的间距应是60、72、96、84的公约数～要使植树的棵数尽量少～须使相邻两树的间距尽量大～那么这个相等的间距应是60、72、96、84这几个数的最大公约数12。 所以～至少应植树 ,60，72，96，84,?12,26,棵, 答:至少要植26棵树。 共51第55页 例4 一盒围棋子，4个4个地数多1个，5个5个地数多1个，6个6个地数还多1个。又知棋子总数在150到200之间，求棋子总数。 解 如果从总数中取出1个～余下的总数便是4、5、6的公倍数。因为4、5、6的最小公倍数是60～又知棋子总数在150到200之间～所以这个总数为 60×3，1,181,个, 答:棋子的总数是181个。 29 最值问题 【含义】 科学的发展观认为，国民经济的发展既要讲求效率，又要节约能源，要少花钱多办事，办好事，以最小的代价取得最大的效益。这类应用题叫做最值问题。 【数量关系】 一般是求最大值或最小值。 【解题思路和方法】 按照题目的要求，求出最大值或最小值。 例1 在火炉上烤饼，饼的两面都要烤，每烤一面需要3分钟，炉上只能同时放两块饼，现在需要烤三块饼，最少需要多少分钟, 解 先将两块饼同时放上烤～3分钟后都熟了一面～这时将第一块饼取出～放入第三块饼～翻过第二块饼。再过3分钟取出熟了的第二块饼～翻过第三块饼～又放入第一块饼烤另一面～再烤3分钟即可。这样做～用的时间最少～为9分钟。 答:最少需要9分钟。 例2 在一条公路上有五个卸煤场，每相邻两个之间的距离都是10千米，已知1号煤场存煤100吨，2号煤场存煤200吨，5号煤场存煤400吨，其余两个煤场是空的。现在要把所有的煤集中到一个煤场里，每吨煤运1千米花费1元，集中到几号煤场花费最少, 共52第55页 解 我们采用尝试比较的方法来解答。 集中到1号场总费用为 1×200×10，1×400×40,18000,元, 集中到2号场总费用为 1×100×10，1×400×30,13000,元, 集中到3号场总费用为 1×100×20，1×200×10，1×400×10,12000,元, 集中到4号场总费用为 1×100×30，1×200×20，1×400×10,11000,元, 集中到5号场总费用为 1×100×40，1×200×30,10000,元, 经过比较～显然～集中到5号煤场费用最少。 答:集中到5号煤场费用最少。 例3 北京和上海同时制成计算机若干台，北京可调运外 重庆 武汉 地10台，上海可调运外地4台。现决定给重庆调运8台，给北京 800 400 武汉调运6台，若每台运费如右表，问如何调运才使运费最上海 500 300 省, 解 北京调运到重庆的运费最高～因此～北京 往重庆应尽量少调运。这样～把上海的4台全都调 往重庆～再从北京调往重庆4台～调往武汉6台～运费就会最少～其数额为 500×4，800×4，400×6,7600,元, 答:上海调往重庆4台～北京调往武汉6台～调往重庆4台～这样运费最少。 30 列方程问题 【含义】 把应用题中的未知数用字母Χ代替，根据等量关系列出含有未知数的等式——方程，通过解这个方程而得到应用题的答案，这个过程，就叫做列方程解应用题。 【数量关系】 方程的等号两边数量相等。 共53第55页 【解题思路和方法】 可以概括为“审、设、列、解、验、答”六字法。 (1)审:认真审题，弄清应用题中的已知量和未知量各是什么，问题中的等量关系是什么。 (2)设:把应用题中的未知数设为Χ。 (3)列;根据所设的未知数和题目中的已知条件，按照等量关系列出方程。 (4)解;求出所列方程的解。 (5)验:检验方程的解是否正确，是否符合题意。 (6)答:回答题目所问，也就是写出答问的话。 同学们在列方程解应用题时，一般只写出四项内容，即设未知数、列方程、解方程、答语。设未知数时要在Χ后面写上单位名称，在方程中已知数和未知数都不带单位名称，求出的Χ值也不带单位名称，在答语中要写出单位名称。检验的过程不必写出，但必须检验。 例1 甲乙两班共90人，甲班比乙班人数的2倍少30人，求两班各有多少人, 解 第一种方法:设乙班有Χ人～则甲班有,90,Χ,人。 找等量关系:甲班人数,乙班人数×2,30人。 列方程: 90,Χ,2Χ,30 解方程得 Χ,40 从而知 90,Χ,50 第二种方法:设乙班有Χ人～则甲班有,2Χ,30,人。 列方程 ,2Χ,30,，Χ,90 解方程得 Χ,40 从而得知 2Χ,30,50 答:甲班有50人～乙班有40人。 例2 鸡兔35只，共有94只脚，问有多少兔,多少鸡, 共54第55页 解 第一种方法:设兔为Χ只～则鸡为,35,Χ,只～兔的脚数为4Χ个～鸡的脚数为2,35,Χ,个。根据等量关系“兔脚数，鸡脚数,94”可列出方程 4Χ，2,35,Χ,,94 解方程得 Χ,12 则35,Χ,23 第二种方法:可按“鸡兔同笼”问题来解答。假设全都是鸡～ 则有 兔数,,实际脚数,2×鸡兔总数,?,4,2, 所以 兔数,,94,2×35,?,4,2,,12,只, 鸡数,35,12,23,只, 答:鸡是23只～兔是12只。 例3 仓库里有化肥940袋，两辆汽车4次可以运完，已知甲汽车每次运125袋，乙汽车每次运多少袋, 解 第一种方法:求出甲乙两车一次共可运的袋数～再减去甲车一次运的袋数～即是所求。 940?4,125,110,袋, 第二种方法:从总量里减去甲汽车4次运的袋数～即为乙汽车共运的袋数～再除以4～即是所求。 ,940,125×4,?4,110,袋, 第三种方法:设乙汽车每次运Χ袋～可列出方程 940?4,Χ,125 解方程得 Χ,110 第四种方法:设乙汽车每次运Χ袋～依题意得 ,125，Χ,×4,940 解方程得 Χ,110 答:乙汽车每次运110袋。 共55第55页