不定积分论文

不定积分论文 目录 摘要„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(1) 关键字 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(2) 前言„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(2) 1.概念„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(3) 1.1不定积分„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(3) 1.2定积分„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(4) 1.3瑕积分„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(5) 2不定积分与定积分的联系与区别„„„„„„„„„„„„„(6) 2.1定义上„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(6) 2.2性质上„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(8) 3定积分与瑕积分的联系与区别„„„„„„„„„„„„„„(11) 3.1定义上„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(12) 3.2性质上„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(12) 4总结„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(14) 参考文献„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(14) 致谢„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(15) 浅谈数学分析中几类积分的联系与区别 摘要 本文主要从概念和性质两方面分别讨论了不定积分、定积分与瑕 积分之间的联系与区别.它们“形式”形式相像，相互之间又存在内 在的联系，但如果忽视他们本质上的不同之处，将会导致很多错误. 为此，本文就他们之间在定义上和性质上的联系与区别展开讨论，这 将会有助于正确理解和掌握这三类积分. 关键字 不定积分 定积分 瑕积分 性质 区别 Discussion on relation and difference of several integrals in mathematical analysis Abstract This essay mainly discusses the relation and difference of indefinite integral,definite integral and generalized integral from two sides:concept and character.Their shapes are similar,and they have inherent connection from each other,but if their innate differences are ignored,that will make much mistake.Therefore,here spread out the discuss about the similar and difference from their concepts and characters,that should make useful for comprehending and knowing these three integrals well. Key words:indefinite integral definite integral generalized integral character difference 前言 公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究如何解决抛物弓形的面积，球和球冠的面积，螺线下面积和螺旋双曲体的体积问题中，就隐含着现代积分学的思想.他用球体薄片的叠加与球的外切圆柱和相关圆锥薄片的叠加，并采用杠杆原理得到球的体积公式.我国三国时期的刘徽在解决面积和体积问题的时候，采用了出入相补和以盈补虚的思想，在求圆周率的方法采用了割圆术中指出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.到公元五世纪，中国数学家祖冲之与其子祖日恒提出了“缘幂势既同，则积不容易”，这都是积分概念的雏形. 积分真正的发展要在十七世纪以后，牛顿的《流数简论》标志着微积分的诞生，莱布尼茨对积分也作出了巨大的贡献.十八世纪，数学的发展进入了分析时代，但是积分的概念一直受着面积观念的影响，直到柯西才能真正的从分析角度给出了积分的构造性定义.此外，柯西具有创造性的从“和式极限”这个观点出发，使积分作为一个独立个体从微分中分离出来. 本文所探讨是大学数学系数学与应用数学专业的数学分析课程的内容，所涉及的包括不定积分、定积分和瑕积分的内容.主要讨论这三类积分在概念和性质两方面的联系与区别.由于数学分析中的各类积分都存在本质上的联系，但又各不相同，本文的意义就在于能够比较系统地分析和总结这三类积分关系，便于解决实际问题. 1概念 1.1不定积分 正如加法有其逆运算减法，乘法有其逆运算除法一样，微分法也有它的逆运算——积分法.我们知道，微分法的基本问题是研究如何从已知函数求出它的导函数，那么与之相反的问题是:求一个未知函数，使其导函数恰好是某一已知函数. FI 定义1 设函数与在区间上都有定义，若 f , , ，，，，Fx,fx,x,I FI则称为f在区间上的一个原函数. II 定义2 函数f在区间上的全体原函数称为f在上的不定积分，记作 f(x)dx ， , 其中称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，x称f(x)f(x)dx, 为被积变量. F 由定义2可见，不定积分与原函数是总体与个体的关系，即若 ,,ff是的一个原函数，则的不定积分是一个原函数族F，C，其中是C任意常数.为方便起见，通常写作 f(x)dx,F(x)，C . , 这时又称C为积分常数，它可以任取一实数值. 1.2定积分 ,, 定义1 设闭区间a,b上有个点，依次为 n,1 axxxxxb,,,,,,,， 0121nn, 它们把分成个小区间,.这些分点或这些闭子n,,a,b,,,,x,xi,1,2,,,,,nii,1i 区间构成对的一个分割，记为 ,,a,b 或. Txxx,{,,}{,,},,,01n12n小区间的长度为，并记 ,,,,xxxiiii,1 , ,,T,max,xi1,,in T称为分割的模. 注 由于，因此T可用来反映被分割的细,,,x,T,i,1,2,,,,,na,bi 密程度.另外,分割一旦给出，T就随之而确定;但是，具有同一细度 TT的分割却又无限多个. 定义2 设f是定义在,,上的一个函数，是一个确定的实数.a,bJ T若对任给的正数，总存在某一正数，使得对,,的任何分割，以,a,b, ,,,T,,及在其上任意选取的点集，只要，就有 i n , f(,),x,J,,,iii,1 f,,f,,则称函数在区间a,b上可积;数称为在区间a,b上的定积分，J 记作 bJ,f(x)dx, . a fx,,a其中，称为被积函数，称为积分变量，a,b称为积分区间，、b 分别称为这个定积分的上限和下限. 1.3瑕积分 f，a,b,定义1 设函数在定义在区间上，且点的任一右邻域内无 界，在任何内闭区间上有界且可积，如果存在极限 b , (1) limf(x)dx,J,，uu,a 则称此极限为无界函数在上的反常积分，记作 b ， J,f(x)dx,a b并称反常积分收敛.如果极限(1)不存在，这时也说反常积f(x)dx,a b分发散. f(x)dx,a 在定义1中，被积函数在点近旁是无界的，这时点称为的ffaa b瑕点，而无界函数反常积分又称为瑕积分. f(x)dx,a 类似地，可定义瑕点为时的瑕积分: b bu . f(x)dx,limf(x)dx,,,aa,ub 其中f在，有定义，在点的任一左邻域内无界，但在任何,a,bb 上可积. ,,,，a,u,a,b 若f的瑕点，则定义瑕积分 ，，c,a,b bcbub . (2) f(x)dx,f(x)dx，f(x)dx,limf(x)dx，limf(x)dx,,,,,,，aacav,,ucvc其中f在,，，,上有定义，在点的任一邻域内无界，但在任何a,c,c,bc 和上都可积，当且仅当(2)式右边两个瑕积分,,,，,,，,a,u,a,cv,b,c,b 都收敛时，左边的瑕积分才是收敛的. ff又若、两点都是的瑕点，而在任何,,，，上可积，这au,v,a,bb 时定义瑕积分 bcbcvf(x)dx,f(x)dx，f(x)dx,limf(x)dx，limf(x)dx. (3) ,,,,,，,aacuc,,uavb ，，a,b其中c为内任一实数.同样地，当且仅当(3)式右边两个瑕积分 都收敛时，左边的瑕积分才是收敛的. 2不定积分与定积分的联系与区别 2.1定义上 b求定积分，即是在闭区间上对某个量进行分割、累,,a,bf(x)dx,a 积的过程.英文短语definite integral恰好反映了这个计算过程的本质.而不定积分表示的是的全体原函数，既没有分割，也没f(x)dxf(x), 有积累，为什么也称为“积分”呢,下面将通过重新定义不定积分，证明把“不定积分”称为“积分”也是合理的. 设是闭区间上的连续函数,不妨设.一方,,f(x)a,b,,f(x),0(x,a,b) x面，变上限定积分是在上的一个原函数.,,f(x)a,b,,,(x),f(t)dt(x,a,b),a 另一方面，把连续延拓到，得到，使满足条件:f(x)，，F(x)F(x),,,，, aa，，.让下限变动到，得到变动上sF(x),0F(t)dt,，,F(t)dt,,,,,,,，, 限与变动下限的定积分 x ，. ，，s,,,,，,F(t)dt,s 则 xaxa . F(t)dt,F(t)dt，F(t)dt,,(x)，F(t)dt,,,,ssas aaa因为是s的连续函数，且，,所以，F(t)dtF(t)dt,，,F(t)dt,,,,,,,,，,s ,对于任意常数c，根据连续函数的介值性定理，存在，使得sa. F(t)dt,c,,s x以上的分析结果可以总结为:令变动上限为自变量，变动下限 xs,,为参数，则形式定积分就是f(x)在a,b上的不定积分.也就是F(t)dt,s 说，不定积分是一种特殊形式的定积分，是上限与下限都不定的定积分.因此可以说明，把不定积分称为积分是合理的. ,,,,f(x)a,b 当f(x),0,x,a,b时，或当在上不定号时，也可以类似讨 论，并得到同样的结果. x注:这里说形式定积分就是在上的不定积分，此,,f(x)a,bF(t)dt,s 时被积函数是，而不是原来的函数. f(x)F(t) 在很多教科书中，对不定积分的定义是强加的，并没有说明为什么能够将称为“积分”，就更谈不上不定了.这里揭示f(x)dx,F(x)，c, 了这两种积分的内在联系:定积分就是积分上、下限都确定的积分，不定积分就是积分上、下限都不定的积分.因此，两种积分在本质上是相似的. 虽然，不定积分与定积分本质相似，不定积分是一种特殊形式的定积分，但是，在概念上，两种积分是根本不同的.的不定积分f(x)就是它的全体原函数，而在区间,,上的定积分是一个极限值，即为a,b 是一个常数，这个常数仅仅依赖于被积函数和积分区间,,，与f(x)a,b积分变量的字母表示无关. 不定积分与定积分所分别表示的几何意义也是不同的.f(x)的不定积分的几何意义是以为其方程的一簇积分曲线.而在y,F(x)，cf(x) ,,区间a,b上的定积分的几何意义是由曲线y,f(x)在直线x,a,x,b以及x轴所围成的曲边梯形的面积. 2.2性质上 ,F,, 定理2.1 若函数在a,b上连续，且存在原函数，即，F(x),f(x)f f,,,,a,bx,a,b，则在上可积，且 b . f(x)dx,F(b),F(a),a 这成为牛顿—莱布尼茨公式. b定积分，原为求函数的极限，计算复杂.牛顿—莱布尼茨f(x)dx,a 公式的意义就在于把不定积分与定积分联系起来了，为求定积分提供了一个很有效的方法，实质上是将定积分的求解归结为求不定积分的 b原函数.只要求出的一个原函数，那么定积分就等于f(x)f(x)f(x)dx,a 的原函数在区间上的增量. ,,a,bF(x)F(b),F(a) 牛顿—莱布尼茨公式体现了原函数与定积分的关系，但是原函数存在与函数可积并非充分条件，因此，运用牛顿—莱布尼茨公式时必须注意条件. 121,xx2sin,cos,,0,2fx例 函数(),存在原函数xxx, ,x0,,0, 1,2xxsin,,021,2，但f(x)在,,上不可积，因为在,,上Fx,1,1,1,1(),cosx,2xx,x0,,0, 无界. 此外，对于定积分的计算，不定积分的换元积分法和分部积分法也适用. 换元积分法 ,,,,定理2.2 设在,,,上有定义，u,(x)在a,b上可导，且,g(u) ，,,，并记 ,,,(x),,(x)x,a,b , ，,,. f(x),g(,(x)),(x)x,a,b ,,,,,,,a,b(i)若在上存在原函数，则在上也存在原函g(u)G(u)f(x) ,，即 数F(x),G(,(x))，cF(x) , f(x)dx,g(,(x)),(x)dx,g(u)du,G(u)，C,G(,(x))，C. ,,, ,,x,a,b,(ii)又若，，则上述命题(i)可逆，即当在,,(x),0a,b,f(x)上存在原函数时，在上也存在原函数，且,,,,,F(x)g(u)G(u) ,1，即 G(u),F(,(u))，C ,1, . g(u)du,g(,(x)),(x)dx,f(x)dx,F(x)，C,F(,(u))，C,,, 定理2.2' 若函数在上连续，在上连续可微，且满足 f,,,,a,b,,,, ，，，， (),a(),b,,,,,,a,,(t),bt,,,, 则有定积分换元公式: b,, . (1) f(x)dxf(,(t)),(t)dt,,,a, 证 由于(1)式两边的被积函数都是连续函数，因此他们的原函 F数都存在.设是f在,,上的一个原函数，由复合函数微分法 a,b d,,, ， F,((t)),F(,(t)),(t),f(,(t)),(t)dt ,可见是的一个原函数.根据牛顿—莱布尼茨公式，证f((t))(t),,F(,(t)) 得 ,b, . f(,(t)),(t)dt,F(,(,)),F(,(,)),F(b),F(a),f(x)dx,,a, 从以上证明看到，在用还原法计算定积分时，一旦得到了新变量表示的原函数后，不必作变量还原而只要用新的积分限带入并求其差就可以了，这就是定积分换元积分法与不定积分换元法的区别，这一原因在于不定积分所求的是被积函数式的原函数，理应保留与原来相同的自变量;而定积分的计算结果是一个确定的数，如果式一边的定积分计算出来了，那么另一边的定积分自然也求得了. 分部积分法 , 定理2.3 若u(x)与v(x)可导，不定积分u(x)v(x)dx存在，则, ,也存在，并有 u(x)v(x)dx, ,, . (2) u(x)v(x),u(x)v(x),u(x)v(x)dx,, 定理2.3' 若，为上的连续可微函数，则有定积分分,,a,bu(x)v(x) 部积分公式: bbb,, . u(x)v(x)dx,u(x)v(x),u(x)v(x)dx,,aaa 证 因为是在上的一个原函数，所以有 bbbb,,,, . uxvxdxuxvxdxuxvxuxvxdxuxvx,,()()，()(),()()，()(),()(),,,aaaa移向后即为(2)式. 不定积分的性质 性质1 不为0的常数因子可以移到积分号前. 性质2 不定积分的线性性质 ,,. f(x),g(x)dx,f(x)dx,g(x)dx,,, 推广:,,，其中、为常数，mf(x),ng(x)dx,mf(x)dx,ng(x)dxmn,,, 22且. m，n,0 定积分的性质 性质1 被积函数的常数因子可以提到定积分符号前,即 bbA (为常数). Af(x)dx,Af(x)dx,,aa 性质2 函数的代数和的定积分等于他们的定积分的代数和，即 bbb . ,,f(x),g(x)dx,f(x)dx,g(x)dx,,,aaa这个性质对有限个函数代数和也成立. 性质3 积分的上下限对换则定积分变号，即 ba . f(x)dx,,f(x)dx,,ab 性质4 如果将区间分成两个子区间及，那这子区间,,,,,,a,ba,cc,b分成有限个的情形也成立. bb性质5 如果在区间上，，则，,,a,bf(x),g(x)f(x)dx,g(x)dx,,aa . ，，a,b 通过对比可以看出，不定积分与定积分有相同性质1与性质2. 即，不定积分的两个性质对定积分都适用. 3定积分与瑕积分的联系与区别 3.1定义上 b符号“”是在上的定积分还是瑕积分，由被积,,a,bf(x)f(x)dx,a 函数在上是否有界所确定. ,,a,bf(x) b若“”是定积分，则于上一定有界;反之，在,,a,bf(x)f(x)f(x)dx,a 于上有界条件下，才讨论是否存在定积分. ,,a,b b若“”是瑕积分，则于上一定无界;反之，在,,a,bf(x)f(x)f(x)dx,a 于上无界条件下，才讨论瑕积分是否收敛. ,,a,b 怎样把这两种积分联系起来，用定积分的有关知识解决瑕积分的 敛散问题，是我们要关注的问题.我们看以下例子: 若函数在点的任意邻域都无界，称是的瑕点. f(x)bbf(x) 若是的瑕点，且，函数在,,上可积，a,b,,bf(x),,:0,,,b,af(x) b,,b极限limf(x)dx存在，则称瑕积分收敛，记为 f(x)dx,,，aa0,, bb,, . f(x)dx,limf(x)dx,,，aa0,, 由上限为瑕点积分为例，得出: b (1)瑕积分中函数的瑕点都是“孤立点”，不可能是的任何,,a,b子区间，否则，不成立“，在可积”. ,,a,b,,,,:0,,,b,af(x) (2)瑕积分收敛的定义可用定积分知识给出.转换过程是首先去 掉瑕点，在上转换为定积分，再利用极限工具，过渡到瑕积分，,,a,b,, 即 ,b,,,,(),f(x)dxbb,,a 去掉瑕点瑕积分f(x)dx定积分,瑕积分f(x)dx,A,,,aa极限,,lim(),未知已知,，,,0,3.2性质上 2定积分中，与f(x)三者关系 f(x)f(x) 2(1)若于上可积，则，皆于上可积，反f(x),,a,b,,a,bf(x)f(x) 之，不一定成立. ,,f(x),f(x)00,f(x)0,,，,事实上，设,，,， f(x)f(x),,0,f(x),0,f(x),f(x),0,, 2，,有， f(x),f(x)，f(x)f(x),f(x),f(x) 2由定积分性质，f(x)于上可积. ,,a,b,f(x) 1,x,0,1,有理数,,,f(x),反之，. ,,,,1,x,0,1,无理数, 2f(x),,,,则,于0,1上可积，但于0,1上不可积. f(x)f(x) 2f(x)(2)于,,a,b上可积于,,a,b上可积. f(x), 2事实上，由f(x),f(x)，依据复合函数可积性，结论成立. 2f(x)瑕积分中，与三者关系 f(x)f(x) bbb2(1)瑕积分或收敛，则瑕积分收敛，f(x)dxf(x)dxf(x)dx,,,aaa反之不一定成立. 2b1()，fx2事实上，由及收敛1()0()，，f(x)dx,fx,,fx,,a2 b，结论成立. ,f(x)dx,a 1112反之，例如:f(x),,收敛，但发散。 f(x)dxf(d)dx,,00x 1cosx11f(x),，收敛，但发散。 f(x)dxf(x)dxx,,00 bb2(2)瑕积分收敛，则收敛，反之不一定成立. f(x)dxf(x)dx,,aa 21()，fx事实上，由()，得结论成立. fx,2 1112f(x),反之，例如:，收敛，但发散. f(x)dxf(d)dx,,00x 综上所述，得到下列对比关系: 上的定积分 上的瑕积分 ,,a,b,,a,b bb f(x)dxf(x)dx,,aa ,,,, bbbb22 ,,f(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx,,,,aaaa 4总结 本文从积分的定义入手，用定积分的形式来重新定义不定积分，揭示不定积分与定积分的内在联系，同时证明了不定积分也称为积分的合理性.又根据概念和性质上的不同，将不定积分与定积分区分开来.对于定积分与瑕积分，它们是完全不同的两个概念，他们之所以能联系起来，是因为瑕积分收敛的定义可以用定积分知识给出，通过 去掉瑕点，将瑕积分转为定积分，再利用极限工具，过渡到定积分. 参考文献 [1]华东师范大学数学系.数学分析 (第三版) 上册 [M]，北京:高等教育出版社，2006. 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