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复变函数 复变函数与积分变换在自动控制原理中的应用 姓 名： 何缘鸽 学 号： 092410101 学院(系)： 电气与电子工程系 专业： 自动化 指导教师： 秦志新 评阅人： 复变函数与积分变换在自动控制原理中的应用 【摘要】： 复变函数与积分变换的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学、电磁学、热学、弹性理论中的平面问的有力工具。而自然科学和生产技术的发展又极大地推动了复变函数的发展，丰富了它的。我们在学习的过程中，要正确理解和掌握复变函数中的数学概念和方法，逐步培养利用这些概念和方法解决实际问题的能力。文中简单地介绍了该门课程在自动控制理论中的应用。 【关键词】： 线性系统 Z变换 卷积 拉普拉斯变换 【正文】： 提出问题： 众所周知，复变函数中的许多概念、理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展，因而它们之间有许多相似之处。但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了taylor级数展开laplace变换和fourier变换后而使其显得更加重要了。 随着教育事业的不断发展与更新，一些新的处理数据的方法越来越多的应用于我们的日常专业学习中。当然复变函数在自动控制原理方面的应用也更大的加快了自动化的发展，自动控制与信号处理也更加离不开一套有效的处理方法。但是常规的Fourier变换的运算的范围还是有限的，如何去解决一些不能展开成Fourier级数的信号成了我们的首要问题。 分析问题： 虽然常规的Fourier变换的运算的范围是有限的，，但Laplace变换、Z变换等填补了Fourier变换的不足之处，究竟其有什么好处呢？下面就介绍一些例子，从中就能看出。 例1： 如图1所示电路，原处于稳态，开关S于t=0时由1端转向 2端，R=10 ，L=1H,C=0.004F,求换路后电流i(t)。 解：因换路前电路已达稳态，故可知 EMBED Equation.3 , 换路后，电路的微分方程为 EMBED Equation.3 =10 对上式进行拉普拉斯变换，得 EMBED Equation.3 = 解得 = 代入已知数据得 = = = 用查表法可求得上式的拉普拉斯反变换为 例2： 如图2所示为常用的二阶有源系统的电路模型，设 、C=1F。试求系统函数（电压传递函数） ；当K=3时，求冲激响应 和阶跃响应 。 解：由图2可得s域的节点方程 联立上述三式求解，并代入参数，可得 当K=3时，得 所以 V 由于 故得阶跃响应 V 由上面两例题可以看出，通过拉普拉斯变换可将时域中的微分方程变换为复频域中的代数方程，使求解简化。系统的起始状态（条件）可以自动地包含到象函数中，从而可一举求得方程的完全解。用拉普拉斯变换法分析电网络系统时，甚至不必列写出系统的微分方程，而直接利用电路的s域模型列写电路方程，就可以获得响应的象函数，再反变换即可得原函数。 例3： 已知 ，试求Z反变换 。 解： ，有两个二重极点，即 。 在 点的留数 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 因为在本学期，我们学习的复变函数与积分变换中，对Z变换 并未进行详细介绍，老师只是讲了个大概。而在后期专业课中，我们还是被要求会Z变换的，因为Z变换方法是分析LTI离散系统的重要工具。因此，知识是无界的，要想学到更多，除了老师在课堂上所讲的之外，我们课后应该自己去学习。只有有强烈的求知欲，并付诸行动，才能更好的理解并运用所学知识。 我们用Z变换方法时，总共可以用三种方法来计算。即级数求和法、部分分式法、留数计算法。而对于较复杂的函数，通常采用部分分式和留数计算法。下面，举一个例子来展示这两种方法的解题思路。 例4： 求函数 的Z变换。 解：方法1 部分分式法 当函数中包2含有零阶保持器的传递函数时，有 其中 用部分分式法求得。上式可进一步写成 方法2 留数计算法 其中 用留数计算法计算，即 则 注：在用部分分式法和留数计算法时， 不参与运算。 每一种计算方法都是有自己的特点与缺点的，Z变换也不例 外，它也存在它自身的局限性。由此可见，我们掌握的计算方法 越多越有利于解题。 目前，卷积已成为现代电路与系统分析的重要工具，是研究 系统中信号传递规律的关键所在。 例5：设信号 和 如图3所示，试求 。 解：对于图中的 和 ，可以分别表示 则响应 可利用延时性质得到 通过卷积的运用，我们在后期专业课中，能较好地解决信号与系统中的问题。 推广应用： Fourier变换与Laplace变换的计算可以使用到科学和工程计算，方便地为我们解决了频谱分析、信号处理等工作。 在本专业上的推广应用也很广泛，比如应用于电力工程、通信和自动控制领域以及信号分析、图像处理。Fourier变换应用于频谱分析和信号处理等。频谱分析是对各次谐波的频率、振幅、相位之间的关系进行分析。Laplace变换应用于控制问题。 为了更形象化，在此，我通过查阅资料来举例说明。 例6： 某一反馈和给定输入前馈复合控制系统的结构图如图4所示，图中前馈环节的传递函数 ，当输入信号 时，为使系统的稳态误差终值等于零，试确定前馈环节的参数a和b。 解：系统的闭环传递函数为 系统的给定误差函数的拉式变换为 代入 ，并利用终值定理，得 要使上述等式成立，须满足 由此可得前馈环节的参数 结论： 在写论文的过程中，通过论文资料的收集，结合平时老师的讲解和自己的理解和整理，让我了解到了复变函数在各个领域中的应用和地位，尤其是在本专业中的应用及其不可或缺的地位。自动控制在工程和科学技术发展中起着十分重要的作用，在日常生活中也得到广泛的应用。而复变函数在其发展中起着不可或缺的推动作用。由例题可见，拉氏变换在解决工程学问题上具有重大作用及应用意义。通过对复变函数的学习，使我掌握复变函数的基本理论和方法，并获得初步应用的能力。用拉氏变换解高阶微分方程和常定系数微分方程比较简单，在工程学上拉氏变换的重要作用在于将一个性能好从时域上转变为复频域上来表示。 【参考文献】： （1）《自动控制原理学习指南》 主编 冯江 王晓燕 （2）《信号分析与处理》 主编 燕庆明 （3）《现代信号处理理论与应用》 主编 张忠 （4）《自动控制理论》 主编 葛思擘 张爱民 杜行俭 杨清宇 （5）《复变函数论》 主编：钟玉泉 【致 谢】： 历时将近一个月的时间终于将这篇论文写完，本篇论文虽是自己动手完成，凝聚着自己的汗水，但却不完全是个人智慧的结晶。在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍，都在同学和老师的帮助下度过了。论文即将完成之日，感慨颇多，首先诚挚的感谢我的论文指导老师秦志新老师，从论文的设计、整改及论文的定稿过程中，自始至终都倾注着老师的心血。老师以严谨的治学之道、宽厚仁慈的胸怀、积极乐观的生活态度，兢兢业业的工作作风和大胆创新的进取精神为我树立了学习的典范，他的教诲与鞭策将激励我在学习和生活的道路上励精图治，开拓创新。他渊博的知识、开阔的视野和敏锐的思维给了我深深的启迪。我以最诚挚的心意感谢他对我进行了无私的指导和帮助，不厌其烦的帮助进行论文的修改和改进。另外，在校图书馆查找资料的时候，图书馆的老师也给我提供了很多方面的支持与帮助。在此，特向帮助和指导过我的各位老师表示由衷的感谢！ 如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作。本文引用了数位学者的研究文献。感谢这篇论文所涉及到的各位学者。 除此之外，我还要感谢我的室友们，从遥远的家来到这个陌生的城市里，是你们和我共同维系着彼此之间的友情，维系着寝室那份家的融洽与温馨。生活中与学习中，我们有着喜与怒，哀与乐，这种种的都将使我一生最值得回忆的时光。 最后我要感谢我的父母亲，是他们的关怀让我成长，他们永远都是我的精神支柱，家，永远都是我的港湾。 总之，在此感谢所有帮助过我的人。 图1 + 2V - +� EMBED Equation.3 ���- C L � EMBED Equation.3 ��� R S 1 2 � EMBED Equation.3 ��� + 10V - b 1F + � EMBED Equation.3 ���- + � EMBED Equation.3 ��� - + � EMBED Equation.3 ���- 1F � EMBED Equation.3 ��� a � EMBED Equation.3 ��� + � EMBED Equation.3 ���- 图2 图3 (b) 0 � EMBED Equation.3 ��� 1 � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� (a) 2 2 0 � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� 图4 � EMBED Equation.3 ��� + + - + � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� _1385921247.unknown _1385981627.unknown _1385982053.unknown _1385982075.unknown _1385982218.unknown _1385982405.unknown _1385982529.unknown _1385982622.unknown _1385982840.unknown _1385982930.unknown _1385983079.unknown _1385983128.unknown _1385983180.unknown _1385983321.unknown _1385983467.unknown _1385983525.unknown _1385983543.unknown _1385984604.unknown _1385984731.unknown _1385984878.unknown _1385984918.unknown _1385986622.unknown _1385986790.unknown _1385987116.unknown _1385987963.unknown _1385988092.unknown _1385988246.unknown _1385990747.unknown _1385990900.unknown _1385991027.unknown _1385991134.unknown _1385991344.unknown _1385991367.unknown _1385991402.unknown _1385992033.unknown _1385992080.unknown _1385992136.unknown _1385992381.unknown _1385992743.unknown _1385992913.unknown _1385993309.unknown _1385993476.unknown _1386075594.unknown _1386075863.unknown _1386075957.unknown _1386077191.unknown _1386077406.unknown _1386079150.unknown _1386079230.unknown _1386080627.unknown _1386080640.unknown _1386080958.unknown _1386081814.unknown _1386082127.unknown _1386082216.unknown _1386083156.unknown _1386093629.unknown _1386093655.unknown _1386093751.unknown _1386094043.unknown _1386094062.unknown _1386094099.unknown _1386094154.unknown _1386094212.unknown _1386094304.unknown _1386094404.unknown _1386097890.unknown _1386098056.unknown _1386242439.unknown _1386243407.unknown _1386243633.unknown _1386243734.unknown _1386243905.unknown _1386244191.unknown _1386244793.unknown _1386245422.unknown _1386245475.unknown _1386258208.unknown _1386258250.unknown _1386258326.unknown _1386259480.unknown _1386259529.unknown _1386259570.unknown _1386259700.unknown _1386259732.unknown _1386259785.unknown _1386260839.unknown _1386260985.unknown _1386261282.unknown _1386261312.unknown _1386261414.unknown _1386261900.unknown _1386261937.unknown _1386261994.unknown _1386262034.unknown _1386262068.unknown