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第一章 绪论（12） 1、设 ，x的相对误差为 ，求 的误差。 [解]设 为x的近似值，则有相对误差为 ，绝对误差为 ，从而 的误差为 ， 相对误差为 。 2、设x的相对误差为2%，求 的相对误差。 [解]设 为x的近似值，则有相对误差为 ，绝对误差为 ，从而 的误差为 ， 相对误差为 。 3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： ， ， ， ， 。 [解] 有5位有效数字； 有2位有效数字； 有4位有效数字； 有5位有效数字； 有2位有效数字。 4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中 均为第3题所给的数。 （1） ； [解] ； （2） ； [解] ； （3） 。 [解] 。 5、计算球体积要使相对误差限为1%，问度量半径R允许的相对误差是多少？ [解]由 可知， ， 从而 ，故 。 6、设 ，按递推公式 计算到 ，若取 （五位有效数字，）试问计算 将有多大误差？ [解]令 示 的近似值， ，则 ，并且由 ， 可知， ，即 ，从而 ， 而 ，所以 。 7、求方程 的两个根，使它至少具有四位有效数字（ ） [解]由 与 （五位有效数字）可知， （五位有效数字）。 而 ，只有两位有效数字，不符合题意。 但是 。 8、当N充分大时，怎样求 ？ [解]因为 ，当N充分大时为两个相近数相减，设 ， ，则 ， ，从而 ， 因此 。 9、正方形的边长大约为100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过1 ? [解]由 可知，若要求 ，则 ，即边长应满足 。 10、设 ，假定g是准确的，而对t的测量有 秒的误差，证明当t增加时S的绝对误差增加，而相对误差却减少。 [证明]因为 ， ，所以得证。 11、序列 满足递推关系 ，若 （三位有效数字），计算到 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？ [解]设 为 的近似值， ，则由 与 可知， ， ，即 ， 从而 ，因此计算过程不稳定。 12、计算 ，取 ，利用下列公式计算，哪一个得到的结果最好？ ， ， ， 。 [解]因为 ，所以对于 ， ，有一位有效数字； 对于 ， ，没有有效数字； 对于 ， ，有一位有效数字； 对于 ， ，没有有效数字。 13、 ，求 的值。若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式 计算，求对数时误差有多大？ [解]因为 （六位有效数字）， ，所以 ， 。 14、试用消元法解方程组 ，假定只有三位数计算，问结果是否可靠？ [解]精确解为 。当使用三位数运算时，得到 ，结果可靠。 15、已知三角形面积 ，其中c为弧度， ，且测量a，b，c的误差分别为 ，证明面积的误差 满足 。 [解]因为 ， 所以 。 第二章 插值法（40-42） 1、根据（2.2）定义的范德蒙行列式，令 ，证明 是n次多项式，它的根是 ，且 。 [证明]由 可得求证。 2、当 时， ，求 的二次插值多项式。 [解] 。 3、给出 的数值表用线性插值及二次插值计算 的近似值。 X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144 [解]若取 ， ， 则 ， ，则 ， 从而 。 若取 ， ， ，则 ， ， ，则 ， 从而 。 4、给出 的函数表，步长 ，若函数具有5位有效数字，研究用线性插值求 近似值时的总误差界。 [解]设插值节点为 ，对应的 值为 ，函数表值为 ，则由题意可知， ， ，近似线性插值多项式为 ，所以总误差为 ，从而 。 5、设 ，求 。 [解] 。 令 ，则 ，从而极值点可能为 ，又因为 ， ， 显然 ，所以 。 6、设 为互异节点，求证： 1） ； 2） ； [解]1）因为左侧是 的n阶拉格朗日多项式，所以求证成立。 2）设 ，则左侧是 的n阶拉格朗日多项式，令 ，即得求证。 7、设 且 ，求证 。 [解]见补充题3，其中取 即得。 8、在 上给出 的等距节点函数表，若用二次插值求 的近似值，要使截断误差不超过 ，问使用函数表的步长h应取多少？ [解]由题意可知，设x使用节点 ， ， 进行二次插值，则插值余项为 ， 令 ，则 ，从而 的极值点为 ，故 ，而 ，要使其不超过 ，则有 ，即 。 9、若 ，求 及 。 [解] 。 。 10、如果 是m次多项式，记 ，证明 的k阶差分 是 次多项式，并且 （l为正整数）。 [证明]对k使用数学归纳法可证。 11、证明 。 [证明] 。 12、证明 。 [证明]因为 ，故得证。 13、证明： 。 [证明] 。 14、若 有n个不同实根 ，证明 。 [证明]由题意可设 ，故 ，再由差商的性质1和3可知： ，从而得证。 15、证明n阶均差有下列性质： 1）若 ，则 ； 2）若 ，则 。 [证明]1） 。 2） 。 16、 ，求 ， 。 [解] ， 。 17、证明两点三次埃尔米特插值余项是 ， 并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限。 [解]见P30与P33，误差限为 。 18、XXXXXXXXXX． 19、求一个次数不高于4次的多项式 ，使它满足 ， ， 。 [解]设 ，则 ，再由 ， ， 可得： 解得 。从而 。 20、设 ，把 分为n等分，试构造一个台阶形的零次分段插值函数 ，并证明当 时， 在 上一致收敛到 。 [解]令 。 21、设 ，在 上取 ，按等距节点求分段线性插值函数 ，计算各节点中点处的 与 的值，并估计误差。 [解]由题意可知， ，从而当 时， 。 22、求 在 上的分段线性插值函数 ，并估计误差。 [解]设将 划分为长度为h的小区间 ，则当 ， 时， 从而误差为 ， 故 。 23、求 在 上的分段埃尔米特插值，并估计误差。 [解]设将 划分为长度为h的小区间 ，则当 ， 时， ， 从而误差为 ， 故 。 24、给定数据表如下： 0.25 0.30 0.39 0.45 0.53 0.5000 0.5477 0.6245 0.6708 0.7280 试求三次样条函数 ，并满足条件： 1） ； 2） 。 [解]由 ， ， ， ，及（8.10）式 可知， ， ， ， ， ， ， 由（8.11）式 可知， 。 。 。从而 1）矩阵形式为： ，解得 ，从而 。 2）此为自然边界条件，故 ； ， 矩阵形式为： ，可以解得 ，从而 。 25、若 ， 是三次样条函数，证明 1） ； 2）若 ，式中 为插值节点，且 则 。 [解]1） 。 2）由题意可知， ，所以 。 补充题：1、令 ， ，写出 的一次插值多项式 ，并估计插值余项。 [解]由 ， 可知， ， 余项为 ， 故 。 2、设 ，试利用拉格朗日插值余项定理写出以 为插值节点的三次插值多项式。 [解]由插值余项定理，有 ， 从而 。 3、设 在 内有二阶连续导数，求证： 。 [证]因为 是以a，b为插值节点的 的线性插值多项式，利用插值多项式的余项定理，得到： ，从而 。 4、设 ，求差商 ， ， 和 。 [解]因为 ， ， ，所以 ， ， ， ， 。 5、给定数据表： ， 1 2 4 6 7 4 1 0 1 1 求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项。 [解] 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 1 4 2 1 -3 4 0 6 1 7 1 0 由差商表可得4次牛顿插值多项式为： ，插值余项为 。 6、如下表给定函数： ， 0 1 2 3 4 3 6 11 18 27 试计算出此列表函数的差分表，并利用牛顿向前插值公式给出它的插值多项式。 [解]构造差分表： 0 3 3 2 0 0 1 6 5 2 0 2 11 7 2 3 18 9 4 27 由差分表可得插值多项式为： 。 第三章 函数逼近与计算（80-82） 1、（a）利用区间变换推出区间为 的伯恩斯坦多项式； （b）对 在 上求1次和3次伯恩斯坦多项式并画出图形，并与相应的马克劳林级数部分和误差做出比较。 [解]（a）令 ，则 ，从而伯恩斯坦多项式为 ，其中 。 （b）令 ，则 ，从而伯恩斯坦多项式为 ，其中 。 ； 。 2、求证：（a）当 时， ； （b）当 时， 。 [证明]（a）由 及 可知， ， 而 ，从而得证。 （b）当 时， 。 3、在次数不超过6的多项式中，求 在 的最佳一致逼近多项式。 [解]由 可知， ，从而最小偏差为1，交错点为 ，此即为 的切比雪夫交错点组，从而 是以这些点为插值节点的拉格朗日多项式，可得 。 4、假设 在 上连续，求 的零次最佳一致逼近多项式。 [解]令 ， ，则 在 上具有最小偏差 ，从而为零次最佳逼近一次多项式。 5、选择常数a，使得 达到极小，又问这个解是否唯一？ [解]因为 是奇函数，所以 ，再由定理7可知，当 时，即 时，偏差最小。 6、求 在 上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。 [解]由 可得 ，从而最佳一次逼近多项式为 7、求 在 上的最佳一次逼近多项式。 [解]由 可得 ，从而最佳一次逼近多项式为 。 8、如何选取r，使 在 上与零偏差最小？r是否唯一？ [解]由 ， 可知当与零偏差最小时， ，从而 。 另解：由定理7可知，在 上与零偏差最小的二次多项式为 ，从而 。 9、设 ，在 上求三次最佳逼近多项式。 [解]设所求三次多项式为 ，则由定理7可知 ，从而 。 10、令 ，求 、 、 、 。 [解]由 可知，令 ，则 ，从而 。 11、试证 是在 上带权 的正交多项式。？ 12、在 上利用插值极小化求 的三次近似最佳逼近多项式。 [解]由题意可知，插值节点为 ， 即 ，则可求得 。 13、设 在 上的插值极小化近似最佳逼近多项式为 ，若 有界，证明对任何 ，存在常数 ，使得 。 [证明]由题意可知， ，从而取 ， ，则可得求证。 14、设在 上 ，试将 降低到3次多项式并估计误差。 [解]因为 ， ，所以 ， 误差为 。 15、在 利用幂级数项数节约求 的3次逼近多项式，使误差不超过0.005。 [解]因为 ，取前三项，得到 ，误差为 ，又因为 ，所以3次逼近多项式为 ，此时误差为 。 16、 是 上的连续奇（偶）函数，证明不管n是奇数或偶数， 的最佳逼近多项式 也是奇（偶）函数。 [解] 的最佳逼近多项式是由切比雪夫多项式得到的，再由切比雪夫多项式的性质4即得。 17、求a、b使 为最小，并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较。 [解]由 ， ， ， ， ，可得 ，解得 。 18、 ，定义 （a） ；（b） 。 问它们是否构成内积？ [解]（a）因为 ，但反之不成立，所以不构成内积。 （b）构成内积。 19、用许瓦兹不等式（4.5）估计 的上界，并用积分中值定理估计同一积分的上下界，并比较其结果。 [解] 。 因为 ，所以 。 20、选择a，使下列积分取最小值： ， 。 [解] ，从而 。 当 时， ，当 时，由 ，可得交点为 ， 若 ，则 ， 若 ，则 。同理可知，当 时， ，当 时， ，从而当 时，积分取得最小。 21、设 ， ，分别在 上求一元素，使其为 的最佳平方逼近，并比较其结果。 [解]由 ， ， ， 可知， ，解得 ，即在 上为 。 由 ， ， ， ， 可知， ，解得 ，即在 上为 。 22、 在 上，求在 上的最佳平方逼近。 [解]由 ， ， 可知， ，解得 。 从而最佳平方逼近多项式为 。 23、 是第二类切比雪夫多项式，证明它有递推关系 。 [证明]令 ，则 。 24、将 在 上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开，求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形，再计算均方误差。 [解]若按照切比雪夫多项式展开 ，其中 ；若按照勒让德多项式展开， ，其中 ；从而 ； ； ； ， 从而三次最佳逼近多项式为 。 25、把 在 上展成切比雪夫级数。 [解]若按照切比雪夫多项式展开 ，其中 。 从而 。 26、用最小二乘法求一个形如 的经验公式，使它与下列数据相拟合，并求均方误差。 19 25 31 38 44 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8 [解]由 。 。 又 ， ， ， 故法方程为 ，解得 。 均方误差为 。 27、观测物体的直线运动，得出以下数据： 时间t（秒） 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离s（米） 0 10 30 50 80 110 [解]设直线运动为二次多项式 ，则由 。 ， 。 又 ， ， EMBED Equation.3 ， 故法方程为 ，解得 。 故直线运动为 。 28-31略。 补充题：1、现测得通过某电阻R的电流I及其两端的电压U如下表： I …… U …… 试用最小二乘原理确定电阻R的大小。 [解]电流、电阻与电压之间满足如下关系： 。应用最小二乘原理，求R使得 达到最小。对 求导得到： 。令 ，得到电阻R为 。 2、对于某个长度测量了n次，得到n个近似值 ，通常取平均值 作为所求长度，请说明理由。 [解]令 ，求x使得 达到最小。对 求导得到： ，令 ，得到 ，这说明取平均值 在最小二乘意义下误差达到最小。 3、有函数如下表，要求用公式 拟合所给数据，试确定拟合公式中的a和b。 -3 -2 -1 0 1 2 3 -1.76 0.42 1.20 1.34 1.43 2.25 4.38 [解]取 ， ，则 ， ， ，而 ， 。故法方程为 ，解得 。 4、在某个低温过程中，函数y依赖于温度 的实验数据为 1 2 3 4 0.8 1.5 1.8 2.0 已知经验公式的形式为 ，是用最小二乘法求出a和b。 [解]取 ， ，则 ， ， ，而 ， 。故法方程为 ，解得 。 5、单原子波函数的形式为 ，试按照最小二乘法决定参数a和b，已知数据如下： X 0 1 2 4 y 2.010 1.210 0.740 0.450 [解]对 两边取对数得 ，令 ， ，则拟合函数变为 ，所给数据转化为 X 0 1 2 4 y 0.6981 0.1906 -0.3011 -0.7985 取 ， ，则 ， ， ，而 ， 。故法方程为 ，解得 。因而拟合函数为 ，原拟合函数为 。 第四章 数值积分与数值微分（107） 1、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度。 1） ； [解]分别取 代入得到： ，即 ，解得 又因为当 时， ； 当 时， ； 从而此求积公式最高具有3次代数精度。 2） ； [解]分别取 代入得到： ，即 ， 解得 ， 又因为当 时， ； 当 时， ； 从而此求积公式最高具有3次代数精度。 3） ； [解]分别取 代入得到： ，即 ， 解得 与 ， 又因为当 时， ； ， 从而此求积公式最高具有2次代数精度。 4） 。 [解]分别取 代入得到： ，所以 ，又因为当 时， ， 当 时， ，所以此求积公式最高具有3次代数精度。 2、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分： （1） ； [解] 。 精确值为 。 2） ；（略） 3） ； [解]（略），精确值为 。 4） ；（略）。 3、直接验证柯特斯公式（2.4）具有5次代数精度。 [证明]显然节点为 ，分别取 代入得到： ， ； 从而此求积公式最高具有5次代数精度。 4、用辛普森公式求积分 并估计误差。 [解] 。 ，从而 。 5、推导下列三种矩形求积公式： ； ； [解]由微分中值定理有： ，从而 再由微分中值定理有： ，从而 。 由微分中值定理有： ，从而 。 6、证明梯形公式（2.9）与辛普森公式（2.11）当 时收敛到积分 。 [证明]由 与 可得求证 7、用复化梯形公式求积分 ，问要将积分区间 分成多少等分，才能保证误差不超过 （设不计舍入误差）？ [解]由 可知，令 ，则 ，从而 。 8、用龙贝格方法计算积分 ，要求误差不超过 。 [解]由 及 可得。（参见95页） 9、卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是 ，这里a是椭圆的半长轴，c是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离，记h为近地点距离，H为远地点距离， 公里为地球半径，则 ， 。我国第一颗人造卫星近地点距离 公里，远地点距离为2384公里，试求卫星轨道的周长。 [解]由 ， 可得 。 10、证明等式 ，试依据 的值，用外推算法求 的近似值。 [证明]因为 ， ， ，由 可得， ， ， 。 11、用下列方法计算积分 ，并比较结果。 1）龙贝格方法；（2）三点及五点高斯公式； 3）将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式。 [解] 。 12、用三点公式和五点公式求 在 和1.2处的导数值，并估计误差， 的值由下表给出： X 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 0.2500 0.2268 0.2066 0.1890 0.1736 [解]由三点公式 ， ， 可知， ， 误差为 ； ，误差为 ， 误差为 。 由五点公式可知 ， ， 。 1、计算 上的积分 的两点求积公式 。 [解]求积公式的代数精度不超过 ，将求积公式 和求积系数 作为4个待定系数，依次取被积函数 为 代入求积公式，得到方程组： ，可以解得 ，从而求积公式为 。 2、直接验证梯形公式 与中矩形公式 具有一次代数精度，而辛普生公式 具有三次代数精度。 [证明]（1）依次将 代入梯形公式中，得到： ； ； ， 从而梯形公式具有一次代数精度。 （2）依次将 代入中矩形公式中，得到： ； ； ， 从而中矩形公式具有一次代数精度。 （3）依次将 代入辛普生公式中，得到： ； ； ； ； ， 从而辛普生公式具有三次代数精度。 3、求近似求积公式 的代数精度。 [解] 依次将 代入求积公式中，得到： ； ； ； ； ， 因此所给求积公式具有三次代数精度。 4、求三个不同的节点 和常数C，使求积公式 具有尽可能高的代数精度。 [解] 依次将 代入求积公式中，得到： ，即 ，解得 ， 此时求积公式为 ，具有3次代数精度。令 代入求积公式中，得到： 所以此求积公式的代数精度只有3次。 5、用三个节点（ ）的Gauss求积公式计算积分 。 [解]三个节点的Gauss求积公式为 ，所以 。 6、试确定常数A，B，C和 ，使得数值积分公式 为Gauss型公式。 [解]要使数值积分公式 为Gauss型公式，则其具有 次代数精度。依次将 代入都应精确成立，故有 ，即 ，解得 。 7、试确定常数A，B，C和 ，使得数值求积公式 具有尽可能高的代数精度。此时的代数精度是多少？它是否是Gauss型公式？ [解]依次将 代入求积公式，得到： ，即 ，解得 ，从而求积公式为 ，令 代入得到： ，从而求积公式只具有3次代数精度，不是Gauss型公式。 第五章 常微分方程数值解法（141-142） 1、就初值问题 分别导出欧拉方法和改进的欧拉方法的近似解的表达式，并与准确解 相比较。 [解]由欧拉公式可知 ，即 ，从而 ，即 ，又因为 ， ，所以 。再由 ，可知误差为 。 由改进的欧拉公式可知 ， 即 ，从而 ，即 ，又因为 ， ，所以 。再由 ，可知误差为 。 2、用改进的欧拉方法求解初值问题 ，取步长 计算，并与准确解 相比较。 [解]由改进的欧拉公式可知 ，又由 ， ， ，可得 ，从而 ； ； ； ； ； ； ； ； ； 。 3、用改进的欧拉方法解 ，取步长 计算 ，并与准确解 相比较。 [解]由改进的欧拉公式可知 ，又由 ， ， ，可得 ，从而 ； ； ； ； 。 4、用梯形方法解初值问题 ，证明其近似解为 ，并证明当 时，它收敛于原初值问题的准确解 。 [解]由梯形公式可知， ，从而 ，即 ，从而 ，又由 可知， 。 。 5、利用欧拉方法计算积分 在点 的近似值。 [解]令 ，则 ，从而令 ，利用欧拉方法得到： ，又由 ，得到： ； ； ； 。 6、取 ，用四阶经典的龙格-库塔方法求解下列初值问题： 1） ； [解]由四阶经典的龙格-库塔方法可知， ， ； ； 。 ； 又由 可知， 。从而由 可得： ； ； ； ； 。 精确解为 。 2） 。 精确解为 。 7、证明对任意参数t，下列龙格-库塔公式是二阶的。 。 [证明]因为 ， ， ，所以 而 ，比较系数可知，所给龙格-库塔公式是二阶精度的。 8、证明下列两种龙格-库塔方法是三阶的： （1） ；（2） ； [证明]在三阶龙格-库塔公式 中， （1）取 ， ， ， ， ， ， 。即为所给方法，并且满足 ，因而具有三阶精度。 （2）取 ， ， ， ， ， ， 。即为所给方法，并且满足 ，因而具有三阶精度。 9、分别用二阶显式亚当姆斯方法和二阶隐式亚当姆斯方法解下列问题： ，取 计算 ，并与准确解 相比较。 [解]由 可知，当使用二阶显式亚当姆斯方法时， 。从而， ， ， ； ； 当使用二阶隐式亚当姆斯方法时， ，即 ，从而 。故 ； ； ； 。 精确解为 。 10、证明解 的下列差分公式 是二阶的，并求出截断误差的首项。 [证明]因为 ， ， ， ，所以 ，从而比较系数可得差分公式具有二阶精度，并且截断误差首项为 。 11、导出具有下列形式的三阶方法： 。 [解]因为 ， ， ， ， ， 所以 ， 从而若公式具有三阶精度，则必须有： 。 12、将下列方程化为一阶方程组： 1） ； [解]令 ，则 ，从而有 ， ，再令 ，则初值问题为 。[精确解为 ] 2） 。 [解]令 ，则 ，从而有 ， 。 3） 。 [解]令 ， ，则 ， ，从而有 ，初值为 。 13、取 ，用差分法解边值问题 。 [解]显然 ，令 ，及 ，代入得到： ，即 ， ，再由 可知， ， 解得 。 14、对方程 可建立差分公式 ，试用这一公式求解初值问题 ，验证计算解恒等于准确解 。 [解]由差分格式可建立方程组 。 15、取 ，用差分方法解边值问题 。 [解]显然 ， ，令 及 ，代入得到： ，即 ， 又由 可得 ，从而由 得方程组为： ，可以解得 。 第六章 方程求根（163-164） 阅读材料：一般的n次多项式方程 称为n次代数方程。对于3次、4次的方程，虽然也可以在数学手册上查到求解公式，但是太复杂。至于5次以上的方程就没有现成的求解公式了。代数方程可以说是最简单的非线性方程，因为虽然不能很好地算出它的根，但是总可以知道，n次方程一般具有n个根。 一般由实际问题归结得到的方程还常常含有三角函数、指数函数、对数函数等超越函数，如 ，这样的方程叫做超越方程。求解超越方程不仅没有一般的公式，而且若只依据方程本身，那么连是否有根、有几个根，也都难以判断。 超越方程与 次代数方程一起统称为非线性方程，记作 ，其中 是一个单变量的初等函数，它可以是多项式函数、超越函数等形式或者它们的组合形式。 所谓方程求根，就是寻找一个 ，使得 成立，这样的 叫做方程 的根（解），也叫做函数 的零点。若存在正整数m，使得 ，且 ，则称 为 的m重根。当 时， 又称为单根，这时 满足 ， 。 对于一般的非线性方程 ，用直接方法得到它的精确解是很困难的，例如 。非线性方程的求解就是研究方程 在给定初值的条件下，如何利用计算机运算得到方程真解 的近似值x，使得对任意给定的精度 ，满足 ，此时称x关于 是精确的。 对于具体的问题，首先要对函数 加以初步的研究，判断出方程的根的个数和大概位置，才能较好地选择有根区间。如果选取得好，还可以把方程的根逐个分离，找出相应的有根区间。 二分法的特点是当 有单根时具有收敛快的特点。然而对方程有重根或复根的情况，二分法公式有时失效。 1、用二分法求方程 的正根，要求误差 。 [解]令 ，则 ， ，所以有根区间为 ； 又因为 ，所以有根区间为 ； ，所以有根区间为 ； ，所以有根区间为 ； ，所以有根区间为 ； ，所以有根区间为 ； 取 ， 这时它与精确解的距离 。 2、用比例求根法求 在区间 的一个根，直到近似根 满足精度 终止计算。？ 3、为求方程 在 附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式： 1） ，迭代公式 ；2） ，迭代公式 ； 3） ，迭代公式 ；4） ，迭代公式 。 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似值。 [解]1）设 ，则 ，从而 ，所以迭代方法局部收敛。 2）设 ，则 ，从而 ，所以迭代方法局部收敛。 3）设 ，则 ，从而 ，所以迭代方法发散。 4）设 ，则 ，从而 ，所以迭代方法发散。 4、比较求 的根到三位小数所需的计算量： 1）在区间 内用二分法； 2）用迭代法 ，取初值 。 [解]1）使用二分法，令 ，则 ， ，有根区间为 ； ，有根区间为 ； ，有根区间为 ； ，有根区间为 ； ，有根区间为 ； ，有根区间为 ； ，有根区间为 ； ，有根区间为 ； ，有根区间为 ； ，有根区间为 ； ，有根区间为 ； 从而 ，共二分10次。 2）使用迭代法 ，则 ， ， ， ， 即 ，共迭代4次。 5、给定函数 ，设对一切x， 存在且 ，证明对于范围 内的任意定数 ，迭代过程 均收敛于 的根 。 [证明]由 可知，令 ，则 ，又因为 ， ，所以 ，即 ，从而迭代格式收敛。 6、已知 在区间 内只有一根，而当 时， ，试问如何将 化为适于迭代的格式？ 将 化为适于迭代的格式，并求 （弧度）附近的根。 [解]将 两边取反函数，得到 ，而 ，从而 ，故迭代公式 收敛。 令 ，则 ，从而 ，将迭代公式改变为 ，这时， ，从而 ，迭代格式收敛。取 ， ， 。 7、用下列方法求 在 附近的根。根的准确值 ，要求计算结果准确到四位有效数字。 1）用牛顿法；2）用弦截法，取 ；3）用抛物线法，取 [解]1） ， ， ， ，迭代停止。 2） ， ， ， ，迭代停止。 3） ，其中 ， ，故 ， ， ， ， ， ， ， ，下略。 8、分别用二分法和牛顿法求 的最小正根。 [解]参见第6题， 。 9、研究求 的牛顿公式 ，证明对一切 ， 且序列 是递减的。 [证明]显然， ，又因为 ，所以 ，又 ，所以序列是递减的。 10、对于 的牛顿公式 ，证明 收敛到 ，这里 为 的根。？ 11、试就下列函数讨论牛顿法的收敛性和收敛速度。 1） ；2） 。 [解]1）由 可知 ，故牛顿法不收敛。 2）由 可知 ，故牛顿法一阶收敛。 12、应用牛顿法于方程 ，导出求立方根 的迭代公式，并讨论其收敛性。 [解]令 ，则 。 13、应用牛顿法于方程 ，导出求 的迭代公式，并求 的值。 [解]令 ，则 。余见例8。 14、应用牛顿法于方程 和 ，分别导出求 的迭代公式，并求 。 [解] ， 。 ， 。 15、证明迭代公式 是计算 的三阶方法。假定初值 充分靠近 ，求 。 [解] 。 补充题1、判断下列方程有几个实根，并指出其有根区间： 1） ； 2） 。 [解]1）设 ，则 ，当 时， ， 为减函数；当 时， ， 为增函数。又因为 ， ， ， ，所以可知 有三个根，有根区间分别为 。 2）将原方程改写为 ，作函数 与 的图像，由图像可知两个函数有两个交点，其横坐标位于区间 与 ，因而所给方程有两个根。 2、证明迭代格式 产生的序列对于 均收敛于 。 [证明]设 ，则 。 当 时， ，并且 ，由迭代格式产生的序列收敛于方程 的唯一正根 。 3、利用适当的迭代格式证明 。 [证明]考虑迭代格式 ，则 ， ，……， 。 令 ，则 。当 时， ，并且 ，因而迭代格式产生的序列收敛于方程 在 内的唯一根 。 4、设a为正整数，试建立一个求 的牛顿迭代公式，要求在迭代公式中不含有除法运算，并考虑公式的收敛性。 [解]考虑方程 ，则 为以上方程的根。 ，用牛顿迭代公式 。迭代函数 中不含有除法运算。 由 递推得到 ，解得 ， ，所以当 时，方法收敛。 第七章 解线性方程组的直接方法（198-201，部分） 2、（a）设A是对称阵且 ，经过高斯消去法一步后，A约化为 ，证明 是对称矩阵。 （b）用高斯消去法解对称方程组： 。 [证明]（a） 中的元素满足 ，又因为A是对称阵，满足 ，所以 ，即 是对称矩阵。 （b）略。 4、设A为n阶非奇异矩阵且有分解式 ，其中L是单位下三角阵，U为上三角阵，求证A的所有顺序主子式均不为零。 [证明]将L与U分块， ， ，其中 为k阶单位下三角阵， 为k阶上三角阵，则A的k阶顺序主子式为 ，显然非奇异。 7、设A是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A约化为 ，其中 ， ； 证明：（1）A的对角元素 ；（2） 是对称正定矩阵； （3） ；（4）A的绝对值最大的元素必在对角线上； （5） ； （6）从（2）、（3）、（5）推出，如果 ，则对所有k， 。 [证明]（1）依次取 ，则因为A是对称正定矩阵，所以有 。 （2） 中的元素满足 ，又因为A是对称正定矩阵，满足 ，所以 ，即 是对称矩阵。 （3）因为 ，所以 。 （4）以下略。 12、用高斯-约当方法求A的逆阵： 。 [解] 故 。 13、用追赶法解三对角方程组 ，其中 ， 。 [解]因为 ， 所以 。 14、用改进的平方根法解方程组 。 [解] 。 15、下列矩阵能否分解为 （其中L为单位下三角阵，U为上三角阵）？若能分解，那么分解是否唯一。 ， ， 。 [解]因为A的一、二、三阶顺序主子式分别为1，0，-10，所以A不能直接分解为三角阵的乘积，但换行后可以。 因为B的一、二、三阶顺序主子式分别为1，0，0，所以B不能分解为三角阵的乘积。 因为C的一、二、三阶顺序主子式分别为1，5，1，所以C能够分解为三角阵的乘积，并且分解是唯一的。 16、试画出部分选主元素三角分解法框图，并且用此法解方程组 。 [解] 。 18、设 ，计算A的行范数，列范数，2-范数及F-范数。 [解] ， ， 因为 ， ， ， 从而 。 。 19、求证：（a） ；（b） 。 （a） 。 （b） ，？ 20、设 且非奇异，又设 为 上一向量范数，定义 。试证明 是 上向量的一种范数。 [证明]显然 ， 、 ，从而 是 上向量的一种范数。 21、设 为对称正定，定义 ，试证明 是 上向量的一种范数。 [证明]因为A对称正定，所以 ， ， ，从而 是 上向量的一种范数。 22、设 ， ，求证 。 [证明]因为 ， 而 ，所以由夹逼性可知， 。 23、证明：当且仅当x和y线性相关，且 时，才有 。 [证明]当x和y线性相关，且 时，不妨设 ，则 ，从而 。 若 ，则有 ，并且令 ，则 ，即 ，即存在不全为零的 ，从而x和y线性相关。 24、分别描述 中（画图） 。 [解] ：以原点为中心，以 为顶点的、边长为 的正方形。 ：以原点为圆心，半径为1的圆。 ：以原点为中心，以 为顶点的、边长为2的正方形。 25、令 是 （或 ）上的任意一种范数，而P是任一奇异实（或复）矩阵，定义范数 ，证明 。 [证明] 。 26、设 、 为 上任意两种矩阵算子范数，证明存在常数 ，使对一切 满足 。 [证明]由范数的等价性，存在常数 和 ，使得 ，则有 ，并且 ，从而 ，令 ，即得求证。 27、设 ，求证 与 特征值相等，即求证 。 [证明]设 为 的特征值，则存在非零向量x，使得 ，两边同乘A，则 ，即 是 的对应特征向量为 的特征值。 设 为 的特征值，则存在非零向量x，使得 ，两边同乘 ，则 ，即 是 的对应特征向量为 的特征值。 28、设A为非奇异矩阵，求证 。 [证明]因为 ，所以得证。 29、设A为非奇异矩阵，且 ，求证 存在且有估计 。 [证明]因为 及 ，所以由定理18可知， 非奇异，从而 非奇异，其逆存在。 设 ，则 ，又由 可得 ，可得 ，从而 即 。 30、矩阵第一行乘以一数，成为 ，证明当 时， 有最小值。 [证明]由 可知，当 时，矩阵A非奇异， ，从而 ， 又当 时， ， ，从而 。 当 时， ，从而 。 综上所述， 时最小，这时 ，即 。 31、设A为对称正定矩阵，且其分解为 ，其中 ，求证（a） ；（b） 。 [证明]由 可知， ， ， ，从而 ，故得 ， ， ， ， （a） ； （b） 。 32、设 ，计算A的条件数 。 [解]由 可知， ，从而 ， 由 ， ， 由 ， 可得 ，从而 。 ， ，从而 。 33、证明：如果A是正交阵，则 。 [证明]若A是正交阵，则 ，从而 ， ，故 ， 。 34、设 且 为 上矩阵的算子范数，证明 。 [证明] 。 补充题1、用Gauss消去法求解方程组： （1） ； （2） 。 （3） ； （4） 。 （5） 。 [解]（1）对系数矩阵的增广矩阵进行初等行变换， ，故 。 （2）对系数矩阵的增广矩阵进行初等行变换， ，故 。 （3）对系数矩阵的增广矩阵进行初等行变换， ，故 。 （4）对系数矩阵的增广矩阵进行初等行变换， ，故 。 （5）对系数矩阵的增广矩阵进行初等行变换， ，故 。 2、用列主元Gauss消去法求解下列方程组： （1） ； （2） 。 （3） ； （4） 。 （5） 。 [解]（1） ，故 。 （2） ，故 。 （3） ，故 。 （4） ，故 。 （5） ，故 。 3、用矩阵的直接三角分解法求解方程组： 。 [解]由 可知，求解 可得 ，求解 可得 。 4、用平方根法（Cholesky分解）求解方程组： （1） 。 （2） 。 [解]由系数矩阵的对称正定性，可令 ，其中L为下三角阵。 （1） 求解 可得 ， 求解 可得 。 （2） 。求解 可得 ，求解 可得 。 5、用改进的平方根法（ 分解）求解方程组： （1） 。 （2） 。 [解]由系数矩阵的对称正定性，可令 ，其中L为下三角阵，D为对角阵。 （1） 求解 可得 ， 求解 可得 。 （2） 。求解 可得 ，求解 可得 。 6、用追赶法求解三对角方程组： （1） ， （2） ， （3） 。 [解]依追赶法对其增广矩阵进行初等变换， （1） ，回代得到： 。 （2） ，回代得到： 。 （3） ，回代得到： 。 7、设 ，求 ， ， 。 [解] 。 。 。 8、证明：1） ；2） 。 [证明]1） 。 2） 。 9、分别求下列矩阵的 ， ， 。 （1） ， （2） 。 [解]（1） ， ， 因为 ，由 ，解得 ， 从而 。 （2） ， ， 因为 ，由 ，解得 ， 从而 。 10、求矩阵 的 ， ， 。 [解] ， ，因为 ，所以 。 第八章 解线性方程组的迭代法（217-219） 寻求能够保持大型稀疏矩阵的稀疏性的有效数值解法是我们线性代数方程组数值解法的一个非常重要的课题。使用迭代法的好处在于它只需要存储析数矩阵的非零元素和方程的右端项，因而对于大型稀疏矩阵，具有存储量小、程序结构简单的优点。由于迭代格式的收敛性和收敛速度与方程组的系数矩阵密切相关，因此迭代格式的选择和迭代的收敛性将成为讨论的中心问题。 [定义]迭代 的平均收敛速度定义为 。 [定义]迭代 的渐近收敛速度定义为 。 值得注意的是，渐近收敛速度与所使用的范数无关。因此，有时也把渐近收敛速度简称为收敛速度。 1、设方程组 ， （a）考察用雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代法解此方程组的收敛性； （b）用雅可比迭代法及高斯-赛德尔迭代法解此方程组，要求当 时迭代终止。 [解]（a）由系数矩阵 为严格对角占优矩阵可知，使用雅可比、高斯-赛德尔迭代法求解此方程组均收敛。[精确解为 ] （b）使用雅可比迭代法： ， 使用高斯-赛德尔迭代法： 。 2、设 ，证明：即使 ，级数 也收敛。 [证明]显然 ，又因为 ，所以 ，级数的值就为 。 3、证明对于任意选择的A，序列 收敛于零。 [证明]设 为A的任意一个特征值，x是对应的特征向量，则 ，从而得证。 4、设方程组 ；迭代公式为 。 求证：由上述迭代公式产生的迭代序列 收敛的充要条件为 。 [证明]令 ， ， ， ， ，则由迭代公式可得， ，即为雅可比迭代公式，从而收敛的充要条件为 ，而 。由 可得 ，故得证。 5、设方程组（a） ；（b） ； 试考察解此方程组的雅克比迭代法及高斯-赛德尔迭代法的收敛性。 [解]（a）由系数矩阵 可知， ，由 可知， ，从而雅可比迭代法不收敛。 ，由 可知， ，从而高斯-塞德尔迭代法收敛。 （b）由系数矩阵 可知， ，由 可知， ，从而雅可比迭代法收敛。 ，由 可知， ，从而高斯-塞德尔迭代法不收敛。 6、求证 的充要条件是对任何向量x都有 。 [证明]若对任何向量x，都有 ，则依次取x为单位向量组，即得 ，反之显然成立。 7、设 ，其中A对称正定，问解此方程组的雅克比迭代法是否一定收敛？试考察习题5（a）方程组。 [解]不一定，显然5（a）中的系数矩阵是对称正定矩阵，但雅可比迭代法不收敛。 8、设方程组 ， （a）求解此方程组的雅克比迭代法的迭代矩阵 的谱半径； （b）求解此方程组的高斯-赛德尔迭代法的迭代矩阵的谱半径； （c）考察解此方程组的雅克比迭代法及高斯-赛德尔迭代法的收敛性。 [解]由系数矩阵 可知， （a） ，由 可知， 。 （b），由 ， 可知 。 （c）因为A是严格对角占优矩阵，两种迭代法都收敛。 9、用SOR方法解方程组（分别取松弛因子 ） ； 精确解 。要求当 时迭代终止，并且对每一个 值确定迭代次数。（略）。 10、用SOR方法解方程组（取 ） ；要求当 时迭代终止。 [解]由系数矩阵 及 ， ， 可知， EMBED Equation.3 ，从而由 可得。[精确解为 ] 11、设有方程组 ，其中A为对称正定阵。迭代公式 ，试证明当 时上述迭代法收敛（其中 ）。 [解]因为迭代矩阵为 ，而 ，由 可知，当 时， ，即 ，从而迭代法收敛。 12、用高斯-赛德尔方程解 ，用 记 的第i个分量，且 。 （a）证明 ； （b）如果 ，其中 是方程组的精确解，求证： ，其中 。 （c）设A是对称的，二次型 ，证明 。 （d）由此推出，如果A是具有正对角元素的非奇异矩阵，且高斯-塞德尔方法对任意初始向量 是收敛的，则A是正定阵。 [解]（a）由 可得 ，从而 ，其中 ，即得求证。 （b）由 可得 ， 从而 ，即 ，从而 ，即得求证， 其中 。 （c）？。 （d）若高斯-塞德尔方法对任意初始向量 都是收敛的，那么由（c）知A是对称的，又由A是具有正对角元素的非奇异矩阵，所以A是正定阵。 13、设A与B为n阶矩阵，A非奇异，考虑解方程组 ， ，其中 。 （a）找出下述迭代方法收敛的充要条件 ， （ ）； （b）找出下述迭代方法收敛的充要条件 ， （ ）； 并比较两个方法的收敛速度。 [解]（a）设 ， ，则有 ，从而 ，因此收敛的充要条件为 ，即 。 （b）设 ， ，则有 ，从而 ，因此收敛的充要条件为 。 迭代法（b）的收敛速度是迭代法（a）的收敛速度的2倍。 14、证明矩阵 对于 是正定的，而雅克比迭代只对 是收敛的。 [证明]由 ， ， 可知，当 ，即 时，矩阵A是正定的。 又由 ， 可知， ，从而当 ，即 时，雅可比迭代是收敛的。 15、设 ，试说明A为可约矩阵。 [解]取 ，可知 ，从而A为可约矩阵。 16、给定迭代过程 ，其中 （ ），试证明：如果C的特征值 ，则此迭代过程最多迭代n次收敛于方程组的解。 [证明]因为 ，所以最多迭代 次后 ，从而迭代停止。 17、画出SOR迭代法的框图。（略） 18、设A为不可约弱对角优势阵且 ，求证，解 的SOR方法收敛。 [证明]设 ， 则由 可知。 19、设 ，其中A为非奇异阵。 （a）求证 为对称正定阵； （b）求证 。 [证明]（a）由 可知 为对称阵，对于任意的非零向量x，由 可知 为正定阵，从而 为对称正定阵。 （b）见上一章第31题。 20、设A为严格对角占优阵，证明第二章（8.23）式。 [证明]见定理6。 补充题1、用Jacobi迭代法求解方程组 ，初始向量为 。 [解] Jacobi迭代格式为 ，迭代求解得到： ， ， ， 。 2、设有迭代格式 ，其中 ， ，试证明该迭代格式收敛，并取 计算求解。 [证明]设 为B的特征值，则由 可得 ，从而该迭代格式收敛。取 计算得 ， ， ， 。 3、给定方程组 ，用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法是否收敛？ [解]由系数矩阵 可知， （1）雅可比迭代矩阵为 ，由 可知， ，因而雅可比迭代法发散。 （2）高斯-塞德尔迭代矩阵为 ，由 可知， ，因而高斯-塞德尔迭代法收敛。 4、给定线性方程组 ，用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法是否收敛？ [解]（1）雅可比迭代矩阵为 ，由 可知， ，因而雅可比迭代法发散。 （2）高斯-塞德尔迭代矩阵为 ，由 可知， ，因而高斯-塞德尔迭代法收敛。 5、给定线性方程组 ，其中 ，用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法是否收敛？ [解]（1）雅可比迭代矩阵为 ，由 可知 ，因而雅可比迭代法发散。 （2）高斯-塞德尔迭代矩阵为 ，由 可知， ，因而高斯-塞德尔迭代法收敛。[另解：显然A为对称矩阵，并且a的各阶顺序主子式大于零，从而A为对称正定矩阵，可知高斯-塞德尔迭代法收敛。] 6、设线性方程组 的系数矩阵为 ，试求能使雅可比迭代法收敛的a的取值范围。 [解]当 时，系数矩阵A为奇异矩阵，不能使用雅可比迭代法。当 时，雅可比迭代矩阵为 ，由 可知 ，因而当 ，即 时，雅可比迭代法收敛。 7、设矩阵A非奇异，试证明使用高斯-塞德尔方法求解 时是收敛的。 [证明]由 可知 为对称阵，对于任意的非零向量x，由 可知 为正定阵，从而 为对称正定阵。使用高斯-塞德尔方法求解 时是收敛的。 第九章 矩阵的特征值与矩阵向量计算（252-253） 1、用幂法计算下列矩阵的主特征值及对应的特征向量： （a） ；（b） ，当特征值有3位小数稳定时迭代终止。 [解]计算公式为 ， （a）精确特征值为 。 （b）特征多项式为 。 2、方阵T分块形式为 ，其中 为方阵，T称为块上三角阵，如果对角块的阶数至多不超过2，则称T为准三角形形式。用 记矩阵T的特征值集合，证明： 。 [证明]显然。 3、利用反幂法求矩阵 的最接近于6的特征值及对应的特征向量。 [解]特征多项式为 。 4、求矩阵 与特征值4对应的特征向量。 [解]特征向量为 。 5、以下略。 _1234568401.unknown _1234568913.unknown _1234569169.unknown _1234569425.unknown _1234569553.unknown _1234569617.unknown _1234569681.unknown _1234569713.unknown _1234569729.unknown _1234569745.unknown _1234569753.unknown _1234569757.unknown _1234569761.unknown _1234569763.unknown _1234569765.unknown _1234569766.unknown _1234569764.unknown _1234569762.unknown _1234569759.unknown _1234569760.unknown _1234569758.unknown _1234569755.unknown _1234569756.unknown _1234569754.unknown _1234569749.unknown _1234569751.unknown _1234569752.unknown _1234569750.unknown _1234569747.unknown _1234569748.unknown _1234569746.unknown _1234569737.unknown _1234569741.unknown _1234569743.unknown _1234569744.unknown _1234569742.unknown _1234569739.unknown _1234569740.unknown _1