求导的逆运算
第6章 求导的逆运算
,本章的目标是“对于给定的函数f,求出函数使得”. FFf,
?6.1 原函数的概念
f原函数 设是区间上的函数.若存在上的可导函数,使得在上FIII
,ff成立,则称在区间上具有原函数,或称是在区间上FFFf,II的一个原函数.
ff不定积分 若是函数在区间上的一个原函数,则在区间上的FII原函数的全体便是函数族
{:}Fcc,,FxC(), , 简记为.
f称这个函数族为在区间上的不定积分,记为 I
. fxdxFxC()(),,,
fxdx()fx()其中积分号,为被积函数,为被积表达式,x为积分变为,
量,为不定常数.于是,由不定积分的定义,成立 C
,fxdxfx()(),dfxdxfxdx()(),(1) 或 ; ,,,,,,
,(2) FxdxFxC()(),, 或 dFxFxC()(),,. ,,
,,fFc,证: 因为是在区间上的一个原函数,故,有 ,FFI,,c,,,fff,这说明也是在区间上的一个原函数.若是在区间Fc,IGI
,上的另一个原函数,则,从而在区间上是GF,()0GFff,,,,I
c常数.这说明.? GFc,,
基本积分法(由求导的线性性质)
[()()]()(),,,,fxgxdxfxdxgxdxC,,,,. ,,,
,,,注意,当常数中至少有一个不为零时,不定常数能省去. C
112
应熟记的不定积分公式
fx()fx() fxdx()fxdx(),,
,,1x,,C x(1),,,0C,,1
1xxe eC, lnxC,(0)x,
x
xax ,C a lna
1 (1)x, cosxsinxC,arcxCsin,21,x
sinx,,cosxC 11(cos0)x, tanxC,arcxCtan,221,xcosx
1 (sin0)x, ,,coxCt2sinx
12 chxshxC,ln(1)xxC,,, 21,x
21 ln1xxC,,, (1)x, shxchxC,2x,1
1111,x(1)x, ln,C thxC,22chx1,x21,x1 (0)x, ,,cthxC2shx
cos2x2dx例 求 cotxdx 和 . ,,cossinxx,
2cos1x,,2cot1cotxdxdxdxxxC,,,,,,,解: . ,,22,,,sinsinxx,,
22cos2cossinxxx, dxdx,,,cossincossinxxxx,,
,,,,,cossinsincosxxdxxxC.? ,,,
注记 初等函数的原函数未必是初等函数,因此通常不能用初等函数
xsinxcosxe22dxdxsinxdxcosxdx具体地写出来.例如,,,dx,,, ,,,,,xxx2xedx等就不能表示为初等函数. ,
P练习题6.1() 1. 230
113
?6.2 分部积分和换元积分
分部积分法(由函数乘积的求导公式) 若是区间上的可导函数,uv,I
则
. uxdvxuxvxvxdux()()()()()(),,,,
因此,不定积分和中只要有一个能算出,另一uxdvx()()vxdux()(),,个也能算出.
nx, . 例1 求xedxn,,,
nx解: 记 ,则有递推关系 Ixedx,n,
nxnxnxnx,1. IxdexenxedxxenI,,,,,nn,1,,
xI注意到,便能算出.? IeC,,n0
n,例2 求 . ln,xdxn,,
n解: 记 ,则有递推关系 Ixdx,lnn,
nnnn,1IxdxxxnxdxxxnI,,,,,lnlnlnln. nn,1,,
I注意到,便能算出.? IxC,,n0
nn,例3 求 . cossin,xdxxdxn和,,,
n解: 记Ixdx,cos,则有递推关系 n,
nnn,,,1122Ixdxxxnxxdx,,,,,cossincossin(1)cos(1cos) n,,
n,1,,,,,,cossin(1)(1)xxnInIC, nn,2
1n,1IxxnIC,,,,[cossin(1)]. nn,2n
I注意到,便能求出. IxCIxC,,,,,sinn01
nJxdx,sin记 ,则有递推关系 n,
nnn,,,1122Jxdxxxnxxdx,,,,,,,sincossincos(1)sin(1sin) n,,
n,1,,,,,,,sincos(1)(1)xxnJnJC, nn,2
114
1n,1JxxnJC,,,,,[sincos(1)]. nn,2n
J注意到,便能求出. JxCJxC,,,,,,cosn01
xnxn,例4 求 . exdxexdxncossin,和,,,
xnxn解: 记,则有递推关系 IexdxJexdx,,cos,sinnn,,
nxxnxn,1, Ixdeexnexxdx,,,coscoscossinn,,
nxxnxn,1. Jxdeexnexxdx,,,sinsinsincosn,,
xnnx,,11(1) exxdxxxdecossincossin,,,
xnxnn,,122 ,,,,exxexnxxdxcossin[cos(1)cossin],
xnxn,,122 ,,,,,exxInexxdxcossin(1)[cos(1cos)]n,xn,1. ,,,,,exxnInICcossin(1)nn,2
xnxn,12从而, , IexnexxnnInIC,,,,,,coscossin(1)nnn,2
1xnxn,1IexnexxnnIC,,,,,[coscossin(1)] . nn,22n,1
xexI注意到,便能求出. ,(sincos)IeCIxxC,,,,,n012
xnnx,,11(2) exxdxxxdesincossincos, ,,
xnxnn,,122 ,,,,,exxexnxxdxsincos[sin(1)sincos] ,
xnxn,,122 ,,,,,exxJnexxdxsincos(1)[sin(1sin)] n,
xn,1 ,,,,,exxnJnJCsincos(1). nn,2
xnxn,12从而, JexnexxnJnnJC,,,,,,sinsincos(1), nnn,2
1xnxn,1JexnexxnnJC,,,,,[sinsincos(1)] . nn,22n,1
xexJ,(sincos)注意到,便能求出.? JeCJxxC,,,,,n012
nn,xxdxxxdxncossin,和,例5 求 . ,,
nnIxxdxJxxdx,,cos,sin解: 记,则有递推关系 nn,,
115
nixnix IiJxedxixde,,,,nn,,
nixnixnix,1 ,,,,,,,ixeinxedxixeinIiJ()nn,,11,
nixnix,1 ,,,,,,ixenxennIiJ(1)()nn,,22
nnnn,,11. ,,,,,,,,,xxnxxnnIixxnxxnnJsincos(1)[cossin(1)]nn,,22比较实部和虚部,便得到
nn,1, IxxnxxnnIC,,,,,sincos(1)nn,2
nn,1. JxxnxxnnJC,,,,,,cossin(1)nn,2
J,和, 注意到 IxCIxxxC,,,,,sin,sincosJxC,,,cos1010
,便能算出.? ,,,xxxCcossinIJ,nn
换元积分法(由复合函数的求导公式) 为了求出函数在区间上的gI
ux,,(),()I不定积分,只需找到上的可导函数和区间上的gxdx()I,
f函数满足
gxdxfxdx()(())(),,,(1) ; (2) 能求出不定积分fuduFuC()(),,. ,
此时,gxdxFxC()(()),,,. ,
2,21nx,n,例6 求 ,. xedx,
n,1222112122222nxnxx,,xedxxedxxedx,,解: . ,,,,,22
21nu,1212nx,ueduFuC,,()求出 ,便得到xedxFxC,,().? ,,2
,abab,,,0,,,例7 求 ()axbdx,,. ,
1,,,1,;,,,,(),1axbC,1a(1),,,,,解: .? ()()()axbdxaxbdaxb,,,,,,,,a1,ln,1axbC,,,,,,a,
116
,(lnln)x例8 求 . ,,dx,,xxln
,,(lnln)(lnln)xx,解: ,,dxdxxdxln(lnln)(lnln),,,xxxlnln
1,,,1,,,,;(lnln),1xC,,1,.? ,,
,,,,lnlnln,1xC,,
dx,0ab,例9 求 . 2222,axbxsincos,
adx(tan)dxdx(tan)1b解: ,,2222222,,,aaxbxbaxabsincostan,,21(tan),x
b1a,,arctan(tan)xC .?
abb
22axdxa,,,0例10 求 . ,
2,x2222解: axdxxaxdx,,,,,,22ax,
22ax,1222 ,,,,xaxdxadx,,2222axax,,
1x,,22222 , ,,,,,xaxaxdxad,,,,2a,,x,,1,,,a,,
222xaxax,1,,22故 .? axdxd,,,,,,,222a,,x,,1,,,a,,
dxcosx例11 求 ,. dx,,13,,xx
cosx解: . dxxdxxC,,,2cos2sin,,x
117
2
dx,3,,dxdxxdx(3)233,,, ,,,,,,,13131313,,,,,,,,xxxx
2322(13)xdx,,,,, ,,,,,dxdx3232,,,1313,,,,xx
.? ,,,,,,232ln(13)xxC
11dxdx例12 求 ,. ,,cosxsinx
111解: dxdxdx,,(sin)(sin)22,,,coscos1sinxxx,11sin,x,, ,,lnC. ,,21sin,x,,
11,,, dxdx(),,,sin2x,cos()x
2
,,,1sin()x,,,,111cosx,,,2lnlnCC,,,,.? ,,,,,221cosx,,,,,1sin()x,,
,2,
11,dxdxn,例13 求 ,,. nn,,sinxcosx
1Idx,解: 记,则有递推关系 nn,xcos
,,,,,nnn112Ixdxxxnxxdx,,,,,cossincossin(1)cos(1cos) n,2,,
,,n1,,,,,,cossin(1)(1)xxnInIC, nn,2
1sinx,,,,InIC[(2)]. nn,2n,1,nx1cos
11sin,x,,IIxCIC,,,,,ln注意到,便能求出. n01,,21sin,x,,
1Jdx,记 ,则有递推关系 nn,xsin
118
,,,,,nnn112 Jxdxxxnxxdx,,,,,,,sincossincos(1)sin(1sin)n,2,,
,,n1, ,,,,,,,sincos(1)(1)xxnJnJCnn,2
1cosx,,,,,. JnJC[(2)]nn,2n,1,nx1sin
11cos,x,,J注意到,便能求出.? JxCJC,,,,,lnn01,,21cos,x,,
dxdx例14 求 ,,. ab,0,,abx,cosabx,sin
dx解: 只需求出. ,abx,cos
xddxx2(1) ab,.这时,只需求出 ,,,tanC,,x1cos2,x2cos
2
xddxx2,或 ,,,cotC. ,,x1cos,x22sin
2
xddx2(2) ab,. ,2 ,,22xxabx,cos22abab,,,sincos,,,,22
2abx,. ,,arctan(tan)C22ab,2ab,
xddx2ba,,2(3) . ,,xxabx,cos22()sin()cosabab,,,
22
baxbax,,d(tan)1tan,21baba,,22.? ,,,lnC2,2222bax,baba,,,,bax,1tan,1tan,,,ba,2ba,2,,
P练习题6.2() 1(2,4,6,8,9,11,12),2,3,4(5,6,9,12,17,19,21, 238
22,23,25,29,31,32),6(3,4),7,8.
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120