分析力学中一类二维自治系统的首次积分

分析力学中一类二维自治系统的首次积分 分析力学中一类二维自治系统的首次积分 1 前言 积分系统在数学和物理[1-3]众多领域中有重要的应用.在数学界和物理界 有很多人已经研究了这个系统.但是可积性的完全现象还未解决.在物理上主要是 应用逆散射,可以使用于有限维和无限维.在文献[4]中,给出了探寻首次积分的一 个直接是把一个给定的位势从哈密顿函数中分离出来,不必要计算对称或使 用诺特定理来得到其首次积分.他们采取一种不同的方式来处理从运动方程中得 到的微分1-形式的积分.即给每个微分形式乘上一个未知的函数,使形式乘以未 知的函数的和是恰当的. 本文在文献[4]的基础上,另外选取一组特殊的乘子函数,使PDE 形式更为简 单,并且能够求出它的首次积分.从而求出它的首次积分,并且给出了两个例子来 说明它在物理中的应用. 2 预备知识 2.1 分析力学中的拉氏函数的定义 拉氏函数全称拉格朗日函数,用L 来示.拉氏函数L 等于力学体系动能和 势能之差,即:L = T ?V . 拉氏函数是力学体系的一个特性函数,表征着约束、运动状态、相互作用等 性质. 2.2 勒襄特变换 拉氏函数L 是qα , qα ? (α = 1,2,…, s )及t的函数,并可由此得出拉格朗日方 程式: d ( L ) L 0 dt q q α α ? ? ? = ? ? ? (α = 1, 2,…, s )， (2-1) 但拉格朗日方程是二阶常微分方程组.如果我们把L 中的广义速度qα ? 等换成 广义动量pα 等就可使方程组降阶,即由二阶变为一阶,而且还可具有其他的一些 优点.我们现在就来进行这种变换. 在(2-1)中,如果令 1 p L T q q α α α ? ? = = ? ? ? ? (α = 1,2,…, s ) ， (2-2) 作为独立变量,则由(2-1)式,可得 p L q α α ? = ? ? (α = 1, 2,…, s )， (2-3) 而由式(2-2),又可解出qα ? ,使qα ? 是p ,q ( 1,2, s) β β β = … 及t 的函数,即 1 2 1 2 ( , , , ; , , , ; ) s s q q p p p q q q t α α ? = ? … … ， (2-4) 这是因为L 原是qα , qα ? , t 的函数,而L qα ? ? ? 也仍然是qα , qα ? , t 的函数. 如果把(2-4)式中的qα ? 代入拉氏函数L中,则L也将变为p, q,t的函数,兹以 L 表之,即 1 2 1 2 ( , , , ; , , , ; ) s s L = L p p … p q q … q t ， (2-5) 这时方程式(2-3)及(2-4)一共是2s 个一阶微分方程组,是拉格朗日方程式(2-1) 的另一表达形式.但这两组方程形式并不对称,计算也不方便.进一步的研究表明, 当独立变量改变时,函数本身亦宜随之改变为另一种形式的函数才好计算.在今 后的热力学及其他学科中,还要经常碰到这种情况.这种由一组独立变数变为另 一组独立变数的变换,在数学上叫做勒襄特变换. 2.3 哈密顿正则方程的有关概念 如果通过勒襄特变换,要使拉氏函数L 中的一种独立变量由qα ? (α = 1,2,…, s ) 变为pα (α = 1,2,…, s ),其中p L T q q α α α ? ? = = ? ? ? ? ,则应引入新函数H ,使 1 ( , , ) s H p q t L p q α α α = = ? + Σ ? ， (2-6) 而 1 ( ) s dH dL p dq q dp α α α α α = = ? +Σ ? + ? ， (2-7) 因为我们现在仍把L认为是q,q?及t的函数,故根据函数求微分的法则,有 1 ( ) s L L L dL dq dq dt q q t α α α = α α ? ? ? = + + ? ? ? Σ ? ? 2 1 ( ) s p dq p dq L dt t α α α α α = ? = + + ? Σ ? ? ， (2-8) 这里利用了p L T q q α α α ? ? = = ? ? ? ? (α = 1, 2,…, s ).及p L q α α ? = ? ? (α = 1, 2,…, s ).两 式,把式(2-8)中的dL+ 代入式(2-7)中,得 1 ( ) s L dH p dq q dp dt t α α α α α = ? = ? + ?? Σ ? ? ， (2-9) 因为经过变换后, H 已是p, q,t的函数,故根据上面所讲的同样理由,知 1 ( ) s H H H dH dq dp dt q p t α α α = α α ? ? ? = + + ? ? ? Σ ， (2-10) 比较(2-4)及(2-5)两式,并因为dp ,dq α α 及dt 都是独立的,故得 q H p α α ? = ? ? , p H q α α ? = ? ? ? ， (2-11) 又 H L t t ? ? = ? ? ? (2-12) ， 方程式(2-11)通常叫做哈密顿正则方程,简称正则方程,而式(2-6)所定义的 函数H ,则叫做哈密顿函数,它是2s +1个变量即p ,q ( 1,2, , s) α α α = … 及t 的函数. 哈密顿正则方程是包含有2s 个一阶常微分方程的方程组,它们的形式简单而对 称,故称为正则方程. 2.4 哈密顿正则方程的首次积分 如同拉格朗日方程的求解一样,降低方程的阶数和维数是简化方程以便于求 解的重要途径之一,而系统的首次积分是方程降阶和降维的基础.因此对于正则 方程而言,同样需要讨论首次积分的问题.现在分析能直接求出首次积分的几种 情况. 2.4.1 哈密顿函数H 不显含时间t ,即( , ) k k H = H q p , = 0 ? ? t H 的情况 由式 t H t H q H p H p H q H dt dH N k k k k k ? ? = ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? =Σ =1 ( ) ,可得= 0 ? ? = t H dt dH , 所以 H = C ,其中C为常数,则有式H = T ? T +V = C 2 1 . 3 又由式 t L t H ? ? = ? ? ? 得= 0 ? ? t L , 故该系统就是广义保守系统, 此时 H q p C k k ( , ) = ,于是可见,正则方程存在广义能量积分式H = T ? T +V = C 2 1 . 2.4.2 如果哈密顿函数不显含时间t ,且约束为定常的,则系统为保守系统的情况 由式H = T ?T +V = C 2 1 得到H = T +V = C′ ,可见,正则方程存在机械能量 积分. 2.4.3 哈密顿函数H 不显含某个广义坐标j q 的情况 j q 不显含在拉格朗日函数L 中,也不一定显含在哈密顿函数H 中. 由 (k 1,2, , N) q p H p q H k k k k ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? = 的正则方程得= 0 ? ? = ? j j q p? H . 于是得正则方程的循环积分j j p = C (常量). 2.4.4 哈密顿函数H 不显含某个广义动量j p 的情况 由(k 1,2, , N) q p H p q H k k k k ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? = 的正则方程得= 0 ? ? = j j p q? H . 于是得j j q = C′( j C′ 为常数). 注:以上内容均引自文献[5]. 3 理论与结果 在这里,我们为一指定的带有二个自由度的自治哈密顿系统探寻首次积分的 方法,其中: ( ) ( , ) 2 1 1 2 2 2 2 1 H = p + p +V q q ， (3-1) 运用哈密顿正则方程,则所对应的运动方程如下: i i p dt dq = , qi i V dt dp = ? i = 1,2 . (3-2) 其中( , ) 1 2 V q q 是系统所指定的位势.方程(3-2)与以下六个微分1-形式等价: 4 2 1 1 2 0 p dq ? p dq = , (3-3a) 0 1 1 1 1 p dp +V dq = q , (3-3b) 0 1 2 2 1 p dp +V dq = q , (3-3c) 0 2 1 1 2 p dp +V dq = q , (3-3d) 0 2 2 2 2 p dp +V dq = q , (3-3e) 0 1 2 2 1 V dp ?V dp = q q . (3-3f) 我们对等式(3-3a)-(3-3f)分别乘以关于a,b,c,d 的函数的未知函数P,Q, R, S,T 和U ,称为乘子函数,并求和.如果等式是恰当的,称为DI ,即: ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 DI P p dq p dq Q p dp V dq R p dp V dq q q = ? + + + + ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 S p dp V dq T p dp V dq U V dp V dp q q q q + + + + + ? . (3-4) 其中( , , , ) 1 2 1 2 I = I q q p p , D是全微分算子. 把(3-4)左式展开,使(3-4)两边的1 2 1 2 dq , dq , dp , dp 的系数相等,得到 q1 2 q1 q2 I = Pp + QV + RV , (3-5a) q2 1 q1 q2 I = ?Pp + SV + TV , (3-5b) p1 1 2 q2 I = Qp + Sp ?UV , (3-5c) p2 1 2 q1 I = Rp + Tp +UV . (3-5d) 相容性条件为 , , , qiq j q jqi pi p j p j pi qi p j p jqi I = I I = I I = I i, j =1,2 . 导致六对线性 PDE 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) 2 q 1 q q q q q q q q q p P + p P + Q ? S V + R ?T V + Q ?T V 0 2 2 1 1 + ? = q q q q RV SV , (3-6a) ( ) ( ) 0 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 ? ? + + + + = p q q p q p q q q q p P S p Q Q V R U V UV , (3-6b) ( ) ( ) 0 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 + ? ? + ? + ? = p q q p q q p q q q P p P T p R Q U V R V UV , (3-6c) 5 ( ) ( ) 0 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 ? ? + ? + + + + = p q q p q p q q q q P p P Q p S S V T U V UV , (3-6d) ( ) ( ) 0 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 ? + + ? + ? ? = p q p q q p q q q q p P R S U V T V p T UV , (3-6e) ( ) ( ) 0 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 ? + ? + ? ? ? = p p p p p q p q p Q R p S T S R U V U V . (3-6f) 一般地,为了求解上述方程,对于P,Q, R, S,T 和U ,我们需要作一些适当的假 定.作为第一种情况,我们取, ( ) 1, 2 1 2 P = P q q , p , p , ( ) ( ) 1 2 1 2 Q = T p , p , R = S p , p ,U = 0 . (3-7) 注:以下计算方法请参考文献[6-7]. 把(3-7)代入到方程组(3-6a)-(3-6f),我们有 2 q2 1 q1 q1q1 q2q2 p P + p P = SV ? RV , (3-8a) 2 1 1 1 2 1 0 p q p q p p P +V Q +V R = , (3-8b) 2 p2 q1 p2 q2 p2 p P +V Q +V R = ?P , (3-8c) 1 p1 q1 p1 q2 p1 ? p P +V S +V T = P , (3-8d) 1 2 1 2 2 2 0 p q p q p ? p P +V S +V T = , (3-8e) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 0 p p p p p Q ? R + p S ?T = . (3-8f) 而(3-8f)可以化为 ( ) 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 , , , p p p p p Q + p S = p R + p T = f p p q q , 即 ( ) 1 2 2 2 1 2 1 2 , , , p p p Q + p S = f p p q q , (3-9a) ( ) 1 1 2 1 1 2 1 2 , , , p p p R + p T = f p p q q , (3-9b) 利用微分方程的理论来求解(3-9a),我们有 ( ) 1 2 1 1 2 1 2 p Q + p S = C p , p , q , q , (3-10a) 由(3-9b)有 ( ) 1 2 2 1 2 1 2 p R + p T = C p , p , q , q , (3-10b) 由(3-8b)有 ( ) 2 1 2 3 1 2 1 2 , , , q q p P +V Q +V R = C p p q q , (3-10c) 6 由(3-8d)有 1 1 2 4 ( 1 2 1 2 ) , , , q q ? p P +V S +V T = C p p q q , (3-10d) 结合(3-10a),(3-10b),(3-10c),(3-10d),我们有: 1 3 2 4 1 1 2 2 0 q q p C + p C ?V C ?V C = , (3-11) 又 ( ) 1 2 1 2 3 1 2 1 2 , , , q q q I = p P +V Q +V R = C p p q q , (3-12a) ( ) 2 1 1 2 4 1 2 1 2 , , , q q q I = ? p P +V S +V T = C p p q q , (3-12b) ( ) 2 1 2 2 1 2 1 2 , , , p I = p R + p T = C p p q q , (3-12c) ( ) 1 1 2 1 1 2 1 2 , , , p I = p Q + p S = C p p q q . (3-12d) 由上面四个等式,我们有: 1 1 2 2 1 1 2 2 0 q q q p q p p I + p I ?V I ?V I = , (3-13) 由等式(3-13)可以推出特征方程 1 2 1 2 dq dq p p = , (3-14) 有2 1 1 2 1 p q ? p q = a , (3-15) 由 1 1 1 1 q dq dp p V = ? , 有2 1 2 1 2 p +V = a , (3-16) 由 2 1 2 1 q dq dp p V = ? , 有 1 2 q2 1 3 p p + ?V dq = a , (3-17) 由 1 2 1 2 q dq dp p V = ? , 有 1 2 q1 2 4 p p + ?V dq = a , (3-18) 由 2 2 2 2 q dq dp p V = ? , 有2 2 5 1 2 p +V = a , (3-19) 由 1 2 1 2 q q dp dp V V = , 有 1 2 2 q1 6 pVq ? p V = a , (3-20) 因此, I 的一般表达式为 ( ) 1 2 3 4 5 6 I =? a , a , a , a , a , a 7 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 , 1 , , , 1 , 2 q q 2 q =? ?? p q ? p q p +V p p + V dq p p + V dq p +V pVq ? p V ?? ? ? ? ? . 其中? 为任意的可微函数. 4 例子 例 1 取( 2 2 ) ( 2 2 ) ( 2 2 ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 , 2 2 2 H = p + p + q + q = p + p +V q q ,其中 ( ) ( 2 2 ) 1 2 1 2 , 1 2 V q q = q + q ,在物理上的意义为二维各向同性谐振子. 将( ) ( 2 2 ) 1 2 1 2 , 1 2 V q q = q + q 代入(3-15)- (3-20)有 1 21 1 2 a = p q ? p q , 2 ( 2 2 ) 2 1 1 2 1 1 2 2 a = p + q + q , 3 1 2 1 2 a = p p + q q , 4 1 2 1 2 a = p p + q q , 2 ( 2 2 ) 5 2 1 2 1 1 2 2 a = p + q + q , 6 1 2 21 a = p q ? p q , 假设( ) 1 2 3 4 5 6 3 1 2 1 2 I =? a , a , a ,a , a , a = a = p p ? q q ,即1 2 1 2 I = p p + q q . 则 1 2 1 2 1 2 1 2 DI p dp p dp q dq q dq Dt dt dt dt dt = + + + ( ) ( ) 1 2 2 q1 2 1 1 2 = p ?Vq + p ?V + p q + p q 1 2 2 1 2 1 1 2 = ? p q ? p q + p q + p q =0. 例 2 取( 2 2 ) 2 ( )2 ( 2 2 ) ( ) 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 , 2 2 H = p + p + q + q ? q = p + p +V q q , 其中 2 ( )2 2 2 1 2 1 1 12 2 V = q + q ? q = 2q ? 2q q + q . 将2 2 1 12 2 V = 2q ? 2q q + q 代入(3-15)- (3-20)有 1 21 1 2 a = p q ? p q , 8 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 a = p + q + q ? q q , 2 3 1 2 1 2 1 a = p p + 2q q ? q , 2 4 1 2 1 2 2 a = p p + 4q q ? q , 2 2 2 5 2 1 2 1 2 1 2 2 2 a = p + q + q ? q q , 6 12 11 21 22 a = 2 p q ? 2 p q ? 4 p q + 2 p q , 假设( ) 1 2 3 4 5 6 I =? a , a , a , a , a , a 2 3 = a ? a 2 2 2 1 1 2 12 1 2 1 3 4 2 = p + q + q ? q q ? p p . 则1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 DI p dp 6q dq 2q dq 4q dq 4q dq p dp p dp Dt dt dt dt dt dt dt dt = + + ? ? ? ? ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 6 2 4 4 q q q = p ?V + p q + p q ? p q ? p q ? p ?V ? p ?V ( ) ( ) 1 2 1 11 2 2 2 1 1 2 1 1 2 = p 2q ? 4q + 6 p q + 2 p q ? 4 p q ? 4 p q ? p 2q ? 2q ( ) 2 2 1 ? p 2q ? 4q 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 = 2 p q ? 4 p q + 6 p q + 2 p q ? 4 p q ? 4 p q ? 2 p q + 2 p q 2 2 2 1 ?2 p q + 4 p q = 0 . 注:以上两个例子均引自文献[8]. 5 首次积分的物理意义 在物理中,当= 0 Dt DI 时, I 为首次积分,即为守恒量.在经典力学中,首次积分通 常代表了机械能守恒. 6 小结 本文我们提出了一个为动态系统探寻首次积分的简单而又系统的方法:使用 乘子函数.因为作为一般的数学问题,很难求出一般的P,Q, R, S,T,U 作为乘子函 9 数,满足DI = 0 ,所以我们考虑了特殊情况来求首次积分.事实上还可以进一步考 例如: 虑其他情形, (1) ( ) 1 Q = Q q , ( ) 2 T = T q , ( , , , ) 1 2 1 2 R = S p p q q ,U = 0, ( , , , ) 1 2 1 2 P = P q q p p . (2) ( ) 1 Q = Q q , ( ) 1 T = T q , ( , , , ) 1 2 1 2 R = S p p q q ,U = 0, ( , , , ) 1 2 1 2 P = P q q p p . (3) ( ) 2 Q = Q q , ( ) 2 T = T q , ( , , , ) 1 2 1 2 R = S p p q q ,U = 0, ( , , , ) 1 2 1 2 P = P q q p p . 参考文献: [1]Arnold V.I, Mathematical methods of classical mechanics[M].Springer ,New York ,1978 [2]Whittaker E.T., A treatise on the analytical dynamics of particle and rigid bodies[M]. Cambridge University Press, Cambridge,1988 [3]Ablowitz M.J. and Segur H, Soliton and inverse scattering transform[J]. SIAM, Philadelphia,1981 [4] Annamalai A. and Tamzhmani K.M., Direct Method of Finding First Integrals of Finite Dimensional Systems and Construction of Nondegenerate Poisson Structures[J].Nonlinear Mathematical Physics,1994,V.1,N 3,309-330. [5] 周衍柏,理论力学教程[M].高等教育出版社,1985 [6] 周尚仁, 权宏顺, 常微分习题集[M].人民教育出版社, 1982 [7] 谷超豪, 数学物理方程[M].上海科学技术出版社, 1961 [8] 王振发,分析力学[M].北京科学出版社,2002 致谢: 本文的完成要感谢汪文珑老师的悉心指导.__