武钢三中数学组

武钢三中数学组 ?2.4 反函数 武钢三中数学组 郝晓辉 教学目标, 1、知识与技能目标 (1)了解反函数的概念; (2)会求一些简单函数的反函数。 2、过程与方法目标 (1)为学生创造直观生动的情景，学生通过动手实践，感受概念的形成过程，逐步形成由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法与技能. (2)围绕概念教学，学生养成发现问题、分析问题、解决问题的良好思维习惯. 3、情感、态度与价值观目标 (1)体会数学概念之间的相互联系，感受事物的多个方面以及条件的充分性; (2)学生逐渐养成乐于探究、勇于探索的钻研精神. 教学重点, 反函数的概念的理解 教学难点, 反函数的求法 教学方式,引导探究式 教学工具,CAI辅助教学 教学过程, 一、复习引入 火车作匀速直线运动的位移s是时间t的函数，即,其中速度v是常s,vt 量;反过来，也可以由位移s和速度v(常量)确定物体作匀速直线运动的时 s间，即，这时，位移s是自变量，时间t是位移s的函数.t,v s在这种情况下，我们就说是函数的反函数. t,s,vtv y,2x，6y,2x，6又如，在函数(xR)中，x是自变量，y是x的函数. 由, y可以得到式子(yR). 这样，对于y在R中任何一个值，通过式子x,,3,2 y，x在R中都有唯一的值和它对应. 也就是说，可以把y作为自变量，x,,32 yy,2x，6(yR)，x作为y的函数.这时我们就说(yR)是函数(xR)x,,3,,,2 的反函数. 二、新课研究 1、反函数的定义 设函数的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把y,f(x)(x,A) x示出来，得到x=(y). 如果对于y在C中的任何一个值，通过x=(y)，,,x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自, 变量y的函数，这样的函数x=(y) (yC)叫做函数的反函数，,y,f(x)(x,A), ,1,1记作,习惯上改写成 x,f(y)yfxxC,,() () ,1,1探讨1:若函数有反函数，那么函数的反函数y,f(x)y,f(x)y,f(x) ,1就是，这就是说，函数与互为反函数y,f(x)y,f(x)y,f(x) 探讨2:互为反函数的两个函数的定义域、值域的关系 从映射的定义可知，函数y,f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的 ,1反函数是集合C到集合A的映射，(如下表): y,f(x) ,1 函数y,f(x)反函数y,f(x) 定义域 A C 值 域 C A 2、例题与练习 例( 求下列函数的反函数: 2x，3y,3x,1(x,R)(1); (2)y,(x,R,且x,1)x,1 3(3); (4) y,x，1(x,1)y,x，1(x,2) y，1y,3x,1x,解:?由解得 3 x，1y,3x,1(x,R)?函数的反函数是， y,(x,R)3 2x，3y，3y,?由解得x, y,2x,1 ?x{xR|x1}，?y{yR|y2} ,,,,,, 2x，3x，3?函数的反函数是y,(x,R,且x,1)y,(x,R,x,2)x,1x,2 2?由y=+1解得x=, x(y,1) ?x1，?y2 ,, 2?函数的反函数是y= (x2); y,x，1(x,1)(x,1), 33y,1?由解得x=, y,x，1 ?x>2，?y>9; 33?函数的反函数是 y,x，1(x,2)y,x,1(x,9) 小结:(1)求反函数的一般步骤分三步，一解、二换、三注明; 2)反函数的定义域是原函数的值域,而不是由反函数的解析式得到.( ,1练习1:课本:已知函数，求它的反函数. y,f(x)Py,f(x)70 2y,,2x，3y,, (1) (x>1) (2) (x?R，且x?0)x 2练习2:函数 fx,x(x,R)存在反函数吗,能否改变函数的定义域，，， 使其存在反函数, 并求其反函数. 三、课时小结 本节课我们从实际例子出发，得到反函数的概念，并学习了用其概念求解一些简单的函数的反函数。重点就是反函数的概念，难点是反函数的求法，这里贯穿着一种解方程的思想。并且通过本节课的探究，我们再次体会到数学来源于生活，并服务于生活，并感受到从具体倒抽象，再从抽象倒具体的思维方法。 四、课后作业 习题 2.4 1、2 五、板设计 ?2.4 反函数 反函数的定义 例 引例1 引例2 定义的注 引例3 求反函数的步骤 六、课后反思