【doc】H上半正定广义逆A{i,...,j;〉=}的半正定偏序解
H上半正定广义逆A{i,...,j;〉=}的半正定偏
序解
掐建林学魔1990,10(2)ll12一l21
Jou~a|ofFujls4ColeofFore~ry H上半正定广义逆A{i,…,j;?}
的半正定偏序解'
庄瓦金
(福建南平师专)
摘要在文献[1—2]基础上,本文考察了半正定自共轭西元教矩阵A的半正 定(i,…,j)一连A{i,…,j,?}中昀半正定偏序解li1题,证明了各广义逆的 芈正定倡序解的显公式.,
关键词四元数体}半正定自共轭矩阵J广义逆,半正定偏序
1引言与引理
设H是四元数体,H(n,')={AEH…lA?=A},H(n,?)={AEH(n,)lA是半 正定的},H(n,>)={A?H(n,?)lA是正寇的.设A,BEH(n,?),记A?B(A> B),或B?A(B<A),当且仅当A—BEH(n,?)(H(n,>))}A{i,…,j,?}={X? A{i,…,j}lXEH(n,?)},其中广义逆的定义与记号如C32所述.设A(i,…,j)? A{i,…,jI?',~:rankA(i,…,j)=t,剐记之为A:"…订'.容易证明,?是H(n,?) 中的偏序,我们称之为H(n,?)的半正定偏序.现在有以下问题. 设s?r?t,A",…''?A{i,…,j,?},是否存在A",Ac.'n,使
A(i.'j)?A(i'j?At'j,?
SrZ
对此,[1]阐述了实非负定矩阵的(1)一逆,(咖逊情形的存在性,[2]进一步研究了复非 负定矩阵的(i,…,j)一逆A{i'…,jl?}中A''i),
Ac
.
'
j'的解集
.本文在[1—2]
基础上考察了上述问题,证明了它们的显公式,将[2]的结果推广到H上,井作了部分改
进.
本文还约定.GL(H)={A?H…IA可逆},H:={A?H"1AA'=I}.设A? H(n,*),若A.=A,刚称之为投影矩阵.设A"?A{s,…,t,?',记 ?车尘景挂蠹誉直蒜韩学基盘资助谭题.
第2期庄瓦垒.H上半正定广义逆A{i,…,jI》}的半正定偏序解113 A{i,…j;r,?A'}={XEA{i,…,j}?}【X?A'.''?,rankX=r}, A{i,…J,r,?A''''}={XEA{i,…,j,?}Ix?A'?,rankX=r}. 为了下面的阐述,我们先导出A的半正定(i,…,j)一逆的显式.由(4]定理6,(5]定理 13,14,C63p294系1及(7]引理3易得
亭I理1设A=u(:)uEH(n,?),其中UEH:,D=dlag(,…,,)>o, 砒
A{1,?Hu(呈:x.DxX+Y)u.1x?H?(--",YEH(n-r.?)}, A{1'2I?卜{u(呈:x州x}
A{1?}={u(呈)u『x?H(n_r,?)}=A{1,4,?},
A{1'2,3,?{1,2,4J?+=u(O'》u*.
暑l理2同引理I所设,则
十(.-..y三.
)U.
(1)
(2)
(3)
(4)
XEHII("r,,V?H,t=o,1,…,f},(5)
这里D-音=diag(~,…,
一
)是D—z的半正定平方根,并且若设D=diag(-1rI,…,
t
tIt),l,…,两两互异,Erl=r, i-1
则
A{3I?}={u(oL呈》U*iLa吼,…,LI)Ll?H(ri,?),
XEH(n—f,?)}=M4)》};A{3,4,?},(6) ?Hu札v(兰)v...v(O:)v Vl?H,0?qI?ri}=A{2,4J?};A{2'3,4J?}.(7)
证一u()U.?,YtEH(r,?
昔oD
:{
(X
V
*
oo?OkO,
,-,
,J
O
114福建林学院学撤第10卷
fIu】J
YlDY:=Y
fY:DY.=Y.'
于是D古Y
,
D古是投影矩阵
,
其中D古是D的半正定平方根.从而由[5]定理13,14易见有 V?H,使D音YD古=V(暑)V*.因此,令V?D古Y:=():,则由 YtDYt=Y得到z=.,从而Y.=D一士V(言),Ya?XoX.故Y具(5)右边所示形式.由 u(士三](.V*V(妻(.o'士I三]u:QQ
其中Q=u(.-.4-
1
0
…
)(:),V.是V的前t列.因此由[4)定理6知道这样形式的矩阵 易见cs,右边所示矩A?,中.着Y=u'(:')u??As,?,Y-? H(?),则DYl=YlD,DY=O,从而易见Y具(6)右边之形式.A{4}?}的情形类 似证之,故(6)成立.
又若(6)右边所示矩阵在A{2,3}?}中,姗由(5)的证明知道X=0,且^iLl是投影矩
阵,从而A的半正定(2,3)一逆具(7)右边之形式.显然这样形式矩阵在A{2,3,?}中.
类
似可证A{2,4}》}的情形,故(7)成立.证毕.
2半正定偏序解的显式
定理1设A=u(:暑)u*,其中u?HD=diag(^t,…,)>o.又设 A'=u
x.
u眦,
.
?hY.=L(0)L?Gc
f?s?k?t?n,螂
fD一Xo
A;s,?A',{u[x:x.x.+L(暑)L*)u.Iz=Wdiag(l'…,k—r)w'
第2期庄瓦盎tH上半正定广义逆A{i,…,j|>}的半正定偏序解 o?j?1,j.的个数为s—r,W6Hk-ur},8)
A{,,?Ac):{u(Dx -
1
x.x.+
X
Y
o
.Y]ulY?H一,?,
raDk(Yo+Y)=t—r}.(9) 证血引理设A'=u(呈:x.DXx+Y)u*?A{,s,?A},则
A'一
A'?:u(x:xx:.x.一x
Xo
..
-
x
X
+yo-Y
ju*?..
于是由盯]弓.理.与定理.知道x=x.且Y.一Y?o?令Y=L(YY)L*,其中
Z?H(k—r,?),Yi?H(n—k,?),则,
[r--,
-
v,j
因此,Ih—Z>O,一Yz?O.故Yz=0,.R~4J定理6,(5)定理13,14可设
Z=Wdiag(1,…,.,
)W*,W?H1.
1
,其中o?3?1.又
(I—
i_
Y
r-一
]=(][一
0
Y..-
一
r--
][.o.
]?.,
则如上证明知道Y=o.再注意到rankA':=s,财}年.的个数为s—r,故A'具(8)
右边所示形式.反之,易见(8)右边之矩阵在A{1,s,?A:冲,故(8)成立.
类似可证(9)成立.证毕.
由引理1与定理1得
推论1设A?H(n,?),A'?,A*6A{1,2j?},若A'?.?A',则 An?2)皇A'
.
类似定理1的证明可得一
推论2~A6H(n,?)如定理所述,A.Jn=u( xo-LL*,L6H蔓吣(k-r),{1,…,i}:{1,3},{1,4},{E—r 剜
0
一)U*6A",i,?},
,3,4},r?s?k?t?n,
A,…,,s,?A:'."?}={u(D.-L0L)u*Iz=Wdi~gc,,…,.w*,
1l6福建林学院第10卷
0?i?1,,.的个数为s—r,w?H:}(1o)E—fJ,
A{】,…t,?Am,={u(xx)u*IX6H(n—r,?,
rank(X.+x)~t--r}.(11'
定理2设A?H(n,?)如定理1所述,o?s?k?t?r}由引理2设 A=u,(:)u?A{z,?,,其中u=uaasc',…,'=},..,v,,.Voo~, f100,
0t
.
-
YoEHkx(n-r),则
r,It00,
A{2It,kO.'Y?H(I-k)
?
{Ul(暑)ww叫
证设任意A?A{z,t,?A},由引理z有A:=u.CzX
(12)
(13)
z
Z
.z)u:,其中
x?,?)是投影矩阵,.令x(三主],XI6HH(rZXZX,6?舢A一A:?0x?,?)是投影矩阵,.令xLxx.J,,剐由A一k?
知x.一I?O.又由x是投影矩阵知I一x?O,l从而有It—x.?O.故x=I.再注意斟 x的幂等性,易得x:x=0.从而由[7]引理2知x=o.于是x.是投影矩阵,且 A'2).Au,ox0.
)z1u.
因此由(7]定理3知道z=(暑.x0.)z,从而令z=(),z.的行数为k,剐有z;., z:=x.z..注意到A的秩,设x:w(t.-i暑)w?,w?..于是令w?z=(), Y的行数为t—k,砌得T=0.故A.'具(12)右边所示形式.反之易见(12)右边之矩阵在 A{2,t,?A}中,所以(12)成立.
第2期庄瓦金-H上半正定广义逆Afi,…,jJ?}的半正定偏序解117 若(zZz)u??A圊『j类似于定理1中的证明知道
一.,一..令xX,E鼬(.Ii0Hk~k,It.)一x?.得一.,.'从而=0?令x【x:x.J,则由(0o)一x?o
得到x.0,
X:=0.故易见(13)正确,证毕.
xEH(r?)是投影矩阵,可设为x=w(oO)w*,w?H,并且xz=z.于是 一
z,
暑-Z*Zj;;..
又I一X也是投影矩阵.有(I一X)=I,一X,从而由[7]定理3知道(I一X)(一Z)=一
Z,
故z=XZ=0.因此A具(14)右边所示形式.显然这样形式的矩阵在A{2,t,?A:"}
中,故(14)成立.证毕.
定理4设A?H(n,?)如定理1所述,0?s?r?t?n}由引理2设 rI,O
A【2)
:u.lo0【
Y:0Y
u:?A{2,?},
…a=u[.)(V.-r】,则
,fI,
一
』—.I
118福建林学院第10卷
+咖一音Z?H(r's)(n-r),
证设A"EAQ,t
,
?A2)}
,刚由弓l理1有?
A(.kO,]音x盎LD-音k0].
…
'
V~D4X1
~DX+L.【X*D音v.xu:'
其中L?H(n—r,?),rankL=t—r.令V:D音X=(),Y有k行,则 -
r00Y—Yo,
A'一
Ac2;u.loI~-r,lu:?o.【
Y?一Y:z?Y*Y+Z*Z+L—Y:YoJ
于是由(7]定理3知道Y=Y..故A:"具(15)右边所示形式.又(zL]?o,
因而易见这样形式矩阵在A{1|t,?A'中,所以(15)成立.证毕? 定理s设A=u(吕暑)u?,u?乩.……>.,耋r-一r 由引理2设A:udi(G,,…,G.,G)u*EA{3,?},其中Gj:P(暑P,' G=P()PiEGL.(H),P?Gk,喜s.?s??n,则
A{a}s,?A}:{Udlag(Q1diag(,…,?.,0,…,o)Q,…,?' Q,diag(p.?…,e'p,0,…,O)Q:,Qdiag(~t,…,"0,…,O)Q u*tQ;=P,(.V,:),Q=P(0一;),V;?Hg,V?H:,.??, o?i?1,j年O的个数为s}?(16)
A{a,t,?A?}={Udiag(GI+L,…,G.+LG+L)U【Lj?H(r,?), ?
\????J
)L
z
+
O音Y
一?O
DY
第2期庄瓦金:H上半正定广义逆A{i,…,j'?}的半正定偏序解119 I,?H(n—r,?),壹r8nk(Gl+乙j)+r8nk(G+L):t}.(17) 证若A"6A{3,s,
?A},则由引理2设A:"=udiag(X,…,X.,X)U?,
其中x?Hc,,?,x?Hc一,?.令x:P(::)P,x.(;:)P?, X;I?H(gj,?),XI?H(g,?),则
:》.,-X:-Ks'
于是,如定理1的证明知道Xj8=0,Xl2=0,Xa=0,X0,且Xjl=Vjdiag(g……, ;?,0,…o)v,x:vdiag(,,…,,o,…,O)V*,其中vf?H,v?H,
o??1,o?j?1.因而注意列raakA~"=s,则A.具(16)右边所录形式.反之易见 这样形式的矩阵在A{a}s,?A''中,故(16)成立.
由引理2易见(17)成立.证单.
定理6设A6H(n,?)如定理5所示,A:udiag(M-,…,M.,O)U6A{2, s,?,其-vt(:)V.,v一呓,.?m.?r...?s??r,则,
..,s,=
{Udia…u*IGj(三W,
w?H,.?p?,圭p;:s,记E?Hmi×mi,有i.l
(言o一;)VGtV(言'm,o.:)=(.Ej0.),其特征值?,cs
Az,s,t,?A={uaac乙t,…,L.,.uIL=zi(:三Z,
zi?H.q?,圭q:t,记F?一,
福建林学院第lO卷
(OIq'
I,:)zM.z)=(三o.),其特征值?.c.
证设AEA{2,3Is,?A'}
,则由引理2可设
A.?3)
=ua;ascG,…G,.u*,G=w
;x-
[O'I)w,
其中墨p=s,w?H,并且由A'?A:''知道1I1
V,
0
.
0)V一w0"0.]w?.,J从而有
(.o)一
.,)vG01]?..
因此,类似于定理1的证晚知道A'具(18)右边所示形式.反之易见这样形式矩阵在 A{2,3,s,,Ak(2'.'}中
,故(18)成立.
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第2期庄瓦金HF-~iE定广义逆A{i,…,j,?}的半正定偏序解121 PositiveSemidefinitePartialOrderSolutionsforPositive
Se.
midefiniteGeneralizedlnv~rses
r^{i,…,>overH
AbstractInthispapertileproblemsofthepositivesemidefiuitepartialorder
inthepositivesemidefinitegeneralizedinversesA{i,…,j,?jofapositive semidefiniteself-conjugatematrixAofqaaternionsarediscussed,andtheir
correspoadingexplicitsolutionsareproved. KeyWordsquaternionfield,positivesemidefiniteself—con—jugatematrix,gen- erallzedirivetse,positivesemidefinitepartia1order
叠
莘口教学林场珍稀阔叶引种栽培试验成绩显着
莘I:1教学林场的小湖工区原为小潮试验林场,自1961年起就开展珍稀胡时树种的人工更
新和引种栽培试验,到1988年止,累计营造各类珍稀阉叶树种45个,各类(纯林或多种混交
林)造林保存面积有5469亩,蓄积量4.3752万立方米.积累了丰寓酶蓉木经鞋(蕾括释苗,
造林及抚育管理等一接套技术经验),其中有多个树种的技术经验被《中国主要造林技术》
一
书引用,多次在垒省国营林场造林会议上作典型经验介绍,多欢被福建省林业厅及南方14
省珍贵树种栽培试验协作组作为桶叶衬造林典型召开现坜舍,多次接符国内外专家的参观考
察,得到了国内外专家的一致好评.对福建省乃至全国发展珍稀树种造林工作起到了一定的
促进作用或示范作用.1978年1979年,1982年分别被省人民政府授予科技先进集体,省林
韭厅授予隅叶树造林先进单位等光荣称号,成绩显着.
在国内外开展珍稀阉叶树种造杯,象这样时闻之早,树种之多,面积之大,时期之长
的
试验尚属罕见. 科研烛鄞双盒 扎
m
雌
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