10 北方速记 第十章 声符与韵符弯冤温晕的拼音.ppt
完全平方数难
(二) 问题5:象111…1 ,由 n个1连写得到的数,这些数都是奇数。说明当n,1时没有平方数
2n,1时,1,1;
2222偶数的平方,(2n),4n,4的倍数;奇数的平方,(2n,1),4n,4n,1,4n(n,1),1,8的倍数加1(当然也是4的倍数,1)。 n,1时,n个1,(n,2)个1×100,11,4的倍数,8,3,4的倍数,3?4的倍数,1(也不等于8的倍数,1),
?n个1(n,1)组成的数里没有平方数。
22……22,2×11……11?平方数,(n个2);
33……33,3×11……11?平方数,(n个3);
44……44,4×11……11?平方数,(n个4,n,1); 55……55,5×11……11?平方数,(n个5);
66……66,6×11……11?平方数,(n个6);
77……77,7×11……11?平方数,(n个7);
88……88,8×11……11?平方数,(n个8);
99……99,9×11……11?平方数,(n个9,n,1)。 当然,在这些数后面加若干个0也构不成平方数。
这个问题在许多初中及初中以上奥数书都有引用,所采用方法各种各样,难易不等。序列1,11,111,1111,……中有无数个合数,那么此序列中的质数情况比较难办,
现在只知道5个是质数:第一个质数11;
19个1连写,23个1连写这两个质数在1920年代才被找到;
317个1连写是质数由美国数论专家威廉斯(Williams)在1978年证实;
1986年Williams和Dubner找到了这里面的第五个质数:1031个1连写。
这个序列中是否有无数个质数,现在还是未知,可以肯定的是合数个1连写一定是合数,只有质数个1连写时才有可能是质数。
1999年9月Dubner发现49081个1连写可能是质数,但目前还判断不出。
2000年10月Baxter发现86453个1连写可能是质数,但目前还判断不出。
问题6:质数p不是2,也不是5,那么序列1,11,111,1111,……中有无数个数是p的倍数。
解答:(p,2),(p,5),1,(p,10)。
,ppp1由费马小定理10,10是p的倍数,其中10,10,10×(10,1),10×(100……00,1)(这里有p,1个0)
2,10×99……99(这里有p,1个9),10×3×11……11(这里有p,1个1)。
若p,3,显然序列中的111,111111,……,3k个1,……,有无数个都是p,3的倍数;
p2若p?3,则由上10,10是p的倍数,即10×3×11……11(这里有p,1个1)是p的倍数,
即11……11(这里有p,1个1)是质数p的倍数,也有无数个。 从一方面也说明了这个序列中有无数个合数。
2004美国数学邀请赛AIME-2第14题(倒数第2题):
问题7:n个7组成的数:77……77,在某些7与7之间插入若干个加号(也可以不插入,不插入加号就表示一个多位数)得到一个算式,使其结果是7000。问有多少个这样的n,
1992第21届美国数学奥林匹克USAMO第1题:
问题8:求乘积9×99×9999×99999999×……的数字和。
n这里是1个9,2个9,4个9,8个9,16个9,……,2个9。
问题9:说明:(2n个1连写),(n个4连写),1,平方数 平方数的末两位如果相同,那只能是00、44。
从上面的“奇数平方是8的倍数加1、偶数的平方是4的倍数”可以看出: 一个数的末两位如果是11、22、33、55、66、77、88、99,那它就不是平方数:
A×100,11,A×100,8,3?4的倍数加1型,不是平方数。 B×100,22个位数字是2,不是平方数。
C×100,33个位数字是3,不是平方数。
D×100,55,D×100,52,3?4的倍数加1型,不是平方数。
E×100,66,E×100,64,2?4的倍数型,不是平方数。
F×100,77个位数字是7,不是平方数。
G×100,88个位数字是8,不是平方数。
H×100,99,H×100,96,3?4的倍数加1型,不是平方数。 下面再说明平方数的末位不能有3个以上的4。
如果一个平方数的末位有4个4:
a×10000,4400,44,a×10000,4400,32,12,16的倍数,12, 但是偶数的平方只能是16之倍或16之倍加4型,所以平方数的末尾不能有4个连
222写的4。所以可有2个4或3个4:12,144,38,1444。比较特殊的是88,7744。
问题10:1,2,3,……,n的结果中有几个平方数,
:无穷多个,最小的“非平凡”解是n=8。根据求和公式,我们要求n(n+1)/2是
2222一个平方数,由于n和n+1互素,所以就有n=x,n+1=2y;或者n=2y,n+1=x。
22相减得x-2y=?1。这类方程被称作是Pell方程在潘承洞、潘承彪的《初等数论》第七
章有专门的讲解。柯召、孙琦的《谈谈不定方程》第二章也有专题解说。 我们引用《谈谈不定方程》关于Pell方程的定理:设D是一个正整数且不是一个平
22方数,则x-Dy=1有无限多组整数解,设x,y是使得x最小的一组正整数解,则原00
n方程的所有解都可以用x+y?D=?(x+y?D)表示,其中n是任意正整数。 00
22上面的最小正整数解也被称作是Pell方程基本解。x-2y=1的基本解为(3,2)由它可
以构造出无限多个解,所以满足要求的n也是无限多个的。
问题11第3个问题的缘起:第一次遇到这个题的时候,是原来辅导学生参加华罗问题11第3个问题的缘起:第一次遇到这个题的时候,是原来辅导学生参加华罗
庚金杯赛:?1×2×3×……×n,3是一个数的平方,求n; 庚金杯赛:?1×2×3×……×n,3是一个数的平方,求n;
?1×2×3×……×n,4是两个自然数的乘积,求n。 ?1×2×3×……×n,4是两个自然数的乘积,求n。
拿到这两个题目,吓了我一跳,这从哪里入手,主要是这是对小孩辅导啊~后来又拿到这两个题目,吓了我一跳,这从哪里入手,主要是这是对小孩辅导啊~后来又想了想,既然是对小孩的内容,不应该多高深,从尾数出发,若n?5,则n~的个位为想了想,既然是对小孩的内容,不应该多高深,从尾数出发,若n?5,则n~的个位为0,加3后,个位为3,没有一个自然数的平方个位是3,所以n?4,当n,4时,4~0,加3后,个位为3,没有一个自然数的平方个位是3,所以n?4,当n,4时,4~,3,27(不行); ,3,27(不行);
当n,3时,3~,3,9,(可以);当n,2时,2~,3,5(不行);当n,1时,当n,3时,3~,3,9,(可以);当n,2时,2~,3,5(不行);当n,1时,1~,3,4(可以)。 1~,3,4(可以)。
两个连续自然数的乘积个位是0,2,6,减4后分别是6,8,2,这样n?5时,n~两个连续自然数的乘积个位是0,2,6,减4后分别是6,8,2,这样n?5时,n~个位为0,又不行,所以n,4时,4~,4,28?相邻自然数之积;n,3时,3~,4,个位为0,又不行,所以n,4时,4~,4,28?相邻自然数之积;n,3时,3~,4,10?相邻自然数之积;n,2时,2~,4,6,2×3(可以),n,1时,也不行。 10?相邻自然数之积;n,2时,2~,4,6,2×3(可以),n,1时,也不行。
对阶乘和找平方数,也是这样,3~,4~,5~,6~,……,n~的个位也是0,而(1~对阶乘和找平方数,也是这样,3~,4~,5~,6~,……,n~的个位也是0,而(1~,2~,3),所以n?4时,阶乘和个位都是3,没有哪个自然数的平方个位为3,所以n,3,2~,3),所以n?4时,阶乘和个位都是3,没有哪个自然数的平方个位为3,所以n,3时,1~,2~,3~,9是平方数,n,2时1~,2~,3不是平方数,n,1时1~,1是平时,1~,2~,3~,9是平方数,n,2时1~,2~,3不是平方数,n,1时1~,1是平方数。 方数。
问题12、平方和问题,是个难题。人们已经知道了n,1时(平凡解);
22222n,24时,1,2,3,4,……,24,24×(24,1)×(2×24,1)/6,4×25×4
29,70(非平凡解)