[考试]浅谈求未定式“ ”型函数极限的几点误区及其技巧

[考试]浅谈求未定式“ ”型函数极限的几点误区及其技巧 0 , 浅谈求未定式“”型函数极限的几点误区及其技巧 0 ,摘要:本文只要针对求未定式“”型极限时常出现的几点误区作探讨～并得到求此类函数极限的技巧。 函数极限, 洛必达法则 关键字:未定式, [中图分类号] F590【文献标识码】A【文章编号】2009Q33002(2009)01-0001-03 [1][2]在《数学分析》与《微积分》中，极限的概念占有主要的地位，并以各种形式出现而贯穿全部，因此掌握极限的求解方法是学习数学分析和微积分 0 ,的关键。本文主要针对教学中，学生对求未定式“”型极限时常出现的几点误区作探讨，以助学生能很好地掌握求这类函数极限的方法与技巧。 0 ,1. 以例题为例，说明求“”型函数极限时的几点误区 mlimlnxx例1 求。 ，,0x mmlimlnlimlimln0xxxx,, 错误解法: ，，，,,,000xxx 1,m0 ,,xx,lnmx正确解法是:xx,,limlnlimlimlim0,,1mm,,,，，，，0000xxxx,,,,xmxm, 1xlimxe例2 求。 ，x,0 11xxlimlimlim0xexe,, 错误解法(一): ，，，,,,xxx000 错误解法(二): 0001n，21 ,0000xxnx1!x,？无法得到具体的值 limlimlimlimlim()xe=,,,1111，，，，，xxxxx,,,,,00000,,,,1xxxxeeee2x 111,xe()'11 ,0x,exxx,,，,正确解法是:xee limlimlimlim,,，，，，11xxxx,,,,0000()'xx sinxlimx例3 求。 ，x,0 limsinlnxx ，sinsinlnxxx x0,limlimxee,,，，求错误解法:。 ,,xx00 limsinln=limsinlimln=0xxxx ，，，xxx,,,000其中 sin0xlim=1xe,所以 。 ，,x0 limsinlnxx ，sinsinlnxxx x0,limlimxee,,，，正确解法是: ,,xx00 1,0 ,,xxxlnsinsinx ,,,xxlimsinlnlimlimlim0,,，，，，其中 xxxx,0000,,,,x1cosxxcos2xxsinsin sin0xlim=1xe,所以 。 ，,x0 分析错误解法: 例1的错误解法中，答案也为0，但求解过程是错的。该种解法错误的认为一个无穷 mmlimln=0xxx,0x,0小量与一个无穷大量之积的极限为0(理由是当时，，故(“0，x,0乘任何数都等于0”)。例2的错误解法(一)中，错误同例1，错误的认为一个无穷小量与 0 ,一个无穷大量之积的极限为0;错误解法(二)中，已经判定所求函数属于“”型函数， 0故把它变成“”型函数再多次用洛必达法则求极限，可是最后得不到具体的解，使题目更0 00 ,加复杂，该方法错在变形不得当，未定式“”型函数求极限变形时，可以变成“”0 ,,型，也可变成“”型，但要向着容易求解的方向变形。若该题变成“”型再用洛必达,, limsinln=limsinlimln=0xxxx 法则求极限就简单得多了。例3的错误解法中，错在，，，，xxx,,,000 limsinlnxx 0 ,属于未定式“”型函数求极限，故要考虑变形。 ，x,0 0 ,综上得出解未定式“”型函数极时的误区有以下几点: 1.不能区分两个数之积与两个变量之积的极限的概念。事实上，两个数之积是具体的两数相乘，此时，0乘以任何数都等于0适用于两数相乘;两个变量之积的极限，说的是在某个变化过程中，两变量之积的变化趋势。 2.没有区分所求函数极限的类型，盲目解题。 3.对所求函数极限盲目变形，变形不得当。 0 ,3探讨求未定式“”型函数极限的技巧 [1,2]0 , 对于未定式“”型函数求极限，大多数教科书中只提到经过适当变形 0,可变成“”型或“”型，很少介绍“适当变形”的技巧。0, 0 ,对于“”型函数求极限，变形时一般选择比较复杂的因子作分子，另外一个因子取倒数作分母。如例1中正确解法所示，视对数函数比幂函数复杂， ,mlnx故选“”作分子，“”取倒数作分母，变成“”型再用洛必达法则求极x, 11xxee限。如例2中正确解法所示，视因子“”比因子“”复杂，故选“”作x ,分子，“”取倒数作分母，变成“”型再用洛必达法则求极限。x, 0 ,其次，对于“”型函数求极限，在变形之前，优先考虑是否能利用无穷小量代换求极限，若能代换，则优先利用无穷小量代换求极限，解题过程会变 limsinlnxx 得更简单。如在例3中，解时，优先利用等价无穷小量代换求极限，，x,0 即 1,00 ,,,xlnx ,,,xxxxxlimsinlnlimlnlimlimlim0,,,，，，，，。xxxxx00000,,,,,11,2xx 0 ,对于“”型函数求极限，既不能够判定哪个因子较复杂，也不能够利用无穷小量代换求极限时，考虑变形后，哪种情况下容易求导。如对于求 ,,022lim(1)tan(),xxtan()x时，选作分子，取的倒数作分母，变成“”(1),xx,1022 型，再用洛必达法则对分子、分母同时进行求导比较简便。 参考文献: [1]华东师范大学数学系.数学分析(上)[M].北京:高等教育出版社,2001。 [2]赵树嫄.《微积分》(第三版)[M].中国人民大学出版社.