重庆理工大学高数C2习题册答案

习题一　定积分的概念与性质，微积分的基本公式 一、单项选择题 1、D  2、B  3、C  4、C  *5、D 二、填空题 1．　0　    2．         3．     4．       6．     7．             8．  >    三、求解题 1．求下列函数的导数 （1）解：     （2）解： 2．求下列极限： *(1)         *(2) 解：           解： 故极限不存在。 3． ： = = = =2 4． 解： ，令 ，得 ， 当 时， ；当 时， ， 所以，函数 在 内单调递减，在 单调递增， 在 点处取得极小值 = . 习题二　定积分的换元积分法，分部积分法 一、计算题 1．计算下列定积分 (1)                       (2)   解：原式=             解：原式= = =                         (3)                     (4)     解：原式             解：原式 (5)                     (6) 解：令                           解：原式 原式                 (7)                               (8) 解：原式       解：原式 故 2． 解：令 ，则 令 ，则 二、证明题 1．证明：令 ，则 2．证明：令 ，则 3．证明：令 ，则 4．证明： ，令 ， 则     又 是奇函数 即 是偶函数. 习题三　广义积分，定积分的几何应用 一、选择题 1.  B  2.  C  3.  D  二、填空题 1． ，　>1 , ； ，　<1　，         2. ， ， . 三、计算题 1．判断下列反常积分是否收敛，若收敛计算其值 (1)                     (2)     解：原式             解：原式 (3)                     (4)   解：原式         解：原式 2．解： 令 ，则 为驻点，且 时， ； 时， ， 所以 时， 取得最小值。 3. 解： = 4．解： 5．解：曲线 在 点处的切线为 ，则过原点的切线为 ，即 故 6．解： 7．解： 8．解： 习题四　定积分及其应用总习题　 一、填空题 1．     2．     3．   4．     5．     6． 7． 0  8*． 二、计算题 1．解：方程两边对 求导，得 故 ，代入原方程有 即 那么 2．解： 3．解： ，令 ，则 故 4*．解：令 ，则 5.  解： 三、证明题 1．证明：令 ，则 2．证明：令 ，则 令 ，则 3．证法一：对右边，由定积分的分部积分公式： 证法二：交换二次积分的顺序： 4．证明： ，其中 ，（积分中值定理） 又因为 ，即 单调递减，故 ，则 ，那么 在(0,a)内单调减少。 习题五　微分方程的基本概念，一阶微分方程 一、单项选择题 1． C  2．  C  3． D  4．D  二、填空题 1．  导数或微分  ，   常。      2．  3。  3．  阶  。4．  初始  。 5． 。*6． 。 三、计算题 1．求下列微分方程的通解： （1）                   （2） 解：                   解： （3）                 （4） 解：                       解： 令 ，则                   即 故通解为 （5）                 （6） 解：         解： 令 ，则 2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1）解： ，又 ，则 ，故特解为 （2）解： ，则 ，又 ，则 ，故特解为 （3）解： ，则 ，故 ， 又 ，则 ，特解为 3． 解：设所求曲线方程为 ，那么 ，且 ， 由 得 ，即 又 时， ，故 ，所以 4.设 可微且满足关系式 ，求 . 解：方程两边同时求导，得 ，解之， 又 ，即 故 ，那么 习题六　可降阶的二阶微分方程，二阶常系数线性微分方程 一、选择题 1． A  2． D  二、填空题 1． 。2． 。 3． 。  4．   5． 二、求解题 1．求微分方程的通解。 (1)                       (2) 解：               解：令 ，则 ，即 2  求下列方程满足条件的特解 (1) 解： ，又 故 ，那么 (2) ， ， 解法一：所给微分方程对应的齐次方程的特征方程为 ，特征根 ， 由于 不是特征方程的根，故设特解为 ，代入原非齐次方程得 ， 于是原非齐次方程的通解为 ，又 ， 则原非齐次方程的特解为 解法二：令 ，则 ，故 ， 又 ， ，那么 ， 所以 ，又 ，则 ， 特解为 ，可化简为 3．求下列微分方程的通解： (1)                       (2) 解：所给齐次方程的特征方程为        解：所给齐次方程的特征方程为 ，特征根         ，特征根 于是通解为               于是通解为 (3)                     (4)* 解：所给齐次方程的特征方程为          解：所给齐次方程的特征方程为 ，特征根         ，特征根 于是通解为     于是通解为 (5)                   (6) 解：所给微分方程对应的齐次方程        解：所给微分方程对应的齐次方程的 的特征方程为 ，              特征方程为 ， 特征根                       特征根 于是对应的齐次方程通解为                于是对应的齐次方程通解为 由于 不是特征根，                    由于 不是特征根， 故设特解为 ，              故设特解为 代入原非齐次方程得     代入原非齐次方程得 于是原非齐次方程的通解为                于是原非齐次方程的通解为 (7)               (8) 解：所给微分方程对应的齐次方程        解：所给微分方程对应的齐次方程的 的特征方程为 ，              特征方程为 ， 特征根                       特征根 于是对应的齐次方程通解为                于是对应的齐次方程通解为 由于 是二重特征根，                    由于 不是特征根， 故设特解为 ，        故设特解为 代入原非齐次方程得         代入原非齐次方程得 于是原非齐次方程的通解为                于是原非齐次方程的通解为 (9)* 解：所给微分方程对应的齐次方程的特征方程为 ，特征根 ， 由于 不是特征方程的根，故设特解为 ，代入原非齐次方程得 ， 于是原非齐次方程的通解为 . 4．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1） ， ， 解：所给齐次方程的特征方程为 ，特征根 于是通解为 ，又 ， ，代入得 ， 故特解为 （2） , 解：所给微分方程对应的齐次方程的特征方程为 ，特征根 ， 由于 是特征方程的单根，故设特解为 ，代入原非齐次方程得 ，于是原非齐次方程的通解为 ， 又 ，代入得 ，故特解为 5．试求 的经过点 且在此点与直线 相切的积分曲线 解： ，又经过点 ，故 ，且在此点与直线 相切，则 ，那么 ，所以 6．设函数y(x)连续，且 ，求y。 解：原方程两边对 求导，得 ，解之得 ，但代入后 习题七　常微分方程总习题 一、填空题 1．3。2． 。3． 。 4． 。 二、求解题 1．求下列微分方程的通解： （1） 解： （2） 解：由 有 则 设  为方程的特解有 则通解为 2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1） ， ， 解：由 有 则 则通解为 又 ， 则 （2） ， ， 解：由 有 则 设  为方程的特解有 则通解为 又 ， 则 3．设函数 ,  求 解：由   有 则   设  为方程的特解有 则通解为 又     则 4．该可导函数 满足 求 解：   有 5．设二阶常系数线性方程 的一个特解为 ，试确定常数 并求该方程的通解。 解：代入有   解之有 又     有 则通解为 [ ] 6．设 ， ， 是二阶常系数线性非齐次方程的特解，求微分方程的通解及该方程。 解：通解为 则该方程为 因   有 则该方程为  一般解：由           ① 有   ② 及       ③ 由②③解之有 代入①有 7 求 满足 ,  的特解 解：由 有 则 又 ,  则 8．求 满足 的特解 解：由   有 及 由 有 则 通解为 又 ,  则 9．已知常系数齐次线性方程的特征根为 ,试确定该微分方程 解：由 有 则该微分方程为 习题八 常数项级数的概念和性质 一、 选择题 1． （B）2．（A、D）3．（A、C） 二．填空题 1．       2． 三．用定义判别下列级数的敛散性： 1． 解： 级数 发散。 2． 解： 级数 收敛。 四．判定下列级数的收敛性 1． 解：这是几何级数，公比 级数 收敛 2． 解：原级数即是： 而调和级数 发散 发散 3． 解：级数的通项 而 由级数收敛的必要条件可知级数： 发散。 4． 解：这是公比 的几何级数 级数 发散 5． 解： 几何级数： 收敛 几何级数： 也收敛 收敛 习题九  正项级数及其审敛法 一、 选择题 1． （B）2．（C） 二．用比较审敛法或其极限形式判别下列级数的敛散性： 1．             2． 解：                     解： 又 发散                        又 发散 级数 发散                    级数 发散 3．         4。   解：                           解：当 ；  而级数 收敛                          此时级数 发散 级数 发散时                  当 时；  此时几何级数 收敛 则级数 收敛。 三．用比值审敛法判别下列级数的敛散性： 1．       2． 解：级数的通项为：               解：级数的通项为： 级数 发散                    级数 收敛 3．                             4． 解：级数的通项为：             解：级数的通项为： 级数 收敛。                      级数 收敛。  四．用适当的方法判别下列级数的敛散性： 1．             2． 解：级数的通项为：               解： 又 级数 发散，由比较判别 由比值判别法，知级数： 收敛。      法的极限形式知级数 发散。 3．                           4． 解：                     解：级数的通项为： 又 收敛，由比较判别法，          知级数： 收敛。              由级数收敛的必要条件 知级数 发散。 五．利用级数收敛的必要条件证明： 证明：由第三题.4小题知级数： 收敛， 由级数收敛的必要条件知 。 习题十  任意项级数的绝对收敛与条件收敛 一． 讨论下列交错级数的敛散性： 1． 解： 级数通项的绝对值   又     由莱布尼兹判别法知，交错级数： 收敛。 2． 解： 级数通项的绝对值   又 由莱布尼兹判别法知，交错级数： 收敛。 3． 解： 级数的通项： 故 。由级数收敛的必要条件知级数 发散。 二． 判定下列级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 1． 解：级数的通项： 又 收敛    由比较判别法，知级数 收敛 绝对收敛，从而级数 收敛。 2． 解：级数的通项： 级数 绝对收敛，从而级数 收敛。 3． 解：级数的通项： 而 收敛 故原级数 绝对收敛，从而级数 收敛。 4． 解：级数的通项：     令 ，则 而级数 发散，由比较判别法的极限形式，知级数 发散。 且 由莱布尼兹判别法知，交错级数： 收敛。 综上知级数 条件收敛。 习题十一  泰勒公式与泰勒级数 一、将下列函数展开成 的幂级数，并求展开式成立的区间； 1． 解：      令 2． 解：令 3． 解： 令 4． 解： 5． 解： 二．将下列函数展开成的 幂级数 1． 解：令 ，即 2． 解： 三．将 展开成 的幂级数 解： 习题十二  幂级数 一、 填空题 1． 3。 2、 二、 求下列幂级数的收敛域： 1． 解：因为 所以 收敛半径 当 时，级数成为 ；当 时，级数成为 两个级数都发散，故收敛域为 2． 解：因为 所以 收敛半径 ，收敛域为 3． 解：因为 所以 收敛半径 。当 时，级数成为 4． 解：因为 故 当 即 时级数收敛；当 即 时级数发散，故收敛半径 ；当 时，级数成为收敛，故收敛域为 5． 解：因为 故当 即 时级数收敛，当 时级数发散，则收敛半径为 。 当 时级数成为 当 时级数成为    以上级数均发散。故级数 的收敛域为 6． 解：令 ，则上述级数变为 因为 所以收敛半径 。收敛区间为 ，即 当 时，级数成为 ，此交错级数收敛 当 时，级数成为 ，此级数发散。 故级数 的收敛域为 三、 利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数： 1． 解：显然，所给幂级数的收敛区间为 。收敛域为 。 设 注意到s(0)=0 2. 解：显然，所给幂级数收敛域为 3． 解：显然，所给幂级数的收敛域为 习题十三 一、`（1）C,（2）A，（3）A，（4）C （5）A 二、 三、 四、 （1） （2） 单调递减. 故由莱布尼兹判别法知原级数条件收敛. 五、证明： ， ， 而正项级数 ， ， 都收敛，故 与 都收敛. 六、见教材P467 例4 七、 八、 （2）解：幂级数 在点 收敛 都绝对收敛. 故 绝对收敛. 九、解： ， 又当 时， 发散，故收敛域为 . ，    十、 ， 又 ，故 . 十一、解： 又当 时， 收敛，故当 时， 习题十四 一、（1）D，（2）C，（3）C。 二、（1）过（1，0，0）点，平行于yoz平面的平面。 （2）过点（1，0，0）和（0，1，0）且平行于z轴的平面。 三、（1）以Z轴为中心轴，底面半径为1的柱面。 （2）夹在平面Z=1和Z=2之间，底面半径为1的圆柱体。 四、示球心在（1，-2，0）点处，半径为 的球面。 习题 十五 一、（1）B，（2）C，（3）C，（4）D，（5）D，（6）D，（7）D。 二、（1） （2） 三、（1） （2） （3）           又         习题十六 一、（1）D，（2）C，（3）A，（4）C，（5）D，（6）A 二、（1）1，（2） 三、（1） （2） （3） （4） （5） （6） 四、1.                                             ，    习题十七 一、（1）B，（2）A， 二、（1） （2） （3） 三、 习题十八 一、（1）C，（2）B 二、 三、 四、证明：对方程 两端同时对 求偏导数得： 同理对 求偏导数得： 故 五、 六、 七、 习题十九 一、 二、 三、 四、解： 而 ， 故 五、 8*解： 习题二十 一、（1）B，（2）B，（3）C 二、解： ， ， 令 ，解出得唯一驻点 . 又 ， ，    ， 三、 ， ， 四、解：（1）利润函数 令 解得唯一驻点（0.75，1.25）， 又 ， ， ， ，故点（0.75，1.25）为极大值点. 即此时最优广告策略为：用0.75万元作电台广告，用1.25万元作报纸广告. （2）令拉格朗日函数 令 ， 即广告费用1.5万元全部用于报纸广告，可使利润最大. 习题二十一 一. 解    定义域为       二.解      三 解       四 解    。 ， 五 解      。 六解      七解   。 八解 九解  ， 十解    ， ， ， ， ， 故 十一解    。 十二解  十三、解：（1）设利润函数为 ，则 ， 令 又因最大利润一定存在，必在驻点处取得，故当 时有最大利润 . （2）令 ，那么 ， 则 令 ，得唯一驻点 . 又因最大利润一定存在，必在驻点处取得，故当 时，有最大利润 .显然实行价格差别策略时总利润要大些. 习题二十二 一、(1).C  (2).C    (3).B    (4).D    (5).D    (6).D    (7).A  (8).C    (9).A 二、（1）>    (2)     (3)     (4) 三  1 解： 。 2解： 3解： 4解： 5解： 四  1解：  2解： 3解： 4解： 5解： 6解：原式= 七  1解：原式= 2解：原式= 八  1解：原式= 2解：原式= 习题二十三 一  解：    二  解：          三  解 ：      四  解：  五  解  六  解  自测题（一） 一、 单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C B D B D C C                 二、 试解下列各题 1、 解： 2、 解： 3、解： 则 与 同敛散 而 为 收敛的 级数 收敛 4、解： ，而 ，级数 收敛， 由比较判别法知 收敛；原级数 也收敛 5、解： 则 与 同敛散 而 为 发散的 级数 发散 6、解： 当 时，原级数为 ，收敛；当 时，原级数为 ，发散。所以收敛域为                     设和函数  7、解： 收敛区间为 8、解； 自测题（二） 一、 单项选择题 题号 1 2 3 答案 D A A         4、   5、36  6、 二、试解下列各题 1、解：原式= 2、解： 3、解：设 ，则 4、解： 5、解：由 有：     解之有 6、解： 自测题（三） 一、单项选择题 题号 1 2 3 4 答案 D C B 1/2           二、试解下列各题 1、 解：原式 2、 解：原式 3、 解：原式 4、 解：由已知有：