固体物理——第一章 (13)

第三章 晶体的结合 -- 参考答案 1. 试证明以等间距排列的一维离子晶体的马德隆常数等于2ln2。 证明：设相邻原子间的距离为R，一个原子的最近邻、次近邻……原子均有2个，该晶体的马德隆常数为： M= +…… = ……） =2 = 得证 2. 由实验测得NaCl晶体的密度为2.16g/cm3 , 它的弹性模量为2.14×1010 N/m2  ，试求NaCl晶体的每对离子内聚能 。（已知马德隆常数M=1.7476, Na和Cl的原子量分别为23和35.45） 解：NaCl晶体中Na+和Cl-的最近距离为 。晶胞基矢长为 2 ，一个晶胞中含有四对正负离子对。 一个原胞（一个NaCl分子）的体积为： = NaCl晶体中的正负离子的平衡间距为： 由晶体体积弹性模量的公式： ， 并且由于NaCl晶体为面心立方结构，参数 =2，故由上式可得： = =7.82 由平衡时离子晶体的内聚能公式： ， 将n=7.82代入得NaCl晶体的每对离子的内聚能为： = 3．设两原子间的相互作用能可由 V（r）= 表述。若m=2，n=10，而且两原子构成稳定的分子，其核间距离为3×10-10m，离解能为4eV，试计算： （1） α和β； （2） 使该分子分裂所必须的力和当分裂发生时原子核间的临界间距； （3） 使原子间距比平衡距离减少10%时所需要的压力。 解：按题给 平衡时， =3×10-10cm = -4 eV=-6.4×10-10erg （1）               （1） （2） 由（2）式解得 代入（1）式， 因而求得 =7.2 （erg ） =9.45 （erg ） （2） 要破坏分子系统，外力必须克服原子间的最大引力。当两原子的距离R=rm时，原子间的引力为最大值。因为 =         = 由极值条件 =0，得 = 3.53X10-8（cm） 从而求得 = =-2.4 （N） 所以要破坏分子系统，必须施加2.4 （N）的拉力。 （3）当两原子间的距离比平衡距离 小时，原子间表现为斥力。使原子间距比平衡距离减少10%，既当距离r等于平衡距离的90%时，两原子间的作用力 = =9.68X10-9（N） 可见使原子间距比平衡距离减少10%需要施加9.68 （N）的压力 4.已由N个惰性气体原子构成的具有面心立方结构的晶体，其相互作用能可表示为 式中 为参数；R为原子最近邻间距。试求： （1） 平衡时的晶体体积 （2） 体积弹性摸量 （3） 抗张强度。 解： （1）为了求出平衡时晶体的体积 ，我们将U（R）换成U（V）。已知晶体具有面心立方结构，设晶格常数为a， 由N个原子构成的晶体体积可以写成 因而题目给的势能U（R）可以写成 U（V）=1/2（12.13） =             其中 =1/2（12.13）   = 利用平衡条件 =0，可求得平衡时的体积 = （2）体积弹性摸量 K= = - = （3）设 是对应于晶格中原胞间距最大引力时的晶体体积，由引力的极值条件 = 得  = 因此最大张力 = = 5．设NaCl晶体的相互作用能可表示为 U（R）= 式中N，R， ，A分别为晶格中的离子数，近邻离子间距，排斥核半径和排斥能参数。实验测定，NaCl晶体近邻离子平衡间距 ，体积弹性摸量 dynes/ ，已知NaCl晶体的马德隆常数 ，试求NaCL晶体的排斥核半径 和排斥能参数A。 解：题给 U（R）= 由平衡条件 =0    得          （1） 此外，晶体的体积弹性摸量  （2） 由题目给的条件得 =N/2（ ） 把（1）代入式，上式可以简化为 =N/2 代入（2）式，得 = 所以 把 代入（1）式便得 A= 代入数据便得A=1.06x10-8(erg)  继续阅读