[论文]1.4条件概率和全概率公式

[]1.4条件概率和全概率公式 1.4条件概率和全概率公式 1.4.1条件概率与乘法公式 一、 条件概率的定义和性质: 条件概率是概率论中一个重要而使用的概念，所考虑的是在事件B已发生的条件下事件发生的概率，记作。先看一个例子。AP(AB) 引例 掷一枚骰子，观察出现的点数，A表示“出现3点”，B表示“出现奇数”，求BA，及在已知发生的条件下发生的概P(B)P(AB) 率P(AB)。 定义 设是两个事件，且，称A,BP(B),0 P(AB) P(AB),P(B) BA为在事件发生的条件下事件发生的条件概率。 P(AB)不难验证，条件概率符合概率定义中的三个条件，即 0BP(AB),01非负性:对于每一事件，有; 0,P(,B),12性:对于必然事件，有; 03A,A,？A,？若事件两两互不相容，则有12n P{A:A:？:AB},P(AB)，P(AB)，？，P(AB)12n12n P{A:A:？:A:？B},P(AB)，P(AB)，？，P(AB)，？12n12n 即然条件概率符合上述三个条件，故对前面所证明的一些重要结果都适用于条件概率。例如: 0P(,B),0; 1 0P(AB),1,P(AB); 2 0P(A:AB),P(AB)，P(AB),P(AAB)3 121212 例1(见) P17 例2 (练)一个家庭中有两个小孩，已知其中有一个是女孩，问这时另一个小孩也是女孩的概率为多大,(假设一个小孩是男还是女是等可能的) 二、概率的乘法公式 由条件概率的定义可立即得到下述概率的乘法公式。 概率的乘法公式 P(AB),P(B)P(AB)设P(B),0，则有或设P(A),0，则有P(AB),P(A)P(BA) A,A,A上式可推广到多个事件的积事件的情况。例如，设为事件，123P(AA),0且，则有 12 P(AAA),P(AAA)P(AA)P(A)123312211 一般，设为任意个事件，则有A,A,？,An12n P(AA？A),P(AAA？A)P(AAA？A)，？，P(AA)P(A)12nn12n,1n,112n,2211其中 P(AA？A),012n,1 例3 (见书) 例4 (见书)PP1818 例5 设在10个同一型号的元件中有7个一等品，从这些元件中不放回地连续取三次，每次取一个元件，求: (1)三次都是得一等品的概率; (2)三次中至少有一次取得一等品的概率。 由上例可见，为了计算某个复杂事件的概率，往往需要把这个事件写成某些较简单的事件的并或交，然后利用概率加法公式或概率乘法公式计算所求事件的概率。更一般地，我们有下面的公式。 1.4.2全概率公式和贝叶斯公式 一、划分(完备事件组): ,EEB，B，？，B定义 设为试验的样本空间，为的一组事件。12n 若 BB,,，i,j，i，j,1，2，？，n;(1) ij B:B:？:B,,(2) ， 12n 则称事件组为样本空间的一个划分。,B，B，？，B12n 注 若事件组为样本空间的一个划分，那么，对每次B，B，？，B12n 试验，事件中必有一个且仅有一个发生。B，B，？，B12n 例如，设试验E为“掷一颗骰子观察其点数”。它的样本空间为 。 E的一组事件，B,{出现奇数点}B,{出现偶数点},,{1，2，3，4，5，6}12,是的一个划分。 二、全概率公式 E,AE定理 设试验的样本空间为，为的事件，若事件组 ,为的一个划分，且则有B，B，？，BP(B),0，i,1，2，？，n，12ni P(A),P(AB)P(B)，P(AB)P(B)，？，P(AB)P(B) 1122nn称为全概率公式。 A 全概率公式常用来求复杂事件的概率，而使用全概率公式的关键是找一个合适的完备事件组。 例6 设甲袋装有2只白球，1只红球;乙袋中装有1只白球、2只红球。今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球。问取到白球的概率是多少, 三、贝叶斯公式 E,AE定理 设试验的样本空间为，为的事件，若事件组 ,B，B，？，BP(B),0，i,1，2，？，n，P(A),0为的一个划分，且，则12ni 有 P(AB)P(B)P(AB)iiii,1，2，？，n，，P(BA),,inP(A)P(AB)P(B),jj,1j 称为贝叶斯公式。 n,2特别当时，并将记为，此时就是，那么全概率公式和贝BBBB21 叶斯公式分别成为 P(A),P(AB)P(B)，P(AB)P(B) P(AB)P(B)P(BA), P(AB)P(B)，P(AB)P(B) 例7 某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一中产品，它们的产品占全厂产品的比例分别0.25，0.35，0.40并且它们的废品率分别为0.05，0.04，0.02 今从该厂产品中任取出一件，问是废品的概率为多少,如果已知取出的一件产品是废品，它最大可能是哪个车间生产的, P(BA) P(B)称为先验概率，它是根据以往数据所得的; 称为ii A后验概率，它是在得到新的信息(抽一产品发现是废品，即事件发生)后重新加以修正的概率，修正的就是利用贝叶斯公式。 P例8 (见书例9) 22 P例9 (见书例10) 22