时空相关矩阵联合对角化对空间谱分辨性能的影响

时空相关矩阵联合对角化对空间谱分辨性能的影响 计 算 技 术 与 自 动 化Vol128 ,No13 第 28 卷第 3 期 2 0 0 9 年 9 月Sep . 2 0 0 9 Co mp uting Technology and Auto matio n () 文章编号 :1003 - 6199 200902 - 0020 - 04 时空相关矩阵联合对角化 对空间谱分辨性能的影响 余华 ,吴文全 ( ) 海军工程大学 电子工程学院 ,湖北 武汉 430033 摘 要 :采用基于 J acobi 算法的矩阵联合对角化方法对阵列接收数据的空时相关矩阵进行联合对角 化 ,得到空时相关矩阵“平均”特征值和特征向量 。将这些平均值应用于 Capo n 提出的最小方差无畸变响应 ( ) MVDR空间谱估计算法 ,得到修正 MVDR 算法 。仿真实例明 ,修正 MVDR 算法优于常规 MVDR 算法 , 当信号源部分相关时 ,由于修正 MVDR 算法不需要信源数目的先验信息 ,其性能明显优于 MU SIC 算法 ,特 别是当信源数目欠估计时 。 关键词 :时空相关矩阵 ;联合对角化 ;空间谱分解 ;相关信号源 ;修正 MVDR 算法 中图分类号 : TN911?23文献标识码 :A The Inf l uence of Spat io - temporal Correlat ion Matrices Joint Bl ock - diagonal izat ion on the Spat ial Spectral Resol ut ion Perf ormance YU Hua ,WU Wen2quan ( )College of Elect rical Engineering ,Naval U niv. of Engineering , Wuhan 430033 ,China Abstract :The Spatio - Temporal correlation matrices of array receiving data is joint block - diagonalized using t he Jacobi algorit hm to get t he average eigenvalue and eigenvector. The average eigenvalue and eigenvector is used in t he MVDR algorit hm which is put forward by Capon to get t he modified MVDR algorit hm. Simulation example shows t hat t he modified MVDR algorit hm is better t han t he conventional MVDR al2 gorit hm. The performance of t he modified MVDR algorit hm is much better t han MUSIC algorit hm when t he signal sources is partly partly cor2 related and especially when t hers is under - estimation about t he number of t he signal sources ,because t he prior information about t he number of t he signal sources is not needed when using t he modified MVDR algorit hm. Key words :spatio - temporal correlatio n mat rices ; joint block - diago nalizatio n ; spatial spect ral resolutio n ; correlated sources ; ( )Minimum Variance Distortio nless Respo nse MVDR “平均”特征值和特征向量得到修正的阵列协方差 阵的逆阵 ,从而得到改进的 MVD R 空间谱 ,即利用 1 问题描述信号子空间和噪声子空间的全部信息做 DOA 估 计 ,从而消除了由于信号源个数估计不准而导致的 () 信号波达方向 DOA估计是阵列信号处理的过估计或欠估计 。 1 6 - 9 研究热点之一, 矩阵联合对角化技术己被 111 信号模型 用于波束形成 、DOA 估计和信号分离等领域 ,能在 假设均匀线列阵位于 x 轴上 , 由 M 个各向同 一定程度上提高参数估计性能 。但文献7 - 9 中 性阵元组成 , 阵元间距为 d 。设有 K 个窄带平面波 联合对角化过程需要预估计信号源个数 。本文中 ( ) θθ( ) ( ) 空时相关矩阵联合对角化采用文献10 中的方法 , 信号st , st , , s t 分别从方向,, , K 1 2 1 2 ) θθ( 为第 i, K不需预知信号源数 ,利用联合对角化后得到的近似 入射到均匀线列阵上 ,i = 1 , K i 对角阵可估计空时相关阵组的“平均”特征值 ,利用 个信号的入射角即入射方向与阵列的法线方向的 收稿日期 :2009 - 03 - 25( ) 基金项目 :国家 863 项目2007ADA299( ) 作者简介 :余 华1973 —,女 ,江西南昌人 ,讲师 ,博士研究生 ,研究方向 :人工智能与模式识别、现代信号处理、计算机网络安全、智能( ) ( ) 信号处理等E - mail : yuhua8818 @hot mail . co m;吴文全1972 —,男 ,江西临川人 ,副教授 ,研究方向 :数字信号处理、电子测 量技术、随机误差处理等。 ′ H λ ( )C= GC G , k = 1 ,8 夹角 。信号的波长为。则基阵的输出为, K k k ( ) ( ) ( )x t = A s t + n t ( )1 ( ) 能够最小化式 6定义的目标函数 J , 其中 :T ( ) ( ) ( )( ) ( ) 式中 : x t=, x t] , s t xt, xt, j < M 1 2 θθco s e sin T ( )G = 9 ( ) ( ) ( ) , s t, 是 n t= - j< ( ) ( ) nt, ] = st, st, 1 K 1 2 θθ- e sin co s T 2 ′′ ′ ′ ′ ( ) ( ) σ, nt] 均值为0 、方差为的加性高斯白nt, M 2 ( )记矩阵 C的元素为 ɑ, b, c, c, 则式 6最 k k k k k K (θ) (θ) 噪声 , 且 与 信 号 不 相 关。A =ɑ, ɑ, , 12′2 ′2 θɑ| +| d| 最大化 。 小化就是求和 < , 使得 |k k 0 1 M - 1 T T ?(θ) (θ)u, u, , u] , u ɑ] , ɑk = 1 = = Kii i i i ′ 2 ′ 2′ ′ 2′ ( )注意到 2 | ɑ| +| d |= | ɑ- d | +| ɑ+ ( π(θ) λ) k k k k k exp j2dsin / 。i ′ 2′ ′ | , 并且迹 ɑ+ d 是相对于酉不变的 , 所以式d k k k 因为具有特定谱的信号时域相关函数具有一 定的相关半径 , 非零延迟相关函数具有较大的分 ( ) 6最小化等价于 K τ) ( ) ( 量 , 所以快拍 x t +与 x t 具有非零空间相关 ′ ′ 2 ( ) Q = | ɑ- d |10 k k ? 值 。阵列的空时相关函数定义为k = 1 H τ) τ) ( (( ) τ τR = E?x t + x t 」, 0 ?? 的最大化 。mɑx ( ) 2然后经过一系列的替换 , 可以求出 Givens 旋转 τ如果合理选择一组延时, 可以获得比只利用 延时θ的参数和 <。具体算法 , 见文献[ 6 , 10 ] 。 τ ( ) = 0 时的阵列协方差阵 R 0更好的方位估 ( ) ( ) 计性能 。将式 1代入式 2可得 : 2 应用 :修正 M VD R 算法 H (τ) (τ) (τ)( )3 R = A RA + R s n H 因为联合对角化器 U 聚集了各个空时相关矩(τ) ( τ) ( ) (τ) , R= Es t + s t 」、R =式中 ?s n 阵中的信号空间方位信息 , 所以 , 期望通过利用矩 H τ) ( ( ) En t + n t 」分别为信号源和噪声的空时 ?阵 U 来改善 DOA 估计性能 。 相关矩阵 , 因为前面假设噪声为高斯白噪声 , 所以 考虑 MVD R 空间谱估计 , 该算法可以类比于 H 2 (τ) στ A RA + I ,= 0 s 一个空间滤波器 , 使期望信号无失真通过 , 同时抑 (τ) ( )R = 4 H (τ) τ A RA ,?0 s 制来自空间其他方向的信号功率 。MVD R 空间谱 112 空时相关矩阵的联合对角化( Jacobi 算法) 表示为 在数值分析中 , 一个正方矩阵 M = ?M 」所有 ij 1 非主对角线元素的绝对值的平方和定义为该矩阵 ( )11 P= MVDRH - 1 (θ) (θ)ɑR ɑ 的 off 函数 , 即 (θ) 式中 , ɑ为信号的方向矢量 , R 为阵列的输 n n 2 出协方差矩阵的估计值 , 当快拍数为 N 时 ,( ) ( )|M | off M = 5 ij ??i = 1 , i = j j = 1 N 1 H 利用 off 函数 , 可以很简洁地写出联合对角化( ) ( )( )R = x k x k 12 ?N k = 1 的目标函数 。 当矩阵 R 可能会出现奇异时 , 采用矩阵组(τ) ( = 1 , , 由定义可知 , 相关矩阵组 R kk ) (τ) ( 的联合对角化技术 。设第 k, KR k= 1 , k ) K联合对角化的目标函数可以写作′ (τ) (τ) 个空时相关矩阵 R 变换后为 R , 即 k k K H ′H ( ) ( (τ) )( )J U = off U R U 6 k ?(τ ) (τ ) , K ( )R= U R U , k = 1 , 13 k k k = 1 从这一目标函数出发 , Cardo so 等人提出了近(τ) ( ) , k的第 i 个联合R , k = 1 ,取矩阵组 k 似联合对角化的 J aco bi 算法 。这一算法是对角化单 特征值估计为 : K 个 Her mitian 矩阵的 J aco bi 算法的推广 , 其基本思 1 ′ ( ) λ( )= | R i , i |14 k i? ( ) K 想是使用一连串 Givens 旋转 ,使目标函数式 6最k = 1 ( ) U 和式 14 利用联合对角化器 小化 。具体做法是 :对K 个 2 ×2 子矩阵, 定义修正 b ɑMVD R 空间谱为 :kk ( )p ( ), k = 1 , 7 = , K C k 1 cd kk( )P15 = M J DMVDR 1 H H 求解相同的问题 :寻找一个 2 ×2 的酉矩阵 G ,(θ)u u (θ)ɑ ɑ i i ? λ i 22 计算技术与自动化2009 年 9 月 然而 ,修正 MVD R 算法不需要先验信号源数 目 ,不存在欠估计与过估计问题 。因此 ,修正 MV2 3 仿真分析 D R 算法是一种稳健的算法 , 从这个意义上来说 , 其性能优于 M U S IC 算法 。 考虑一 8 元均匀线列阵 ,置于高斯非相关噪声 场中 ,噪声的均值为 0 ,方差为 1 。采用该噪声场 和阵 , 变化不同的信号源情况 , 考察 MVD R 、修正 MVD R 以及 M U S IC 算法的性能 。 311 非相关信号源的 DOA 估计 先考虑两个非相关正弦波 ,分别位于 5?、15?方 位上 ,信噪比分别设定为 10dB 和 5dB ,中心频率为 1000 Hz ,采样频率为 10 KHz 。在 - 30?方向上有一 高斯源的干扰存在 ,信噪比为 20dB 。考虑到 1 k Hz 11 单频信号的自相关函数的第 1 个零点位置为 0 . 25 ms ,对应 2 . 5 个采样周期 ,所以对空时相关矩 ( ) ( ) τ阵 ,即式 2, 4中的共取 4 个值 : 1 、3 、6 、8 个 图 2 MU SIC 算法不同先验信源数时的空间谱采样周期即可 ,快拍数为 400 个 。M U S IC 算法中 将干扰也当作一个信号源 ,所以 ,算法输入的先验 312 相关信号源的 DOA 估计 信号源数目为 3 。在此条件下 , DOA 估计结果如 考虑相关信号源的情况。假设两个正弦波信号 , 图 1 所示 。 π频率为 1000Hz ,采样率为 10 KHz ,初始相位差为/ 6 , 分析图 1 可知 ,修正 MVD R 算法能够很好地 经计算 ,此时两正弦波信号的相关系数为 0. 866 。这 两个正弦波信号分别位于 5?、15?方位上 ,信噪比分别 分辨 两 个 信 号 源 , 而 MVD R 则 不 能 分 辨 , 因 为 设定为 5dB 和 5dB 。在 - 30?方向上有一高斯源的干 MVD R 算法受到瑞利限的限制 。M U S IC 算法在 扰存在 ,信噪比为 5dB 。同样 ,MUSIC 算法输入的先 先验信源数目为 3 的情况下 , 能够很好地分辨目 验信号源数目为 3 。因为信号之间存在相关关系 ,为 标 ,效果要好于修正 MVD R 算法 。 () () τ了更多地获取目标方位信息 ,式2,4中的取 1 到 100 ,快拍数 :700 。 三种算法的分辨性能如图 3 所示。与图 1 比较 , MVDR、MUSIC 算法的性能均明显下降 ,不能分辨出 任何信号 ,尽管修正 MVDR 算法性能也下降了不少 , 但从图 2 中还能分辨出目标的数目和方位。 ( ) 图 1 三种算法的空间谱 MU SIC 先验信源数 :3 由于 M U S IC 算法需要先验的信号源数目 ,如 果该先验信息不准确 ,必定会对空间谱的估计带来 很大的影响 。图 2 所示为当先验信号源数目分别 ( 为 1 、2 、3 、4 时的 M U S IC 算法的空间谱图 算法中 () 图 3 三种算法的分辨性能 信号相关系数 :0 . 866) 将干扰也当作了一个信号源。分析图 2 可知 ,当 ( ) 先验信号源数目欠估计 N < 3时 , M U S IC 空间谱 在上述信号和干扰假设不变的情况下 ,加大信 不能给出准确的目标方位 ;过估计时尽管也能给出 号源之间的相关程度 。将两信号源之间的初始相 π目标的准确方位 ,但在某些时候 ,如信噪比比较低 位差调整为 ,相关系数为 0 . 978 。三种算法的分15 时 ,容易给出虚假目标 ,造成虚警 。 辨性能如图 4 所示 。 参考文献 ( ) 王永良 , 陈辉 , 彭应宁等. 空间谱估计理论与算法 第 1 版1 M . 北京 :清华大学出版社 ,2005 . 2 Hamid Krim , Mat s Viberg. Two Decades of Array Signal Pro2 cessing Research J . I EEE Si gnal Processing Magazine , 1996 , ( ) 13 4:67 - 94 po n J . High - resolutio n Frequency - wavenumber Spect rum 3 Ca ( ) AnalysisJ . Proc . of I EEE ,1969 ,57 8:1408 - 1418 . Schmidt R O . Multiple emit ter locatio n and signal parameter es2 4 timatio n J . I EEE. Trans ,1986 ,Vol . A P - 34 :276 - 280 . () 图 4 三种算法的分辨性能 信号相关系数 :0 . 9785 Roy R , Kailat h T. ESPR I T - A Subspace Rotatio n App roach to Estimatio n of Parameters of Cissoids in Noise J . I EEE Trans. 当信号相关系数为 0 . 978 时 ,基于子空间分解( ) o n ASSP ,1986 ,34 10:1340 - 1342 . 的 M U S IC 算法已经完全不能指示目标信号的存 张贤达. 矩阵分析与应用M . 北京 :清华大学出版社 ,2004 . 6 在 ,得到的仅仅是干扰的输出 。MVD R 同样也不 Belo uchrani A , Amin M G , Meraim K A. Directio n finding in 7 co rrelated noise fields dased o n joint block - diago nalizatio n of 能指示信号源的方位 。然而 ,修正 MVD R 算法却 spatio - tempo ral co rrelatio n mat rices J . I EEE Si gnal Process2 仍能分辨出目标 。这正体现了联合对角化对目标 ( ) ing L et t ,1997 , 4:266 - 269 . 信息的提取能力 。 Belo uchrani A ,Meraim K A ,Cardo so J F. A blind so urce separa2 8 tio n technique using seco nd o rder statistics J . I EEE Trans. ( ) SP ,1997 ,45 2:434 - 444 . 4 结束语Cardo so J F , So ulo umiac A. Blind beamfo r ming fo r no n - Gaus2 9 sian signals J . I EEE Proceedin gs FC New Yo r k ,1993 . Cardo so J F ,So ulo umiac A. J aco bi angles fo r simultaneo us diag 2 对阵列接收数据的采样空时相关矩阵的联合10 ( ) o nalizatio n J . Siam. J . Mat . Anal . A ppl . ,1996 ,17 1: 161 对角化 ,能够获取关于目标方位的尽可能多的信 - 163 . 息 ,将之应用于空间谱估计算法 ,得到修正的 MV2 蒋飚 ,朱 ,孙长瑜. 基于空时相关阵联合对角化的高分辨方 11 ( ) D R 算法 。由于修正 MVD R 算法充分利用了目标 位估计J . 哈尔滨工程大学学报 ,2005 ,26 6:773 - 776 . 方位信息 ,且不需要信号源数目的先验信息 ,所以 , 其性能优于 MVD R 算法和 M U S IC 算法 。仿真试 验还表明 ,在信号源相关程度比较高的情况下 ,修 正 MV SD R 算法仍能分辨出信号方位 ,而其他基于 子空间的算法得不出任何有意义的结果 。空时相 关矩阵联合对角化能提高空间谱的分辨能力 ,在一 定程度上增加算法的稳健性 。