《复变函数论》试题库及答案

《复变函数论》试题库 《复变函数》（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析.                  (    )  2.有界整函数必在整个复平面为常数.                                    (    )  3.若 收敛，则 与 都收敛.                       (    )  4.若f(z)在区域D内解析，且 ，则 （常数）.      (    )  5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.    (    )  6.若z0是 的m阶零点，则z0是1/ 的m阶极点.                  (    )  7.若 存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点.                  (    )  8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则 .            (    )  9. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C . (    ) 10.若函数f(z)在区域D内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D内恒等于常数.（  ） 二.填空题（20分） 1、 __________.（ 为自然数） 2. _________. 3.函数 的周期为___________. 4.设 ，则 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若 ，则 ______________. 8. ________，其中n为自然数. 9. 的孤立奇点为________ . 10.若 是 的极点，则 . 三.计算题（40分）： 1. 设 ，求 在 内的罗朗展式. 2. 3.  设 ，其中 ，试求 4. 求复数 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 在区域 内解析. 证明：如果 在 内为常数，那么它在 内为常数. 2. 试证: 在割去线段 的 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线 上岸取正值的那支在 的值. 《复变函数》考试试题（二） 一. 判断题.（20分） 1.  若函数 在D内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续. (    ) 2.  cos z与sin z在复平面内有界.                                (    ) 3.  若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续.                        (    ) 4.  有界整函数必为常数.                                        (    )  5.  如z0是函数f(z)的本性奇点，则 一定不存在.            (    ) 6.  若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析.                         (    )  7. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C . (    ) 8.  若数列 收敛，则 与 都收敛.                    (    ) 9.  若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析.                  (    ) 10. 存在一个在零点解析的函数f(z)使 且 . (    ) 二.  填空题. (20分) 1. 设 ，则 2.设 ，则 ________. 3. _________.（ 为自然数） 4.  幂级数 的收敛半径为__________ . 5.  若z0是f(z)的m阶零点且m>0，则z0是 的_____零点. 6.  函数ez的周期为__________. 7.  方程 在单位圆内的零点个数为________. 8.  设 ，则 的孤立奇点有_________. 9.  函数 的不解析点之集为________. 10. . 三. 计算题. (40分) 1.  求函数 的幂级数展开式. 2.  在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 处的值. 3.  计算积分： ，积分路径为（1）单位圆（ ）的右半圆. 4. 求 . 四. 证明题. (20分) 1.  设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是 在D内解析. 2.  试用儒歇定理证明代数基本定理. 《复变函数》考试试题（三） 一. 判断题. (20分). 1.  cos z与sin z的周期均为 .                              (  ) 2.  若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件, 则f(z)在z0解析.             (  ) 3.  若函数f(z)在z0处解析，则f(z)在z0连续.                     (  ) 4.  若数列 收敛，则 与 都收敛.                    (  ) 5.  若函数f(z)是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数，则数f(z)在区域D内为常数.                                                (  ) 6.  若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导.            (  ) 7.  如果函数f(z)在 上解析,且 ,则 .                                            （  ） 8.  若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. (  ) 9.  若z0是 的m阶零点, 则z0是1/ 的m阶极点.              (  ) 10. 若 是 的可去奇点，则 .          (  ) 二. 填空题. (20分) 1.  设 ，则f(z)的定义域为___________. 2.  函数ez的周期为_________. 3.  若 ，则 __________. 4.  ___________. 5.  _________.（ 为自然数） 6.  幂级数 的收敛半径为__________. 7.  设 ，则f(z)的孤立奇点有__________. 8. 设 ，则 . 9.  若 是 的极点，则 . 10. . 三. 计算题. (40分) 1.  将函数 在圆环域 内展为Laurent级数. 2.  试求幂级数 的收敛半径. 3.  算下列积分： ，其中 是 . 4.  求 在|z|<1内根的个数. 四.  证明题. (20分) 1.  函数 在区域 内解析. 证明：如果 在 内为常数，那么它在 内为常数. 2.  设 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，使得当 时 ， 证明 是一个至多n次的多项式或一常数。 《复变函数》考试试题（四） 一.  判断题. (20分) 1.  若f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件.              （  ） 2.  若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析.                          （  ） 3.  函数 与 在整个复平面内有界.                        （  ） 4. 若f(z)在区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有 . （  ） 5. 若 存在且有限，则z0是函数的可去奇点.              （  ） 6.  若函数f(z)在区域D内解析且 ，则f(z)在D内恒为常数.    （  ） 7.  如果z0是f(z)的本性奇点，则 一定不存在.            （  ） 8.  若 ，则 为 的n阶零点.    （  ） 9. 若 与 在 内解析，且在 内一小弧段上相等，则 .                                        （  ） 10. 若 在 内解析，则 .                          （  ） 二. 填空题. (20分) 1. 设 ，则 . 2.  若 ，则 ______________. 3.  函数ez的周期为__________. 4.  函数 的幂级数展开式为__________ 5.  若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是___________. 6.  若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________. 7.  设 ，则 . 8.  的孤立奇点为________. 9.  若 是 的极点，则 . 10.  _____________. 三.  计算题. (40分) 1. 解方程 . 2.  设 ，求 3. . 4.  函数 有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它的阶数）. 四. 证明题. (20分) 1. 证明：若函数 在上半平面解析，则函数 在下半平面解析. 2.  证明 方程在 内仅有3个根. 《复变函数》考试试题（五） 一. 判断题.（20分） 1.  若函数f(z)是单连通区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数. （  ） 2.  若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，则在区域D内恒等于常数.                                                 （  ） 3.  若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析.                   （  ） 4.  若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析.       （  ） 5.  若函数f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z0解析.    （  ） 6. 若 存在且有限，则z0是f(z)的可去奇点.                   （  ） 7.  若函数f(z)在z0可导，则它在该点解析.                          （  ） 8.  设函数 在复平面上解析，若它有界，则必 为常数.     （  ） 9.  若 是 的一级极点，则 .                    （  ） 10. 若 与 在 内解析，且在 内一小弧段上相等，则 .                                    （  ） 二. 填空题.（20分） 1.  设 ，则 . 2.  当 时， 为实数. 3.  设 ，则 . 4.  的周期为___. 5.  设 ，则 . 6.  . 7.  若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________。 8.  函数 的幂级数展开式为_________. 9.  的孤立奇点为________. 10.  设C是以为a心，r为半径的圆周，则 .（ 为自然数） 三. 计算题. (40分) 1. 求复数 的实部与虚部. 2.  计算积分： ， 在这里L表示连接原点到 的直线段. 3. 求积分： ，其中0