无零因子环的特点[指南]

无零因子环的特点[指南] 第 19 讲 ?4 无零因子环的特征 (Characteristic of the ring without zero-division) 本讲的教学目的和要求:环中有二个运算，关于加法做,,R,，成一个加群。所以群中元素自然存在阶的概念。本讲是在元素的阶的基础上，定义了环的“特征”的概念，与教材不同的是:本讲中不只是讨论无零因子环的特征，而是将一般环的特征做了介绍。而将无零因子环的问题只是作为一种特例。这里要求: (1) 对一般环的特征的定义要真正弄明的，特别是 与中元素的阶的本质区别。，，,,chRR,， R(2) 无零因子环中的特征的几个性质的证明应该 掌握。 (3) 对讲义中最后的几个练习，需要领会其内涵。 一、环的特征的定义 a,R定义 : 设为任意环，如果存在自然数，使得任意Rn na,0都有，那么称这样的最小的自然数为环R的特n 征，记为。如果不存在这样的自然数，则称的，，ChR 为无穷大，记 ，，ChR,,. 例1( 整数环Z中上述定义的自然数不存在. =.，，nChR？, 不仅如此,还可知 ，，，，，，，，ChFx,,,ChMF,,.n 例2. 在模4的乘余类环中,,当取 ,,,,,,,,,,,,Z,i,Z,0,1,2,344 时,都有而最小的显然是4 ,,,,，，ni,0？ChZ,4n,4,8,12,16,？4 明示1: 模剩余类环而言,，， ChZ,m.m R注意1:1?如果环的加群中有一个元素的阶为无穷，由，，ChR 的定义知 必有. ，，ChR,, R 2? 如果的加群,,中每个元素都是有限阶而最R,， 大的阶若为，，.譬如中;最大者是 n,ChR,nZ, ,,,,,,,,0,1,17,3,42,2，，, , 4,ChZ,4. , a1,n，，,,结论1. 若ChR,n,那么,加群R,，中每个元素a,都有. 明示2. 在此,我们要强调二点: R,,R,， ? 确定存在这样的环,使得其加群中既有无 穷阶的元素又有有限阶的元素. 设是两个循环加群,又设而.b,,,c,n，，，，G,b,G,c12 所以 ,,G,hb,h,Z,且　　hb,0,h,0.1 . ,,G,kc,k,Z,且　　kc,0,nk2 现令 ,,，，并规定中加法“+”:RR,G，G,hb,kc,h,k,Z12 ，，，，，，hb,kc，hb,kc,hb，hb,kc，kc11221212 乘法“?”: 。 ，，，，，，hb,kchb,kc,0,01122 可以验证 是一个环，但在加群中，,,,,R,，,,R,， ，，，，b,0,,,0,c,n 而 . R ? 确定存在这样的环:其加群中每个元的阶,,R,， 都不得有限，但不存在最大的阶. nRR,, 设,xx,C,存在n,N使x,1 ,在中规定加法 x，y,xy“+”:,和规定乘法“?”:. xy,1易证,,是个环,而加群,,中的零元为1.且群中每个元都R,，,,R,， 有限,但阶数可任意大.(不存在最的阶). ，，ChRl 结论2. 若R,，,,,1是一个非零环,那么.RR l,,，，ChR,, 证明: 设:由附注1的1?知.R l,n,,,？　　nk,0,　而,a,R 设 则RR 由的任意性 ，，，，na,nl,,nla,0a,0,aRR 知 , (若 与矛盾).l,n，，，，ChR,nChR,m,n,ml,0,RR 例3. 若环的特征为素数,且可变换,则有RRp ppb . ,a,b,R，，a，b,a，b, 证明: 因是交换环, R pp1p,12p,22p,1p,1p ，，a，b,a，cab，cab，？，cab，b？ppp k显然,当时,我们有(!,)=1,又因 p1,k,p,1 kkkkk，，，，!c,pp,1？p,k，1,pk!c,进而 ca,0. pc,？pppp ppp 于是 ，，a，b,a，b. 2Ra,a 例4. 若中每个元都有(称为幂等元)且.,,aaR,0.R那么必为特征是2的交换环. ,a,R2a,R 证明: , , ？ 22 由于？，，2a,2a,4a,4a,2a，2a,2a,0. ,,，， 由的任意性，，R,0,ChR,1.a,ChR,2. ,a,R,2a,0.即a,,a ,a,b,R.？ 222 但，，a，b,a，b,a，b，ab，ba,,ab,ba, a,,a,ab,baR 即是可交换的. 二、无零因子环的特征 RR 设是一个无零因子环,那么关于的特征问题就有一种 “新的感觉”. 定理1. 设是无零因子环,那么加群中每个非零元的阶都R,,R,， 是一致的. 本定理已在?2中论证过. 上述定理告诉我们:非零的无零因子环R中元素的阶只有 二类:一类是零元0( 0的阶永远为1).而其余元素为另 一类,它们或者都是无穷大,或都是同一个自然数. n 定理2. 若非零无零因子环R的特征 ,那么必，，ChR,n,,n 是一个素数. 本定理在?2中也已证过. 由于整环,除环和域都是无零因子环,所以都满足上述 性质,综合而言: 推论:任一个整环,除环和域的特征或是无限大,或是一 p 个素数. 下面介绍几个练习,以此作为结束本讲的内容. 如果说本讲开始对环的特征的介绍,使人感到“高深莫测”的话,那下面的命题也许会让你踏实些. 0,a,R，，,ChR,aa练习1: 设.如果不是零因子 . a,,，，,ChR,,证明: 若 ,由本讲附注. 若 ( 未必是无零因子环 未必是素数)Ra,nn？？ na,0 ,那么 而不是左，，，，,b,R..　anb,nab,0b,0.a？ ,nb,0零因子.由于.由特征的定义.a,n，，,ChRn 上练习提醒我们:非零环的特征就是任一个非零因子的阶.( 本讲结论是显而易见的) ？ 练习2. 若域F的阶为偶数,即 ,那么 F,2n，，ChR,2. 证明: (反证法) 若.那么 ，，ChF,p,2,a,0,b,0,F且a,b F 则 . 显然中这样的阶循环子群只有p，，，，,,a:b,0 m，1m，1有限个.不好?没有个.那么这个子群所含的中元素 ,2共有个.即 =偶数.但不可能，，，，，，p，mp,1p，mp,1np，mp,1是偶数,矛盾.