矩阵论习题答案（方保镕编著）习题 5

矩阵论习题（方保镕编著）习题 5 习题 5 (k)(k)1. 证:由于,再利用矩阵范数的性质 limA,A,limA,A,0,,,,kk (k)(k) ～ A,A,A,A ()k(k)所以有～即. limA,AlimA,A,0,,,,kk 2. 证:因为 (k)(k)(k)(k) (,A，,B),(,A，,B),(,A,,A)，(,B,,B)kkkk kkkk()()()(),,A,,A，,B,,B,,A,,A，,A,,A，,B,,B，,B,,Bkkkkkkkk kk()(). ,,A,A，,,,A，,B,B，,,,Bkkkk (k)(k)利用～～以及lim,,,,0～limA,A,0limB,B,0k,,,,,,kkk lim,,,,0～～有界～知 ,,kkk,,k (k)(k)lim,(A，,B,(,A，,B),0kk,,k (k)(k)lim,(A，,B),,A，,B故有. kk,,k 3. 解:,1,由于～从而是收敛矩阵. A,0.9A1 515,2,由于的特征值为～～故～,,,,,,(A),,1A12626故的收敛矩阵. A ,,,,,a,,2a4. 解:由于的特征值为～于是～故,(A),2aA231 111a,,,a,,(A),1当即或时～为收敛矩阵. A222 1 ,NN(k)()()()NkkS,AS,PAQ,P(A)Q5. 证:记～ ,于是 ,,,k0,0,0,kk N,,(k)(k)(k)(N)PAQ,limS,P(limA)Q,PSQ,P(A)Q,,,,,NN,,,k0k0k0,, ,,,(k)(k)(k)PAQAA即也收敛.如果绝对收敛～则收敛.又由于,,,k,0k,0k,0 (k)(K)(k),其中是与无关的正数～由比较判别法知PAQ,PAQ,,Ak ,,(k)(k)PAQPAQ收敛～故也绝对收敛. ,,k,0k,0 17，，6. 解:,1, 设 A,,,,1,3，， ,1kx,,,,,2可求得的特征值为～所以～由幂级数的收,(A),2A,122k,1k敛半径为 2ak(，1)kr. ,lim,lim,12k,,k,,akk，1 ,1kA因 , 知矩阵幂级数发散. ,(A),2,r,2kk,1 1,8，，,,,3,,5,2,设～可求得的特征值为～～所以BB,12,,,21，， ,kk，，x,B,5.又因幂级数的收敛半径 ,k6,0k k，1ak6kr ,lim,lim,6kk,,k,,ak，16k，1 ,kkB即有,(B),r～故矩阵幂级数绝对收敛. ,k6k,0 2 ,0.10.7，，kA7. 解:设～由于～故矩阵幂级数收A,0.9,1A,,,,,0.30.6k,0，， 47，，2,1敛～且其和为. (),,IA,,393，， 8. 证:因～所以有 A(2,jI),(2,jI)A 111，，A234A，2,jIA2,jI,，，，，，？eI(,2jI)(2,jI)(2,jI)(2,jI) e,ee,,2!3!41，， ,,1111，，，，A2435 ,,，,？，,，,？e1(2,)(2,)j2,(2,)(2,)I,,,,,,2!4!3!5!，，，，,, AA,,ecos2,，jsin2,I,e=. 又因～所以有 A(2,I),(2,I)A sin(A，2,I),sinAcos(2,I)，cosAsin(2,I) 1111，，，，2435,，,？，,，,？sinAI(,2I)(,2I)cosA2,I(2,I)(2,I)= ,,,,2!4!3!5!，，，， 1111，，，，2435sinA1,(,2)，(,2),？I，cosA2,,(2,)，(2,),？I= ,,,,2!4!3!5!，，，，= sinAcos2,，cosAsin2,,sinA 9. 证:因为 TT11,,A23e,I，A，A，A，？，，,,2!3!,, T2311TTTA,A，，，，,I，A，A，A，？,e,e2!3! TTAAAAA,A0A所以有.故为正交阵. e，，ee,e,e,e,e,I HHHjAjA，，jA,jA10. 证:因为, 于是有 ，，，，e,e,e,e 3 HjAjAjA,jA0 ，，ee,ee,e,IjA故为酉阵. e 3211. 解 :,1, , ，，f,,,I,A,,,, ,2,由Cayley-Hamilton定理知 3232，，fA,A,A,0 ～即A=A 从而有 4332A=A?A=A=A 5432A=A?A=A=A ………………… 111A23n故 e,I，A，A，A，？，A，？2!3!n! 111,,2,I，A，A，，？，，？,,2!3!n! ,, 2，，,I，A，e,2A 111k352k，1sin，，1A,A,A，A，？，,A，？ ，，3!5!21!k， ,,111k2,,,A，A,，，？，，，,1，？,,3!5!2，，k，1! ,, 2，，,A，sin1,1A 12. 解: ，，，，，，,I,A,,，1,,1,,2,0 ,,,1,,1,,2求得A的特征值为～～～于是存在可逆阵 312 1,110,11，，，，1,,,,,1CC,,310,033 ～ ,,,,6,,,,310642，，，， 4 ,1，， ,,,1CAC,1使得.再根据矩阵函数值公式为 ,, ,,2，， 22,12,1，，6e4e,3e,e2e,3e，e 1,,,112,1,1,1AeCdiage,e,eC03e3e3e3e,，，,，, ,,6,1,1,,03e3e3e3e,，，， tA,tt2t,1，，e,Cdiage,e,eC ttt,ttt,t222，，6e4e,3e,e2e,3e，e 1,,t,tt,t03e3e3e3e,，, ,,6t,tt,t,,03e3e3e3e,，，， ,1，，，，sinA,Cdiagsin,1,sin1,sin2C sin24sin2,2sin12sin2,4sin1，，1,,006sin1 = ,,6,,06sin10，， 11，， ,,11,1,,13. 解:,1,对A求得C～使得CAC,,J～所以有 ,,11 ,,1，， 0000，， ,,1000,,1,1,,,,,lnln ACJC,1002,, 11,,,10,,32，， J1121，，，，，，1,2,～其中～ A,J,J,21,,,,,,J02012，，，，，， 于是有 1，，01，，ln2,,ln,J ～ ln,J122,,00,,，，0ln2，， 5 1，，ln200,,2lnJ，，,,1ln200 . ln,,A,,,,lnJ，2，01,, ,,0，， ,t,2t,t,2t，，2eeee,,At14. 解:,1,, e,,,,t,2t,t,2t2e2ee2e,，,，，， ,35,2011,11514，，，，，，t,2t3teee,,,,,,Ate,,3,52，01,1，514,2,, ,,,,,,61510,,,,,,3,520,1414514，，，，，， 1，，22，，，22121tttt，，,,2,,At222,2t,,,，，,,4421,3,, ettttte,,2,,，，，，,,,，854232121tttttt ,,，， 1,51063050，，，，，， ,,,,,,At,2t,2t,3t000000010e,e，te，e,4,. ,,,,,, ,,,,,,021000020,，，，，，， 15. 解: cosA,I，cos1,1A,sinA,sin1A,，，，， ,1, 2A，，e,I，e,1A 2A，，，，cosA,cos1IsinA,sin1Ie,eI,2,～～, 2Ae,I,3,～～. cosA,IsinA,A 5I,AA,I1000100016. 解:,1,, A,，544 3e,1e,3e，1，， ,,A3333e,ee，,e,,2,, ,, ,,3113e,e，,e，， 6 ,，，33,,,,A666arcsin,,3,, ,,4,233,,，,,363，， 15,8，，15,12,4,. ，，I，A,,A,A,,,8172110，， ,sintcost，，d17. 解: ，，At,,,,cost,sintdt，， ,sint,cost，，ddd,1. ，，，，，，At,,At,0,At,1,,cost,sintdtdtdt，， 2，，tt18. 解:时取～则 ，，At,m,2,,0t，， 43232，，，，tt，t4t3t，2td22 ，，，， At,,At,,,,,2dt0t02t，，，， 32，，4t2t，2td，，，， 2AtAt,,,dt02t，， dd2可见～，，，，. ，，At,2AtAtdtdt 19. 解:两边对t求导数～得 5cos5t，3cost10cos5t,2cost5cos5t,cost，，1,,AcosAt,5cos5t,cost10cos5t，2cost5cos5t,cost ,,4,,5cos5t,cost10cos5t,2cost5cos5t，3cost，，令t=0～并注意到～得 cos0,I 221，， ,,A,131. ,, ,,122，， 7 20. 解:这是数量函数对矩阵变量的导数.设，，～则A,aijmxn mn22T，，a,trAA=. ，，fA,A,,stF,,11st ,f，，,2ai,1,2,？,m;j,1,2,？,n又因为～所以 ij,aij ,,df,f,,，，,,2a,2A . ijm，n,,dA,aij,,m，n dTTYX,yx，yx，？，yx21. 解:由于～再由～，，XAX,2AX1122nndX ddfxdc，，T知～而～因此. ，，YX,Y,0,2AX,YdXdxdX n,,，，，，22. 证:,1,设～则～于是B,b,X,xBXbx,,,,ijijikkjm，nn，mk,1,,m，m有 nnn ，，trBX,bx，？，bx，？，bx ,,,11kkjkkjmkkm,,,111kkk ,tBX，，r ，，,bi,1,2,？,n;j,1,2,？,mji,xij b？b，，11m1d,,T，，，，trBX,？？,B ,,dX,,b？b1nmn，， TTT注意到BX与,BX,=XB有相同的迹～所以 ddTTT ，，，， ，，，，trXB,trBX,BdXdX T，，，，A,a,X,x,f,tr，，XAX,2,设 ijij，，nnnm 则有 8 nn，，axax？,,1kk11kkm,,xx？，，11n1k,1k,1,,,,T ,,XAX？？,？？,,,,nn,,,,xx？1mnm，，axax？,,nkk1nkkm,,k,1k,1，， nnnnnn f,xax，？，xax，？，xax ,,,,,,11eekkejekkjemekkm,1,,11,1,1,1ekekek nn,,f，， ,xax,,ejekkj,,,,xxe,1k,1，，ijij nnn，，,x,,,,,ej， = axxax,,,,,,,,,ekkjejekkj,,xx,,11,1,,,,ekk,,ijij，， nn ax，ax = ,,jkkjekej,1,1kk ,,df,fTT,,，，,,AX，AX,A，AX.,,dX,xij,,n，m TT，，，，f,X,uAX,u23. 证:设～因为A,A～所以 TTT，，f,XAX,2AuX，uAu df利用第21题的结果可得，，. ,2AX,2Au,2AX,udX aA，，24. 证:设～记的代数等子式为～将detA按第行A,aiijijijn，n 展开～得 detA,aA，？，aA，？，aA～ i1i1ijijinin ,f，，,Ai,j,1,2,？,n所以～从而有 ij,aij dfTTT,1,1，，，，，， ，，，， ,A,adjA,detAA,detAAij，nndA 其中adjA是A的伴随矩阵. 9 T25. 解:设，，～，，.由于ABA的第k行第k列元素B,bA,aijijn，nn，m nn aba为～所以 ,,sksttk,,11st mnn,,T ，，，，fAtrABAaba,,,,,,,sksttk,,,111,,kst mnnnn,,,aba，aba,,,,,,,sksttksjsttjk,,,111s,,11tst,,，，k,j mnnn,, ,aba，aba,,,,,,sksttk1j1ttjk,,11s,,11tt,,，，k,j nn ，aba，？，aba,,ijittjnjnttjt,1t,1故 n,f,,,ab，？，ab，ba，ab，ab,,,11,1,,1,，1,，1,jiijiiittjijijijii,a,1t,,ij nn ，？，ab,ba，ba,,njniittjbisj,1,1ts最后得 nn,,df,f,,,,,,,,ba，ba,,,,,ittj,sisj,,dA,a ts,1,,1,,,ijnmnm，，,,nm， T,BX，BX dfTf,ABA特别地～当B是对称矩阵时～,当A为列向量时～～,2BAdA dfT且. ,BA，BAdA T，，26. 解:设 ～, 由于 A,a，，X,x,x,？,xij12nm，n Tnn,,F(X),AX,ax,？,ax,,,,1kkmkk,,k,1k,1 Tnn,,TG(X),(AX),ax,？,ax,,,,,1kkmkkk,1k,1,, 所以 10 ,F,GT,a,？,a,,a,？,a,，，，，11imiimi,x,xii T,,dF,F,FT,,，，故,,？,,a,？,a,？,a,？,a1111mnmn,,dX,x,x1n,, a？a，，111n,,dF,F,F,,,,,,？,,？？,A T,,,,,x,xdX1n,,,,a？am1mn，， a？a，，T11m1,,dG,G,G,,T,,,,？,,？？,A ,,,,dX,x,xn1,,,,a？a1nmn，， 27. 解:因为 2TTTTTTT ，，，，，，fx,AX,b,AX,bAX,b,XAAX,XAb,bAX，bb2 故由上两题的结果得 dfTTTTTT ，，，，,2AAX,Ab,bA,2AAX,AbdX T,,,f,f,fT1,,，，28. 解:因为,,？,n,a,？,a,, 1inii,,,x,x,xiii,, 故有 T,,dfff,,T,,，，,,？,,,,？,,. 1n,,dXxx,,1n,, 11，，2tt3ect1ectc，,，，，，111213,,23,,,t2tA，，tdt,,e，ce，cc29. 解: 212223,,,32,,t，ccc313233,,2，， 11 11，，2,11，，e,,23,,,12 ，，,,,110Atdtee,,,3,,002,,，， 22224tt，，etet2t,,22d,,,t2tAxdx2te2e0 ，，, ,,,,,0dt,,2,,3t00，， ,12，，1,3i,,30. 解:设～A的特征值为～相应的两个特A,,,2,21，， 征向量为 11，，，， ,,,,1，3i1,3i,, ,～, ,,,,22，，，，作矩阵 11，， ,,1，3i1,3iP, ,,22，， ix利用欧拉公式～则 e,cosx，isinx it3，，e0At,1,ePP,,it,30e,,，， 12，， ,cos3tsin3tsin3t,,33,,,,21,,sin3tcos3t，sin3t,,33，，故 2，，tsin3,,0，，3At,,xt,e,，，. ,,11,,，，t，tcos3sin3,,3，， 12 35，，31. 解:设～它的特征值为～对应的两个线,,3,5iA,,,,53，， 1i，，TT，，，，,,1,i,,,i,1性无关的特征向量为～作可逆矩阵～从而有 P,,,i1，， ，35it，，11,cos5sin5，，iitt0，，，，，，e1A3t ,,ee,,,,,,,,，，,35it1,1,sin5cos5iitt20e，，，，，，，， 故 ,,t0，，e，，,AtAt,，，,Xt,e，ed，，,,,,,010，，，， t,,sin5tcos5tcos5，sin5tsin5，，，，3t3t4,, ,e，eed,,,,,,0cos5t,sin5tcos5，cos5tsin5,,，，，， ，，sin5tat，，，，3t3t,e，e,其中,,,,，，cos5tbt，，，， ,4t，，e4,,，，at4cos5t5sin5tcos5t，，，，,,4141，， ,4t，，e5，,4sin5t,5cos5t，sin5t，，,,4141，， ,4t，，e4，，，，bt,,,4cos5t，5sin5t，sin5t,,4141，， ,4t，，e5，，，,4sin5t,5cos5t，cos5t,,4141，， ，，,21011，，，， ,,,,,,Ab，，t,,420,,2，，x0,1 32. 解: 设 ～～ ,,,,,,t,,,,,,101,1e,1，，，，，， 32，，，，,,,det,I,A= , 由C-H定理知 ,,, 324252 A=A～A=A～A=A～……～ 从而有 111234AteIAtAtAtAt，，，，，，，， ,，，，，，？2!3!4! 13 111,,2342,I，tA，t，t，t，A？,,2!3!4!,, 1,2tt0 ，， ,,t2,I，tA，e,1,tA,,4tt0，，,,ttt,,12teet1e，,,,，，故 ,,1，，tt,,,,At,A,At,,()()()()2xt,exo，eb,d,,exo，dt ,,,,,,00,,,,0，，,, ,,1t1，，，，，， ,,,,,,,,Ate1，2t,1 = . ,,,,,,,,t,,,,,,,,10(t,1)e，，，，，，,, 14