实验六 窗函数及其对信号频谱的影响

实验六 窗函数及其对信号频谱的影响 一. 实验目的 1. 掌握几种典型窗函数的性质、特点，比较几种典型的窗函数对信号频谱的影响。 2. 通过实验认识它们在克服 FFT 频谱的能量泄漏和栅栏效应误差中的作用，以便在实际工作中能根据具体情况正确选用窗函数 二. 实验原理 1. 信号的截断及能量泄漏效应 数字信号处理的主要数学工具是博里叶变换．应注意到，傅里叶变换是研究整个时间域和频率域的关系。然而，当运用计算机实现工程测试信号处理时，不可能对无限长的信号进行测量和运算，而是取其有限的时间片段进行分析。做法是从信号中截取一个时间片段，然后用观察的信号时间片段进行周期延拓处理，得到虚拟的无限长的信号，然后就可以对信号进行傅里叶变换、相关分析等数学处理。 图6.1 信号的周期延拓 周期延拓后的信号与真实信号是不同的，下面我们就从数学的角度来看这种处理带来的误差情况。设有余弦信号x(t)在时域分布为无限长(- ∞，∞)，当用矩形窗函数w(t)与其相乘时，得到截断信号xT(t) =x(t)w(t)。根据博里叶变换关系，余弦信号的频谱X(ω)是位于ω。处的δ函数，而矩形窗函数w(t)的谱为sinc(ω)函数，按照频域卷积定理，则截断信号xT(t) 的谱XT(ω) 应为： 将截断信号的谱XT(ω)与原始信号的谱X(ω)相比较可知，它已不是原来的两条谱线，而是两段振荡的连续谱．这明原来的信号被截断以后，其频谱发生了畸变，原来集中在f0处的能量被分散到两个较宽的频带中去了，这种现象称之为频谱能量泄漏（Leakage）。 信号截断以后产生的能量泄漏现象是必然的，因为窗函数w(t)是一个频带无限的函数，所以即使原信号x(t)是限带宽信号，而在截断以后也必然成为无限带宽的函数，即信号在频域的能量与分布被扩展了。又从采样定理可知，无论采样频率多高，只要信号一经截断，就不可避免地引起混叠，因此信号截断必然导致一些误差，这是信号分析中不容忽视的问题。 如果增大截断长度T，即矩形窗口加宽，则窗谱 W(ω)将被压缩变窄（π／T减小）。虽然理论上讲，其频谱范围仍为无限宽，但实际上中心频率以外的频率分量衰减较快，因而泄漏误差将减小。当窗口宽度T趋于无穷大时，则谱窗W(ω)将变为δ(ω)函数，而δ(ω)与X(ω)的卷积仍为X(ω)，这说明，如果窗口无限宽，即不截断，就不存在泄漏误差。 图6.2 信号截断与能量泄露现象 为了减少频谱能量泄漏，可采用不同的截取函数对信号进行截断，截断函数称为窗函数，简称为窗。泄漏与窗函数频谱的两侧旁瓣有关，如果两侧瓣的高度趋于零，而使能量相对集中在主瓣，就可以较为接近于真实的频谱，为此，在时间域中可采用不同的窗函数来截断信号。 2. 窗函数 实际应用的窗函数，可分为以下主要类型： a）幂窗--采用时间变量某种幂次的函数，如矩形、三角形、梯形或其它时间（t）的高次幂； b) 三角函数窗--应用三角函数，即正弦或余弦函数等组合成复合函数，例如汉宁窗、海明窗等； c) 指数窗--采用指数时间函数，如 形式，例如高斯窗等。 不同的窗函数对信号频谱的影响是不一样的，这主要是因为不同的窗函数，产生泄漏的大小不一样，频率分辨能力也不一样。信号的截断产生了能量泄漏，而用FFT算法计算频谱又产生了栅栏效应，从原理上讲这两种误差都是不能消除的，但是我们可以通过选择不同的窗函数对它们的影响进行抑制。图6.5是几种常用的窗函数的时域和频域波形，其中矩形窗主瓣窄，旁瓣大，频率识别精度最高，幅值识别精度最低；布莱克曼窗主瓣宽，旁瓣小，频率识别精度最低，但幅值识别精度最高。 图6.5 几种常用的窗函数的时域和频域波形 对于窗函数的选择，应考虑被分析信号的性质与处理要求。如果仅要求精确读出主瓣频率，而不考虑幅值精度，则可选用主瓣宽度比较窄而便于分辨的矩形窗，例如测量物体的自振频率等；如果分析窄带信号，且有较强的干扰噪声，则应选用旁瓣幅度小的窗函数，如汉宁窗、三角窗等；对于随时间按指数衰减的函数，可采用指数窗来提高信噪比。 三. 实验仪器和设备 1. 计算机 四. 实验步骤及内容 7. 点击实验中的"运行"按钮，然后选择矩形窗，分析和观察矩形窗对信号频谱的影响，同时调节上下截止频率，观察其能量泄漏和栅栏效应。 8. 然后分别选择"Hanning窗"、"Hamming窗"、"BlackMan窗"和"平顶窗"，分析和观察这些窗函数对信号频谱的影响，同时调节上下截止频率，观察其能量泄漏和栅栏效应。 五. 实验要求 1. 根据已学知识，整理出典型窗函数时域、频域谱图，并分析各种窗的特性。 2.根据实验结果，整理出同一信号经不同的窗加权后得到的谱图。 六. 思 1. 在信号分析中，加窗除了有减小能量泄漏的好处外，还有什么作用？ 2. 对比几种常用窗函数的时域和频域波形，说明它们各自的优缺点。 3. 为什么在加窗处理过程中，窗的长度要尽量长？ 继续阅读