1984年高考理科数学试题

1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题 （这份试题共八道大题，满分120分，第九题附加题10分，不计入总分） 一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内。每一个小题：选对的得3分；不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分。 1．数集X={(2n+1) π，n是整数}与数集Y={(4k±1) π，k是整数}之间的关系是(    )                                    A．X?Y      B．X?Y      C．X=Y      D．X≠Y 2．如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切于原点，那么 (    ) A．F=0,D≠0,E≠0          B．E=0,F=0,D≠0 C．D=0,F=0,E≠0          D．D=0,E=0,F≠0  3．如果n是正整数，那么 的值(    ) A．一定是零                  B．一定是偶数 C．是整数但不一定是偶数      D．不一定是整数 4．arccos(-x)大于arccosx的充要条件是 (    ) A．x∈(0,1]    B．x∈(-1,0)    C．x∈[0,1]    D．x∈[0, ] 5．如果θ是第二象限角，且满足 (    ) A．是第一象限角                        B．是第三象限角 C．可能是第一象限角,也可能是第三象限角  D．是第二象限角 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分。只要求直接写出结果。 1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积。 2．函数log0.5(x2+4x+4)在什么区间上是增函数? 3．求方程(sinx+cosx)2= 的解集。 4．求式子 的展开式中的常数项。 5．求 的值。 6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈 节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）。 三．（本题满分12分）本题只要求画出图形。 1．设 画出函数y=H(x-1)的图象。 2．画出极坐标方程 的曲线。 四．（本题满分12分） 已知三个平面两两相交，有三条交线。求证这三条交线交于一点或互相平行。 五．（本题满分14分） 设c，d，x为实数，c≠0，x为未知数，讨论方程 在什么情况下有解，有解时求出它的解。 六．（本题满分16分） (1)设p≠0，实系数一元二次方程z2-2pz+q=0有两个虚数根z1，z2。再设z1，z2在复平面内的对应点是Z1，Z2.求以Z1，Z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长。 (2)求经过定点M(1,2)，以y轴为准线，离心率为 的椭圆左顶点的轨迹方程。 七．（本题满分15分） 在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且c=10， ， P为△ABC的内切圆上的动点，求点P到顶点A，B，C的距离的平方和的最大值与最小值。 八．（本题满分12分） 设a>2，给定数列{xn}，其中x1=a，xn+1= (n=1,2,…) 求证：(1) xn>2，且 (n=1,2,…)； (2) 如果a≤3，那么xn≤2+ (n=1,2,…)； (3) 如果a>3，那么n≥ 时，必有xn+1<3. 九．（附加题，本题满分10分，不计入总分） 如图，已知圆心为O，半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧AC的长为 AP，直线PC与直线AO交于点M．又知当AP= 时，点P的速度为v，求这时点M的速度。 1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学答案 （这份试题共八道大题，满分120分，第九题附加题10，不计入总分） 一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内。每一个小题：选对的得3分；不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分。 1．数集X={(2n+1) π，n是整数}与数集Y={(4k±1) π，k是整数}之间的关系是(    )C                                    A．X?Y      B．X?Y      C．X=Y      D．X≠Y 2．如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切于原点，那么 (    )C      A．F=0,D≠0,E≠0          B．E=0,F=0,D≠0 C．D=0,F=0,E≠0          D．D=0,E=0,F≠0  3．如果n是正整数，那么 的值(    )B A．一定是零                  B．一定是偶数 C．是整数但不一定是偶数      D．不一定是整数 4．arccos(-x)大于arccosx的充要条件是 (    )A A．x∈(0,1]    B．x∈(-1,0)    C．x∈[0,1]    D．x∈[0, ] 5．如果θ是第二象限角，且满足 (    )B A．是第一象限角                        B．是第三象限角 C．可能是第一象限角,也可能是第三象限角  D．是第二象限角 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分。只要求直接写出结果。 1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积。 答： . 分析：圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，可以有两种形式的圆柱的展开图，分别求出底面半径和高，分别求出体积． 解答：解：圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形， 当母线为4时，圆柱的底面半径是 ，此时圆柱体积是 当母线为2时，圆柱的底面半径是 ，此时圆柱的体积是 综上所求圆柱的体积是 点评：本题考查圆柱的侧面展开图，圆柱的体积，是基础题．容易疏忽一种情况． 2．函数log0.5(x2+4x+4)在什么区间上是增函数? 答： 在（-∞，-2）上是增函数． 分析：本题是一个复合函数，故应依据复合函数的单调性来判断其单调性，先求出定义域，判断出外层函数与内层函数的单调性，再依规则来判断即可． 解答：解：令x2+4x+4>0，得x≠-2，由t= x2+4x+4知，其对称轴为x=-2 故内层函数在（-∞，-2）上是减函数，在（-2，+∞）上是增函数． 因为外层函数的底数0.5＜1，故外层是减函数，欲求复合函数的增区间，只须求内层的减区间，故函数y=log0.5(x2+4x+4)在（-∞，-2）上是增函数． 点评：本题的考点是复合函数的单调性，考查了对数与二次函数的单调性的判断方法以及定义域的求法． 3．求方程(sinx+cosx)2= 的解集。 答： 分析：利用平方关系和倍角对方程进行整理，根据一个周期内的正弦函数值求解，最后解集写出几何形式。 解答：解：由题意知，1+sin2x= ，sin2x= ， 解得 点评：本题考查了三角函数方程的求解，即利用同角的基本关系、倍角公式、两角和差公式等等，对方程进行化简，再由三角函数在一个周期内的函数值和周期求出解集． 4．求式子 的展开式中的常数项。 答：-20 分析：解法一：利用分步乘法原理展开式中的常数项是三种情况的和， 解法二：先将 利用完全平方公式化成二项式，利用二项展开式的通项公式求得第r+1项，令x的指数为0得常数项． 解答：解法一： = 得到常数项的情况有：①三个括号中全取-2，得(-2)3；②一个括号取|x|，一个括号取 ，一个括号取-2，得C31C21(-2)=-12，∴常数项为(-2)3+(-12)=-20． 解法二： = ，设第r+1项为常数项， 则Tr+1= ，∴ 6-2r=0，r=3． ∴T4= C63 ? (-1)3=-20． 点评：本题考查解决二项展开式的特定项问题的重要工具有二项展开式的通项公式；还有分步乘法原理． 5．求 的值。 答：0 分析：分子、分母同时除以3n，原式可转化为已知数列的极限。 解答：解：原式= 点评：本题考查数列的极限和运算，解题时要注意合理地进行等价转化． 6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈 节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）。 答：A66?A74 分析：首先分析两个舞蹈节目不得相邻的排列法，可以猜想到用插空法求解，然后分别求出舞蹈节目的排法及歌唱节目的排法，相乘即可得到答案。 解答：解：此题采用插空法，先排6个歌唱节目共有A66 种，因为任何两个舞蹈节目不得相邻，可再把4个舞蹈节目插到7个空位上就不会相邻了，共有A74种排法，所以共有种A66?A74排法。 点评：此题主要考查排列组合及其简单的计数问题，对于不相邻这种类型题目的求解，要想到可以用插空法求解，这种解题思路非常重要，要很好的理解记忆。 三．（本题满分12分）本题只要求画出图形。 1．设 画出函数y=H(x-1)的图象。 分析：考查函数图象的变化，y=H(x-1)的图象是由y=H(x)的图象向右平移一个图象得到的．故可以先画出H(x)的图象然后再向右平移1个单位得到H(x-1)的图象。 解答：解： 点评：考查函数图象的平移问题．记y=f(x)，则y=f(x+1)，y=f(x-1)，y=f(x)+1，y=f(x)-1的图象，是由y=f(x)图象分别向左，向右，向上，向下平移1个单位得到的。 2．画出极坐标方程 的曲线。 分析：先将方程化简一下，然后根据极坐标方程的几何意义进行画图即可． 解答：解：方程可化为：ρ=2或θ= (ρ>0) ρ=2表示圆心在极点，半径为2的圆， θ= 表示极角为 的射线，画出图象即可． 点评：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程， 以及作图能力的考查，属于基础题． 四．（本题满分12分） 已知三个平面两两相交，有三条交线。求证这三条交线交于一点或互相平行。 分析：证明时要分三条交线交于一点，和三条交线互相平行两种情况； (1)证三线交于一点时，先由两线交于一点，再证这一点也在第三条直线上； (2)证三线平行时，先由两线平行，再证第三条直线与这两条平行线中的任一条直线平行即可。 解答：证明：设三个平面为α，β，γ， 且α∩β=c，α∩γ=b，β∩γ=a；∵α∩β=c，α∩γ=b， ∴c?α，b?α；∴ c与b交于一点，或互相平行。 (1) 如图1，若c∩b=P。由P∈c，且c?β，有P∈β； 又由P∈b，b?γ，有P∈γ；∴ P∈β∩γ=a； 所以，直线a，b，c交于一点（即P点）。 (2)如图②，若c//b，则由b?γ，且c?γ，∴c//γ； 又由c?β，且β∩γ=a，∴c//a； 所以a，b，c互相平行． 点评：本题考查了空间中的直线平行，或相交的证明， 特别是几何符号语言的应用，是有难度的问题。 五．（本题满分14分） 设c，d，x为实数，c≠0，x为未知数，讨论方程 在什么情况下有解，有解时求出它的解。 分析：先将对数式转化为指数式，再根据对数函数的真数大于0，底数大于0且不等于1找到方程有根的等价条件后可解题． 解答：解：原方程有解的充要条件是： 由条件(4)知 所以cx2+d=1，再由c≠0，可得 ， 又由 及x＞0，知 ，即条件(2)包含在条件(1)及(4)中， 再由条件(3)及 知x≠1， 因此，原条件可简化为以下的等价条件组： 由条件(6)知 这个不等式仅在以下两种情形下成立： c＞0，d＜1或c＜0，d＞1，再由条件(5)可知c≠1-d. 从而，当c＞0，d＜1且c≠1-d时，或者当c＜0，d＞1且c≠1-d时， 原方程有解，它的解是 . 点评：本题主要考查对数式与指数式的互化和方程根的判定．属中档题． 六．（本题满分16分） (1)设p≠0，实系数一元二次方程z2-2pz+q=0有两个虚数根z1，z2。再设z1，z2在复平面内的对应点是Z1，Z2.求以Z1，Z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长。 (2)求经过定点M(1,2)，以y轴为准线，离心率为 的椭圆左顶点的轨迹方程。 分析： (1)小题，由两个虚数根z1，z2是共轭复数，可得椭圆的短轴长：2b=|z1+z2|，焦距为2c=|z1-z2|，然后求出长轴长。 (2)小题，先确定椭圆的位置，设左定点的坐标为A(x,y)，然后根据离心率的含义得到左焦点的坐标，根据椭圆的第二定义确定方程。 解答：(1)解法一：因为p,q为实数， p≠0， z1，z2为虚数， 所以Δ=(-2p)2-4q<0，所以q>p2>0. 由z1，z2为共轭虚数，知Z1，Z2关于x轴对称,所以椭圆短轴在x轴上。 又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一个端点。 根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的短轴长：2b=|z1+z2|=|2p|=2|p|， 焦距：2c=|z1-z2| ， 长轴长：2a 解法二: 因为p,q为实数， p≠0， z1，z2为虚数，所以Δ=(-2p)2-4q<0， 所以q>p2>0。根据实系数一元二次方程的求根公式,得 可知知Z1，Z2关于x轴对称，所以椭圆短轴在x轴上。 又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一个端点。 根据椭圆的性质，复数的几何意义，可得椭圆 短轴长：2b=|z1+z2|=|2p|=2|p|， 焦距：2c=|z1-z2| ， 长轴长：2a 注：也可利用椭圆长半轴的长等于短轴上的顶点到焦点的距离,直接得出 长轴长：2a=2|z1| (2)解：因为椭圆经过点M(1,2)，且以y轴为准线，所以椭圆在y轴右侧，长轴平行于x轴。 解：设椭圆左顶点为A(x,y)，左焦点为F(x1,y1). 由第二定义知 = ，即 |MF|= .  ∴ (x1-1)2+( y1-2)2 =   ① 又 = ，∴   解得 代入①得 ( x-1)2+( y-2)2 = ，  整理得 为所求的轨迹方程. 点评：(1)小题考查复数的基本概念，椭圆的基本性质，是小型综合题，考查学生分析问题解决问题的能力． (2)小题主要考查椭圆方程的第二定义，平面上到定点F距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合． 七．（本题满分15分） 在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且c=10， ， P为△ABC的内切圆上的动点，求点P到顶点A，B，C的距离的平方和的最大值与最小值。 分析：利用正弦定理转化为 ，从而求得A+B=90°，判断出三角形为直角三角形，进而可利用勾股定理求得a和b，利用直角三角形的性质求得其内切圆的半径，如图建立直角坐标系，则内切圆的方程可得，设出P的坐标，表示出，S=|PA|2+|PB|2+|PC|2，利用x的范围确定S的范围，则最大和最小值可得。 解答：解：由 ，运用正弦定理，有 ， ∴sinAcosA=sinBcosB  ∴sin2A=sin2B.  因为A≠B，所以2A+2B =180°， 即A+B=90°.  由此可知△ABC是直角三角形， 由c=10， ，可得a=6，b=8. 从而△ABC的内切圆半径为r= =2 如图建立坐标系，则A(8,0)，B(0,6)，C(0,0) ，内切圆方程为：(x-2)2+( y-2)2=4，设圆上动点P的坐标为(x，y)，则 S=|PA|2+|PB|2+|PC|2=(x-8)2+y2+x2+(y-6)2+x2+y2 =3x2+3y2-16x-12y+100=3[(x-2)2+( y-2)2]-4x+76 =3×4-4x+76=88-4x． 因为P点在内切圆上，所以0≤x≤4， S最大值=88-0=88， S最小值=88-16=72. 点评：本题主要考查了三角函数求最值的问题，直角三角形内切圆的问题，圆的性质问题。考查了学生基础知识的综合应用。 八．（本题满分12分） 设a>2，给定数列{xn}，其中x1=a，xn+1= (n=1,2,…) 求证：(1) xn>2，且 (n=1,2,…)； (2) 如果a≤3，那么xn≤2+ (n=1,2,…)； (3) 如果a>3，那么n≥ 时，必有xn+1<3. 分析：(1)用数学归纳法进行证明，先证明不等式xn>2；再证xn+12 ， ∴ x2-2= >0，∴ x2> 2. 且 x2-x1 = <0，∴ 20，∴ xk+2> 2. 且xk+2- xk+1= <0， ∴2< xk+2< xk+1，∴当n=k+1时，结论也成立. 由①②知22，且 (n=1,2,…). (2) ①由条件x1=a≤3知不等式当n=1时成立， ②假设不等式当n=k(k≥1)时成立，即xk≤2+ ， 当n=k+1时，由条件及xk>2知及归纳假设可得xk+1= = ≤ = ∴当n=k+1时，结论也成立. 由①②知，不等式xn≤2+ 对所有的正整数n成立。 (3)先证明若xk<3，则 ，因为 . 再用反证法，若n≥ 时，有xn+1≥3，由第(1)小题知 x1>x2>…>xn>xn+1≥3， 因此，由上面证明的结论及x1=a≥3可得3≤xn+1= ， 则n≥ ，这与假设矛盾，所以n≥ 时，必有xn+1<3. 点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N*相关的性质，其步骤为：设P(n)是关于自然数n的命题，若①奠基，验证P(n)在n=1时成立；②递推，证明在归纳假设在P(k)成立下推出P(k+1)成立，则P(n)对一切自然数n都成立。 根据条件适时应用反证法。 九．（附加题，本题满分10分，不计入总分） 如图，已知圆心为O，半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧AC的长为 AP，直线PC与直线AO交于点M．又知当AP= 时，点P的速度为v，求这时点M的速度。 解：作CD⊥AM，并设AP=x，AM=y，∠COD=θ， 由题设弧AC的长为 AP= x，半径OC= 1，可知θ= x， x∈(0,π) ，∵ΔAPM∽ΔDCM ∴ ∴   解得 ∴ 当x= 时， ,代入上式解得点M的速度为 点评：本题考查导数概念、微分法和利用导数概念的物理意义解决实际问题的能力。由于时间紧，没人做，形同虚设。 数学

高考

地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词

评论： 回顾近几十年的高考试题，1984年、1999年、2003年试题难，1984年试题最难.1984年，是中国高考改革有创意的一年。就在这一年，数学命题组提出了高考“出活题，考基础，考能力”的命题指导

思想

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。1984年的数学试卷，创造了大批新题，即所谓活题。广大考生第一次见到这样的新题或活题，感到非常之难。当年，北京市的分数，人均只有17分，创下了新中国成立以来，数学高考难度之“最”。 晚上送孩子回校，路上她挖苦老爸当年数学才考50多分，回家百度史上最难高考试卷，才发现还在保持难度

记录

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，时隔28年后第一次回看当年不堪回首那份试题，有感而发，勾起不少回忆。 直到今天，百度史上最难高考试卷—1984理科数学跃入眼中 直到今天，才知道那一年全国平均分是26分 直到今天，才知道那一年北京平均分是17分 直到今天，才知道那一年安徽平均分是28分 直到今天，哥才知道经历过史上最难 直到今天，哥才知道那年券子是以后奥数的

范本

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那一年，没人告诉哥，什么是奥数.............. 那一年，哥数学才考了56分（满分120），从此不堪回首 那一年，虽然哥总分高出重点本科10%，但一直怀疑没数学天分 后记，这是考完后唯一不想再见到的试卷，当28年后无意查到竟是最难的高考试卷(没有之一，是空前绝后），当知道平均分只有26分时，终于有了重看的勇气。 以后，学弟学妹再说史上最难，先把全国高考前167万人的数学统计平均，低过21.7%得分率再说史上最难。 中国高考史上最难的一张数学试卷：1984年高考数学试题(理科) ，试卷第六大题第2小题、第七大题和第八大题常被以后竞赛命题者作为范题参考！第一题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分。正题120分，附加题10分（不计入总分，高校录取时参考）。 备注：1984年理科：数、语120，理化英政100，生物50，满分690，数理化各10分附加分。本人516+13，数56+3 广东录取本科线：433，重点线：460 安徽省：50分以下的占80％,而70分(只相当于100分制的及格分)以上的不超过7％。 我也是84年高考。数学很难，是全国卷，但各省录取线不一样，江苏481二本，我数学76分，全校第一，上了安徽工业大学（马鞍山钢铁学院）。 我数学32分，我语文101分。数学拖了后腿，一辈子的遗憾！ 我84年高考，浙江省，数学考了98分（总分552，被上海医科大学录取，大学同学说怎么不去学数学专业，而学医学，真可惜），数学特难，好多同学（我是省重点中学的）考完后哭了，认为这次高考完了，我估分100，老师说全校最高了，我也奇怪，我做题时觉得还蛮顺利的，人家分数怎么会这么低。后来，考分出来后，数学全县第一，真值得让人长期回味。 98分太厉害了，我考上清华，才70来分；平时数学几乎满分的，当时就觉得不对头，填空题一道都做10多分钟，天气又热，真是印象深刻。 我认为今年高考数学(理科)试题不适合高校选拔新生,与现行中学数学教学要求也不吻合,试题偏刁、难度偏高、排列不当、分配不均。具体分析如下：1.试题安排没有考虑到考生的心理状态,采取由易而难的办法。第一大题选择答案,每一小题均需考生全面认真考虑所学内容,经过推理运算,去伪存真,才能获得正确答案。而试题又明确规定,选择错了要扣分,这无疑给考生的心理上增加了压力,愈怕失分愈紧张,不利于考生思维能力的发挥。我认为可把第一大题,适当增加难度,安排到第三大题的位置较为合适。考生可先解几个小题(第二大题),再绘草图(第三大题)。这样,考生可以先得基本分数,有利于稳定情绪,发挥水平,也有利于分档分段看考生水平的高低。 2.试题要求超出了现行中学数学教材的基本要求。以排列组合二项式定理为例,教科书中要求讲清楚两个区别(有序无序)、两个原理(加法原理、乘法原理)、两个公式(排列与组合的意义。教科书中的练习题和习题均未见试题要求的题型。查阅建国以来的历届高考试题,有关排列组合试题的要求也均未达到此试题要求高度。